Уравнение для расчета площади кругового сектора

Нахождение площади сектора круга

В данной публикации мы рассмотрим формулы, с помощью которых можно вычислить площадь сектора круга, а также разберем примеры решения задач для демонстрации их практического применения.

Определение сектора круга

Сектор круга – это часть круга, образованная двумя его радиусами и дугой между ними. На рисунке ниже сектор закрашен зеленым цветом.

• AB – дуга сектора;
• R (или r) – радиус круга;
• α – это угол сектора, т.е. угол между двумя радиусами. Также его иногда называют центральным углом.

Формулы нахождения площади сектора круга

Через длину дуги и радиус круга

Площадь (S) сектора круга равняется одной второй произведения длины дуги сектора (L) и радиуса круга (r).

Через угол сектора (в градусах) и радиус круга

Площадь (S) сектора круга равняется площади круга, умноженной на угол сектора в градусах ( α°) и деленной на 360°.

Через угол сектора (в радианах) и радиус круга

Площадь (S) сектора круга равняется половине произведения угла сектора в радианах (a_рад) и квадрата радиуса круга.

Примеры задач

Задание 1
Дан круг радиусом 6 см. Найдите площадь сектора, если известно, что длина его дуги составляет 15 см.

Решение
Воспользуемся первой формулой, подставив в нее заданные значения:

Задание 2
Найдите угол сектора, если известно, что его площадь равна 78 см 2 , а радиус круга – 8 см.

Решение
Выведем формулу для нахождения центрального угла из второй формулы, рассмотренной выше:

Способы нахождения площади кругового сектора

Определение кругового сектора

Пусть имеется окружность радиусом R. Из центра проведем два радиуса под углом α друг к другу, при этом радиусы будет стягивать дуга длиной L.

Полученная поверхность, ограниченная радиусами окружности и образованной этими радиусами дугой, называется круговым сектором.

Угол α — центральный угол.

Важно знать, что круговой сектор представляет собой развертку боковой поверхности конуса. При этом образующая конуса соответствует радиусу сектора, длина основания конуса — длине дуги сектора.

Формулы площади кругового сектора

Площадь кругового сектора выражается через центральный угол дуги. Как известно, угол может быть задан в радианной мере или в градусной.

• центральный угол, выраженный в угловых градусах — α;
• длину дуги —L;
• радиус — R.

Тогда выражение для вычисления площади кругового сектора через радиус и длину дуги будет иметь вид:

Из курса геометрии (8-9 классы) известно следующее выражение для нахождения длины дуги сектора круга:

где α р а д — центральный угол, Рад.

Узнаем, как найти площадь сектора через центральный угол, заданный в радианах. Для этого подставим в выражение для L в формулу площади.

S = R · L 2 = R · α р а д · R 2 = α р а д · R 2 2

Теперь переведем угол в радианах в градусы и приведем соответствующую формулу для расчета площади.

S = α р а д · R 2 2 = R 2 · α · π 2 · 180 ° = π α R 2 360 °

Примеры решения задач

Вычислить площадь кругового сектора, если его радиус 15 м, а центральный угол равен 2 Рад.

Воспользуемся формулой: S = α р а д · R 2 2

Подставим известные значения и найдем площадь.

S = 2 · 15 2 2 = 225 м 2

Дана окружность с центром O и радиусом 10 см. Через окружность проведена хорда MN так, что в результате получился правильный треугольник MON. Найти площадь заштрихованной фигуры.

Искомую площадь будем искать как разность площади сектора, заданного радиусами и дугой MN, и площади треугольника MON. Поскольку треугольник правильный, все его стороны равны радиусу, а каждый из углов равен 60 ° .

Узнаем, чему равна площадь кругового сектора. Для этого воспользуемся формулой для угла в градусной мере.

S с е к т о р а = παR 2 360 ° = 3 . 14 · 60 ° · 10 2 360 ° = 52 . 3 с м 2

Теперь найдем площадь треугольника MON.

S M O N = O M 2 · 3 4 = R 2 · 3 4 = 100 · 3 4 = 43 . 3 с м 2

Найдем площадь искомой поверхности

S = S с е к т о р а — S M O N = 52 . 3 — 43 . 3 = 9 с м 2

Известен радиус кругового сектора R и длина его дуги L. Определить, чему равна высота конуса, полученного из заданного сектора.

Круговой сектор есть развертка боковой поверхности конуса. Сделаем рисунок, на котором покажем конус в продольном разрезе. Получим равнобедренный треугольник. Обозначим его MNK, а высоту — NH.

Высоту MH найдем как катет прямоугольного треугольника MNH. Образующая конуса MN равна радиусу кругового сектора, то есть MN=NK=R. Сторона MH равна радиусу основания конуса — R_<конуса>. Радиус основания вычислим через длину.

L к о н у с а = 2 π R к о н у с а ⇒ R к о н у с а = L к о н у с а 2 π

Н о L к о н у с а = L , т о г д а R к о н у с а = L 2 π .

Теперь по теореме Пифагора вычислим NH.

N H = M N 2 — N H 2 = R 2 — R к о н у с а 2 = R 2 — L 2 π 2

Как рассчитать площадь сектора круга

На данной странице калькулятор поможет рассчитать площадь сектора круга онлайн. Для расчета задайте радиус, длину дуги или угол сектора круга.

Сектор круга – это часть круга, окружности ограниченная дугой и двумя радиусами, проведенными к концам дуги.

Через длину дуги и радиус

Формула для нахождения площади сектора круга:

Через угол и радиус

Формула для нахождения площади сектора круга: