Уравнение для работы расширения газа

Внутренняя энергия и работа идеального газа

теория по физике 🧲 термодинамика

Числом степеней свободы механической системы называют количество независимых величин, с помощью которых может быть задано положение системы.

Внутренняя энергия идеального газа представляет собой сумму только кинетической энергии всех молекул, а потенциальной энергией взаимодействия можно пренебречь:

U = ∑ E k 0 = N E k 0 = m N A M . · i k T 2 . . = i 2 . . · m M . . R T = i 2 . . ν R T = i 2 . . p V

i — степень свободы. i = 3 для одноатомного (или идеального) газа, i = 5 для двухатомного газа, i = 6 для трехатомного газа и больше.

Изменение внутренней энергии идеального газа в изопроцессах

Δ U = 3 2 . . · m M . . R T = 3 2 . . ν R T = 3 2 . . ν R ( T 2 − T 1 )

Температура при изотермическом процессе — величина постоянная. Так как внутренняя энергия идеального газа постоянной массы в замкнутой системе зависит только от изменения температуры, то она тоже остается постоянной.

Δ U = 3 2 . . ν R ( T 2 − T 1 ) = 3 2 . . ( p V 2 − p V 1 ) = 3 2 . . p Δ V

Δ U = 3 2 . . ν R ( T 2 − T 1 ) = 3 2 . . ( p 2 V − p 1 V ) = 3 2 . . V Δ p

Δ U = 3 2 . . ν R ( T 2 − T 1 ) = 3 2 . . ( p 2 V 2 − p 1 V 1 )

Пример №1. На рисунке показан график циклического процесса, проведенного с идеальным газом. На каком из участков внутренняя энергия газа уменьшалась?

Внутренняя энергия газа меняется только при изменении температуры. Так как она прямо пропорциональная температуре, то уменьшается она тогда, когда уменьшается и температура. Температура падает на участке 3.

Работа идеального газа

Если газ, находящийся под поршнем, нагреть, то, расширяясь, он поднимет поршень, т.е. совершит механическую работу.

Механическая работа вычисляется по формуле:

Перемещение равно разности высот поршня в конечном и начальном положении:

Также известно, что сила равна произведению давления на площадь, на которое это давление оказывается. Учтем, что направление силы и перемещения совпадают. Поэтому косинус будет равен единице. Отсюда работа идеального газа равна произведению давления на площадь поршня:

Работа идеального газа

p — давление газа, S — площадь поршня

Работа, необходимая для поднятия поршня — полезная работа. Она всегда меньше затраченной работы, которая определяется изменением внутренней энергии идеального газа при изобарном расширении:

A ‘ = p ( V 2 − V 1 ) = p Δ V > 0

Внимание! Знак работы определяется только знаком косинуса угла между направлением силы, действующей на поршень, и перемещением этого поршня.

Работа идеального газа при изобарном сжатии:

A ‘ = p ( V 2 − V 1 ) = p Δ V 0

Работа идеального газа при нагревании газа:

A ‘ = ν R Δ T = ν R ( T 2 − T 1 ) = m M . . ν R Δ T

Внимание! В изохорном процессе работа, совершаемая газом, равна нулю, так как работа газа определяется изменением его объема. Если изменения нет, работы тоже нет.

Геометрический смысл работы в термодинамике

В термодинамике для нахождения работы можно вычислить площадь фигуры под графиком в осях (p, V).

Примеры графических задач

Изохорное охлаждение и изобарное сжатие:

Изобарное расширение: A ‘ = p ( V 2 − V 1 )
Изобарное сжатие: A ‘ = p ( V 2 − V 1 )
Изохорное охлаждение:
Замкнутый цикл: 1–2: A ‘ = ( p 1 − p 3 ) ( V 2 − V 1 )
Произвольный процесс: A ‘ = p 1 + p 2 2 . . ( V 2 − V 1 )

Пример №2. На pV-диаграмме показаны два процесса, проведенные с одним и тем же количеством газообразного неона. Определите отношение работ A₂ к A₁ в этих процессах.

