Уравнение для относительного движения жидкости

Уравнение Бернулли для относительного движения

Уравнение Бернулли в формулах и справедливо в тех случаях установившегося течения жидкости, когда из массовых сил на жидкость действует лишь сила тяжести. Однако иногда приходится рассматривать такие течения, при расчете которых кроме силы тяжести следует учитывать силы инерции переносного движения. Если инерционная сила постоянна по времени, то течение жидкости относительно стенок русла может быть установившимся, и для него можно вывести уравнение Бернулли

делали и. В левую часть уравнения к работе сил давления и тяжести следует добавить работу силы инерции, действующую на элемент струйки весом dG при его перемещении из сечения 1—1 в сечение 2—2. Затем эту работу, как и другие члены уравнения делим на dG, т. е. относим к единице веса, и, получив некоторый напор, переносим его в правую часть уравнения. Получим уравнение Бернулли для относительного движения, которое в случае реального потока принимает вид

где δНин — так называемый инерционный напор, который представляет собой работу силы инерции, отнесенную к единице веса и взятую с обратным знаком (обратный знак обусловлен тем, что эта работа перенесена из левой части уравнения в правую).

Прямолинейное равноускоренное движение русла. Если русло, по которому течет жидкость, движется прямолинейно с постоянным ускорением α (рис. 1.30, а), то на все частицы жидкости действует одинаковая и постоянная по времени сила инерции переносного движения, которая может способствовать или препятствовать течению. Если эту силу отнести к единице массы, то она будет равна соответствующему ускорению α и направлена в сторону, обратную ему, а на каждую единицу веса жидкости будет действовать сила инерции alg. Работа этой силы при перемещении жидкости из сечения 1— 1 в сечение 2—2 (так же, как и работа силы тяжести) не зависит от формы пути, а определяется лишь разностью координат, отсчитываемых в направлении ускорения а, следовательно,

где 1_а — проекция рассматриваемого участка русла на направление ускоре­ния а.

Если уско­рение α направлено от сечения 1—1 к сечению 2—2, а сила инерции — наоборот, то эта сила препятствует течению жидкости, и инерционный напор должен иметь знак плюс. В этом случае инерционный напор уменьшает напор в сечении

2—2 по сравнению с напором в сечении 1—1 и, следовательно, аналогичен гидравлическим потерям Σ h_a, которые всегда входят в правую часть уравнения Бернулли со знаком плюс. Если же ускорение α направлено от сечения 2—2 к сечению 1—1, то сила инерции способствует течению и инерционный напор должен иметь знак минус. В этом случае инерционный напор будет увеличивать напор в сечении 2—2, т. е. будет как бы уменьшать гидравлические потери.

2. Вращение русла вокруг вертикальной оси. Пусть русло, по которому движется жидкость, вращается вокруг вертикальной оси с постоянной угловой скоростью ω (рис. 1.30, б). Тогда на жидкость действует сила инерции враща­тельного движения, являющаяся функцией радиуса. Поэтому для подсчета работы этой силы или изменения потенциальной анергии, обусловленной ее действием, необходимо применить интегрирование.

Дата добавления: 2015-04-18 ; просмотров: 17 ; Нарушение авторских прав

Кратко о гидродинамике: уравнения движения

Написав предыдущий пост, исторический и отчасти рекламный (хотя потенциальные абитуриенты такое вряд ли читают), можно перейти и к разговору «по существу». К сожалению, высокой степени популярности описания добиться вряд ли получится, но всё же постараюсь не устраивать курс сухих лекций. Хотя, от сухости избавиться не удалось, да и пост писался в результате ровно месяц.

В нынешней публикации описаны основные уравнения движения идеальной и вязкой жидкости. По возможности кратко рассмотрен их вывод и физический смысл, а также описаны несколько простейших примеров их точных решений. Увы, этими несколькими примерами доступные аналитически решения уравнений Навье-Стокса в значительной мере исчерпываются. Напомню, что Институт Клэя отнёс доказательство существования и гладкости решений к проблемам тысячелетия. Гении уровня Перельмана и выше — задача вас ждёт.

Понятие сплошной среды

В, если можно так выразиться, «традиционной» гидродинамике, сложившейся исторически, фундаментом является модель сплошной среды. Она отвлекается от молекулярной структуры вещества, и описывает среду несколькими непрерывными полевыми величинами: плотностью, скоростью (определяемой через суммарный импульс молекул в заданном элементе объёма) и давлением. Модель сплошной среды предполагает, что в любом бесконечно малом объёме содержится ещё достаточно много частиц (как принято говорить, термодинамически много — числа, близкие по порядку величины к числу Авогадро — 10 23 шт.). Таким образом, модель ограничена снизу дискретностью молекулярной структуры жидкости, что в задачах типичных пространственных масштабов совершенно несущественно.

Однако, такой подход позволяет описать не только воду в пробирке или водоёме, и оказывается куда более универсальным. Поскольку наша Вселенная на больших масштабах практически однородна, то, как ни странно, она начиная с некоторого масштаба превосходно описывается как сплошная среда, с учётом, конечно же, самогравитации.

Другими, более приземлёнными применениями сплошной среды являются описание свойств упругих тел, динамики плазмы, сыпучих тел. Также можно описывать топлу людей как сжимаемую жидкость.

Параллельно с приближением сплошной среды, в последние годы набирает обороты кинетическая модель, основанная на дискретизации среды на небольшие частицы, взаимодействующие между собой (в простейшем случае — как твердые шарики, отталкивающиеся при столкновении). Такой подход возник в первую очередь благодаря развитию вычислительной техники, однако существенно новых результатов в чистую гидродинамику не превнёс, хотя оказался крайне полезен для задач физики плазмы, которая на микроуровне не является однородной, а содержит электроны и положительно заряженные ионы. Ну и опять же для моделирования Вселенной.

Уравнение неразрывности. Закон сохранения массы

Самый элементарный закон. Пусть у нас есть какой-то совершенно произвольный, но макроскопический объём жидкости V, ограниченный поверхностью F (см. рис.). Масса жидкости внутри него определяется интегралом:

И пусть с жидкостью внутри него не происходит ничего, кроме движения. То есть, там нет химических реакций и фазовых переходов, нет трубок с насосами или чёрных дыр. Ну и всё происходит с маленькими скоростями и для малых масс вещества, потому никакой теории относительности, искривления пространства, самогравитации жидкости (она становится существенна на звёздных масштабах). И пусть сам объём и границы еего неподвижны. Тогда единственное, что может изменить массу жидкости в нашем объёме — это её перетекание через границу объёма (для определённости — пусть масса в объёме убывает):

где вектор j — поток вещества через границу. Точкой, напомним, обозначается скалярное произведение. Поскольку границы объёма, как было сказано, неподвижны, то производную по времени можно внести под интеграл. А правую часть можно преобразовать к такому же, как слева, интегралу по объёму по теореме Гаусса-Остроградского.

В итоге, в обеих частях равенства получается интеграл по одному и тому же совершенно произвольному объёму, что позволяет приравнять подинтегральные выражения и перейти к дифференциальной форме уравнения:

Здесь (и далее) использован векторный оператор Гамильтона. Образно говоря, это условный вектор, компоненты которого — операторы дифференцирования по соответствующим координатам. С его помощью можно очень кратко обозначать разного рода операции над скалярами, векторами, тензорами высших рангов и прочей математической нечистью, основные среди которых — градиент, дивергенция и ротор. Не буду останавливаться на них детально, поскольку это отвлекает от основной темы.

Наконец, поток вещества равен массе, переносимой через единичную площадку за единицу времени:

Окончательно, закон сохранения массы (называемый также уравнением неразрывности) для сплошной среды таков:

Это выражение наиболее общее, для среды, обладающей переменной плотностью. В реальности, эксперимент свидетельствует о крайне слабой сжимаемости жидкости и практически постоянном значении плотности, что с высокой точностью позволяет применять закон сохранения массы в виде условия несжимаемости:

которое с не менее хорошей точностью работает и для газов, пока скорость течения мала по сравнению со звуковой.

Уравнение Эйлера. Закон сохранения импульса

Весь относительно громоздкий процесс колдовства преобразования интегралов, использованный выше, даёт нам не только уравнение неразрывности. Точно такие же по сути преобразования позволяют выразить законы сохранения импульса и энергии, и получить в итоге уравнения для скорости жидкости и для переноса тепла в ней. Однако пока не будем сильно торопиться, и займёмся не просто сохранением импульса, а даже сохранением импульса в идеальной несжимаемой жидкости — т.е. рассмотрим модель с полным отсутствием вязкости.

Рассуждения практически те же самые, только теперь нас интересует не масса, а полный импульс жидкости в том же самом объёме V. Он равен:

При тех же самых условиях, что и выше, импульс в объёме может меняться за счёт:

• конвективного переноса — т.е. импульс «утекает» вместе со скоростью через границу
• давления окружающих элементов жидкости
• просто за счёт внешних сил, например — от силы тяжести.

Соответствующие интегралы (порядок отвечает списку) дают такое соотношение:

Начнём их преобразовывать. Правда, для этого нужно воспользоваться тензорным анализом и правилами работы с индексами. Конкретнее, к первому и второму интегралам применяется теорема Гаусса-Остроградского в обобщённой форме (она работает не только для векторных полей). И если перейти к дифференциальной форме уравнения, то получится следующее:

Крестик в кружочке обозначает тензорное произведение, в данном случае — векторов.

В принципе, это уже уравнение Эйлера, однако его можно чуток упростить — ведь закон сохранения массы никто не отменял. Раскрыв здесь скобки в дифференциальных операторах и приведя затем подобные слагаемые, мы увидим, что три слагаемых благополучно собираются в уравнение неразрывности, и потому дают в сумме ноль. Итоговое уравнение оказывается таким:

Если перейти в систему отсчёта, связанную с движущейся жидкостью (не будем заострять внимание на том, как это делается), мы увидим, что уравнение Эйлера выражает второй закон Ньютона для единицы объёма среды.

Учёт вязкости. Уравнение Навье-Стокса

Идеальная жидкость, это, конечно, хорошо (правда, всё равно точно не решается), но во многих случаях учёт вязкости необходим. Даже в той же конвекции, в течении жидкости по трубам. Без вязкости вода вытекала бы из наших кранов с космическими скоростями, а малейшая неоднородность температуры в воде приводила бы к её крайне быстрому и бурному перемешиванию. Потому давайте учтём сопротивление жидкости самой себе.

Дополнить уравнение Эйлера можно различными (но эквивалентными, конечно же) путями. Воспользуемся базовой техникой тензорного анализа — индексной формой записи уравнения. И пока также отбросим внешние силы, чтобы не путались под руками / под ногами / перед глазами (нужное подчеркнуть). При таком раскладе всё, кроме производной по времени, можно собрать в виде дивергенции одного такого тензора:

По смыслу, это плотность потока импульса в жидкости. К нему и нужно добавить вязкие силы в виде ещё одного тензорного слагаемого. Поскольку они явно приводят к потере энергии (и импульса), то они должны вычитаться:

Идя обратно в уравнение с таким тензором, мы получим обобщённое уравнение движения вязкой жидкости:

Оно допускает любой закон для вязкости.

Принято считать очевидным, что сопротивление зависит от скорости движения. Вязкость же, как перенос импульса между участками жидкости с различными скоростями, зависит от градиента скорости (но не от самой скорости — тому мешает принцип относительности). Если ограничиться разложением этой зависимости до линейных слагаемых, получится вот такой жутковатый объект:

в котором величина перед производной содержит 81 коэффициент. Однако, используя ряд совершенно разумных предположений об однородности и изотропности жидкости, от 81 коэффициента можно перейти всего к двум, и в общем случае для сжимаемой среды, тензор вязких напряжений равен:

где η (эта) — сдвиговая вязкость, а ζ (зета или дзета) — объёмная вязкость. Если же среда ещё и несжимаема, то достаточно одного коэффициента сдвиговой вязкости, т.к. второе слагаемое при этом уходит. Такой закон вязкости

носит название закона Навье, а полученное при его подстановке уравнение движения — это уравнение Навье-Стокса:

Точные решения

Главной проблемой гидродинамики является отсутствие точных решений её уравнений. Как бы с этим ни боролись, но получить действительно всеобщих результатов не удаётся до сих пор, и, напомню, вопрос существования и гладкости решений уравнений Навье-Стокса входит в список Проблем тысячелетия института Клэя.

Однако, несмотря на столь грустные факты, некоторые результаты есть. Здесь будут представлены далеко не все, а лишь самые простые случаи.

Потенциальные течения

Особый интерес представляют течения, в которых жидкость не завихряется. Для такой ситуации можно отказаться от рассмотрения векторного поля скорости, поскольку она выражается через градиент скалярной функции — потенциала. Потенциал же удовлетворяет хорошо изученному уравнению Лапласа, решение которого полностью определяется тем, что задано на границах рассматриваемой области:

Более того, при отсутствии вязкости из уравнения Эйлера можно однозначно выразить и давление, что вовсе замечательно и приводит нас к полному решению задачи. Ах, если бы так было всегда… то гидродинамики, наверное, уже бы и не было как современной и актуальной отрасли.

Дополнительно можно упростить задачу предположением, что течение жидкости двумерно — скажем, всё движется в плоскости (x,y), и ни одна частица не перемещается вдоль оси z. Можно показать, что в таком случае скорость может быть также заменена скалярной функцией (на этот раз — функцией тока):

которая при потенциальном течении удовлетворяет условиям Коши-Лагранжа из теории функций комплексной переменной и воспользоваться соответствующим математическим аппаратом. Полностью совпадающим с аппаратом электростатики. Теория потенциальных течений развита на высоком уровне, и в принципе хорошо описывает большой спектр задач.

Простые течения вязкой жидкости

Решения для вязкой жидкости чаще всего удаётся получить, когда из уравнения Навье-Стокса благодаря свойствам симметрии задачи выпадает нелинейное слагаемое.

Сдвиговое течение Куэтта

Самая элементарная задачка. Канал с неподвижной нижней и подвижной верхней стенкой, которая движется равномерно с некоторой скоростью. На границах жидкость прилипает к ним, так что скорость жидкости равна скорости границы. Этот результат является экспериментальным фактом, и как-то даже авторы первых экспериментов не упоминаются, просто — по совокупности экспериментов.

В такой ситуации от уравнения Навье-Стокса останется уравнение вида v» = 0, и потому профиль скорости в канале окажется линейным:

Данная задача является практически базовой для теории смазки, т.к. позволяет непосредственно определить силу, которую требуется приложить к верхней стенке для её движения с конкретной скоростью.

Течение Пуазейля

Вторая по элементарности — ламинарное течение в канале. Или в трубе. Результат оказывается один — профиль скорости является параболическим:

На основе решения Пуазейля можно определить расход жидкости через сечение канала, но, правда, только при ламинарном течении и гладких стенках. С другой стороны, для турбулентного потока и шероховатых стенок точных решений нет, а есть лишь приближённые эмпирические закономерности.

Стекание слоя жидкости по наклонной плоскости

Тут — почти как в задаче Пуазейля, только верхняя граница жидкости будет свободной. Если предположить, что по ней не бегут никакие волны, и вообще сверху нет трения, то профиль скорости будет практически нижней половинкой предыдущего рисунка. Правда, если из полученной зависимости вычислить скорость течения для средней равнинной речки, она составит около 10 км/с, и вода должна самопроизвольно отправляться в космос. Наблюдаемые в природе низкие скорости течения связаны с развитой завихренностью и турбулентностью потока, которые эффективно увеличивают вязкость воды примерно в 1 млн. раз.

В следующем посте планируется рассказать о законе сохранения энергии и соответствующих ему уравнениях переноса тепла при течении жидкости.

1.3 Относительное движение жидкости и твердого тела

3. ОТНОСИТЕЛЬНОЕ ДВИЖЕНИЕ ЖИДКОСТИ И ТВЕРДОГО ТЕЛА

3.1. ОСНОВНЫЕ ОПРЕДЕЛЕНИЯ ТЕОРИИ ОТНОСИТЕЛЬНОГО ДВИЖЕНИЕ ЖИДКОСТИ И ТВЕРДОГО ТЕЛА

3.1.1. Общие понятия

При обтекании твердого тела потоком жидкости или при движении твердого тела в покоящейся жидкости воз­никают гидравлические сопротивления. Эти сопротивле­ния проявляются в непосредственной близости от самого тела и определяются действием сил вязкости и сил, оп­ределяемых разностью давления перед обтекаемым те­лом и за ним. Соотношение между силами трения и дав­ления может быть различным, в зависимости от формы твердого тела, направления движения потока, обтекаю­щего тело, и ряда других факторов.

Так, например, при обтекании потоком жидкости пло­ской тонкой пластинки, установленной вдоль направле­ния векторов скорости набегающего потока, сопротивле­ние определяется главным образом силами трения, возникающими на боковых поверхностях пластинки (рис. 17.1, а).

