Уравнение для расчета энтропии газа в политропном процессе

Уравнение политропного процесса.

Продифференцируем уравнение состояния для 1 кг идеального газа:

Принимая теплоемкость не зависящей от температуры, получим уравнение первого закона термодинамики в дифференциальной форме:

Подставляя в это уравнение выражение для , получаем

Разделяя переменные и произведя интегрирование, получаем

,

где — показатель политропы, может принимать значения от нуля до бесконечности.

Зависимость между температурой и удельным объёмом определяется путём замены давления в уравнении политропного процесса его значением из уравнения состояния идеального газа:

или

Исключая подобным же образом удельный объём, находим зависимость между давлением и температурой:

отсюда или

Деформационная работа, производимая 1 кг газа в политропном процессе, определяется по формуле:

Техническая работа, производимая 1 кг газа в политропном процессе, находится по формуле:

То есть отношение технической и деформационной работ равно показателю политропы:

Изменение внутренней энергии в политропном процессе находится общей формулой:

Теплоёмкость процесса определяется из выражения для показателя политропы:

Количество теплоты в политропном процессе находится по формуле:

1.12. Энтальпия рабочего тела.

В термодинамике важную роль играет сумма внутренней энергии системы и произведения давления системы на её объём , называемая энтальпией или теплосодержанием и обозначаемая I или Н:

Так как входящие в нее величины являются функциями состояния, то и сама энтальпия является функцией состояния.

Так же как внутренняя энергия, работа и теплота, она измеряется в джоулях (Дж).

Энтальпия обладает свойством аддитивности . Величина

называемая удельной энтальпией ( ), представляет собой энтальпию системы, содержащей 1 кг ве­щества, и измеряется в Дж/кг.

Поскольку энтальпия есть функция состояния, то она может быть представ­лена в виде функции двух любых пара­метров состояния:

, а величина di является полным

Изменение энтальпии в любом про­цессе определяется только начальным и конечным состояниями тела и не за­висит от характера процесса.

Физический смысл энтальпии выяс­ним на следующем примере. Рассмотрим расширенную систему, включающую газ в цилиндре и поршень с грузом общим весом G (рис.1.7). Энергия этой системы складывается из внутренней энергии га­за и потенциальной энергии поршня с грузом в поле внешних сил: . В условиях равновесия (G = pF) эту функцию можно выразить через па­раметры газа: . Получаем, что , т.е. энтальпию можно трактовать как энергию расширенной системы.

Уравнение в случае, когда единственным видом работы является работа расширения, с уче­том очевидного соотношения может быть записано в виде .

Рис.1.10. К определению физического смысла энтальпии

Из этого соотношения следует, что если давление термодинамической системы сохраняется неизменным, то есть осуществляется изобарный процесс (dp = 0), то и , то теплота, подведенная к системе при постоянном давлении, идет только на изменение энтальпии данной системы.

Это выражение очень часто используется в расчетах, так как огромное

количество процессов подвода теплоты в теплоэнергетике (в паровых котлах, камерах сгорания газовых турбореактивных двигателей, теплообменных аппаратах), а также целый ряд процессов химической технологии и многих других производствах осуществляется при постоянном давлении. Кстати, по этой причине в таблицах термодинамических свойств обычно приводятся значения энтальпии, a не внутренней энергии.

Для идеального газа для вычисления энтальпии используется формула

Так как между энтальпией и внутренней энергией существует связь, выбор начала отсчета одной из них произволен: в точке, принятой за начало отсчета внутренней энергии, Например, для воды при = 0,01 °С ,

р = 610,8 Па, , a .

При расчетах практический интерес представляет изменение энтальпии в конечном процессе:

1.13. Энтропия рабочего тела.

Как уже указывалось, величина не является полным дифференциалом, так как теплота и изменение внутренней энергии зависят от теплоемкости, которая, в свою очередь, является функцией температуры. Кроме того, чтобы проинтегрировать правую часть этого уравнения, нужно знать зависимость давления от удельного объёма, то есть нужно знать процесс, который совершается.

В математике доказывается, что дифференциальный двучлен всегда можно превратить в полный дифференциал путем умножения (или деления) на интегрирующий множитель (или делитель). Таким интегрирующим делителем для элементарного количества теплоты является абсолютная температура Т.

Покажем это на примере изменения состояния идеального газа в равновесных процессах:

Выражение при равновесном изменении состояния газа есть полный дифференциал некоторой функции состояния, которая называется энтропией, обозначается для 1 кг газа через и измеряется в . Термин «энтропия» был введен впервые Рудольфом Юлиусом Эммануэлем Клаузиусом (1822 – 1888), немецким физиком, в 1865 году.

Для произвольного количества газа энтропия, обозначаемая через ,

равна и измеряется в .

Таким образом, аналитически энтропия определяется следующим образом:

Эта формула справедлива как для идеальных, так и для реальных газов.

Подобно любой другой функции состояния энтропия может быть представлена в виде функции любых двух параметров состояния:

Понятием «энтропия» (от греч. Entropia – поворот, превращение) будем называть в термодинамике направление теплообмена между рабочим телом термодинамической системы и внешней средой.

Значение энтропии для заданного состояния газа определяется интегрированием уравнения для энтропии:

, где — константа интегрирования.

При температурах, близких к абсолютному нулю, все известные газы находятся в конденсированном состоянии. Вальтер Нернст (1864 – 1941), немецкий физик и химик, в 1906 году экспериментально установил, а Макс Планк (1858 – 1947), немецкий физик, в 1912 году окончательно сформулировал следующий принцип:

при температуре, стремящейся к абсолютному нулю, энтропия газа, находящегося в конденсированном состоянии с упорядоченной кристаллической структурой, стремится к нулю,то есть при .

Этот закон называют третьим законом термодинамикиили тепловой теоремой В.Нернста. Он позволяет рассчитать абсолютное значение энтропии в отличие от внутренней энергии и энтальпии, которые всегда отсчитываются от произвольного уровня.

Однако в технической термодинамике обычно используется не абсолютное значение энтропии, а ее изменение в каком-либо процессе:

(1.18)

поэтому энтропию тоже отсчитывают от произвольно выбранного уровня.

Получим формулы, позволяющие вычислить изменение энтропии идеального газа. Для этого проинтегрируем уравнение для энтропии, полагая :

Имея в виду уравнение состояния, записанное для состояний «1» и «2», получаем:

После подстановки отношений и получаем следующие формулы для изменения энтропии идеального газа:

;

Поскольку энтропия есть функция со­стояния рабочего тела, написанными уравнениями можно пользоваться вне зависимости от пути перехода рабочего тела между состояниями «1» и «2» и, в частности, от того, равновесный этот переход или нет.

Понятие энтропии позволяет ввести чрезвычайно удобную для термодинамических расчетов -диаграмму, на которой (как и

на -диаграмме) состояние термодинамической системы изображается точкой, а равновесный термодинамический процесс линией (рис.1.11).

Из уравнения для изменения энтропии следует, что в равновесном процессе: . Очевидно, что в — диаграмме элементарная теплота процесса изображается элементарной площадкой с высотой и основанием ds, а площадь, ограниченная

Рис.1.11. Графическое изображение теплоты в — координатах.

линией процесса, крайними ординатами и осью абсцисс, эквивалентна теплоте процесса.

Формула для элементарного изменения энтропии показывает, что и имеют одинаковые знаки, следовательно, по характеру изменения в равновесном процессе можно судить о том, в каком направлении происходит теплообмен. При подводе теплоты ( ) его энтропия возрастает ( ), а при отводе теплоты ( ) убывает (ds Q, a dT 2 , а отношение скорости к скорости звука называется числом Маха .

Данное отношение названо в честь Эрнста Маха (1838 – 1916), австрийского физика и философа; отношение является критерием( от греч. Kriterion – средство для суждения) – признаком, на основании которого производится оценка, определение или классификация чего — либо; мерило оценки; в данном случае критерий сжимаемости газа. Формула получается при допущении, что звуковая энергия (волна) распространяется в газе или жидкости в соответствии с уравнением адиабатного процесса или .

Дифференциальное уравнение этого процесса представляется так , или . Отношение соответствует величине звуковой энергии (квадрату скорости распространения звука в веществе).

Отсюда выражение для полной энергии потока в сечении записывается так:

Число Маха, таким образом, является характеристикой сжимаемости рабочего тела. Например, при сжимаемостью газа можно пренебречь и принять , то есть считать газ как жидкость. При — околозвуковой поток, характерный для полетов гражданских самолетов; при — звуковой барьер или критический режим течения потока; при — трансзвуковой поток, характерный режим обтекания некоторых участков крыла самолета даже при околозвуковой скорости полета воздушного судна; при — сверхзвуковой поток; при гиперзвуковой поток. Поскольку плотность воздуха в атмосфере Земли с высотой уменьшается практически до нуля, то число Маха в полете при этих условиях стремится к бесконечности (например, поток газа в пустоту).

Принимая , находим критическую скорость звука, используя выражение:

Если формулу для полной энергии потока разделить на и обозначить отношение скорости к критической скорости звука как приведенную скорость , то выражение для полной энергии потока в сечении (или для любой точки потока) представляется так

или — газодинамическая функция температуры. Значение приведенной скорости меняется от нуля до максимального значения .

Если принять процесс торможения потока от температуры до адиабатным, что практически соответствует приборам для измерения давления в потоке, то можно найти выражение для газодинамической функции давления

или плотности .

Уравнение сохранения энергии широко используется в авиационной практике для различных элементов двигателей. Например:

а) работа , подводимая к валу ротора компрессора ;

Блог об энергетике

энергетика простыми словами

Основные термодинамические процессы

Основными процессами в термодинамике являются:

• изохорный, протекающий при постоянном объеме;
• изобарный, протекающий при постоянном давлении;
• изотермический, происходящий при постоянной температуре;
• адиабатный, при котором теплообмен с окружающей средой отсутствует;
• политропный, удовлетворяющий уравнению pv n = const.

Изохорный, изобарный, изотермический и адиабатный процессы являются частными случаями политропного процесса.

При исследовании термодинамических процессов определяют:

• уравнение процесса в p—v иT—s координатах;
• связь между параметрами состояния газа;
• изменение внутренней энергии;
• величину внешней работы;
• количество подведенной теплоты на осуществление процесса или количество отведенной теплоты.

Изохорный процесс

При изохорном процессе выполняется условие v = const.

Из уравнения состояния идеального газа (pv = RT) следует:

т. е. давление газа прямо пропорционально его абсолютной температуре:

Работа расширения в изохорном процессе равна нулю (l = 0), так как объем рабочего тела не меняется (Δv = const).

Количество теплоты, подведенной к рабочему телу в процессе 1-2 при c_v = const определяется по формуле:

Т. к.l = 0, то на основании первого закона термодинамики Δu = q, а значит изменение внутренней энергии можно определить по формуле:

Изменение энтропии в изохорном процессе определяется по формуле:

Изобарный процесс

Изобарным называется процесс, протекающий при постоянном давлении p = const. Из уравнения состояния идеального газа слуедует:

т. е. в изобарном процессе объем газа пропорционален его абсолютной температуре.

Работа будет равна:

Количество теплоты при c_p = const определяется по формуле:

Изменение энтропии будет равно:

Изотермический процесс

При изотермическом процессе температура рабочего тела остается постоянной T = const, следовательно:

т. е. давление и объем обратно пропорциональны друг другу, так что при изотермическом сжатии давление газа возрастает, а при расширении – снижается.

Работа процесса будет равна:

Так как температура остается неизменной, то и внутренняя энергия идеального газа в изотермическом процессе остается постоянной (Δu = 0) и вся подводимая к рабочему телу теплота полностью превращается в работу расширения:

При изотермическом сжатии от рабочего тела отводится теплота в количестве, равном затраченной на сжатие работе.

Изменение энтропии равно:

Адиабатный процесс

Адиабатным называется процесс изменения состояния газа, который происзодит без теплообмена с окружающей средой. Так как dq = 0, то уравнение первого закона термодинамики для адиабатного процесса будет иметь вид:

В адиабатном процессе работа расширения совершается только за счет расходования внутренней энергии газа, а при сжатии, происходящем за счет действия внешних сил, вся совершаемая ими работа идет на увеличение внутренней энергии газа.

Обозначим теплоемкость в адиабатном процессе через c_ад, и условие dq = 0 выразим следующим образом:

Это условие говорит о том, что теплоемкость в адиабатном процессе равна нулю (c_ад = 0).

и уравнение кривой адиабатного процесса (адиабаты) в p, v-диаграмме имеет вид:

В этом выражении k носит название показателя адиабаты (так же ее называют коэффициентом Пуассона).

k_{выхлопных газов ДВС} = 1,33

Из предыдущих формул следует:

Техническая работа адиабатного процесса (l_техн) равна разности энтальпий начала и конца процесса (i₁ – i₂).

Адиабатный процесс, происходящий без внутреннего трения в рабочем теле, называется изоэнтропийным. В T, s-диаграмме он изображается вертикальной линией.

Обычно реальные адиабатные процессы протекают при наличии внутреннего трения в рабочем теле, в результате чего всегда выделяется теплота, которая сообщается самому рабочему телу. В таком случае ds > 0, и процесс называется реальным адиабатным процессом.

Политропный процесс

Политропным называется процесс, который описывается уравнением:

Показатель политропы n может принимать любые значения в пределах от -∞ до +∞, но для данного процесса он является постоянной величиной.

Из уравнения политропного процесса и уравнения Клайперона можно получить выражение, устанавливающее связь между p, vи Tв любых двух точках на политропе:

Работа расширения газа в политропном процессе равна:

В случае идеального газа эту формулу можно преобразовать:

Количество подведенной или отведенной в процессе теплоты определяется с помощью первого закона термодинамики:

представляет собой теплоемкость идеального газа в политропном процессе.

При c_v, k и n = const c_n = const, поэтому политропный процесс иногда определят как процесс с постоянной теплоемкостью.

Политропный процесс имеет обобщающее значение, ибо охватывает всю совокупность основных термодинамических процессов.

Графическое представление политропа в p, v координатах в зависимости от показателя политропа n.

pv 0 = const (n = 0) – изобара;

pv = const (n = 1) – изотерма;

p 0 v = const, p 1/∞ v = const, pv ∞ = const – изохора;

n > 0 – гиперболические кривые,

n По материалам моего конспекта лекций по термодинамике и учебника «Основы энергетики». Автор Г. Ф. Быстрицкий. 2-е изд., испр. и доп. — М. :КНОРУС, 2011. — 352 с.

4 Анализ политропных процессов идеальных

Главная > Документ

4 Анализ политропных процессов идеальных

4.1 Особенности политропных процессов

Политропными называются процессы с постоянной теплоёмкостью. В каждом из этих процессов рабочее тело может иметь любое значение теплоёмкости от 0 до , но в течение процесса теплоёмкость должна быть постоянна.

При изучении политропных процессов используются термодинамические законы, формулы для определения теплоты, работы, изменения энтропии и внутренней энергии в процессах, а также уравнение состояния идеального газа.

Для определения уравнения политропного процесса, связующего переменные параметры состояния, используются формулы, определяющие энергетический баланс в соответствии с первым законом термодинамики:

→ (4.1)

→ (4.2)

После деления (4.1) на (4.2) и замены получается

, откуда (4.3)

Показатель политропы n может принимать любое числовое значение.

В результате интегрирования и последующего потенцирования уравнения (4.3) определяется взаимосвязь между давлением и удельным объёмом в политропном процессе:

(4.4)

Если по уравнению состояния произвести замену в выражении (4.4) , то определится взаимосвязь между температурой и

удельным объёмом в политропном процессе:

Aналогично определяется взаимосвязь в политропном процессе между температурой и давлением:

(4.6)

В политропном процессе 1-2 соотношения между начальными и конечными значениями параметров определяются из выражений (4.4 — 4.6):

(4.7)

Удельная теплота политропного процесса равна

, (4.8)

где теплоёмкость политропного процесса определяется из выражения

,

, ( 4.9)

где

Удельная работа политропного процесса равна

Учитывая, что , дальнейшее решение имеет вид:

(4.10)

Изменение удельной внутренней энергии в политропном процессе определяется по формуле

( 4.11)

Изменение удельной энтропии в политропном процессе равно

(4.12)

При известных параметрах в начале и конце процесса 1-2 показатель

политропы определяется из соотношения

( 4.13)

з последнего выражения следует, что в логарифмических координатах “давление — удельный объём” (рисунок 4.1) политропа изображается прямой линией, а показатель политропы n численно равен тангенсу угла наклона этой линии

4.2 Частные политропные процессы

Термодинамический процесс, в котором объем рабочего тела остаётся постоянным, называется изохорным . В диаграммах p-v и T-s этот процесс показан на рисунке 4.2 . Здесь же показаны схемы трансформации энергии при изохорном нагреве (а) и изохорном охлаждении (б) вещества. Показатель политропы в изохорном процессе .

Так как в этом процессе объём не изменяется, работа процесса равна нулю ().

Уравнение первого закона термодинамики для изохорного процесса имеет вид:

(4.15)

Удельная теплота изохорного процесса

(4.16)

Соотношение между параметрами в изохорном процессе

(4.17)

Изменение удельной энтропии в данном процессе

(4.18)

сли принять показатель n=0, уравнение политропы превращается в характеристику процесса с постоянным давлением p=Const. Такой процесс называется изобарным. Его изображение в диаграммах показано на рисунке 4.3. Здесь же представлены схемы трансформации энергии в процессах нагрева (а) и охлаждения (б) рабочего тела.

При нагревании часть передаваемой рабочему телу теплоты идёт на увеличение внутренней энергии, а часть — на совершение работы расширения. При охлаждении отведённая теплота численно равна сумме уменьшения внутренней энергии и работе сжатия.

Соотношение между начальными и конечными изменяющимися параметрами состояния в изобарном процессе

(4.19)

Удельная теплота изобарного процесса

(4.20)

Удельная работа изобарного процесса определяется из выражения (4.10) при n=0:

, (4.21)

где р = р 1 = р 2 .

Изменение удельной внутренней энергии в данном процессе, как и в любом политропном, определяется по формуле (4.11).

Уравнение первого закона термодинамики применительно к изобарному процессу имеет такой вид:

(4.22)

При дифференцировании уравнения состояния

ввиду постоянства p и R получается равенство pdv=RdT. С учётом этого, выражение (4.22) имеет вид

,

а после сокращений:

(4.23)

Последнее выражение, отражающее взаимосвязь между теплоёмкостями и газовой постоянной, называют уравнением Майера . Оно свидетельствует о том, что изобарная теплоёмкость идеального газа больше изохорной теплоёмкости на величину газовой постоянной.

Для изобарного процесса справедливо равенство:

 q=dh , , (4.24)

что гласит: в изобарном процессе теплота процесса численно равна разности конечной и начальной энтальпий. Это следует из сопоставления уравнений первого закона термодинамики и энтальпийного выражения при условии dp=0 :

В термодинамическом процессе с показателем политропы n=1 характеристическое уравнение имеет вид

Для идеального газа pv = RT, поэтому в рассматриваемом процессе температура постоянна. Процесс с постоянной температурой называется изотермическим .

В изотермическом процессе 1-2, показанном на рисунке 4.4, внутренняя энергия не изменяется, так как в идеальных газах её изменение однозначно определяется изменением температуры. Соотношение между начальными и конечными параметрами в этом процессе

(4.25)

Рисунок 4.4

(4.26)

Теплоёмкость изотермического процесса

,

поэтому использовать для определения теплоты формулу (1.7), включающую теплоёмкость, в этом процессе нельзя. Так как в изотермическом процессе теплота численно равна работе, достаточно иметь расчётную формулу работы.

Удельная работа изотермического процесса равна

Окончательно при

(4.27)

Изменение энтропии в изотермическом процессе

(4.28)

Рисунок 4.5

и называется показателем адиабаты .

Так как в соответствии с уравнением Майера (4.23) изобарная теплоёмкость больше изохорной, показатель адиабаты всегда больше единицы. В расчётах с небольшой точностью обычно принимают следующие значения:

для одноатомных газов k= 1,69 ;

для двухатомных газов k=1,41;

для многоатомных газов k=1,33 .

Уравнение первого закона термодинамики применительно к адиабатному процессу имеет вид:

(4.29)

Уравнения адиабатного процесса, связывающие переменные параметры состояния, получаются из выражений (4.4 – 4.6) при замене n на k :

(4.30)

Из уравнений (4.30) выводятся соотношения между параметрами:

(4.31)

Изменение удельной внутренней энергии в адиабатном процессе 1-2 составляет:

(4.32)

С учетом равенства (4.29) удельная работа адиабатного процесса

(4.33)

Удельная работа может быть определена также по формуле (4.10) при замене n на k :

(4.34)

4.3 Круговые диаграммы политропных процессов

Рисунок 4.6

Так как в идеальных газах увеличению температуры соответствует рост внутренней энергии, а уменьшению температуры — снижение внутренней энергии, в диаграмме T- s все процессы над изотермой (n=1), включая адиабатное сжатие (n=k), изохорный нагрев (n=±  ) и изобарное расширение (n=0) , происходят с увеличением внутренней энергии (du>0). Процессы в противоположном секторе, включающем адиабатное расширение (n=k), изохорное охлаждение (n=  ) и изобарное охлаждение (n=0 ), протекают с уменьшением внутренней энергии (du

Сектор диаграммы, в котором все процессы происходят с подводом теплоты, определяется по положительному приращению энтропии ds>0 , а в противоположном секторе, где все процессы протекают с отводом теплоты, энтропия рабочего тела уменьшается ds . Сектор с подводом теплоты в процессах включает изохорный нагрев (n=  ), изобарное расширение (n=0) и изотермическое расширение (n=1), а сектор, в котором процессы происходят с отводом теплоты, включает изохорное охлаждение (n=  ), изобарное сжатие (n=0) и изотермическое сжатие газа (n=1).

