Уравнение для координаты центра масс

Как найти координаты центра масс

Вы будете перенаправлены на Автор24

Сущность понятия «центр масс»

Понятие «центр масс» широко используется в физике для решения задач, связанных с движением тел. Например, математический маятник удобно представить себе как подвешенное на нити тело, вся масса которого сконцентрирована в единой точке. В законе всемирного тяготения тоже речь идет о расстоянии не между телами, а между центрами тел, под каковыми подразумеваются именно центры масс, а не геометрические центры.

Центр масс — точка, характеризующая размещение и движение исследуемой системы как единого целого.

Признаком центра масс является то, что если тело подвесить, закрепив за эту точку, оно останется в покое, т.е. не будет раскачиваться или вращаться относительно этого центра. В простейшем случае, если речь идет о симметричном теле с равномерной плотностью, центр масс находится на пересечении осей симметрии рассматриваемого тела. Например, если взять линейку длиной 30 см, то ее центр масс будет расположен на отметке «15 см». Подложив карандаш под эту отметку, легко привести линейку в положение равновесия.

На практике далеко не все тела, центр масс которых нужно найти, являются симметричными и однородными по плотности. Более того, многие исследуемые объекты представляют собой системы из нескольких тел с различными геометрическими и химическими характеристиками. Для расчетов их разбивают на элементарные фрагменты и производят вычисления поэтапно.

Нахождение координат центра масс

Центр масс двух тел с точечными массами $m_1$ и $m_2$ и координатами на координатной прямой $x_1$ и $x_2$ находится в точке, делящей расстояние между этими телами на отрезки с длинами обратно пропорциональными массам рассматриваемых тел.

Отсюда следует, что чем массивнее тело в такой элементарной системе, тем ближе оно к общему центру масс.

Расстояние между точечными телами равно:

$\Delta x = x_2 — x_1$

Пропорция между массами и расстояниями, согласно определению:

Готовые работы на аналогичную тему

где $l_1$, $l_2$ — расстояния от соответствующих тел до центра масс.

Выразив, длины через координаты

$l_1 = x_c — x_1; l_2 = x_2 — x_c$,

центр масс можно определить как

где $x_c$ — координата центра тяжести.

Разложив любую сложную систему на множество элементарных тел с точечными массами, можно обобщить изложенный принцип в виде формулы (для оси абсцисс):

В большинстве случаев центр масс требуется найти не на координатной прямой, а в двух- или трехмерной системе координат. Для дополнительных осей координаты центра масс ($y_c$, $z_c$) находят по аналогичному принципу.

Центр тяжести системы тел представляет собой точку, подобную центру масс, но рассчитывается не для масс, а для весов (обусловленных гравитацией сил), действующих на точечные тела, входящие в систему. Центр тяжести определяется так же, как и центр масс, если размеры системы малы в сравнении с радиусом планеты Земля. Он в большинстве случаев с достаточной для практики точностью совпадает с центром масс рассматриваемой системы.

Найти центр масс двух линеек, изготовленных из одинакового материала, одинаковой толщины и ширины, левые концы линеек совмещены. Длины линеек — 10 и 30 см. Толщиной линеек можно пренебречь.

Поскольку толщиной можно пренебречь, найти нужно лишь координату центра масс по оси $x$.

Разобьем мысленно систему на два отрезка. Первый — где толщина линеек складывается. Его координаты — $[0, 10]$. Второй отрезок — где длинная линейка продолжается одна. Его координаты — $[10, 30]$. Примем за единицу измерения массу одного погонного сантиметра линейки. Тогда масса второго фрагмента:

$m_2 = 30 — 10 = 20$

На каждый сантиметр первого фрагмента приходится вдвое больше массы, поскольку там сложены две линейки:

$m_1 = 10 \cdot 2 = 20$

Центры масс отрезков находятся на их осях симметрии, т.е. на середине длины каждого:

Подставим значения в формулу:

Ответ: центр масс находится на расстоянии 12,5 см от левого конца системы линеек.

Получи деньги за свои студенческие работы

Курсовые, рефераты или другие работы

Автор этой статьи Дата последнего обновления статьи: 12 04 2021

Движение центра масс системы

Допустим, что у нас есть некоторая система, состоящая из n -ного количества материальных точек. Возьмем одну из них и обозначим ее массу как m k . Приложенные к точке внешние силы (как активные силы, так и реакции связей) имеют равнодействующую F k e . Внутренние силы имеют равнодействующую F k l . Наша система находится в движении, следовательно, нужная точка будет иметь ускорение a k . Зная основной закон динамики, мы можем записать следующую формулу:

m k a k = F k e + F k l .

Ее можно применить к любой точке системы. Значит, для всей системы целиком можно сформулировать следующие уравнения:

m 1 a 1 = F 1 e + F 1 l , m 2 a 2 = F 2 e + F 2 l , ⋯ m n a n = F n e + F n l .

Данная формула состоит из дифференциальных уравнений, описывающих движение системы в векторной форме. Если мы спроецируем эти равенства на соответствующие координатные оси, то у нас получатся дифференциальные уравнения движения в проекциях. Но в конкретных задачах чаще всего вычислять движение каждой точки системы не требуется: можно ограничиться характеристиками движения всей системы в целом.

Движение центра масс: основная теорема

Характер движения системы можно определить, зная закон, по которому движется ее центр масс.

Центр инерции системы (центр масс) – это воображаемая точка с радиус-вектором R , выражаемым через радиус-векторы r 1 , r 2 , . . . соответствующих материальных точек по формуле R = m 1 r 1 + m 2 r 2 + . . . + m n r n m .

Здесь сумма показателей в числителе m = m 1 + m 2 + . . . + m 3 выражает общую массу всей системы.

Для нахождения этого закона нам нужно взять уравнения движения системы, приведенные в предыдущем пункте, и сложить их правые и левые части. У нас получится, что:

∑ m k a k ¯ = ∑ F k ¯ e + ∑ F k ¯ l .

Взяв формулу радиус-вектора центра масс, получим следующее:

Теперь возьмем вторую производную по времени:

Здесь буквой a c ¯ обозначено ускорение, которое приобретает центр масс системы.

Свойство внутренних сил в системе гласит, что F k l равно нулю, значит, окончательное равенство будет выглядеть так:

M a c ¯ = ∑ F k ¯ e .

Это уравнение является записью закона движения центра масс. Запишем его:

Движение центра масс системы идентично движению материальной точки той же массы, что и вся система целиком, к которой приложены все действующие на систему внешние силы.

Иначе говоря, произведение ускорения центра масс системы на массу самой системы будет равно геометрической сумме всех внешних сил, действующих на эту систему.

Возьмем полученное выше уравнение и спроецируем его правую и левую части на соответствующие координатные оси. У нас получится:

M x c ¨ = ∑ F k x ¯ e , M y c ¨ = ∑ F k y ¯ e , M z c ¨ = ∑ F k z ¯ e .

Эти равенства являются дифференциальными уравнениями движения центра масс в проекции на оси в декартовой системе координат.

Практическое значение теоремы о движении центра масс

Данная теорема имеет большую практическую ценность. Поясним, в чем именно она заключается.

1. Любое тело, движущееся поступательно, может быть рассмотрено в качестве материальной точки, масса которой равна массе всего тела. Во всех других случаях такой подход возможен лишь тогда, когда для определения положения тела в пространстве нам будет достаточно знать, в каком положении находится его центр масс. Также важно, чтобы условия задачи допускали исключение вращательной части движения тела.
2. С помощью теоремы движения центра масс системы мы можем не рассматривать в задачах неизвестные нам заранее внутренние силы.

Разберем пример применения теоремы для решения практической задачи.

Условие: к оси центробежной машины на нити подвешено кольцо из металла. Оно совершает равномерные вращательные движения с угловой скоростью, равной ω . Вычислите, на каком расстоянии центр кольца находится от оси вращения.

Решение

Очевидно, что система находится под воздействием силы тяжести N N ¯ α α . Также необходимо учесть силу натяжения нити и центростремительное ускорение.

Второй закон Ньютона для системы будет выглядеть так:

Теперь создадим проекции обеих частей равенства на оси абсцисс и ординат и получим:

N sin α = m a ; N cos α = m g .

Мы можем разделить одно уравнение на другое:

Поскольку a = υ 2 R , υ = ω R , то нужное нам уравнение будет выглядеть так:

Физический факультатив. Тема: «Импульс, центр масс, движение центра масс»

В работе рассмотрены некоторые задачи на движение центра масс, рассматриваемые на школьном факультативе по физике в Лицее научно-инженерного профиля города Королева. Представляется, что данная статья может быть полезной как для учителей физики школ с углубленным изучением предмета, так и для абитуриентов.

Импульс или количество движения материальной точки есть вектор, равный произведению массы этой точки m на вектор ее скорости v: .

Импульс силы – это вектор, равный произведению силы на время ее действия: . Если сила не является постоянным вектором, то под F следует понимать среднее значение вектора силы за рассматриваемый интервал времени.

Теорема об изменении импульса материальной точки. Пусть на материальную точку m действует постоянная сила F. Тогда

, или . Таким образом изменение импульса материальной точки равно импульсу силы, действующей на нее.

Импульс системы материальных точек равен по определению сумме импульсов всех N точек системы:

Изменение импульса системы материальных точек равно импульсу равнодействующей внешних сил, действующих на систему.

Изолированная (замкнутая) система – это такая система материальных точек, на которую не действуют внешние силы или их равнодействующая равна нулю.

Закон сохранения импульса: импульс изолированной системы материальных точек сохраняется, каково бы ни было взаимодействие между ними:

Если внешние силы, действующие на систему не равны нулю, но существует такое неизменное направление (например, ось OX), что сумма проекций внешних сил на это направление равна нулю, то проекция импульса системы на это направление сохраняется.

Центр масс системы материальных точек. Центром масс N материальных точек m₁, m₂,…, m_N, положения которых заданы радиус-векторами , называют воображаемую точку, радиус-вектор которой определяется формулой:

.

Тогда координаты центра масс равны:

,

,

.

Скоростью центра масс является вектор

,

где – скорость i-й точки.

Ускорением центра масс является вектор

где – ускорение i-й точки.

Теорема об ускорении центра масс системы материальных точек. Произведение суммы масс точек системы на ускорение центра масс равно сумме внешних сил, действующих на точки системы.

Если на систему материальных точек не действуют внешние силы, то скорость центра масс относительно любой инерциальной системы отсчета сохраняется, каково бы ни было взаимодействие внутри системы.

Если при этом скорость центра масс относительно некоторой инерциальной системы была равна нулю, то сохраняется и положение центра масс.

Два этих утверждения являются прямыми следствиями закона сохранения импульса.

Задача 1. Частица массы m движется со скоростью v, а частица массы 2m движется со скоростью 2v в направлении, перпендикулярном направлению движения первой частицы. На каждую частицу начинают действовать одинаковые силы. После прекращения действия сил первая частица движется со скоростью 2v направлении, обратном первоначальному. Определите скорость второй частицы. [1]

Изменение импульса частицы массой m вследствие действия импульса силы равно 3mv, следовательно вторая частица приобретает точно такой же импульс перпендикулярно направлению ее движения. Полный импульс второй частицы находится векторным сложением его составляющих по двум перпендикулярным направлениям и равен 5mv. Скорость второй частицы тогда равна 5v/2.

Задача 2. Ящик с песком массы М лежит на горизонтальной плоскости, коэффициент трения с которой равен µ. Под углом ? к вертикали в ящик со скоростью v влетает пуля массы m и почти мгновенно застревает в песке. Через какое время после попадания пули в ящик, начав двигаться, остановится? При каком значении ? он вообще не сдвинется? [1]

Решение. Изменение импульса системы материальных точек равно импульсу равнодействующей внешних сил, действующих на систему. По горизонтальной и вертикальной оси:

где u – скорость ящика сразу после того, как пуля в нем застрянет, N – реакция опоры, – время, за которое пуля застревает в песке. Из этих уравнений следует

Так как пуля застревает почти мгновенно последним членом в правой части можно пренебречь. После того, как пуля застрянет, ящик тормозит под действие силы трения с ускорением . Ящик останавливается за время . Ящик не сдвинется, если .

Задача 3. По наклонной плоскости, составляющей угол а с горизонтом, с постоянной скоростью v съезжает ящик с песком массой M. В него попадает летящая горизонтально пуля массой m, и ящик при этом останавливается. С какой скоростью u летела пуля?

Решение. Вдоль наклонной плоскости изменение импульса системы

Поперек наклонной плоскости

Тогда

и с учетом того, что (ящик съезжает с постоянной скоростью)

Задача 4. Обезьяна массы m уравновешена противовесом на блоке А. Блок А уравновешен грузом массы 2m на блоке В. Система неподвижна. Как будет двигаться груз, если обезьяна начнет равномерно выбирать веревку со скоростью u относительно себя? Массой блоков и трением пренебречь. [1]

Решение. Обезьяна получает импульс силы и начинает двигаться со скоростью v к потолку. Точно такой же импульс силы получает груз m и тоже движется со скоростью v к потолку. Груз массой 2m получает импульс силы и тоже движется со скоростью v к потолку. Блок А опускается вниз со скоростью v. груз m движется относительно блока А вверх со скоростью 2v. Веревка справа от блока А движется от потолка со скоростью 3v. относительно обезьяны веревка движется вниз со скоростью 4v. Отсюда .

Задача 5. Из однородной круглой пластины радиусом R вырезали круг вдвое меньшего радиуса, касающийся края пластины. Найти центр тяжести полученной пластины.

Решение. Пусть масса пластины до вырезания равна M. Тогда масса вырезанной части равна M/4. Предположим, что имеется в наличии вещество с отрицательной массой, Тогда вырез можно получить наложением на пластину пластинки с отрицательной массой —M/4. Тогда, поместив начало координат в центр круга и направив ось X направо, положение центра масс получаем из формулы для координаты центра масс:

.

Задача 6. На гладком полу стоит сосуд, заполненный водой плотности p₀; объем воды V₀. Оказавшийся на дне сосуда жук объема V и плотности p через некоторое время начинает ползти по дну сосуда со скоростью u относительно него. С какой скоростью станет двигаться сосуд по полу? Массой сосуда пренебречь, уровень воды все время остается горизонтальным. [1]

Решение. Пусть скорость сосуда v, тогда скорость жука относительно пола u+v. Импульс системы по горизонтальной оси сохраняется и равен нулю. Удобно рассматривать жука как совокупность воды массой и сублимированного вещества жука массой , которое перемещается относительно всей воды. Тогда импульс системы

и

Задача 7. На дне маленькой запаянной пробирки, подвешенной над столом на нити, сидит муха, масса которой равна массе пробирки, а расстояние от поверхности стола равно длине пробирки l. Нить пережигают, и за время падения пробирки муха перелетает со дна в верхний конец пробирки. Определить время, за которое пробирка достигнет стола.

Решение. Ускорение центра масс системы определяется силами тяжести, действующими на пробирку и муху, и равно g. За время падения центр масс системы переместился на l/2. Отсюда время падения .

Задача 8. На нити, перекинутой через блок, подвешены два груза неравной массы (m₂ > m₁). Определить ускорение центра масс этой системы. Массой блока и нити пренебречь. [2]

Решение. Ускорение тяжелого груза направлено вниз и, как известно, равно . Ускорение легкого груза такое же по модулю, но направлено вверх. Ускорение центра масс находим по формуле из теоретического раздела

Задача 9. В сосуде, наполненном водой плотности p, с ускорением а всплывает пузырек воздуха, объем которого V. Найдите силу давления со стороны сосуда на опору. Масса сосуда вместе с водой равна m. [1]

Решение. Будем рассматривать системы как совокупность сосуда с водой массой и шарика с отрицательной массой , который поднимается вверх с ускорением a. Тогда ускорение центра масс системы

и направлено вниз. Из теоремы об ускорении центра масс

, и отсюда сила давления на опору, численно равная реакции опоры N,

Задачи для самостоятельного решения.

Задача 10. С горы с уклоном a () съезжают с постоянной скоростью сани с седоком общей массой M. Навстречу саням бежит и запрыгивает в них собака массой m, имеющая при прыжке в момент отрыва от поверхности горы скорость v, направленную под углом () к горизонту. В результате этого сани продолжают двигаться по горе вниз со скоростью u. Найти скорость саней до прыжка собаки. (Билет 3, 1991, МФТИ) [3]

Ответ:

Задача 11. Человек, находящийся в лодке, переходит с носа на корму. На какое расстояние S переместится лодка длиной L, если масса человека m, а масса лодки M? Сопротивлением воды пренебречь.

Ответ:

Задача 12. На поверхности воды находится в покое лодка. Человек, находящийся в ней, переходит с кормы на нос. Как будет двигаться лодка, если сила сопротивления движению пропорциональна скорости лодки?

Ответ: Лодка сместится, а затем вернется в исходное положение.

Задача 13. На первоначально неподвижной тележке установлены два вертикальных цилиндрических сосуда, соединенных тонкой трубкой. Площадь сечения каждого сосуда S, расстояние между их осями l. Один из сосудов заполнен жидкостью плотности p. Кран на соединительной трубке открывают. Найдите скорость тележки в момент времени, когда скорость уровней жидкости равна v. Полная масса всей системы m. [1]

Ответ:

Задача 14. На тележке установлен цилиндрический сосуд с площадью сечения S, наполненный жидкостью плотности p. От сосуда параллельно полу отходит длинная и тонкая горизонтальная трубка, небольшой отрезок которой вблизи конца загнут по вертикали вниз. Расстояние от оси сосуда до отверстия трубки равно L. Уровень жидкости в сосуде опускается с ускорением а. Какой горизонтальной силой можно удержать тележку на месте? [1]

Ответ:

Литература.

1. Задачи по физике: Учеб. пособие/ И.И. Воробьев, П.И. Зубков, Г.А. Кутузова и др.; Под ред. О.Я. Савченко. ? 2-е изд., перераб. М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит. 1988. — 416 с.

2. Дмитриев С.Н., Васюков В.И., Струков Ю.А. Физика: Сборник задач для поступающих в вузы. Изд. 7-е, доп. М: Ориентир. 2005. – 312 с.

3. Методическое пособие для поступающих в вузы / Под. ред. Чешева Ю.В. М.: Физматкнига, 2006. – 288 с.