Уравнение для плотности свободного за

Ускорение свободного падения

О чем эта статья:

Сила тяготения

В 1682 году Исаак Ньютон открыл закон всемирного тяготения. Он звучит так: все тела притягиваются друг к другу с силой, которая прямо пропорциональна произведению масс тел и обратно пропорциональна квадрату расстояния между ними.

Формула силы тяготения согласно этому закону выглядит так:

Закон всемирного тяготения

F — сила тяготения [Н]

M — масса первого тела (часто планеты) [кг]

m — масса второго тела [кг]

R — расстояние между телами [м]

G — гравитационная постоянная

G = 6,67 · 10 −11 м 3 · кг −1 · с −2

Когда мы встаем на весы, стрелка отклоняется. Это происходит потому, что масса Земли очень большая, и сила тяготения буквально придавливает нас к поверхности. На более легкой Луне человек весит меньше в шесть раз.

Закон всемирного тяготения используют, чтобы вычислить силы взаимодействия между телами любой формы, если размеры тел значительно меньше расстояния между ними.

Если мы возьмем два шара, то для них можно использовать этот закон вне зависимости от расстояния между ними. За расстояние R между телами в этом случае принимается расстояние между центрами шаров.

Ускорение свободного падения

Чтобы математически верно и красиво прийти к ускорению свободного падения, нам необходимо сначала ввести понятие силы тяжести.

Сила тяжести — сила, с которой Земля притягивает все тела.

Сила тяжести

F = mg

F — сила тяжести [Н]

m — масса тела [кг]

g — ускорение свободного падения [м/с 2 ]

На планете Земля g = 9,8 м/с 2 , но подробнее об этом чуть позже. 😉

На первый взгляд сила тяжести очень похожа на вес тела. Действительно, в состоянии покоя на поверхности Земли формулы силы тяжести и веса идентичны. Вес тела в состоянии покоя численно равен массе тела, умноженной на ускорение свободного падения, разница состоит лишь в точке приложения силы.

Сила тяжести — это сила, с которой Земля действует на тело, а вес — сила, с которой тело действует на опору или подвес. Это значит, что у них будут разные точки приложения: у силы тяжести к центру масс тела, а у веса — к опоре.

Также важно понимать, что сила тяжести зависит исключительно от массы и планеты, на которой тело находится. А вес зависит еще и от ускорения, с которым движется тело или опора.

Например, в лифте вес зависит от того, куда и с каким ускорением двигаются его пассажиры. А силе тяжести все равно, куда и что движется — она не зависит от внешних факторов.

На второй взгляд сила тяжести очень похожа на силу тяготения. В обоих случаях мы имеем дело с притяжением — значит, можем сказать, что это одно и то же. Практически.

Мы можем сказать, что это одно и то же, если речь идет о Земле и каком-то предмете, который к этой планете притягивается. Тогда мы можем даже приравнять эти силы и выразить формулу для ускорения свободного падения:

Приравниваем правые части:

Делим на массу тела левую и правую части:

Это и будет формула ускорения свободного падения. Ускорение свободного падения для каждой планеты уникально.

Формула ускорения свободного падения

g — ускорение свободного падения [м/с 2 ]

M — масса планеты [кг]

R — расстояние между телами [м]

G — гравитационная постоянная

G = 6,67 · 10 −11 м 3 · кг −1 · с −2

Ускорение свободного падения характеризует то, как быстро увеличивается скорость тела при свободном падении.

Свободное падение — это ускоренное движение тела в безвоздушном пространстве, при котором на тело действует только сила тяжести.

Ускорение свободного падения на разных планетах

Выше мы уже вывели формулу ускорения свободного падения. Давайте попробуем рассчитать ускорение свободного падения на планете Земля.

Для этого нам понадобятся следующие величины:

• Гравитационная постоянная
  G = 6,67 · 10 −11 м 3 · кг −1 · с −2
• Масса Земли
  M = 5,97 × 10 24 кг
• Радиус Земли
  R = 6371 км

Подставим значения в формулу:

Есть один нюанс: в значении ускорения свободного падения для Земли очень много знаков после запятой. В школе обычно дают то же значение, что мы указали выше: g = 9,81 м/с 2 . В экзаменах ОГЭ и ЕГЭ в справочных данных дают g = 10 м/с 2 .

И кому же верить?

Все просто: для кого решается задача, тот и главный. В экзаменах берем g = 10 м/с 2 , в школе при решении задач (если в условии задачи не написано что-то другое) берем g = 9,8 м/с 2 .

Ниже представлена таблица ускорений свободного падения и других характеристик для планет Солнечной системы, карликовых планет и Солнца.

Небесное тело

Ускорение свободного падения, м/с 2

Диаметр, км

Расстояние до Солнца, миллионы км

Масса, кг

Соотношение с массой Земли

Свободные и связанные заряды

Когда рассматриваются диэлектрики в электростатических полях, следует различать два вида электрических зарядов: свободные и связанные.

Свободные заряды – это заряды, перемещающиеся под действием поля на существенные расстояния.

Например, электроны в проводниках, ионы в газах и заряды, привносимые извне на поверхность диэлектриков, которые нарушают их (диэлектриков) нейтральность. Заряды, входящие в состав нейтральных, в целом, молекул диэлектриков, так же, как ионы, закрепленные в кристаллических решетках твердых диэлектриков около положений равновесия, получили название связанных зарядов.

Поверхностная плотность зарядов

Формула потенциала электростатического поля в диэлектрике φ запишется как:

φ = φ 0 + φ ‘ ( 1 ) с φ 0 , являющимся потенциалом поля, создаваемого свободными зарядами, с
φ ‘ — потенциалом поля, создаваемого связанными зарядами.

φ 0 = ∫ ρ d V R + ∫ σ d S R ( 2 ) , ρ — это объемная плотность свободных зарядов, σ — их поверхностная плотность. Определение потенциала поля связанных зарядов:

φ ‘ = ∫ P → R → R 3 d V ( 3 ) , где P → служит вектором поляризации.

Можно сделать вывод, что из ( 1 ) и ( 3 ) получим:

φ = φ 0 + ∫ P → R → R 3 ( 4 ) .

При использовании теоремы Остроградского-Гаусса с некоторыми формулами векторного анализа имеем совсем иной вид уравнения ( 4 ) :

φ = φ 0 + ∫ ρ s υ R d V + ∫ σ s υ R d V = ∫ ρ s υ + ρ R d V + ∫ σ s υ + σ R d V ( 5 ) ,

где ρ s υ обозначается в качестве средней объемной плотности связанных зарядов, а σ s υ — средняя поверхностная плоскость связанных зарядов. По уравнению ( 5 ) видно, что при наличии диэлектрика электрическое поле совпадает с полем, созданным свободными зарядами плюс поле, которое создается связанными зарядами.

Плотность связанных зарядов

Если P → = c o n s t , то средняя плотность связанных зарядов равняется нулю. Это говорит о том, что накопление зарядов одного знака в диэлектрике не происходит. На границе между поляризованным диэлектриком и вакуумом или металлом сосредоточен поверхностный связанный заряд плотности:

σ s υ = ± P n , — d i v P → = ρ s υ ( 6 ) с P n , являющейся нормальной компонентой вектора поляризованности диэлектрика на его границе с вакуумом.

Функция φ вида ( 7 ) будет решением уравнения:

∇ 2 φ = — 4 π ( ρ + ρ s υ ) ( 7 ) .

При E → = — ∇ φ → d i v E → = — ∇ 2 φ ( 8 ) и ( 6 ) получим:

d i v E → = 4 π ρ — 4 π d i v P → ( 9 ) .

d i v E → + 4 π P → = 4 π ρ ( 10 ) .

Выражение ( 10 ) называют основным дифференциальным уравнением электростатического поля в любой произвольной среде.

Для получения полной системы уравнений электростатики, нужно использовать формулу ( 10 ) с определением, связывающим векторы напряженности электрического поля с векторами поляризации.

Зависимость P → E → представится как:

P i = ε 0 ∑ j χ i j E j + ε 0 ∑ j , k χ i j k E j E k + . . . ( 11 ) , где i , j служат для нумерации компонентов по осям декартовой системы координат ( i = x , y , z ; j = x , y , z ) , χ i j — это тензор диэлектрической восприимчивости.

Если имеется внешнее электрическое поле, вещество становится источником поля, значит, поле изменяется.

Дан плоский конденсатор с пространством, между обкладками которого заполнено однородным изотропным диэлектриком с диэлектрической восприимчивостью χ . На них располагается поверхностный заряд с плотностью σ . Определить напряженность результирующего поля в конденсаторе.

Решение

Если при имеющихся обкладках конденсатора находится вакуум, то напряженность поля, создаваемого заряженными обкладками, запишется как:

E v a k = σ ε 0 с ε 0 = 8 , 85 · 10 — 12 Ф м , являющейся электрической постоянной.

+ q , — q — это заряды, находящиеся на обкладках конденсатора.

E v a k → — напряженность поля, создаваемого обкладками конденсатора.

— q ‘ , + q ‘ — заряды диэлектрика.

E → ‘ — напряженность поля, создаваемого в результате поляризации диэлектрика.

Очевидно, что диэлектрик поляризуется, тогда напряженность уменьшается. Диэлектрик однородный, а поле, создаваемое в плоском конденсаторе, также считается однородным. Отсюда вывод – поляризованность диэлектрика однородна, иначе говоря, отсутствуют объемные связанные заряды ρ s υ = 0 . Имеются только поверхностные с плотностью σ s υ :

Так как известна связь напряженности поля и вектора поляризации для изотропного диэлектрика, то

σ s υ = χ ε 0 E с Е , являющейся проекцией напряженности на внешнюю нормаль к поверхности диэлектрика.

Направление напряженности идет от стороны положительно заряженной пластины к отрицательной. Из σ s υ = χ ε 0 E получаем, что поверхностная плотность связанного заряда на границе с положительно заряженной пластиной отрицательная, а на границе с отрицательной пластиной – положительная. Следовательно, напряженность поля в диэлектрике между этими пластинами равняется напряженности поля в вакууме между ними, но со значением поверхностной плотности заряда, вычисляемой по формуле σ ‘ = σ — σ s υ .

На основании выше сказанного зафиксируем, что напряженность поля в конденсаторе с диэлектриком запишется как:

E = σ — σ s υ ε 0 = σ — χ ε 0 E ε 0 .

Произведем выражение из E = σ — σ s υ ε 0 = σ — χ ε 0 E ε 0 искомой напряженности:

Ответ: E = σ ε 0 ( 1 + χ ) .

Свободные и связанные заряды

Вы будете перенаправлены на Автор24

Что такое свободные и связанные заряды

Когда мы рассматриваем диэлектрики в электростатических полях необходимо различать два вида электрических зарядов: свободные и связанные.

Свободными зарядами надо считать заряды, которые могут под действием поля перемещаться на существенные расстояния, как например, электроны в проводниках, ионы в газах и заряды, привнесенные извне на поверхность диэлектриков, которые нарушают их (диэлектриков) нейтральность. Заряды, которые входят в состав нейтральных, в целом, молекул диэлектриков, так же, как и ионы, которые закреплены в кристаллических решетках твердых диэлектриков около положений равновесия, называют связанными зарядами.

Потенциал электростатического поля в диэлектрике ($\varphi $) равен:

где $<\varphi >_0$ — потенциал поля создаваемого свободными зарядами, $<\varphi >‘$ — потенциал поля создаваемого связанными зарядами. При этом мы знаем, что:

где $\rho $ — объемная плотность свободных зарядов, $\sigma $ — поверхностная плотность свободных зарядов. Потенциал поля связанных зарядов определен как:

где $\overrightarrow

$ — вектор поляризации.

Из уравнений (1) и (3) следует, что:

Если использовать теорему Остроградского — Гаусса и некоторые формулы векторного анализа, не сложно получить иной вид уравнения (4), а именно:

где $<\rho >_$- средняя объемная плотность связанных зарядов, $<\sigma >_-средняя\ поверхностная\ плотность\ $ связанных зарядов. Из уравнения (5) видно, что электрическое поле при наличии диэлектрика совпадает с полем, которое создано свободными зарядами плюс поле, которое создается связанными зарядами.

Плотность связанных зарядов

При $\overrightarrow

=const$ (что означает равномерную поляризацию диэлектрика) средняя плотность связанных зарядов равна нулю, что означает, что в данном случае не происходит накопление зарядов одного знака в диэлектрике. На границе между поляризованным диэлектриком и вакуумом или металлом сосредоточен поверхностный связанный заряд плотности:

где $P_n$ — нормальная компонента вектора поляризованности диэлектрика на его границе с вакуумом.

Функция $\varphi $ вида (7) является решением уравнения:

\[\overrightarrow=-\nabla \varphi \ \to div\overrightarrow=-<\nabla >^2\varphi (8)\]

и учитывая (6), можно записать, что:

\[div\overrightarrow=4\pi \rho -4\pi div\overrightarrow

\ (9)\]

\[div\overrightarrow<(E>+4\pi \overrightarrow

)=4\pi \rho \ \left(10\right).\]

Уравнение (10) — основное дифференциальное уравнение электростатического поля в любой произвольной среде.

Для того, чтобы получить полную систему уравнений электростатики к уравнению (10), необходимо добавить выражение, связывающее векторы напряженности электрического поля и вектор поляризации.

Зависимость $\overrightarrow

(\overrightarrow)$ в общем случае представлена в виде:

где индексы $i,j$ — нумеруют компоненты по осям декартовой системы координат $(i=x,\ y,z; j=x,\ y,z.)$, $<\varkappa >_$ — тензор диэлектрической восприимчивости.

Итак, при наличии внешнего электрического поля вещество само становится источником поля, следовательно, поле изменяется.

Задание: Имеется плоский конденсатор, пространство между обкладками которого, заполнено однородным, изотропным диэлектриком c диэлектрической восприимчивостью $\varkappa$. На обкладках конденсатора находится поверхностный заряд, плотность его равна $\sigma .$ Какова напряженность результирующего поля в конденсаторе?

Если между обкладками конденсатора вакуум, то напряженность поля, которое создают заряженные обкладки, равно:

где $<\varepsilon >_0=8,\ 85\cdot <10>^<-12>\frac<Ф><м>.\ $— электрическая постоянная.

$+q, -q$ — заряды на обкладках конденсатора.

$\overrightarrow>$ — напряженность поля, которое создается обкладками конденсатора.

$-q’, +q’$ -заряды диэлектрика.

$\overrightarrow‘$ — напряженность поля, которое создается в результате поляризации диэлектрика.

Так как диэлектрик поляризуется, напряженность поля уменьшается. Так как диэлектрик считаем однородным, поле, которое создается в плоском конденсаторе, также можно считать однородным, делаем вывод о том, что поляризованность диэлектрика однородна, то есть объемные связанные заряды отсутствуют ($<\rho >_=0$). Имеем только поверхностные заряды плотность которых ($<\sigma >_$):

Зная связь напряженности поля и вектора поляризации для изотропного диэлектрика:

где $E$ — проекция напряженности на внешнюю нормаль к поверхности диэлектрика. Напряженность поля направлена от положительно заряженной пластины конденсатора к отрицательной. Поэтому из (1.4) следует, что поверхностная плотность связанного заряда на границе с положительно заряженной пластиной имеет знак минус, а на границе с отрицательной пластиной — плюс. Получаем, что напряженность поля в диэлектрике между пластинами конденсатора равна напряженности поля в вакууме между теми же пластинами, но при поверхностной плотности заряда равном:

На этом основании запишем, что напряженность поля в конденсаторе при наличии диэлектрика равна: