Уравнение для одномерного температурного поля

Одномерное температурное поле

Изменение температур только в одном направлении (см. рис. 5.1) представляется одномерным полем. В этом случае изотермы располагаются параллельно поверхностям ограждения. Уравнение имеет вид

. (5.2)

Решая это уравнение последовательно, получаем

и .

Для нахождения постоянных С₁ и С₂ задаемся граничными условиями:

при х = δ имеем t = t₂, тогда _.

Используя значения постоянных, получаем уравнение распределения температур в пределах однородной однослойной конструкции

. (5.3)

Полученное уравнение является прямой линией.

Рис. 5.1 – Схема одномерного температурного поля: в однородной однослойной конструкции (а); в многослойной из однородных слоев (б)

В инженерных расчетах возникает необходимость определять значение температуры на внутренней поверхности, τ_в. Ее величина определяется из соотношения , откуда

. (5.4)

Можно также найти температуру в любой плоскости ограждения (τ_х) на расстоянии х от внутренней поверхности, если известно термическое сопротивление этой части ограждения R_x,по формуле

. (5.5)

Дата добавления: 2015-07-24 ; просмотров: 1652 ; ЗАКАЗАТЬ НАПИСАНИЕ РАБОТЫ

Одномерное температурное поле

ТЕМПЕРАТУРНЫЕ ПОЛЯ

Для математического описания процесса теплопроводности пользуются дифференциальным уравнением теплопроводности, которое выводится из баланса тепла в элементарном объеме тела или среды.

Схема распределения температур в плоскости или пространстве называется температурным полем. Графически температурное поле может быть изображено семейством кривых изотерм — линий равных температур.

При стационарных условиях в любой точке пространства температура есть величина постоянная, а значит справедливо уравнение Лапласа

. (6.1)

Одномерное температурное поле

Изменение температур только в одном направлении (рис. 6.1) представляется одномерным температурным полем. В этом случае изотермы располагаются параллельно поверхностям ограждения. Уравнение имеет вид

. (6.2)

Решая это уравнение последовательно, получаем

и .

Для нахождения постоянных С₁ і С₂ задаются граничными условиями:

при х = δ будет t = t₂, тогда _.

Здесь t₁ та t₂ – температуры соответственно на внутренней и внешней поверхности ограждения.

Используя значения постоянных, получаем уравнение распределения температур в пределах однородной однослойной конструкции

. (6.3)

Полученное уравнение является прямой линией, демонстрирует рис.6.1.

Рис.6.1 — Схема одномерного температурного поля: в однородной однослойной конструкции (а); в многослойной из однородных слоев (б).

В инженерных расчетах возникает необходимость определять значение температуры на внутренней поверхности, τ_в. Ее величина определяется из соотношения

, откуда

. (6.4)

Можно также найти температуру в любой плоскости ограждения (τ_х) на расстоянии х от внутренней поверхности, если известно термическое сопротивление этой части ограждения R_x по формуле

. (6.5)

Дата добавления: 2017-06-13 ; просмотров: 4624 ; ЗАКАЗАТЬ НАПИСАНИЕ РАБОТЫ

Тема 9.Теплопроводность

9.1. Температурное поле. Уравнение теплопроводности

Будем рассматривать только однородные и изотропные тела, т.е. такие тела, которые обладают одинаковыми физическими свойствами по всем направлениям. При передачи теплоты в твердом теле, температура тела будет изменяться по всему объему тела и во времени. Совокупность значений температуры в данный момент времени для всех точек изучаемого пространства называется температурным полем:

где:t –температура тела;

x,y,z -координаты точки;

Такое температурное поле называется нестационарным ∂t/∂ i ¹ 0, т.е. соответствует неустановившемуся тепловому режиму теплопроводности

Если температура тела функция только координат и не изменяется с течением времени, то температурное поле называется стационарным:

t = f(x,y,z) , ∂t/∂ i = 0 (9.2)

Уравнение двухмерного температурного поля:

для нестационарного режима:

t = f(x,y,τ) ; ∂t/∂z = 0 (9.3)

для стационарного режима:

t = f(x,y) , ∂t/∂z = 0; ∂t/∂ i = 0 (9.4)

Уравнение одномерного температурного поля:

для нестационарного режима:

t = f(x,τ) ; ∂t/∂y = ∂t/∂z = 0; ∂t/∂ i ¹ 0 (9.5)

для стационарного режима:

t = f(x) ; ∂t/∂y = ∂t/∂z = 0; ∂t/∂ i = 0 (9.6)

Изотермической поверхностью называется поверхность тела с одинаковыми температурой.

Рассмотрим две изотермические поверхности (Рис.9.1) с температурами t и t + ∆t. Градиентом температуры называют предел отношения изменения температуры∆t к расстоянию между изотермами по нормали ∆n, когда стремится к нулю:

Температурный градиент-это вектор, направленной по нормали к изотермической поверхности в сторону возрастания температуры и численно равный производной температуры t по нормалиn:

Количество теплоты, проходящее через изотермическую поверхность F в единицу времени называется тепловым потоком – Q, [Вт=Дж/с].

Тепловой поток, проходящий через единицу площади называют плотностью теплового потока – q = Q / F, [Вт/м 2 ]

Для твердого тела уравнение теплопроводности подчиняется закону Фурье:

Тепловой поток, передаваемая теплопроводностью, пропорциональна градиенту температуры и площади сечения, перпендикулярного направлению теплового потока.

q = -λ ∙ ∂t/∂n ∙n_o = -λ∙gradt , (9.9)

где: q – вектор плотности теплового потока;

Численное значение вектора плотности теплового потока равна:

q = -λ∙ ∂t/∂n = -λ∙|gradt| , (9.10)

Коэффициент теплопроводности является физическим параметром вещества, характеризующим способность тела проводит теплоту, Она зависит от рода вещества, давления и температуры. Также на её величину влияет влажность вещества. Для большинства веществ коэффициент теплопроводности определяются опытным путем и для технических расчетов берут из справочной литературы.