С помощью круговых диаграмм можно проводить качественный анализ термодинамических политропных процессов. Например, для политропного процесса сжатия 0-А по диаграммам можно определить, не производя расчетов, следующее:

процесс происходит с отводом теплоты (  q ) и увеличением внутренней энергии du>0 ;

несмотря на отвод теплоты, температура газа возрастает;

учитывая взаимосвязь между теплотой, работой и изменением внутренней энергии, определяемую уравнением первого закона термодинамики, схема трансформации энергии будет такой:

работа процесса больше теплоты, так как часть работы преобразуется во внутреннюю энергию рабочего тела.

Ещё пример. В процессе расширения О-D с показателем политропы n=-100 теплота подводится, внутренняя энергия газа увеличивается, причём это увеличение равно разности теплоты и работы. Можно сказать также, что в этом процессе расширения температура газа возрастает.

5 Процессы течения идеальных газов

5.1 Преобразование энергии в потоке газа

В технике много машин и двигателей, в которых происходят процессы течения газа с трансформацией энергии потока. Течение газа может происходить в цилиндрических трубах, через отверстия или в специально спроектированных каналах.

Каналы, в которых происходит увеличение кинетической энергии и снижение потенциальной энергии потока, называются соплами . В сопловых каналах давление газа или пара снижается, а скорость возрастает.

Каналы, в которых кинетическая энергия газа уменьшается, а потенциальная возрастает, называются диффузорами . В диффузорах давление увеличивается, а скорость потока уменьшается.

Уравнение первого закона термодинамики для потока (2.5), при отсутствии технической работы и нулевом изменении потенциальной энергии в поле гравитационных сил, приобретает следующий вид:

(5.1)

В соплах и диффузорах скорость движения газа достаточно велика, а размеры этих каналов, как правило, небольшие, поэтому за то время, когда газ течёт по каналу, он не успевает передавать теплоту в окружающую среду. В связи с этим процессы течения в дальнейшем будут рассматриваться как адиабатные. Для них

(5.2)

Так какно, поэтому

Рисунок 5.1

где — элементарная располагаемая работа.

Термин “работа” здесь несколько условен, точнее — произведение объёма на приращение давления есть изменение потенциальной энергии. Предполагается, что эта потенциальная энергия при течении газа по соплу, в соответствии с выражением (5.3), превратится в кинетическую, которая затем на лопатках турбины преобразуется в работу перемещения ротора турбины.

Процесс адиабатного расширения газа в потоке изображается на диаграмме p — v (рисунок 5.1) линией 1-2 . Площадь а-1-2-в по смыслу выражения

(5.4)

представляет собой располагаемую работу процесса .

При известных начальных и конечных параметрах состояния располагаемая работа определяется по следующей формуле (5.5)

При сравнении формул (5.5) и (4.34) видно, что располагаемая работа в к раз больше работы изменения объёма:

(5.6)

5.2 О форме сопел и диффузоров.

В формулировках сопел и диффузоров не оговаривается возможная геометрия этих каналов. Это не случайно, так как их продольный профиль зависит от условий течения газа, о чём пойдёт речь ниже.

Одним из уравнений, определяющих физико-математическую модель процесса течения газа, является уравнение неразрывности (сплошности):

где М — массовый секундный расход газа,  — удельный объем газа,  — скорость потока, А — площадь поперечного сечения канала

Смысл уравнения сплошности заключается в том, что массовое количество газа, проходящего в единицу времени одинаково для любого поперечного сечения канала; при переходе от одного сечения канала к другому масса газа не может увеличиться или уменьшиться.

В дифференциальном виде при М = Const (массовый расход газа через любое поперечное сечение канала одинаков) уравнение (5.7) выглядит так:

d(Mv)=d(  A) и Mdv=  dA+Ad  (5.8)

После деления (5.8) на (5.7) получается

(5.9)

Из дифференциального уравнения адиабаты

следует , ( 5.10)

а из уравнения располагаемой работы (5.3) получается

(5.11)

После подстановки из уравнений (5.10) и (5.11) уравнение (5.8) имеет вид

(5.12)

Из школьного курса физики известно, что скорость звука определяется выражением

(5.13)

C учётом этого формула (5.12) записывается так:

(5.14)

Приращение dA в формуле (5.14) может быть как положительным, так и отрицательным. Это зависит от знака приращения dp и величины, заключенной в скобках. Знак “минус” перед dA означает, что площадь поперечного сечения должна уменьшаться, а положительному приращению dA должно соответствовать расширение канала.

В соответствии с формулировками, для сопла dp а для диффузора dp>0 . Когда скорость потока меньше скорости звука, величина, заключенная в скобках, всегда положительна, потому что скорость, давление и показатель адиабаты не могут быть отрицательными; если же поток движется со сверхзвуковой скоростью, то она отрицательна.

Таблица 5.1

Знак

Из таблицы 5.1следует:

— когда скорость газа на входе в канал меньше местной (то есть в данном сечении канала) скорости звука, сопло должно быть суживающимся, а диффузор — расширяющимся;

если скорость потока во входном сечении канала превышает местную скорость звука, то сопло должно быть расширяющимся, а диффузор суживающимся.

5.3 Истечение газа из суживающегося сопла

При изучении этого процесса предполагается, что истечение происходит при постоянных параметрах газа на входе в сопло и на выходе из него.

Пусть давление cреды, откуда происходит истечение, равно , а давление той cреды, куда вытекает газ (так называемое противодавление), равно . Пусть начальные параметры газа (на входе в сопло) известны и равны .

Скорость газа на выходе из сопла можно определить, используя формулу (5.2), откуда при условии, что выходная скорость значительно больше скорости газа на входе (), получается

Рисунок 5.2

Сложность при использовании формулы (5.15) заключается в том, что энтальпия газа на выходе из сопла, как правило, неизвестна, и её определение требует дополнительных расчётов. Более удобной представляется формула, в которой были бы задействованы начальные параметры и перепад давлений до и после сопла. Для получения такой формулы используются выражения (5.3-5.5), откуда

,

и, при условии ,

(5.16)

Дальнейшие преобразования будут относиться к выражению, заключенному в скобки под корнем:

Если отношение давлений обозначить , то, после подстановки предыдущего выражения в формулу (5.16), получается

(5.17)

Для определения массового расхода газа используется уравнение сплошности применительно к выходному сечению площадью :

(5.18)

Для удаления из формулы удельного объёма в выходном сечении производятся следующие преобразования:

(5.19)

После подстановки полученного фрагмента в формулу (5.18), получается:

(5.20)

На основании формул (5.17) и (5.20) на рисунке 5.3 построены графические зависимости скорости истечения и массового расхода газа в суживающемся сопловом канале.

При  = 1 , когда давление до и после сопла одинаково, движение потока отсутствует, скорость и массовый расход газа равны нулю.

По мере уменьшения  скорость потока в выходном сечении возрастает, и при  = 0 , что соответствует истечению в вакуумированное пространство, она достигает максимума:

(5.21)

Рисунок 5.3

Проведенные эксперименты по изучению процесса истечения газа показали, что формулы (5.17) и (5.20) справедливы в диапазоне изменения  от единицы до некоторого значения, соответствующего максимальному расходу газа и точке перегиба кривой . При дальнейшем уменьшении  скорость истечения и массовый расход газа остаются постоянными, как бы ни изменялось давление приёмной среды.

Для выяснения появившегося несоответствия между теорией и практикой следует вначале определить, от чего зависит и чему равно значение . Для этого берётся первая производная от функции, заключенной в скобках уравнения (5.20), и приравнивается нулю:

(5.22)

Последнее выражение можно представить в таком виде

(5.23)

Из формулы (5.23) следует, что критическое отношение давлений зависит только от показателя адиабаты и, с учётом ранее принятых числовых значений показателей адиабаты, составляет для одноатомных газов — 0,485, для двухатомных — 0,527 и для многоатомных — 0,545.

Дальнейший анализ сводится к более подробному изучению факторов, влияющих на выходную скорость газа. Из исходной формулы (5.16) находится зависимость скорости потока от критических параметров газа в выходном сечении сопла:

(5.24)

После замены получается

(5.25)

Если в выражение (5.25) подставить значение критического отношения давлений из формулы (5.23), то, после сокращений, оно предстанет в таком виде:

, (5.26)

где — местная, то есть в выходном сечении, скорость звука

Рисунок 5.4

Пока отношение давлений больше критического , в сопловом канале устанавливается режим течения, соответствующий теоретическому распределению давления по длине канала от до , где— давление газа в выходном сечении сопла.. Наличие градиента давления вдоль соплового канала приводит к преобразованию потенциальной энергии потока в кинетическую по известному соотношению , в результате чего поток на выходе приобретает интегральную скорость .

Уменьшение давления в приёмной среде при постоянном начальном давлении ведёт к увеличению градиента давления и выходной скорости потока. Это продолжается до тех пор, пока в устье сопла не установится критический режим, когда скорость потока оказывается равной местной скорости звука. Дальнейшее понижение давления в приёмной среде (противодавления) не приводит к перераспределению давлений по длине сопла и увеличению градиента давления, так как волны давления перемещаются именно со скоростью звука. Можно сколь угодно понижать давление , приближаясь к абсолютному вакууму, но давление в устье сопла и вся эпюра давления по длине соплового канала останутся неизменными. Отсюда следует постоянство скорости истечения и массового расхода газа при всех значениях . Такие режимы течения называют закритическими.

Изменение скорости потока, местной скорости звука и давления по длине соплового канала в различных режимах течения газа показано на рисунке 5.4 .

В докритической области формулы (5.17) и (5.20) для определения скорости истечения и массового расхода используются без всяких оговорок. В критическом режиме эти формулы также справедливы при условии, что в них будет присутствовать значение , определяемое по формуле (5.23).

Для определения скорости в закритическом режиме в формулу (5.17) следует подставлять значение , независимо от действительного отношения давлений . Массовый расход газа в закритическом режиме определяется по формуле (5.20) при тех же условия её использования, либо по уравнению сплошности

, (5.27)

где удельный объём определяется по соотношению между параметрами в адиабатном процессе расширения газа:

.

5.4 Сопло Лаваля

Д
ля получения сверхзвуковых скоростей при истечении газа или пара применяются комбинированные сопла, состоящие из суживающейся части и расширяющегося патрубка.

Рисунок 5.5

Чтобы в процессе расширения не происходил отрыв потока от стенок, и во избежание нежелательного вихреобразования, угол конусности в расширяющейся части сопла Лаваля обычно принимается равным 8-12  . Правильным подбором длины расширяющегося насадка можно добиться полного преобразования потенциальной энергии газа в кинетическую.

Изменение скорости потока  , местной скорости звука а и давления р по длине сопла Лаваля представлено на рисунке 5.5 . Так как в сопловом канале Лаваля происходит расширение газа при полном использовании перепада давления, скорость потока в выходном сечении определяется по формуле (5.17) при действительном значении  . Массовый расход газа здесь определяется пропускной способностью минимального сечения, в котором установились критические условия, поэтому в формулу массового расхода (5.20) следует подставлять критическое отношение давлений .

Так как массовый расход газа одинаков и в минимальном, и в выходном сечениях, можно записать

, (5.28)

(5.29)

Длина расширяющейся части круглого сопла Лаваля определяется из соотношения

где ОА=(D-d)/2. , D — диаметр выходного сечения сопла, d — диаметр минимального сечения сопла.

Благодаря разработке теории комбинированных сопел, когда стало возможным эффективно использовать пар высокого давления, мощный толчок получило судовое турбостроение, и в конце 19 — начале 20 века стали эксплуатироваться турбинные установки мощностью в десятки и сотни тысяч киловатт.

5.5 Нерасчётные режимы истечения газа из сопел

Изменение давления в среде, откуда происходит истечение, так же как и изменение противодавления при течении газа в суживающемся сопле, отражается на скорости истечения в соответствии с закономерностями, выясненными выше в п.5.3. При нерасчётных режимах никаких сложностей и новых особенностей здесь не возникает.

В канале Лаваля, предназначенном для работы в условиях закритического течения газа, изменение противодавления в сторону увеличения приводит к тому, что в некотором сечении х – х расширяющейся части сопла давление газа р х становится меньше противодавления р 2 (точка 2 на рисунке 5.6), в связи с чем следует резкое повышение давления газа (процесс 2-3). Такой процесс повышения давления называется скачком давления .

После скачка давления скорость течения газа становится сразу дозвуковой. Участок сопла за сечением х – х начинает работать как диффузор, в котором давление возрастает по линии 3-4.

Рисунок 5.6

Пояснить случившееся можно, проанализировав следующую ситуацию. Если на пути потока, движущегося по трубе, внезапно установить препятствие в виде диафрагмы, то у диафрагмы возникнет волна давления, которая будет двигаться навстречу потоку и по ходу его со скоростью звука. Встречное движение волны будет устанавливать повышенное давление до диафрагмы со скоростью, равной разности скоростей звука и потока. За диафрагмой давление останется равным противодавлению.

Сверхзвуковой поток в аналогичных условиях ведёт себя иначе. Волна давления, возникшая у диафрагмы, не может проникнуть навстречу потоку, потому что он движется со сверхзвуковой скоростью. Эта волна может распространяться только в направлении движения потока, поэтому давление за диафрагмой возрастает. Это новое давление может оказаться больше противодавления приёмной среды.

Если противодавление за соплом Лаваля станет больше расчётного, то на срезе сопла возникает волна давления, которая со скоростью звука внедряется в сверхзвуковой поток. В результате взаимодействия скоростей образовавшаяся волна давления принимает коническую форму и переходит в так называемый косой скачок давления z — z ¹- z . Давление за наружной поверхностью конуса равно противодавлению окружающей среды р 2 , а внутри конуса давление меньше. Протяженность скачка давления очень мала и оценивается длиной свободного пробега молекул.

Кроме неприятностей в виде скачка давления, увеличение противодавления может привести к отрыву струи от стенок сопла. Волна давления, возникшая у выходной кромки сопла, может распространиться внутрь сопла по пограничному слою, где скорость движения газа может быть меньше скорости звука. Следует помнить, что по теории пограничного слоя скорость газа или жидкости, соприкасающейся с поверхностью канала равна нулю. Здесь, в расширяющейся части сопла может возникнуть ещё один скачок давления y — y ¹- y .

5.6 Термодинамические процессы в турбине

урбина является одним из элементов газотурбинного двигателя, работающего по круговому процессу. Кроме того, в турбинах используется энергия отработанных газов поршневых ДВС для привода нагнетателей, позволяющих повысить мощность установок. Турбины также применяются в холодильных установках и системах кондиционирования воздуха. В зависимости от применяемого рабочего тела турбины подразделяются на паровые и газовые.

Рисунок 5.8

Работа процесса, совершаемая газом или паром в условиях открытой термодинамической системы, которой является турбина, называется технической или располагаемой работой (о ней упоминалось ранее при рассмотрении первого закона термодинамики).

Для идеальной турбины, в которой отсутствуют тепловые потери и потери на трение, уравнение первого закона термодинамики записывается в таком виде:

, (5.30)

но при отсутствии тепловых потерь , поэтому

, (5.31)

а работа газа в процессе адиабатного процесса расширения1-2 равна:

(5.32)

Следовательно, удельная работа, совершаемая рабочим телом в турбине, равна разности удельных энтальпий перед входом в турбину и на выходе из неё.

Адиабатный процесс, происходящий в турбине, показан в диаграммах p – v и T – s на рисунке 5.8. Заштрихованная площадь 12аб определяет работу при расширении и перемещении газа.

При расширении рабочего тела в турбине давление его снижается, и работа, в соответствии с выражением (5.32), получается положительной. Из уравнения политропы (4.3) следует:

,

что означает – удельная работа открытой системы (располагаемая работа) в п раз больше работы изменения объёма закрытой системы. Адиабатный процесс является частным случаем политропных процессов при п = к , поэтому, на основании формулы 4.34, адиабатному расширению газа в турбине соответствует удельная работа, определяемая по формуле

(5.33)

нтиподы турбин – лопаточные компрессоры применяются в газотурбинных установках, в турбонагнетателях поршневых двигателей, а также в других машинах, где требуется перемещение и сжатие упругих веществ (газов или паров).

Упрощенная модель открытой термодинамической системы, имитирующей компрессор, показана на рисунке 5.9,а. Пусть на входе в компрессор параметры газа равны p 1 , v 1 , T 1 , h 1 , а на выходе – p 2 , v 2 , T 2 , h 2 . Для такой системы справедливо уравнение первого закона термодинамики 5.30, а при условии адиабатности процесса – уравнение 5.31. Техническая работа, затраченная на сжатие и перемещение газа в идеальном лопаточном компрессоре определяется по формуле 5.32, которая может быть представлена в таком виде:

, (5.34)

где β = р 2 /р 1 – перепад давлений, который создаёт компрессор.

Работа, подсчитанная по формуле (5.34), отрицательна, так как компрессор – машина, потребляющая энергию.

Процесс сжатия, происходящий в компрессоре, на диаграмме p – v изображается линией 1-2, а заштрихованная площадь на рисунке 5.9 представляет собой теоретическую работу компрессора.

5.6 Эжектирование

Эжектированием называют процесс перемещения одного газа под действием разряжения, создаваемого другим газом, движущимся с большой скоростью. Активный высоконапорный газ, создающий разряжение, называется эжектирующим, а пассивный, который приводится в движение – эжектируемым.

Различают эжекторы и инжекторы. В эжекторах статическое давление на выходе смеси равно давлению окружающей среды, они находят применение для вентиляции помещений, для перемещения атмосферного воздуха через радиатор двигателя и для других нужд. Инжекторы предназначены для нагнетания жидкостей и газов в сосуды, находящиеся под давлением, превышающем давление окружающей среды. В этих смесительных устройствах чаще всего количество эжектирующего тела больше, чем эжектируемого, в отличие от эжекторов, где соотношение иное.

На рисунке 5.10 показана схема эжектора, на которой даны эпюры распределения давления в проточной части. Эжектор состоит из соплового канала 1 , по которому подаётся высоконапорный эжектирующий газ, сопло 2 для эжектируемого низконапорного газа, камеры смешения 3 и диффузора 4 . Все каналы, и камера смешения в том числе, могут иметь как круглое, так и прямоугольное или иное сечение. Длина камеры смешения выбирается такой, чтобы в ней заканчивался процесс смешения газов. Расчёты и опыт проектирования эжекторов показывает, что достаточно однородная смесь получается при длине, превышающей диаметр смесительной камеры в 8-12 раз. В диффузоре скорость смеси газов уменьшается при одновременном росте статического давления, ч
то уменьшает потери энергии с выходной скоростью.

Рисунок 5.10

При сверхкритическом режиме течения (рисунок 5.10в) статическое давление р 1 превышает давление р 2 , из-за чего поток эжектирующего газа начинает расширяться и скорость его движения становится сверхзвуковой. Смешение сверхзвуковой струи с эжектируемым газом происходит менее интенсивно. Поток эжектируемого газа, перемещаясь между стенками канала и устойчивой струей эжектирующего газа, постепенно разгоняется и статическое давление в нём падает. Полное смешение потоков при выравнивании давлений происходит в некотором сечении, находящемся на удалении от среза сопла активного газа.

При увеличении перепада давления на сопле активного газа сечение полного смешения будет отодвигаться от начала камеры смешения, площадь потока эжектируемого газа будет уменьшаться, а его скорость возрастать. Режим, когда скорость эжектируемого газа достигает скорости звука, называется критическим. Дальнейшее увеличение перепада давлений ведёт к уменьшению расхода эжектируемого газа за счёт уменьшения проходного кольцевого сечения, по которому этот газ движется. Когда сверхзвуковой поток эжектирующего газа расширяется до стенок камеры смешения, наступает запирание эжектора, из которого будет выходить только активный газ.

Расчёт эжектора базируется на трёх уравнениях: сохранения массы, энергии и количества движения. В нижеприведённых уравнениях величины с индексом 1 относятся к эжектирующему газу, с индексом 2 – к эжектируемому, а с индексом 3 – к смеси.

По закону сохранения массы

G 3 = G 1 + G 2 или G 3 / G 1 = m +1, (5.35)

где G 2 / G 1 = m – коэффициент эжекции .

При адиабатном течении газа энтальпия смеси равна сумме энтальпий компонентных потоков:

Н 3 =Н 1 +Н 2 или c p 3 G 3 T 3 = c p 1 G 1 T 1 + c p 2 G 2 T 2

Если пренебречь влиянием температуры на теплоёмкость, то, при делении на c p 1 G 1 T 1, получается

( m +1) T 3 / T 1 =1+ mT 2 / T 1 или T 3 / T 1 =( mΘ +1)( m +1),

где Θ = T 2 / T 1

Отношение критических скоростей в газовых потоках представляется в следующем виде:

a кр2 / a кр1 = (5.36)

a кр3 / a кр1 = (5.37)

По закону сохранения количества движения равнодействующая внешних сил, приложенных к секундной массе газа, равна изменению количества движения этой массы. Равнодействующая внешних сил равна разности сил давления газа на входе в камеру смешения и на выходе из неё:

R = p 1 A 1 + p 2 A 2 — p 3 A 3 (5.38)

Количество движения на входе в камеру смешения складывается из количества движения компонентных потоков, а на выходе из камеры смешения равно количеству движения суммарной массы двух потоков:

(5.39)

p 1 A 1 + p 2 A 2 — p 3 A 3 = ,

откуда (5.40)

Выражение называют полным импульсом потока. С учётом уравнения неразрывности можно записать

(5.41)

Из формулы торможения потока (14.13) следует

Отсюда определяется отношение давления к плотности:

(5.42)

После подстановки в уравнение (5.41) получается

, (5.43)

где

С учётом последнего вывода выражение () имеет вид

(5.44)

Это выражение называется основным уравнением эжекции. Оно обычно решается относительно z 3 для определения скорости смеси газов на выходе из камеры смешения. Решение этого квадратного уравнения даёт два значения скорости, одно из которых соответствует дозвуковому режиму течения газа, а второе – сверхзвуковому.

Для решения уравнения эжекции нужно знать скорости истечения из сопел эжектирующего и эжектируемого газов, а также площади проходных сечений на выходе из сопел. Их определяют по ранее полученным формулам истечения.

6 Поршневые компрессоры