Рис. 1.1. Примеры взаимодействия потока вязкой жидкости с твер­дым телом

Рекомендуемые файлы

Если же поток набегает на пластинку по норма­ли к ее поверхности (рис. 17.1,6), то эффект проявления сил трения (сил вязкости) становится пренебрежимо ма­лым и сопротивление зависит в основном от разности давления перед обтекаемым телом и за ним.

При обтекании потоком тела произвольной формы силы вязкости и силы давления могут оказаться соизмеримыми по величи­не (рис 17.1,в).

3.1.2. Сопротивление трения при обтекании плоской пластины

При обтекании плоской пластины сопротивление тре­ния определяется касательными напряжениями, дейст­вующими вдоль обтекаемой потоком жидкости или газа твердой поверхности (рис. 17.2). Эти напряжения могут быть опре­делены для полубесконечной плоской пластины непо­средственно из системы уравнений Прандтля, записываемых в виде

(17.1)

Наиболее точным решением системы (17.1) является решение Блазиуса, полученное в результате замены ис­ходной системы дифференциальных уравнений в част­ных производных обыкновенным дифференциальным уравнением третьего порядка. Эта замена оказывается возможной при введении в уравнения движения функ­ции тока, определяемой соотношениями

и

Рис. 1.2. К вы­воду уравнений движения жид­кости в плоском по­граничном слое

Толщина ламинарного пограничного слоя в соответ­ствии с решением Блазиуса

(17.2)

Касательные напряжения по Блазиусу при обтекании пластины

(17.3)

Теоретическое решение Блазиуса хорошо подтверждается многочисленными опытными данными.

Несколько худшее совпадение с опытом дают результаты решения уравнения ко­личества движения для плоского пограничного слоя, называемого в гидромеханике инте­гральным соотношением Кармана

(17.4)

Решения уравнения (17.4) интегрального соотношения Кармана записываются в виде

(17.5)

(17.6)

Введем понятие местного коэффициента сопротивле­ния трения

удобного при определении силы трения в случае обтека­ния плоской пластины вязким потоком. Эта сила, отне­сенная к единице ширины обтекаемой пластины дли­ной ,

(17.7)

где — средний по длине коэффициент сопротивления трения; — площадь обтекаемой поверхности пластины.

Коэффициент определяется для ламинарного по­граничного слоя непосредственно из ранее приведенных уравнений (17.3) и (17.6):

(17. 8)

по интегральному соотношению Кармана

(17.9)

При двустороннем обтекании плоской пластины ко­нечной длины сила трения и средний по длине коэф­фициент сопротивления трения удваиваются, поэтому уравнения, например, для коэффициента имеют вид:

(17.10)

(17.11)

где

Гидравлические сопротивления в турбулентном по­граничном слое в значительной степени зависят от ше­роховатости поверхности пластины. При определении этих сопротивлений выделяют режимы гидравлически гладких поверхностей, гидравлически шероховатых по­верхностей и переходный между ними.

В первом случае гидравлические сопротивления обу­словлены только вязкими напряжениями, влияние шеро­ховатости пренебрежимо мало. Коэффициент сопротив­ления трения для гидравлически гладких поверхнос­тей определяется по формуле Кармана

(17.12)

или по формуле Шлихтинга

(17.13)

Уравнения (17.12) и (17.13) являются равнозначными. Первое из них получено при условии, что распределение скоростей вблизи твердой поверхности подчиняется сте­пенному закону второе — на основе ап­проксимации результатов расчета в соответствии с лога­рифмическим законом распределения скоростей. Обе формулы применимы в области .

Для режима гидравлически шероховатых поверхно­стей влиянием вязкости пренебрегают.

В этом случае коэффициент гидравлического сопротивления трения обычно рассчитывают по формуле Шлихтинга

(17.14)

где — длина пластины; — абсолютная эквивалентная шероховатость поверхностей пластины.

Уравнение (17.14) справедливо при

А. Д. Альтшулем для коэффициента гидравлического сопротивле­ния по длине было получено уравнение

, (17.15)

которое может быть использовано для расчета во всей области турбулентного течения вдоль пластины.

3.1.3. Отрыв пограничного слоя

Сопротивления при обтекании твердого тела (кроме пластины, ориентированной вдоль векторов скорости на­бегающего потока) жидкостью или газом определяются не только касательными напряжениями, возникающими на твердой границе, но и влиянием образующейся за телом области вихревого течения. Образование этой об­ласти связано с явлением отрыва пограничного слоя.

При обтекании тела с резко меняющимся профилем поверхности отрыв пограничного слоя является следст­вием проявления инерции жидких частиц в пределах пограничного слоя. Картина отрыва пограничного слоя в этом случае изображена на рис. 17.3.

Рис. 1.3. Отрыв пограничного слоя на ломаной поверхности

При обтекании плав­ной криволинейной поверхности отрыв пограничного слоя связан с характером изменения давления вблизи твердой поверхности. Рассмотрим подробнее механизм этого явления (рис. 17.4).

На участке АВ скорость частиц жидкости, находя­щихся в пограничном слое, увеличивается , а на участке ВС уменьшается (ди/дх 0).

При движении невязкой жидкости искривление ли­ний тока у твердой границы АС привело бы лишь к пе­рераспределению кинетической и потенциальной энергии любой жидкой частицы. В случае же движения вязкой жидкости часть кинетической энергии теряется за счет трения внутри пограничного слоя. Оставшейся части кинетической энергии может не хватить на преодоление действия положительного градиента давления, стремя­щегося изменить направление движения жидких частиц.

Рис. 1.4. Отрыв по­граничного слоя на криволинейной по­верхности

В результате частицы жидкости могут начать движение в обратном направлении и привести тем самым к отры­ву потока от твердой границы. В точке отрыва (точка М) касательные напряжения на твердой поверхности обтекаемого тела равны нулю, так как в этой точке градиент скорости обращается в нуль .

За точкой отрыва пограничный слой трансформиру­ется в отрывное течение, характеризуемое сильной неус­тойчивостью образующихся крупномасштабных вихрей. Отдельные вихри, отрываясь от твердой поверхности, сносятся потоком, на их месте образуются новые вихри и т. д. Образование, взаимодействие и перемещение вих­рей за обтекаемым телом создают совершенно иную по структуре область течения, которую часто называют гидродинамическим (или аэродинамическим) следом Основной поток, разделенный гидродинамическим сле­дом на две (в условиях плоской задачи) части, восста­навливает свою структуру лишь на некотором расстоя­нии от обтекаемого тела. При этом протяженность сле­да зависит главным образом от формы тела и от числа Рейнольдса .

Область отрывного течения, несмотря на совершенно иную структуру, не изолирована от основного (невозму­щенного) потока. Турбулентное перемешивание, знако­переменный градиент давления, изменение направления течения внутри этой области создают условия для не­прерывного взаимодействия между отрывным течением и основным потоком. Однако вследствие замкнутости осредненных во времени линий тока в пределах рассмат­риваемой области массобмен между ней и невозмущен­ным потоком невелик, что необходимо учитывать при расчете и проектировании аэрации жилых кварталов, зданий и промышленных сооружений.

Рассмотрим простой случай образования отрывного течения за отдельно стоящим зданием с двускатной кры­шей. Испытания модели такого здания (рис. 17.6) показали, что в зависимости от изменения скорости не­возмущенного потока картина обтекания существенно меняется. При относительно малых скоростях траекто­рии частиц обтекающего модель воздушного потока по существу повторяют конфигурацию здания (рис. 17.6,а). С увеличением скорости сразу же за точкой отрыва (точка А) образуется небольшой вихрь (рис. 17.6,6), который быстро увеличивается при дальнейшем повышении скорости (рис. 17.6, в) до тех пор, пока не распадется на отдельные нерегулярные вихри. С течением времени картина обтекания модели становится статистически установившейся; при этом форма и раз­меры области отрывного течения оказываются практи­чески постоянными (рис. 17.6,г).

Рис. 1.6. Стадии обтекания модели зда­ния воздушным потоком

Таким образом, при достаточно большой скорости поток, обтекающий твердое тело с резко меняющимся профилем, можно условно разделить на две статистиче­ски устойчивые области течения (рис. 17.7).

Границей между ними можно назначить линию тока а-а, прохо­дящую через точку отрыва А. Ниже линии а-а распо­лагается область отрывного течения — область ABCD. Внутри этой области осредненные во времени линии то­ка представляют собой замкнутые кривые; движение в целом носит циркуляционный характер. В верхней части области отрывного течения направление векторов скоро­сти совпадает с направлением движения невозмущенно­го потока, в нижней ее части жидкость или газ переме­щается в обратном направлении. Выше линии тока а-а располагается невозмущенный поток, который можно считать безвихревым, или потенциальным. Так как и потенциальном потоке перенос количества движения по­перек линий отсутствует, то любую линию тока можно условно заменить твердой границей. Напом­ним, что и в том и другом случае частная производная скорости по нормали к линии тока равна нулю, т. е. ди/дп=0. Предполагая, что твердая граница совпадает с линией тока а-а, получим картину обтекания потен­циальным потоком твердого тела ABCD.

Рис. 1.7. Течение воздушного потока при обтекании одиночного зда­ния

В теоретической гидромеханике доказывается, что при сложении плоскопараллельного потенциального по­тока, источника и двух стоков линии тока результирующего движения качественно совпадают с линиями тока рассмотренного выше реального случая обтекания твер­дого тела. Однако такое решение дает практические результаты лишь первого приближения в условиях пло­ской задачи. В действительности же вследствие большо­го многообразия форм обтекаемого тела, а также постоянно меняющихся направления и значения скоро­сти набегающего потока решение задачи приходится искать на базе результатов опытов на моделях. В различных источниках приводятся некоторые данные, необходимые при расчете обтекания одиночного здания с плоской крышей воздушным потоком. Так, максимальная высота области отрывного течения составляет , макси­мальная длина этой области (отрезок DC) приблизи­тельно 8h, расстояние от точки А до точки В примерно 2,5h.

При обтекании потоком здания сложного планового очертания или группы зданий задача может быть реше­на путем экспериментальных исследований в каждом конкретном случае.

3.1.4. Распределение давления по поверхности обтекаемого тела. Сопротивление давления

Распределение давления вокруг обтекаемого твердо­го тела неразрывно связано с законом изменения скоро­сти набегающего потока вблизи тела. Рассмотрим прос­той случай обтекания бесконечно длинного кругового цилиндра потенциальным потоком. При обтекании кругового цилиндра бесконечно боль­шой длины потенциальным потоком картина течения у цилиндра симметрична (рис. 17.8).

Известно (см. 17.1.3), что на участках АВ и AD дви­жение ускоренное, на участках ВС и DC замедленное, в критических точках на поверхности цилиндра А и С скорость равна нулю, в точках В и D — удвоенной ско­рости невозмущенного потока. Поэтому в критичес­ких точках давление принимает максимальное значение, а в точках В и D — минимальное. Вследствие симметрии рассматриваемой задачи давление в сходственных точ­ках (например, в точках 1 и 1‘, 2 и 2′ и т. п.) одинако­вое.

Аналогичная картина течения получается при обтекании цилиндра потоком невязкой жидкости.

Рис. 1.8. Обтекание цилиндра невязкой жидкостью

Следовательно, силы давления на лобовую и кор­мовую поверхности цилиндра будут равными, но проти­воположно направленными. Их равнодействующая рав­на нулю, а значит, и сопротивление цилиндра должно равняться нулю. Этот вывод, который противоречит дан­ным опыта, в гидромеханике известен под названием па­радокса Эйлера — Даламбера.

На рис. 17.9 приведена схема распределения давления по поверхности кругового цилиндра, обтекаемого потенциальным потоком или по­током невязкой жидкости.

Рис. 1.9. Распределение дав­ления при обтекании цилиндра невязкой жидкостью

На схеме область давления, большего давления невозмущенного потока, отмечена знаком плюс и стрелками, направленными к поверхности цилиндра; область меньшего, чем в набегающем потоке, давления — знаком минус и стрелками, направленными от поверхности цилиндра.

При обтекании цилиндра потоком вязкой жидкости вследствие отрыва пограничного слоя и образования отрывного течения давление в лобовой части цилиндра всегда оказывается больше давления в его кормовой части (рис. 17.10 5.18). Равнодействующая этих сил давления, отличная от нуля, и определяет собой сопротивление давления. В пределах гидродинамического следа давле­ние остается практически постоянным и равным давле­нию у твердой поверхности в точке отрыва пограничного слоя, давление же у лобовой поверхности практически не отличается от давления при взаимодействии цилинд­ра с невязкой жидкостью.

Рис. 1.10. Распределение давления при обтекании цилиндра вязкой жидкостью

При увеличении числа Re, вычисленного по скорости набегающего потока, равнодействующая сил давления в лобовой и кормовой частях цилиндра увеличивается, что связано со смещением точки отрыва пограничного слоя ближе к кормовой области. Смещение точки отры­ва объясняется переходом ламинарного пограничного слоя в турбулентный при возрастании числа Рейнольдса. В результате частицы жидкости, находящиеся вблизи твердой границы, приобретают дополнительную кинети­ческую энергию от невозмущенного потока, которая по­могает им дольше противостоять положительному гра­диенту давления (рис. 17.10).

На практике при сравнении распределения давления на поверхности обтекаемых тел разных размеров часто используется относительное давление или коэффициент давления

(17.15)

где — избыточное давление в произвольной точке на поверхности обтекаемого тела; — динамическое давление невозмущенного потока.

Если в качестве избыточного принимается маномет­рическое давление , коэффициент давления называют аэродинамическим коэффициентом

(17.16)

Аэродинамический коэффициент используется для расчета распределения давления ветра по поверхности зданий и сооружений.

Рассмотрим схему распределения аэродинамических коэффициентов по контуру одиночного здания с двускат­ной крышей (рис. 17.11).

Рис. 1.11. Распределение аэ­родинамических коэффици­ентов при обтекании одиноч­ного здания

Построение эпюры распределе­ния аэродинамических коэффициентов производится по известным правилам построения эпюры нагрузки на любой элемент сооружения: положительные значения откладываются внутри контура здания, отрицательные — вне контура здания. Отметим, что аэродинамический коэффи­циент приобретает положительное значение при полном давлении, большем атмосферного давления, отрицательное — при разрежении.

Так как форма современных зданий и сооружений весьма далека от удобообтекаемой, можно принимать, что независимо от числа Рейнольдса аэродинамический коэффициент является функцией только формы здания и его расположения по отношению к направлению набе­гающего невозмущенного потока.

Обычно значение аэродинамического коэффициента и его распределение определяются по результатам экс­периментальных испытаний, проводимых либо в гидрав­лических лотках, либо в аэродинамических трубах. При фронтальном обтекании одиночного здания (рис. 17.11) аэродинамический коэффициент принимает значения: на наветренной (лобовой) грани К_В=0,5-0,8, на завет­ренной (кормовой) грани К_В= —(0,2-0,3). Необходимо сказать, что при фронтальном обтекании здания навет­ренная сторона испытывает повышенное давление (К_В>0), а стороны, находящиеся в области отрывных течений, — разрежение К_В 3 ), точка отрыва находится в лобовой части сферы (рис. 17.14,а).

В диапазоне изменения чис­ла Рейнольдса приблизительно 10 3 5 ламинар­ный пограничный слой постепенно переходит в турбу­лентный и точка отрыва смещается в кормовую область сферы (рис. 17.14,6). В этом диапазоне чисел Re сопро­тивление (по сравнению с законом Стокса) увеличивает­ся за счет возрастающего действия разности давления перед шаром и за ним. Интенсивность увеличения сопро­тивления давления возрастает, кривая зависимости приближается к горизонтали.

Рис. 1.14. Изменение положения точки отры­ва пограничного слоя на сфере при различ­ных числах Рейнольд

Полный переход ламинарного пограничного слоя в турбулентный проис­ходит резко при числах . В этом случае угол между симметричными точками отрыва принимает минимальное значение 110-120° и величина области от­рывного течения также становится наименьшей (рис. 17.14,в). Сопротивление при этом резко уменьшается; такое явление называют кризисом сопротивления.

Зависимости, которые аналогичны рассмотренной, получены экспериментально для кругового цилиндра, круглого Диска и ряда других твердых тел.

Для твердых тел с резко меняющимся профилем (к ним можно отнести диски и пластины, расположен­ные поперек потока, кубы, некоторые профили зданий и т. п.) коэффициент лобового сопротивления практически не зависит от числа Рейнольдса.

3.2. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ О СОПРОТИВЛЕНИИ ВОДЫ ДВИЖЕНИЮ ПЛАВАЮЩИХ СРЕДСТВ

3.2.1. Движение тела в жидкости

Предположим, что под действием какой-либо внешней силы плавающие тело начало перемещаться в жидкости с определенной скоростью. Очевидно, что окружающая тело жидкость начнет оказывать сопротивление этому перемещению и кроме гидростатических сил на плавающих тело начнут действовать со стороны жидкости силы, препятствующие его движению. Эти силы носят название гидродинамических. В отличие от воды сил гидростатического давления, гидродинамические силы, действующие на каждую элементарную площадку смоченной поверхности тела, могут быть приложены к этим площадям под углом.

Для удобства определения, их разлагают на нормальную и касательную составляющие. Нормальная составляющая гидродинамических сил называется силой давления (N), а касательная составляющая — силой трения (Т).

Элементарные гидродинамические силы, распределенные сложным образом по смоченной поверхности судна, в общем случае могут быть приведены к результирующей силе — главному вектору и главному моменту гидродинамических сил.

Для движения судна с постоянной скоростью, при сохранении неизменного положения по отношению к уровню воды, необходимо, чтобы главный вектор и главный момент гидродинамических сил уравновешивались другими силами, приложенными к судну (собственный вес, сила тяги, сила водоизмещения и др.), т. е, чтобы сумма всех действующих на судно сил равнялась нулю.

Остановимся более подробно на гидродинамических силах, являющихся основными в формировании сопротивления воды движению плавающих тел.

Рассмотрим судно, движущиеся равномерно-поступательно в потоке жидкости (рис. 17.15).

Примем прямоугольную систему координат, связанную с судном, причем начало координат выберем на свободной поверхности жидкости в плоскости мидель шпангоута.

Ось х направим горизонтально противоположно направлению скорости поступательного движения судна; ось у перпендикулярно оси х в горизонтальной плоскости, ось z вертикально вверх и спроектируем главный вектор гидродинамических сил R на оси выбранной системы координат.

Рис. 1.15. Схема движения судна в потоке жидкости

Влияние главного момента гидродинамических сил в дальнейшем рассматривать не будем.

Проекция главного вектора гидродинамических сил R на оси х, т. е. составляющая R_х, называется силой сопротивления воды движения судна; составляющая R_y — силой дрейфа; R_z — гидродинамической поддерживающей силой.

Соотношение между этими составляющими и их величины зависят от направления и скорости движения судна, размеров и формы корпуса, шероховатости подводной поверхности корпуса, а также от глубины и ширины водоема (реки) по которому происходит движение.

В большинстве случаев сила дрейфа R_y не имеет существенного значения. Остановимся на силе R_х и пока не будем учитывать влияния силы Rz на Rх.

3.2.2. Составляющие силы полного сопротивления

Как показывают наблюдения, при движении судна в окружающей его воде можно различить три характерные области, в которых создается главным образом сила сопротивления движению судна (рис. 17.16).

Область I — находится в непосредственной близости к смоченной поверхности судна, в которой наиболее сильно сказывается действие сил трения. Называется пограничным слоем. Вихревая область II, образуется за кормой судна. Область III — характеризуется тем, что в ее пределах на свободной поверхности воды образуются различные группы гравитационных, корабельных волн. Эта область называется внешним потоком.

В соответствии с этим сопротивление движению судна считают слагающимся из следующих сил:

— сопротивление трения — R_тр,

— вихревое сопротивление — R_вихр,

— волновое сопротивление — R_волн, т. е.

Рис. 1.16. Схема сил сопротивления движению судна

Кроме этих сопротивлений, являющихся основными, учитывается дополнительное сопротивление от имеющихся на корпусе подводных выступающих частей и дополнительное воздушное сопротивление надводной части судна: R_выст.ч. и R_возд.

Т.о., полное сопротивление воды движению судна выражается формулой:

В результате многочисленных экспериментов на моделях и в натуре и общих теоретических соображений установлено, что сопротивление жидкости движению в ней твердого тела зависит в основном от плотности и вязкости жидкости, размеров, характера поверхности и формы тела, скорости его движения относительно жидкости.

Сопротивление трения R_тр является проявлением сил вязкости жидкости и представляет результирующую всех касательных сил, действующих на смоченную поверхность тела.

Сила сопротивления трения R_тр изучена более детально и основывается на современном учении о пограничном слое. На величину сопротивления трения оказывает влияние шероховатость поверхности судна и в очень слабой степени кривизна судовой обшивки.

Сопротивление трения выражается формулой

где ζ_тр — коэффициент сопротивления трения вычисляют по эмпирическим формулам, ρ — плотность жидкости, V — скорость судна, Ω — смоченная поверхность судна.

В отдельных случаях значение сопротивления трения настолько незначительно, что им пренебрегают.

Вихревое сопротивление R_вихр вызывается разностью давления в носовой и кормовой частях судна, оно направлено против его движения и является следствием вихреобразования за кормой.

R_вихр зависит от формы обтекаемого тела и, главным образом, от очертания кормовой его части, поэтому его называют также сопротивлением формы (рис. 17.2). При этом Различают два вида обтекания: безотрывочное и отрывочное обтекание (>R_{вихр. безотр})_.

Вихревое сопротивление выражается формулой

где ζ_вихр — коэффициент вихревого сопротивления.

R_вихр составляет 20-25℅ от общего сопротивления воды движению твердого тела.

Волновое сопротивление R_волн возникает вследствие затраты энергии на создание и поддержание системы волн, образующихся в жидкости. Поскольку судно непроницаемо для жидкости, то оно при своем движении непрерывно вытесняет носовой частью некоторый объем жидкости и одновременно освобождает такой же объем за кормой. Этот объем сразу же заполняется окружающей судно жидкостью. Вблизи носа уровень жидкости поднимается по отношению к уровню невозмущенной поверхности, вследствие его вытеснения корпуса, а вблизи кормы, наоборот, понижается, получающийся при этом перепад уровней нарушает равновесие жидкости и вызывает образование на поверхности воды гравитационных волн (корабельных волн). При этом корабельные волны состоят из расходящихся волн и волн поперечных.

Величина волнового сопротивления зависит от формы тела, глубины его погружения под свободную поверхность, скорости движения, а также от глубины и ширины фарватера, где происходит движение. Для определения волнового сопротивления пользуются как теоретическими, так и экспериментальными методами. В частности, величина волнового сопротивления может быть определена по формуле

где ζ_волн — коэффициент волнового сопротивления.

R_волн составляет 10℅ от полного сопротивления.

Сопротивление выступающих частей R_выст.ч. является дополнительным сопротивлением, увеличивающим в основном вихревое сопротивление. (Такими выступающими частями являются рули, киль, гребные волны, колеса и др.). Вихревое сопротивление определяется опытным путем.

Вихревое сопротивление составляет до 25 ℅ и более от полного сопротивления.

Сопротивление воздуха R_возд слагается из сопротивления надводной части корпуса и палубных надстроек набегающему потоку воздуха.

3.2.3. Влияние гидродинамической поддерживающей силы R_z

При движении судна возникает, как отмечено выше, гидродинамическая поддерживающая сила R_z — вертикальная составляющая гидродинамических сил. В результате формула плавучести принимает вид

где γW — сила водоизмещения; R_z — вертикальная составляющая гидродинамических сил.

С увеличением скорости увеличится R_z, судно начинает всплывать, объем подводной части уменьшится, соответственно уменьшится сопротивление трения R_тр и волновое сопротивление R_волн. Всплытие будет происходить до тех пор, пока судно полностью не выйдет из воды и будет скользить по поверхности. Его вес будет уравновешен гидравлической поддерживающей силой.

В связи с этим, различают три режима движения судна:

1. Плавание ; R_z=0;

2. Переходный режим ; W₁ р_в, Y — подъёмная сила крыла.

3.3.2. Аэродинамические сила и момент

Аэродинамические сила и момент — величины, характеризующие воздействие газообразной среды на движущееся в ней тело (например, на самолет).

Силы давления и трения, действующие на поверхности тела, приведенные к равнодействующей R этих сил, называются аэродинамической силой, и к паре сил с моментом М, называются аэродинамическим моментом.

Аэродинамическую силу раскладывают на составляющие в прямоугольной системе координат (рис. 17.18), связанной либо с вектором скорости тела v (поточная, или скоростная, система координат), либо с самим телом (связанная система). В поточной системе сила, направленная по оси потока в сторону, противоположную направлению движения тела, называется аэродинамическим сопротивлением Х, перпендикулярная ей и лежащая в вертикальной плоскости — подъёмной силой У, а перпендикулярная к ним обеим — боковой силой Z. В связанной системе координат аналогом первых двух сил являются тангенциальная Т и нормальная N силы.

Рис. 1.18. Разложение аэродинамической силы на составляющие в поточной системе координат X, Y, Z и в связанной системе Т, N, Z;

ось Z на рисунке не изображена, она перпендикулярна плоскости чертежа

Аэродинамический момент играет важную роль в аэродинамическом расчёте летательных аппаратов, определяя их устойчивость и управляемость, и представляется обычно в виде трёх составляющих — проекций на оси координат, связанных с телом (рис. 17.19): Mx (момент крена), My (момент рыскания) и Mz (момент тангажа). Знаки моментов положительны, когда они стремятся повернуть тело соответственно от оси у к оси z, от оси z к оси х, от оси х к оси у.

Рис. 1.19. Проекции аэродинамического момента на оси координат:

M_x — момент крена; M_y — момент рыскания; M_z — мoмeнт тангажа

Аэродинамическая сила и аэродинамический момент зависят от формы и размеров тела, скорости его поступательного движения и ориентации к направлению скорости, свойств и состояния среды, в которой происходит движение, а в некоторых случаях и от угловых скоростей вращения и от ускорения движения тела.

3.3.3. Аэродинамические коэффициенты профиля

Аэродинамические коэффициенты — безразмерные величины, характеризующие аэродинамические силу и момент, действующие на тело, движущееся в жидкой или газообразной среде.

Аэродинамические коэффициенты силы C_R находят как отношение аэродинамической силы R к скоростному напору ρv 2 /2 и характерной площади S, а эродинамические коэффициенты момента C_М — как отношение аэродинамического момента М к ρv 2 /2, S и к характерной длине l , т. е.

где ρ — плотность среды, в которой движется тело, v — скорость тела относительно этой среды, S — характерная площадь, l — характерная длина.

Характерные размеры выбираются достаточно произвольно, например для самолёта S — площадь несущих крыльев (в плане), а l — длина хорды крыла; для ракеты S — площадь миделевого сечения (миделевое сечение — наибольшее по площади сечение движущегося в воде или воздухе тела плоскостью, перпендикулярной направлению движения), а l — длина ракеты.

Выражение аэродинамических сил и моментов в форме аэродинамических коэффициентов имеет большое значение для аэродинамических исследований и расчётов, существенно их упрощая. Так, например, аэродинамическая сила, действующая на самолёт, может достигать значений в сотни и тысячи кн (десятки и сотни mс), та же сила, действующая на модель этого самолёта, испытываемую в аэродинамической трубе, составляет десятки ньютонов (н), но аэродинамические коэффициенты для самолёта и для модели равны между собой. Или, например, аэродинамическая сила, действующая на шар, падающий с большой высоты на землю, зависит от высоты и скорости падения шара, а аэродинамический коэффициент является постоянной величиной.

Для аппаратов больших размеров, летящих на малой высоте с дозвуковой скоростью, для которых число Маха (М-число) М n1, рв рв; nн n1; n3> nн, p3 1 и малых α оэффициент подъемной силы пластины может быть вычислена по формуле

Эта формула справедлива и для тонких профилей произвольной формы с острой передней кромкой.

Бесплатная лекция: «8 Влияние влажности топлива» также доступна.

Аналогично определяют аэродинамические коэффициенты сопротивления боковой силы C_z, а также аэродинамические коэффициенты моментов крена, рыскания и тангажа.

В лекции рассмотрены основные закономерности движения жидкостей в трубопроводах. Настоящая лекция является теоретической базой для студентов строительных специальностей ву­зов, т. к. гидравлические расчеты широко применяются при проектировании систем водоснабжения и водоотведения и т. д.