Уравнение для определения главных напряжений

Тензор напряжений обладает свойством симметрии. Для доказательства этого свойства рассмотрим приведенный в лекции 5 элементарный параллелепипед с действующими на его площадках компонентами тензора напряжений. Так как тело находится в равновесии, следовательно, находится в равновесии любая его часть, в том числе и элементарный объем. Запишем одно из шести уравнений равновесия этого объема, а именно — сумму моментов всех сил относительно оси Ох. Все силы, кроме двух, либо не создают момента относительно ocи Ох, либо взаимно уничтожаются. Отличные от нуля моменты создают компоненты (верхняя грань) и (права грань):

После сокращения на элемент объема dV=dxdydz получим

Аналогично, приравнивая нулю сумму моментов всех сил относительно осей Оу и Ог, получим еще два соотношения

Эти условия симметрии и тензора напряжений называются также условиями парности касательных напряжений: касательные напряжения, действующие по двум взаимно перпендикулярным площадкам в направлениях, ортогональных ребру, образованному пересечением этих площадок, равны по величине. С учетом этих свойств из девяти компонент тензора напряжений независимыми оказываются шесть компонент.

Покажем теперь, что компоненты тензора напряжений определенные для трех взаимно перпендикулярных площадок, полностью характеризуют напряженное состояние в точке, т. е. позволяют вычислить компоненты вектора напряжений на площадках, произвольно ориентированных относительно выбранной системы координат. Для этого рассмотрим элементарный объем, образованный сечением параллелепипеда, изображенного на рис. 1, плоскостью, пересекающей координатные оси и имеющей единичный вектор нормали

Рис.1. Элементарный четырехгранник с компонентами напряженного состояния.

п с компонентами n_x, n_y, n_z. На гранях полученного таким образом бесконечно малого тетраэдра действуют напряжения, показанные на рис. 1. При этом вектор напряжений p_n на наклонной площадке разложен па составляющие р_x, р_y, р_z вдоль координатных осей. Площади граней, ортогональных координатным осям и вектору нормали, обозначим соответственно dF_x, dF_y, dF_z, dF. Эти площади связаны между собой соотношениями

вытекающими из того, что грани, ортогональные координатным осям, есть проекции наклонной площадки на соответствующую координатную плоскость.

Проектируя силы, действующие на гранях элементарного тетраэдра, на координатные оси, получим уравнения равновесия для рассматриваемого объема. Например, проекции всех поверхностных сил на ось Ох дают

С учетом соотношений (1) после сокращения на dF получим уравнение, связывающее проекцию р_x вектора напряжений с соответствующими компонентами тензора напряжений. Объединяя это уравнение с двумя аналогичными уравнениями, полученными проектированием сил на оси Оy и Оz, приходим к следующим соотношениям

носящим название формул Коши. Эти формулы определяют вектор напряжений на произвольно выбранной площадке с вектором п через компоненты тензора напряжений.

Формулы (2) позволяют вычислить через компоненты тензора напряжений

ОСНОВЫ ТЕОРИИ НАПРЯЖЕННОГО СОСТОЯНИЯ

Подставим выражения закона Гука в уравнение совместности деформаций:

Решая данное уравнение совместно с уравнениями равновесия, найдем неизвестные внутренние усилия в стержнях.

ОСНОВЫ ТЕОРИИ НАПРЯЖЕННОГО СОСТОЯНИЯ

Напряжения в точке. Главные напряжения и главные площадки.

Напряжения являются результатом взаимодействия частиц тела при его нагружении. Внешние сипы стремятся изменить взаимное расположение частиц, а возникающие при этом напряжения препятствуют их смещению. Расположенная в данной точке частица по-разному взаимодействует с каждой из соседних частиц. Поэтому в общем случае в одной и той же точке напряжения различны по различным направлениям.

В сложных случаях действия сил на брус (в отличие от растяжения или сжатия) вопрос об определении наибольших напряжений, а также положения площадок, на которых они дей­ствуют, усложняется. Для решения этого вопроса приходится специально исследовать за­коны изменения напряжений при изменении положения площадок, проходящих через данную точку. Возникает проблема исследования напряженного состояния в точке деформируемого тела.

Напряженное состояние в точке — совокупность напряжений (нормальных и касательных), действующих по всевозможным площадкам (сечениям), проведенным через эту точку.

Изучение напряженного состояния дает возможность анализировать прочность материала для любого случая нагружения тела.

Исследуя напряженное состояние в данной точке деформируемого тела, в ее окрестно­сти выделяют бесконечно малый (элемен­тарный) параллелепипед, ребра которого направлены вдоль соответствующих координатных осей. При действии на тело внешних сил на каждой из граней элемен­тарного параллелепипеда возникают на­пряжения, которые представляют нормаль­ными и касательными напряжениями проекциями полных напряжений на коор­динатные оси (рис. 5.1).

Нормальные напряжения обозначают буквой σ с индексом, соответствующим нормали к площадке, на которой они действуют. Касательные напряже­ния обозначают буквой τ с двумя индексами: первый соответствует нормали к площадке, а второй — направлению самого напряжения (или наоборот).

Таким образом, на гранях элементарного параллелепипеда, выделенного в окрестности точки нагруженного тела, действует девять компонентов напря­жения. Их можно записать в виде следующей квадратной матрицы:

σ_х τ_ху τ_хz

Эта совокупность напряжений называется тензором напряжений.

Тензор напряжений полностью описывает напряженное состояние в точке, то есть если известен тензор напряжений в данной точке, то можно найти напряжения на любой из площадок, проходящих через данную точку (заметим, что тензор представляет собой особый математический объект, компоненты которого при повороте координатных осей подчиняются специфическим правилам тензорного преобразования, при этом тензорное исчисление составляет отдельный раздел высшей математики и здесь не рассматривается).

Используем принятое правило знаков для напряжений в общем виде. Нормальное напряжение σсчитается положительным, если совпадает по направлению с внешней нормалью к площадке, касательные напряжения τ считаются положительными, если вектор касательных напряжений следует поворачивать против хода часовой стрелки до совпадения с внешней нормалью (рис. 5.2). Отрицательными считаются напряжения обратных направлений.

Не все девять компонентов напряжений, действующих на гранях параллеле­пипеда, независимые (несвязанные друг с другом). В этом легко убедится, составив уравнения равновесия элемента в отношении его вращений относи­тельно координатных осей. Записав уравнения моментов от сил, действую­щих по граням параллелепипеда, и пренебрегая их изменением при переходе от одной грани к другой ей параллельной, получим, что

Данные равенства называют законом парности касательных на­пряжений.

Закон парности касательных напряжений:по двум взаимно перпендикуляр­ным площадкам касательные напряжения, перпендикулярные линии пересе­чения этих площадок, равны между собой.

Закон парности касательных напряжений устанавливает зависимость между величинами и направлениями пар касательных напряжений, действующих по взаимно перпендикулярным площадкам элементарного параллелепипеда.

В окрестности исследуемой точки можно выделить бесконечное множество взаимно перпендикулярных площадок. В том числе можно найти и такие площадки, на которых действуют только нормальные напряжения, а каса­тельные напряжения равны нулю. Такие площадки называют главными (более точно – площадки главных напряжений).

Рассмотрим две взаимно перпендикулярные площадки с касательными напряжениями τ_ху и τ_ух . Согласно закону парности касательных напряжений эти напряжения равны. Поэтому, если площадку с напряжением τ_ху поворачивать до совпадения с площадкой с напряжением τ_ух , то обязательно найдется такое положение площадки, когда касательное напряжение τ = 0.

Главные площадки— три взаимно перпендикулярные площадки в окрестно­сти исследуемой точки, на которых касательные напряжения равны нулю.

Главные напряжения— нормальные напряжения, действующие по главным площадкам (то есть площадкам, на которых отсутствуют касательные напряжения).

На главных площадках нормальные напряжения (главные напряжения) принимают свои экстремальные значения – максимум σ₁ , минимум σ₃ .

Тензор напряжений, записанный через главные напряжения, принимает наиболее простой вид:

σ₁ 0 0

В зависимости от того, сколько главных напряжений действует в окрестности данной точки, различают три вида напряженного состояния:

1) линейное (одноосное) — если одно главное напряжение отлично от нуля, а два других равны нулю (σ₁ ≠0, σ₂ = 0, σ₃ = 0);

2) плоское (двухосное) — если два главных напряжения отличны от нуля, а одно равно нулю (σ₁ ≠0, σ₂ ≠ 0, σ₃ = 0);

3) объемное (трехосное) — если все три главных напряжения отличны от нуля (σ₁ ≠0, σ₂ ≠ 0, σ₃ ≠ 0).

Рис. 5.3

Линейное напряженное состояние

Линейным или одноосным называется напряженное состояние, при котором два из трех главных напряжений равны нулю (рис. 5.3, а).

Элементы, находящиеся в линейном напряженном состоянии, можно выделить в окрест­ности некоторых точек стержня, работающего на изгиб, иногда — при сложном нагружении, но главным образом на растяжение или сжатие.

Рассмотрим стержень, испытывающий простое растяжение (рис.5.4). Нормальные напряжения в его по­перечных сечениях определяются следующим образом:

σ₃ = = .

Касательные напряжения здесь равны нулю. Следовательно, эти сечения являются главными площадками (σ₁ = σ₀).

Перейдем теперь к определению напряжений на неглавных, наклонных площадках. Выделим площадку, нормаль к которой составляет с осью стержня угол α (рис. 5.5). Проведенную таким образом наклонную площадку будем обозначать α -площадкой, а действующие на ней полные, нор­мальные и касательные напряжения — р_α, σ _α, τ_α соответственно. При этом площадь α -площадки (А_α)связана с площадью поперечного сечения стержня (А₀)следующим образом: А_α = А₀ /cos α .

Для определения напряжений воспользуемся методом мысленных сечений. Считая, что наклонная площадка рассекла стержень на две части, отбросим одну из них (верхнюю) и рассмотрим равновесие оставшейся (нижней). Осевая сила (N) в сечении представляет собой равнодействующую полных на­пряжений р_α . Следовательно,

р_α= = cos α = σ₀ cos α.

Нормальные и касательные напряжения определим, проецируя полное на­пряжение на нормаль и плоскость α -площадки соответственно:

Из анализа формул видно, что:

1) На площадках, перпендикулярных оси, касательные напряжения равны нулю (такие площадки называются главными, а действующие на них нормальные напряжения – главными нормальными напряжениями), т.е. при α = 0 в поперечных сечениях стержня τ_α = 0, σ _α = σ₀ (σ₁ = σ₀, σ₂ = 0, σ₃ = 0);

2) На площадках, параллельных оси, никаких напряжений нет, поэтому это также главная площадка, т.е. при α = π / 2 в поперечных сечениях стержня τ_α = 0, σ _α = 0;

3) Наибольшие нормальные напряжения действуют в поперечных сечениях, а наибольшие касательные – на площадках, наклоненных к ним под углом 45°, т.е. при α = ± π / 4 в поперечных сечениях стержня возникают максимальные касательные напряжения τ_α = τ_max= σ₀ / 2 (нормальные напряжения σ_α = σ₀ / 2).

Напряжения на наклонных площадках при плоском напряженном состоянии

Плоским или двухосным называется напряженное состояние, при котором одно из трех главных напряжений равно нулю (рис. 5.3, б).

Плоское (двухосное) напряженное состояние встречается при кручении, изгибе и сложном сопротивлении и является одним из наиболее распространенных видов напряженного со­стояния.

Определим напряжения на наклонных пло­щадках при плоском напряженном состоя­нии. Рассмотрим элементарный параллеле­пипед, грани которого являются главными площадками (рис. 5.6). По ним действуют положи­тельные напряжения σ₁ и σ₂ , а третье глав­ное напряжение σ₃ = 0.

Проведем сечение, нормаль к которому по­вернута на угол α от большего из двух глав­ных напряжений (σ₁) против часовой стрел­ки (положительное направление α). Напря­жения σ_α и τ_α на этой площадке будут вызываться как действием σ₁. так и действием σ₂.

Запишем правила знаков. Будем считать положительными следующие направления напряжений и углов: нормальные напряжения σ — растягивающие: касательные напряжения τ — вращающие элемент по часовой стрелке: угол α — против часовой стрелки от наибольшего из главных напряжений (α 2 α;

Напряжения σ_α΄΄, τ_α΄΄, вызванные действием σ₂, можно найти аналогично, но при этом необходимо учесть, что вместо угла α в формулы необходимо под­ставить угол β = — (90°— α ) — угол между α -площадкой и напряжением σ₂.Отсюда получим

Окончательно можем записать

σ_α = σ₁ cos 2 α + σ₂ sin 2 α = + cos2α; (5.2)

τ_α = 0,5 σ₁ sin 2α — 0,5 σ₂ sin2 α = sin2α. (5.3)

Дата добавления: 2015-02-07 ; просмотров: 2363 ; ЗАКАЗАТЬ НАПИСАНИЕ РАБОТЫ

Определение главных напряжений и главных площадок

Если по граням выделенного элементарного параллелепипеда действуют одни только нормальные напряжения, то они называются главными напряжениями , а площадки, на которых они действуют, называются главными площадками . Можно доказать, что в каждой точке напряженного тела существуют три главные взаимно перпендикулярные площадки (рис.3.6.). Главные напряжения обозначают s 1 , s 2 , s 3 . При этом большее (с учетом знака) главное напряжение обозначается s 1 , а меньшее (с учетом знака) обозначается s 3 . Различные виды напряженного состояния классифицируются в зависимости от числа возникающих главных напряжений. Если отличны от нуля все три главных напряжения, то напряженное состояние называется трехосным или объемным (рис. 3.6). Если равно нулю одно из главных напряжений, то напряженное состояние называется двухосным или плоским . Если равны нулю два главных напряжения, то напряженное состояние называется одноосным или линейным .

Рис. 3.6. Главные напряжения

Для определения главных напряжений предположим, что площадка abc (рис. 3.5) является главной площадкой. Тогда на ней будут действовать только нормальные напряжения, то есть главные напряжения будут равны полным напряжениям p . В этом случае компоненты вектора полного напряжения p 1 , p 2 , p 3 можно рассматривать как проекции главных напряжений на оси координат:

.

Подставив это условие в уравнение (3.9), получим

.

Эти уравнения можно рассматривать как систему линейных однородных уравнений относительно направляющих косинусов. В силу известного соотношения:

направляющие косинусы не могут одновременно иметь нулевые значения. В этом случае определитель, составленный из коэффициентов системы (3.16) должен быть равен нулю:

Раскрыв определитель, получим характеристическое уравнение третьего порядка:

,

,

называются инвариантами напряженного состояния в точке, так как они не изменяют своей величины при изменении направления исходной системы прямоугольных координат. Можно доказать существование трех действительных корней уравнения (3.19). На основании этого можно считать, что в каждой точке тела, независимо от его формы и размеров, места приложения, вида и характера нагрузок, существует не более трех взаимно ортогональных главных напряжения.

Для определения положения главных площадок необходимо знать направляющие косинусы нормали к этой площадке. Для их определения следует воспользоваться системой уравнений (3.16). Однако равенство нулю определителя этой системы указывает на то, что не все уравнения системы являются линейно независимыми; одно из них есть следствие двух других. Чтобы сделать систему определенной, надо добавить к ней равенство (3.17). После этого число независимых уравнений становится достаточным для однозначного определения направляющих косинусов.