Уравнение для расчета подведенной теплоты в политропном процессе

Уравнение политропного процесса.

Продифференцируем уравнение состояния для 1 кг идеального газа:

Принимая теплоемкость не зависящей от температуры, получим уравнение первого закона термодинамики в дифференциальной форме:

Подставляя в это уравнение выражение для , получаем

Разделяя переменные и произведя интегрирование, получаем

,

где — показатель политропы, может принимать значения от нуля до бесконечности.

Зависимость между температурой и удельным объёмом определяется путём замены давления в уравнении политропного процесса его значением из уравнения состояния идеального газа:

или

Исключая подобным же образом удельный объём, находим зависимость между давлением и температурой:

отсюда или

Деформационная работа, производимая 1 кг газа в политропном процессе, определяется по формуле:

Техническая работа, производимая 1 кг газа в политропном процессе, находится по формуле:

То есть отношение технической и деформационной работ равно показателю политропы:

Изменение внутренней энергии в политропном процессе находится общей формулой:

Теплоёмкость процесса определяется из выражения для показателя политропы:

Количество теплоты в политропном процессе находится по формуле:

1.12. Энтальпия рабочего тела.

В термодинамике важную роль играет сумма внутренней энергии системы и произведения давления системы на её объём , называемая энтальпией или теплосодержанием и обозначаемая I или Н:

Так как входящие в нее величины являются функциями состояния, то и сама энтальпия является функцией состояния.

Так же как внутренняя энергия, работа и теплота, она измеряется в джоулях (Дж).

Энтальпия обладает свойством аддитивности . Величина

называемая удельной энтальпией ( ), представляет собой энтальпию системы, содержащей 1 кг ве­щества, и измеряется в Дж/кг.

Поскольку энтальпия есть функция состояния, то она может быть представ­лена в виде функции двух любых пара­метров состояния:

, а величина di является полным

Изменение энтальпии в любом про­цессе определяется только начальным и конечным состояниями тела и не за­висит от характера процесса.

Физический смысл энтальпии выяс­ним на следующем примере. Рассмотрим расширенную систему, включающую газ в цилиндре и поршень с грузом общим весом G (рис.1.7). Энергия этой системы складывается из внутренней энергии га­за и потенциальной энергии поршня с грузом в поле внешних сил: . В условиях равновесия (G = pF) эту функцию можно выразить через па­раметры газа: . Получаем, что , т.е. энтальпию можно трактовать как энергию расширенной системы.

Уравнение в случае, когда единственным видом работы является работа расширения, с уче­том очевидного соотношения может быть записано в виде .

Рис.1.10. К определению физического смысла энтальпии

Из этого соотношения следует, что если давление термодинамической системы сохраняется неизменным, то есть осуществляется изобарный процесс (dp = 0), то и , то теплота, подведенная к системе при постоянном давлении, идет только на изменение энтальпии данной системы.

Это выражение очень часто используется в расчетах, так как огромное

количество процессов подвода теплоты в теплоэнергетике (в паровых котлах, камерах сгорания газовых турбореактивных двигателей, теплообменных аппаратах), а также целый ряд процессов химической технологии и многих других производствах осуществляется при постоянном давлении. Кстати, по этой причине в таблицах термодинамических свойств обычно приводятся значения энтальпии, a не внутренней энергии.

Для идеального газа для вычисления энтальпии используется формула

Так как между энтальпией и внутренней энергией существует связь, выбор начала отсчета одной из них произволен: в точке, принятой за начало отсчета внутренней энергии, Например, для воды при = 0,01 °С ,

р = 610,8 Па, , a .

При расчетах практический интерес представляет изменение энтальпии в конечном процессе:

1.13. Энтропия рабочего тела.

Как уже указывалось, величина не является полным дифференциалом, так как теплота и изменение внутренней энергии зависят от теплоемкости, которая, в свою очередь, является функцией температуры. Кроме того, чтобы проинтегрировать правую часть этого уравнения, нужно знать зависимость давления от удельного объёма, то есть нужно знать процесс, который совершается.

В математике доказывается, что дифференциальный двучлен всегда можно превратить в полный дифференциал путем умножения (или деления) на интегрирующий множитель (или делитель). Таким интегрирующим делителем для элементарного количества теплоты является абсолютная температура Т.

Покажем это на примере изменения состояния идеального газа в равновесных процессах:

Выражение при равновесном изменении состояния газа есть полный дифференциал некоторой функции состояния, которая называется энтропией, обозначается для 1 кг газа через и измеряется в . Термин «энтропия» был введен впервые Рудольфом Юлиусом Эммануэлем Клаузиусом (1822 – 1888), немецким физиком, в 1865 году.

Для произвольного количества газа энтропия, обозначаемая через ,

равна и измеряется в .

Таким образом, аналитически энтропия определяется следующим образом:

Эта формула справедлива как для идеальных, так и для реальных газов.

Подобно любой другой функции состояния энтропия может быть представлена в виде функции любых двух параметров состояния:

Понятием «энтропия» (от греч. Entropia – поворот, превращение) будем называть в термодинамике направление теплообмена между рабочим телом термодинамической системы и внешней средой.

Значение энтропии для заданного состояния газа определяется интегрированием уравнения для энтропии:

, где — константа интегрирования.

При температурах, близких к абсолютному нулю, все известные газы находятся в конденсированном состоянии. Вальтер Нернст (1864 – 1941), немецкий физик и химик, в 1906 году экспериментально установил, а Макс Планк (1858 – 1947), немецкий физик, в 1912 году окончательно сформулировал следующий принцип:

при температуре, стремящейся к абсолютному нулю, энтропия газа, находящегося в конденсированном состоянии с упорядоченной кристаллической структурой, стремится к нулю,то есть при .

Этот закон называют третьим законом термодинамикиили тепловой теоремой В.Нернста. Он позволяет рассчитать абсолютное значение энтропии в отличие от внутренней энергии и энтальпии, которые всегда отсчитываются от произвольного уровня.

Однако в технической термодинамике обычно используется не абсолютное значение энтропии, а ее изменение в каком-либо процессе:

(1.18)

поэтому энтропию тоже отсчитывают от произвольно выбранного уровня.

Получим формулы, позволяющие вычислить изменение энтропии идеального газа. Для этого проинтегрируем уравнение для энтропии, полагая :

Имея в виду уравнение состояния, записанное для состояний «1» и «2», получаем:

После подстановки отношений и получаем следующие формулы для изменения энтропии идеального газа:

;

Поскольку энтропия есть функция со­стояния рабочего тела, написанными уравнениями можно пользоваться вне зависимости от пути перехода рабочего тела между состояниями «1» и «2» и, в частности, от того, равновесный этот переход или нет.

Понятие энтропии позволяет ввести чрезвычайно удобную для термодинамических расчетов -диаграмму, на которой (как и

на -диаграмме) состояние термодинамической системы изображается точкой, а равновесный термодинамический процесс линией (рис.1.11).

Из уравнения для изменения энтропии следует, что в равновесном процессе: . Очевидно, что в — диаграмме элементарная теплота процесса изображается элементарной площадкой с высотой и основанием ds, а площадь, ограниченная

Рис.1.11. Графическое изображение теплоты в — координатах.

линией процесса, крайними ординатами и осью абсцисс, эквивалентна теплоте процесса.

Формула для элементарного изменения энтропии показывает, что и имеют одинаковые знаки, следовательно, по характеру изменения в равновесном процессе можно судить о том, в каком направлении происходит теплообмен. При подводе теплоты ( ) его энтропия возрастает ( ), а при отводе теплоты ( ) убывает (ds Q, a dT 2 , а отношение скорости к скорости звука называется числом Маха .

Данное отношение названо в честь Эрнста Маха (1838 – 1916), австрийского физика и философа; отношение является критерием( от греч. Kriterion – средство для суждения) – признаком, на основании которого производится оценка, определение или классификация чего — либо; мерило оценки; в данном случае критерий сжимаемости газа. Формула получается при допущении, что звуковая энергия (волна) распространяется в газе или жидкости в соответствии с уравнением адиабатного процесса или .

Дифференциальное уравнение этого процесса представляется так , или . Отношение соответствует величине звуковой энергии (квадрату скорости распространения звука в веществе).

Отсюда выражение для полной энергии потока в сечении записывается так:

Число Маха, таким образом, является характеристикой сжимаемости рабочего тела. Например, при сжимаемостью газа можно пренебречь и принять , то есть считать газ как жидкость. При — околозвуковой поток, характерный для полетов гражданских самолетов; при — звуковой барьер или критический режим течения потока; при — трансзвуковой поток, характерный режим обтекания некоторых участков крыла самолета даже при околозвуковой скорости полета воздушного судна; при — сверхзвуковой поток; при гиперзвуковой поток. Поскольку плотность воздуха в атмосфере Земли с высотой уменьшается практически до нуля, то число Маха в полете при этих условиях стремится к бесконечности (например, поток газа в пустоту).

Принимая , находим критическую скорость звука, используя выражение:

Если формулу для полной энергии потока разделить на и обозначить отношение скорости к критической скорости звука как приведенную скорость , то выражение для полной энергии потока в сечении (или для любой точки потока) представляется так

или — газодинамическая функция температуры. Значение приведенной скорости меняется от нуля до максимального значения .

Если принять процесс торможения потока от температуры до адиабатным, что практически соответствует приборам для измерения давления в потоке, то можно найти выражение для газодинамической функции давления

или плотности .

Уравнение сохранения энергии широко используется в авиационной практике для различных элементов двигателей. Например:

а) работа , подводимая к валу ротора компрессора ;

Блог об энергетике

энергетика простыми словами

Основные термодинамические процессы

Основными процессами в термодинамике являются:

• изохорный, протекающий при постоянном объеме;
• изобарный, протекающий при постоянном давлении;
• изотермический, происходящий при постоянной температуре;
• адиабатный, при котором теплообмен с окружающей средой отсутствует;
• политропный, удовлетворяющий уравнению pv n = const.

Изохорный, изобарный, изотермический и адиабатный процессы являются частными случаями политропного процесса.

При исследовании термодинамических процессов определяют:

• уравнение процесса в p—v иT—s координатах;
• связь между параметрами состояния газа;
• изменение внутренней энергии;
• величину внешней работы;
• количество подведенной теплоты на осуществление процесса или количество отведенной теплоты.

Изохорный процесс

При изохорном процессе выполняется условие v = const.

Из уравнения состояния идеального газа (pv = RT) следует:

т. е. давление газа прямо пропорционально его абсолютной температуре:

Работа расширения в изохорном процессе равна нулю (l = 0), так как объем рабочего тела не меняется (Δv = const).

Количество теплоты, подведенной к рабочему телу в процессе 1-2 при c_v = const определяется по формуле:

Т. к.l = 0, то на основании первого закона термодинамики Δu = q, а значит изменение внутренней энергии можно определить по формуле:

Изменение энтропии в изохорном процессе определяется по формуле:

Изобарный процесс

Изобарным называется процесс, протекающий при постоянном давлении p = const. Из уравнения состояния идеального газа слуедует:

т. е. в изобарном процессе объем газа пропорционален его абсолютной температуре.

Работа будет равна:

Количество теплоты при c_p = const определяется по формуле:

Изменение энтропии будет равно:

Изотермический процесс

При изотермическом процессе температура рабочего тела остается постоянной T = const, следовательно:

т. е. давление и объем обратно пропорциональны друг другу, так что при изотермическом сжатии давление газа возрастает, а при расширении – снижается.

Работа процесса будет равна:

Так как температура остается неизменной, то и внутренняя энергия идеального газа в изотермическом процессе остается постоянной (Δu = 0) и вся подводимая к рабочему телу теплота полностью превращается в работу расширения:

При изотермическом сжатии от рабочего тела отводится теплота в количестве, равном затраченной на сжатие работе.

Изменение энтропии равно:

Адиабатный процесс

Адиабатным называется процесс изменения состояния газа, который происзодит без теплообмена с окружающей средой. Так как dq = 0, то уравнение первого закона термодинамики для адиабатного процесса будет иметь вид:

В адиабатном процессе работа расширения совершается только за счет расходования внутренней энергии газа, а при сжатии, происходящем за счет действия внешних сил, вся совершаемая ими работа идет на увеличение внутренней энергии газа.

Обозначим теплоемкость в адиабатном процессе через c_ад, и условие dq = 0 выразим следующим образом:

Это условие говорит о том, что теплоемкость в адиабатном процессе равна нулю (c_ад = 0).

и уравнение кривой адиабатного процесса (адиабаты) в p, v-диаграмме имеет вид:

В этом выражении k носит название показателя адиабаты (так же ее называют коэффициентом Пуассона).

k_{выхлопных газов ДВС} = 1,33

Из предыдущих формул следует:

Техническая работа адиабатного процесса (l_техн) равна разности энтальпий начала и конца процесса (i₁ – i₂).

Адиабатный процесс, происходящий без внутреннего трения в рабочем теле, называется изоэнтропийным. В T, s-диаграмме он изображается вертикальной линией.

Обычно реальные адиабатные процессы протекают при наличии внутреннего трения в рабочем теле, в результате чего всегда выделяется теплота, которая сообщается самому рабочему телу. В таком случае ds > 0, и процесс называется реальным адиабатным процессом.

Политропный процесс

Политропным называется процесс, который описывается уравнением:

Показатель политропы n может принимать любые значения в пределах от -∞ до +∞, но для данного процесса он является постоянной величиной.

Из уравнения политропного процесса и уравнения Клайперона можно получить выражение, устанавливающее связь между p, vи Tв любых двух точках на политропе:

Работа расширения газа в политропном процессе равна:

В случае идеального газа эту формулу можно преобразовать:

Количество подведенной или отведенной в процессе теплоты определяется с помощью первого закона термодинамики:

представляет собой теплоемкость идеального газа в политропном процессе.

При c_v, k и n = const c_n = const, поэтому политропный процесс иногда определят как процесс с постоянной теплоемкостью.

Политропный процесс имеет обобщающее значение, ибо охватывает всю совокупность основных термодинамических процессов.

Графическое представление политропа в p, v координатах в зависимости от показателя политропа n.

pv 0 = const (n = 0) – изобара;

pv = const (n = 1) – изотерма;

p 0 v = const, p 1/∞ v = const, pv ∞ = const – изохора;

n > 0 – гиперболические кривые,

n По материалам моего конспекта лекций по термодинамике и учебника «Основы энергетики». Автор Г. Ф. Быстрицкий. 2-е изд., испр. и доп. — М. :КНОРУС, 2011. — 352 с.

Исследование политропного процесса при истечении газа через суживающееся сопло

Цель работы: Экспериментальное определение показателя политропы воздуха, вытекающего из суживающегося сопла, и зависимости расхода от скорости.

Краткие теоретические сведения.

В современной технике нашли широкое применение тепловые машины, в которых производится работа за счёт изменения кинетической энергии движущегося потока рабочего тела, например, в паровых и газовых турбинах, в реактивных двигателях, в эжекторах. В соответствии с первым законом термодинамики в произвольном термодинамическом процессе удельная теплота, подведённая извне к рабочему телу, расходуется на изменение внутренней энергии тела и совершение удельной работы:

Пусть в данном политропном процессе на изменение внутренней энергии газа идёт некоторая доля α внешнего тепла:

тогда оставшаяся часть тепла (1- α) идёт на совершение работы:

Величина α называется коэффициентом распределения теплоты в политропном процессе и остаётся неизменной в течение данного политропного процесса:

Таким образом, политропным называется процесс изменения состояния рабочего тела, в котором во внутреннюю энергию Δu в течение всего процесса превращается одна и та же доля α внешней теплоты q. Процесс в этом случае протекает при постоянной теплоёмкости, а уравнение политропного процесса имеет вид:

р υ n = const, (6.5)

где n – показатель политропы, определяемый по формуле:

где c_п, Дж/(кг·К) – удельная политропная теплоёмкость;

c_p, Дж/(кг·К) – удельная изобарная теплоёмкость;

c_v, Дж/(кг·К) – удельная изохорная теплоёмкость.

Соотношение параметров в политропном процессе подчиняется следующим уравнениям:

Рассмотрим выражения для работы расширения газа в политропном процессе между двумя равновесными состояниями рабочего тела в точках 1 и 2.

Величина совершённой газом работы расширения находится по формуле:

l = ( (6.9)

Теплота, подведённая в политропном процессе, определяется по формуле:

Теплоёмкость политропного процесса определяется по формуле:

где k – показатель адиабаты, зависящий только от атомности газа.

Из данного соотношения следует, что теплоёмкость политропного процесса есть функция показателя политропы n. Показатель политропы может принимать любые постоянные значения — ∞

В частных случаях уравнение политропы принимает вид уравнений адиабаты, изотермы, изобары или изохоры. Поэтому и величина теплоёмкости для различных политропных процессов также изменяется в пределах — ∞ k = const, т.е. имеем адиабату; при n = 1, c_п = ± ∞ уравнение запишется р·υ = const, что соответствует изотерме; при n = 0 получим c_п = с_v·k = c_p и уравнение р = const, что соответствует изобаре; при n = ± ∞ c_п = с_v – имеем изохору, т.е уравнение v = const.

Значение n в любом политропном процессе может быть определено по координатам двух любых точек процесса из выражений:

n = , (6.13)

, (6.14)

= . (6.15)

В процессе истечения воздуха через суживающееся сопло считаем, что истечение воздуха происходит из резервуара неограниченной ёмкости, поскольку имеет место непрерывная подача воздуха от вентилятора.

Примем параметры в резервуаре р₁, v₁, Т₁; параметры газа в выходном сечении сопла р₂, v₂, Т₂; параметры окружающей среды, куда вытекает воздух через суживающееся сопло, р₀, v₀ и Т₀. Тогда перепад давлений, при котором происходит процесс истечения:

По известному перепаду давлений и определённому по формулам 6.13 – 6.15 значению показателя политропы скорость истечения определится из выражения:

w = (6.17)

где R = 287 Дж/(кг·К) – удельная газовая постоянная для воздуха и двухатомных газов.

Расход рабочего тела (воздуха) при истечении определяется по уравнению:

G =F , (6.18)

где F, м 2 – площадь выходного сечения.

Описание экспериментальной установки

Рабочим участком экспериментальной установки, схема которой представлена на рис. 5.1, является суживающееся сопло 2 прямоугольного сечения.

Рис. 6.1. Схема лабораторной установки для исследования политропного процесса истечения воздуха

1 – воздушный вентилятор, 2 – резервуар, 3 – электрический нагреватель, 4 — суживающееся сопло, 5 — термопары, 6 – жидкостные манометры, 7 – реостат нагревателя, 8 – выключатель, 9 — электродвигатель.

Воздух нагнетается вентилятором 1, приводимым во вращение электродвигателем 9, частота вращения которого и, соответственно количество подаваемого им воздуха в резервуар 2, регулируется реостатом на горизонтальной части пульта управления установки.

Экспериментальный участок сопла имеет рубашку, которая может дополнительно нагреваться или охлаждаться потоком воздуха от вентилятора. Выходное сечение сопла — прямоугольной формы, площадью F = 1,8·10 -4 м 2 . Воздух перед поступлением в суживающуюся часть сопла может нагреваться электронагревателем 3, подсоединенным через выключатель 8; нагрев регулируется с помощью реостата 7, расположенного на горизонтальной части пульта управления установкой.

В зависимости от количества теплоты, сообщённого движущемуся по каналу воздушному потоку, можно осуществлять различные политропные процессы расширения, дополнительно меняя расход воздуха через сопло от наибольшего G_max до наименьшего – G_min значений.

Измерительный комплекс состоит из термопар 5, измеряющих температуру воздуха на входе в сопло, в середине канала и в выходном срезе сопла, а также дифференциальных манометров 6, установленных в тех же сечениях для измерения избыточного давления. Значения температур снимаются с цифрового многоканального пирометра, расположенного на горизонтальной панели пульта управления установкой.

Методика выполнения работы

Перед проведением опытов измерить атмосферное давление В и температуру воздуха t_в в лаборатории, записать их значения в журнал наблюдений.

Выключателем на горизонтальной части пульта управления запустить вентилятор 1, и, контролируя по дифференциальным манометрам 5 на вертикальной панели установки расход воздуха, рукоятками управления на пульте плавно установить рекомендуемые преподавателем режимы:

1- исследование процесса истечения без нагрева рабочего воздуха и воздуха, поступающего в рубашку сопла;

2- исследование процесса истечения со средним нагревом рабочего воздуха и без нагрева воздуха, поступающего в рубашку сопла;

3 — исследование процесса истечения с наибольшим нагревом рабочего воздуха и без воздуха, поступающего в рубашку сопла;

4- исследование процесса истечения без нагрева рабочего воздуха и с подогревом воздуха, поступающего в рубашку сопла.

На каждом режиме произвести замеры температур и давлений во входном (Т₁, р₁), среднем (Т₂, р₂), и выходном сечениях сопла (Т₃, р₃), а также динамический напор воздуха, измеряемый трубкой Пито.

Провести аналогичные измерения для каждого опыта, добиваясь при этом стабилизации теплового режима в течение 10 мин. Результаты измерений записать в таблицу протокола наблюдений:

По окончании измерений вращением против часовой стрелки ручек на горизонтальной панели управления отключить напряжение, подаваемой на нагреватель. После того, как нагреватель охладится ниже 50 0 С отключить его и вентилятор выключателями установки, отсоединить питание установки от сети лаборатории.

Обработка результатов эксперимента

Используя полученные данные, вычислить по замеренным в двух смежных сечениях параметрам воздуха показатели политропы на отдельных участках, принимая во внимание, что на них в потоке воздуха имеют место равные политропные процессы. Так для участка вход-середина сопла из уравнения:

= (6.19)

Аналогично находится показатель политропы n₂ для участка середина — выходное сечение сопла. Затем вычисляется среднее значение показателя политропы для всего сопла:

Кроме того, необходимо вычислить перепад давлений, при котором происходит процесс истечения:

По известному перепаду давлений и определённому по формуле (6.2) показателю политропы находится скорость истечения:

w = , (6.23)

где R – удельная газовая постоянная воздуха, Дж/кг·К.

Расход рабочего воздуха, при истечении определяется по уравнению:

G = F , кг/с (6.24)

где F – площадь выходного сечения, м 2 .

Изобразить исследованный политропный процесс в P-υ и Т-s диаграммах.

В заключении сделать вывод по проделанной лабораторной работе.

1. Какой процесс называется политропным? Запишите соотношения основных термодинамических параметров в политропном процессе.

2. Напишите первый закон термодинамики для политропного процесса. Как определяются величины, входящие в уравнение?

3. Каковы пределы изменения показателя политропы и теплоёмкости в политропных процессах?

4. Какие ранее изученные процессы являются частными случаями политропных процессов?

5. Изобразите в системе координат P-υ и Т-s основные политропные процессы. Чему равны значения показателей политропы в этих процессах?

6. Напишите уравнение неразрывности для потока.

7. Какие режимы истечения газов и паров из сопла Вы знаете?

8. Напишите уравнение первого закона термодинамики для потока. Поясните, какие величины входят в уравнение?

9. Какие каналы называются соплами и диффузорами? Как изменяются в них основные термодинамические параметры?

10. Дайте описание комбинированного сопла Лаваля. Где применяются такие сопла?