Неон — идеальный газ. Поэтому мы можем применять формулы, применяемые для нахождения работы идеального газа. Работа равна площади фигуры под графиком. С учетом того, что в обоих случаях изобарное расширение, получим:

A 2 = p ( V 2 − V 1 ) = 4 p ( 5 V − 3 V ) = 4 p 2 V = 8 p V

A 1 = p ( V 2 − V 1 ) = p ( 5 V − V ) = 4 p V

Видно, что работа, совершенная во втором процессе, вдвое больше работы, совершенной газом в первом процессе.

Идеальный одноатомный газ переходит из состояния 1 в состояние 2 (см. диаграмму). Масса газа не меняется. Как изменяются при этом следующие три величины: давление газа, его объём и внутренняя энергия?

Для каждой величины подберите соответствующий характер изменения:

3) не изменяется

Запишите в таблицу выбранные цифры для каждой физической величины. Цифры в ответе могут повторяться.

Алгоритм решения

1. Определить по графику, как меняется давление.
2. Определить, как меняется объем.
3. Определить, отчего зависит внутренняя энергия газа, и как она меняется в данном процессе.

Решение

На графике идеальный одноатомный газ изотермически сжимают, так как температура остается неизменной, а давление увеличивается. При этом объем должен уменьшаться. Но внутренняя энергия идеального газа определяется его температурой. Так как температура постоянна, внутренняя энергия не изменяется.

pазбирался: Алиса Никитина | обсудить разбор | оценить

Один моль аргона, находящийся в цилиндре при температуре T₁=600 K и давлении p₁=4⋅10 5 Па, расширяется и одновременно охлаждается так, что его температура при расширении обратно пропорциональна объёму. Конечное давление газа p₂=10 5 Па. Какое количество теплоты газ отдал при расширении, если при этом он совершил работу A=2493 Дж?

Вычисление работы расширения идеальных газов в термодинамических процессах

Для многих термодинамических систем единственным видом работы является работа расширения газа, причем многие газы при достаточно низких давлениях и сравнительно высоких температурах приближенно подчиняются законам идеальных газов. Рассмотрим математические соотношения для вычисления работы расширения идеального газа в различных процессах.

При расширении газа совершается работа:

, (1.5)

или в интегральной форме

. (1.6)

Вычисленная по уравнению (1.6) работа представляет собой максимальную работу, которую совершает газ при протекании процесса в условиях, близких к равновесным (в обратимом процессе).

Для интегрирования уравнения (1.6) необходимо знать зависимость между давлением и объемом газа, то есть уравнение состояния газа. Эта зависимость для идеального газа описывается уравнением состояния Менделеева–Клапейрона:

, (1.7)

где n – количество моль идеального газа; R – универсальная газовая постоянная, равная 8,314 Дж/(моль·К).

Рассмотрим выражение для максимальной работы расширения идеального газа в пяти процессах: изобарном, изотермическом, изохорном, изобарно-изотермическом и адиабатическом.

1. Изобарный процесс (p=const).

. (1.8)

Учитывая, что , ,

. (1.9)

Таким образом, в изобарическом процессе работа расширения совершается при нагревании системы. Графически работу расширения в изобарном процессе можно рассчитать как площадь прямоугольника V₁EGV₂ (рис.1.1).

2. Изотермический процесс (Т=const).

, где , (1.10)

. (1.11)

. (1.12)

Графически изотермический процесс представляется кривой AD, а работу расширения в этом процессе – площадью V₁EНV₂ (рис.1.1).

3. Изохорный процесс (V=const).

. (1.13)

Графически изохорный процесс можно представить прямой V₁EF(рис.1.1).

4. Изобарно-изотермический процесс (р, Т=const).

. (1.14)

Учитывая, что , получаем

, (1.15)

где Δn – изменение количества моль газов в результате реакции.

Таким образом, в изобарно-изотермическом процессе работа расширения совершается за счет изменения числа моль газов–участников реакции. Величина Δn может быть положительной и отрицательной, в зависимости от того увеличивается или уменьшается количество моль газов во время процесса. В системе с неизменным числом моль такой процесс невозможен.

5. Адиабатический процесс (Q = 0).

В адиабатическом процессе одновременно изменяются температура и давление газа. В связи с тем, что газ не получает теплоты извне, то работа адиабатического расширения совершается за счет уменьшения внутренней энергии системы и газ охлаждается:

. (1.16)

Приращение внутренней энергии зависит от молярной теплоемкости идеального газа при постоянном объеме:

, (1.17)

. (1.18)

Графически адиабатический процесс представляется кривой СВ, а работу расширения в этом процессе – площадью V₁ENV₂ (рис.1.1).

Рис.1.1. Работа расширения идеального газа при изменении его объема (от V₁ до V₂ ) в изобарном (1), изотермическом (2), изохорном (3) и адиабатическом (4) процессах.

Из рис.1.1. следует, что наибольшая работа расширения будет совершаться в изобарном процессе, а наименьшая – в адиабатическом, в изохорном процессе работа расширения равна нулю.

Термохимия. Закон Гесса

Все химические и физико-химические процессы (растворение, кристаллизация, испарение, разбавление растворов и др.) сопровождаются выделением или поглощением тепла. При соблюдении определенных условий теплота процесса называется его тепловым эффектом.

Тепловой эффект химической реакции – это количество теплоты, которое выделяется или поглощается при необратимом протекании процесса, когда единственным видом работы является работа расширения. При этом температуры исходных веществ и продуктов реакции должны оставаться постоянными.

Химические уравнения с указанием тепловых эффектов химических реакций и агрегатного состояния реагирующих веществ называются термохимическими уравнениями.

Примером термохимического уравнения может служить уравнение реакции окисления угля до углекислого газа:

.

Раздел химической термодинамики, изучающий тепловые эффекты различных физико-химических процессов, называется термохимией.Основным законом термохимии является закон Гесса, который можно рассматривать как следствие первого начала термодинамики.

Закон Гесса – тепловой эффект химической реакции не зависит от пути протекания процесса, а зависит от начального и конечного состояния системы.

Это означает, что если из данных исходных веществ можно получить одни и те же конечные продукты различными путями, то, независимо от вида промежуточных реакций, суммарный тепловой эффект будет одним и тем же.

Блог об энергетике

энергетика простыми словами

Основные термодинамические процессы

Основными процессами в термодинамике являются:

• изохорный, протекающий при постоянном объеме;
• изобарный, протекающий при постоянном давлении;
• изотермический, происходящий при постоянной температуре;
• адиабатный, при котором теплообмен с окружающей средой отсутствует;
• политропный, удовлетворяющий уравнению pv n = const.

Изохорный, изобарный, изотермический и адиабатный процессы являются частными случаями политропного процесса.

При исследовании термодинамических процессов определяют:

• уравнение процесса в p—v иT—s координатах;
• связь между параметрами состояния газа;
• изменение внутренней энергии;
• величину внешней работы;
• количество подведенной теплоты на осуществление процесса или количество отведенной теплоты.

Изохорный процесс

При изохорном процессе выполняется условие v = const.

Из уравнения состояния идеального газа (pv = RT) следует:

т. е. давление газа прямо пропорционально его абсолютной температуре:

Работа расширения в изохорном процессе равна нулю (l = 0), так как объем рабочего тела не меняется (Δv = const).

Количество теплоты, подведенной к рабочему телу в процессе 1-2 при c_v = const определяется по формуле:

Т. к.l = 0, то на основании первого закона термодинамики Δu = q, а значит изменение внутренней энергии можно определить по формуле:

Изменение энтропии в изохорном процессе определяется по формуле:

Изобарный процесс

Изобарным называется процесс, протекающий при постоянном давлении p = const. Из уравнения состояния идеального газа слуедует:

т. е. в изобарном процессе объем газа пропорционален его абсолютной температуре.

Работа будет равна:

Количество теплоты при c_p = const определяется по формуле:

Изменение энтропии будет равно:

Изотермический процесс

При изотермическом процессе температура рабочего тела остается постоянной T = const, следовательно:

т. е. давление и объем обратно пропорциональны друг другу, так что при изотермическом сжатии давление газа возрастает, а при расширении – снижается.

Работа процесса будет равна:

Так как температура остается неизменной, то и внутренняя энергия идеального газа в изотермическом процессе остается постоянной (Δu = 0) и вся подводимая к рабочему телу теплота полностью превращается в работу расширения:

При изотермическом сжатии от рабочего тела отводится теплота в количестве, равном затраченной на сжатие работе.

Изменение энтропии равно:

Адиабатный процесс

Адиабатным называется процесс изменения состояния газа, который происзодит без теплообмена с окружающей средой. Так как dq = 0, то уравнение первого закона термодинамики для адиабатного процесса будет иметь вид:

В адиабатном процессе работа расширения совершается только за счет расходования внутренней энергии газа, а при сжатии, происходящем за счет действия внешних сил, вся совершаемая ими работа идет на увеличение внутренней энергии газа.

Обозначим теплоемкость в адиабатном процессе через c_ад, и условие dq = 0 выразим следующим образом:

Это условие говорит о том, что теплоемкость в адиабатном процессе равна нулю (c_ад = 0).

и уравнение кривой адиабатного процесса (адиабаты) в p, v-диаграмме имеет вид:

В этом выражении k носит название показателя адиабаты (так же ее называют коэффициентом Пуассона).

k_{выхлопных газов ДВС} = 1,33

Из предыдущих формул следует:

Техническая работа адиабатного процесса (l_техн) равна разности энтальпий начала и конца процесса (i₁ – i₂).

Адиабатный процесс, происходящий без внутреннего трения в рабочем теле, называется изоэнтропийным. В T, s-диаграмме он изображается вертикальной линией.

Обычно реальные адиабатные процессы протекают при наличии внутреннего трения в рабочем теле, в результате чего всегда выделяется теплота, которая сообщается самому рабочему телу. В таком случае ds > 0, и процесс называется реальным адиабатным процессом.

Политропный процесс

Политропным называется процесс, который описывается уравнением:

Показатель политропы n может принимать любые значения в пределах от -∞ до +∞, но для данного процесса он является постоянной величиной.

Из уравнения политропного процесса и уравнения Клайперона можно получить выражение, устанавливающее связь между p, vи Tв любых двух точках на политропе:

Работа расширения газа в политропном процессе равна:

В случае идеального газа эту формулу можно преобразовать:

Количество подведенной или отведенной в процессе теплоты определяется с помощью первого закона термодинамики:

представляет собой теплоемкость идеального газа в политропном процессе.

При c_v, k и n = const c_n = const, поэтому политропный процесс иногда определят как процесс с постоянной теплоемкостью.

Политропный процесс имеет обобщающее значение, ибо охватывает всю совокупность основных термодинамических процессов.

Графическое представление политропа в p, v координатах в зависимости от показателя политропа n.

pv 0 = const (n = 0) – изобара;

pv = const (n = 1) – изотерма;

p 0 v = const, p 1/∞ v = const, pv ∞ = const – изохора;

n > 0 – гиперболические кривые,

n По материалам моего конспекта лекций по термодинамике и учебника «Основы энергетики». Автор Г. Ф. Быстрицкий. 2-е изд., испр. и доп. — М. :КНОРУС, 2011. — 352 с.