Уравнение для волновой функции электрона в атоме водорода

Волновые функции атома водорода

Векторы состояния атома водорода удобно представлять в пространственном базисе:

| F ñ = C₁| 1 ñ + C₂| 2 ñ + • • • = SC_i| i ñ ,

где каждое базисное состояние | i ñ отличается тем, что для него точно известны положения обеих частиц в пространстве относительно фиксированной лабораторной системы координат, т.е. известны 6 чисел-координат (x₁, y₁, z₁, x₂, y₂, z₂)_i. Ясно, что с таким бесконечномерным вектором состояния можно практически работать только после его перевода в функциональное представление — волновую функцию. Эти волновые функции, описывающие любые состояния атома, допустимые законами квантовой механики, должны, в общем случае, зависеть от шести пространственных координат и от времени: Ф = Ф(x₁, y₁, z₁, x₂, y₂, z₂; t). В дальнейшем ограничимся рассмотрением только стационарных состояний (нестационарные состояния не представляют интереса для химической проблематики, поскольку время их жизни, как правило, не превышает 10 –8 с), для которых волновую функцию можно представить в виде произведения пространственного и временного множителей:

В результате задача сводится к установлению вида пространственного множителя Ф(x₁, y₁, z₁, x₂, y₂, z₂) и значения энергии Е, которые можно найти из уравнения на собственные значения: НФ = ЕФ.Оператор Гамильтона для данной системы включает в себя три слагаемых: два одночастичных оператора кинетической энергии (Т₁ и Т₂) и двухчастичный оператор потенциальной энергии (U₁₂):

Здесь символ Ñ 2 (иногда вместо него употребляется эквивалентный символ D) обозначает одночастичный оператор «набла-квадрат», представляющий собой сумму вторых частных производных по декартовым координатам некоторой частицы:

Таким образом, интересующее нас уравнение на собственные значения (т.н. «стационарное уравнение Шредингера») имеет вид:

Решениями этого уравнения являются волновые функции, описывающие все возможные стационарные состояния атома водорода, а также соответствующие им энергии (в нерелятивистском приближении, т.е. без учета магнитных эффектов). Если атом изолирован от окружающих тел, то движения частиц в нем можно разделить на два типа:

1) глобальное движение атома как материальной точки (центра масс) в лабораторной системе координат (X, Y, Z).

2) локальные движения частиц во внутренней системе координат (x, y, z), начало которой расположено в центре масс.

Первый тип движения можно исследовать, смотря на атом «издалека», т.е. полагая его просто материальной точкой без внутренней структуры. Второй тип движения можно исследовать, смотря на атом «изнутри» и полагая, что атом как целое является неподвижным. В этом случае наблюдатель находится в центре масс и видит лишь относительное движение электрона и ядра. Независимость внешнего и внутреннего движений позволяет представить шестимерную волновую функцию в виде произведения двух трехмерных функций:

Первый сомножитель представляет собой глобальную функцию, описывающую движение атома как целого (т.е. как одной бесструктурной частицы с массой M = m₁ + m₂) и удовлетворяет трехмерному уравнению:

Это стандартное уравнение для свободной частицы с массой М. Его решения известны из модельных квантовомеханических задач «свободная частица» и «частица в трехмерном потенциальном ящике» (см. [3]).

Второй сомножитель представляет собой «внутреннюю» функцию, описывающую движение электрона и ядра относительно неподвижного центра масс. Согласованный характер движения электрона и ядра дает возможность заменить их единственной «квазичастицей», обладающей массой m и движущейся вокруг неподвижного центра масс. Вследствие большого различия в массах электрона и ядра эта квазичастица по своим свойствам практически совпадает с электроном. Поэтому в дальнейшем будем рассматривать ее как обычный электрон с незначительно уменьшенной массой. Внутренняя функция, описывающая движение электрона (квазичастицы), удовлетворяет трехмерному уравнению вида:

В декартовой системе координат это уравнение невозможно сделать более простым, так как входящая в него переменная r зависит от всех трех декартовых координат электрона: r 2 = x 2 + y 2 + z 2 . Поэтому целесообразно перейти к сферической системекоординат, в которой переменная r является независимой координатой. Замена производится по правилам:

x = r × sinq × cosj ; y = r × sinq × sinj ; z = r × cosq

где угол q отсчитывается в вертикальной плоскости от оси z и изменяется в интервале от 0 до p, а угол j отсчитывается в горизонтальной плоскости от оси x и изменяется в интервале от 0 до 2p. После замены переменных волновая функция изменяет свой вид: Ф»(x, y, z) ¾® Y(r, q, j), а стационарное уравнение Шредингера приобретает такую форму:

Сделанная замена переменных позволяет представить трехмерную функцию в виде произведения трех одномерных функций-сомножителей:

Y(r, q, j) = R(r) × Q(q) × F(j)

которые являются решениями системы из трех одномерных уравнений:

Необходимо отметить, что в результате процедуры разделения в уравнениях появились две новые константы — a и b, которые учитывают существующие взаимосвязи между уравнениями и их решениями. Эти параметры должны иметь одни и те же значения во всех уравнениях, куда они входят. Данное условие выполняется только для некоторых «разрешенных» значений, образующих дискретный набор, а именно:

a = 0, 1, 4, 9, 16, 25, … и b = 0, 2, 6, 12, 20, 30, 42, …

С целью упрощения этих рядов удобно ввести два новых вспомогательных параметра — l и m, для которых выполняются более простые условия:

b = l(l+ 1) , где l = 0, 1, 2, . . .

a = m × m , где m = 0, ±1, ±2, . . .

Дискретность в решениях R-, Q— и F-уравнений, вызываемая приведенными ограничениями для параметров a и b, приводит, в свою очередь, к дискретности допустимых значений энергии атома (она входит в R‑уравнение), связанной с внутренним движением:

Целые числа, входящие в приведенные формулы, называются квантовыми числамиатома водорода: n — главное, l — орбитальное, m — магнитное. Они выступают в роли параметров, нумерующих возможные решения уравнения Шредингера, или, что то же самое, волновые функции стационарных состояний:

Y(r, q, j) = R(r) • Q(q) • F(j) = Y(n, l, m) =

= R(n, l) • Q(l, m) • F(m) = R(n, l) • Y(l, m)

Произведения Q(l, m) • F(m) = Y(l, m)называются шаровыми функциями.

Приведем явный вид Q-иF-функций (в сферических координатах):

В этом уравнении символом Р обозначен т.н. «присоединенный полином Лежандра» степени l и порядка |m|, представляющий собой некоторую степенную функцию от (cos q). Явный вид этих полиномов можно найти в справочниках или вычислить по следующей формуле:

Для R-уравнения решения имеют вид:

Здесь символом Lобозначен т.н. «присоединенный полином Лаггера» степени (n + l) и порядка (2l + 1) — степенная функция от новой переменной r = (Z/a_o)×r, которая представляет собой шкалу расстояний: прокалиброванную с помощью т.н. «атомных единиц длины» а_о = 4pe_oh 2 /me 2 » 0,053 нм (здесь константа e_o = 8,84×10 – 12 ф/м — диэлектрическая постоянная).

Явный вид присоединенных полиномов Лаггера можно найти в справочниках или вычислить по формуле:

Стоящие впереди полиномов Лежандра и Лаггера сложные выражения являются нормировочными множителями, которые при задании конкретных величин квантовых чисел приобретают простой вид.

Следует обратить внимание на важное обстоятельство. В формулы входят некоторые величины, являющиеся факториалами типа х!. Эта функция определена только для целых неотрицательных чисел х. В результате, на допустимые совместные (т.е. относящиеся к одному состоянию атома) значения квантовых чисел накладываются ограничения, указанные выше в фигурных скобках.

Для иллюстрации можно привести конкретные выражения для волновых функций с небольшими номерами.

R-функции (нормировочные множители опущены):

(В обозначениях функций первый числовой индекс равен главному квантовому числу n, а второй — орбитальному квантовому числу l.)

Q-функции(нормировочные множители опущены):

(В обозначениях функций первый числовой индекс равен орбитальному квантовому числу l, а второй — модулю магнитного числа |m|.)

Ф-функции(нормировочные множители опущены):

Располагая таблицами таких функций, можно легко построить явный вид волновой функции для любого стационарного состояния атома водорода. Пусть, например, состояние характеризуется набором квантовых чисел <n, l, m> = <2, 1, –1>. Тогда волновая функция будет иметь вид (нормировочный множитель опущен):

Полный вид волновой функции можно получить при умножении этой пространственной части на временной экспоненциальный множитель:

где Е₂ — энергия, соответствующая значению n = 2.

Обозначаемые тремя индексами функцииY_n,l,m часто называют водородными атомными орбиталями или Н-АО. Заметим, что в большинстве случаев они содержат комплексную экспоненту и, следовательно, являются комплекснозначными функциями. Это обстоятельство часто отмечается и в названии — комплексные атомные орбитали (КАО).

Существует еще одна, более удобная, номенклатура Н-АО. Каждый тип АО обозначается определенным символом — латинской буквой — указывающим на значение орбитального квантового числа:

Впереди буквы-символа указывается значение главного квантового числа, а магнитное квантовое число обозначается цифровым подстрочным индексом, следующим за буквой-символом. Например:

Y ₁₀₀ = 1s_o

Y ₂₀₀ = 2s_o Y ₂₁₀ = 2p_o Y _21–1 = 2p_–1 Y ₂₁₁ = 2p₁

Y ₃₀₀ = 3s_o Y ₃₁₀ = 3p_o Y _31–1 = 3p_–1 Y ₃₁₁ = 3p₁

Y ₃₂₀ = 3d_o Y ₃₂₁ = 3d₁ Y _32–1 = 3d_–1 . . . и т.д.

В ряде случаев бывает более удобным использование не самих волновых функций, а некоторых линейных комбинаций, построенных из этих функций, с целью получить чисто действительные функции. Такие линейные комбинации строятся в виде суммы или разности двух КАО, у которых все квантовые числа одинаковы по величине, но магнитные числа противоположны по знаку. У таких пар КАО R— и Q-сомножители в точности одинаковы, поскольку они не зависят от знака магнитного числа. В результате получаются суммы и разности комплексно сопряженных экспонент, которые сводятся к действительным тригонометрическим функциям (здесь нормировочные множители опущены):

Y_{(n, l, m)} + Y_{(n, l, –m)} = RQ(eimj +e–imj )= RQ• cos (mj) = Y + _{( n, l, |m|)}

Y_{(n, l, m)} – Y_{(n, l, –m)} = RQ(eimj – e–imj )= RQ• sin (mj) = Y – _{( n, l, |m|)}

Такие линейные комбинации называются действительными атомными орбиталями (ДАО). В их обозначениях нижний индекс заменяется на буквенный. Например, для АО p-типа имеем:

или для АО d-типа:

3d(x 2 – y 2 ) (3d₂ – 3d_–2)

3dxy 3d₀

3dz 2

ДАО удобны в том отношении, что их можно изображать графически, анализировать различные пространственные характеристики и симметрию. Подчеркнем, что наборы КАО и ДАО полностью эквивалентны в математическом отношении и представляют собой два базисных набора в одном и том же пространстве состояний (см. модель «плоский ротатор» в [3]).

Состояния, описываемые волновыми функциями типа Y_n,l,m, обычно называются чистыми. Кроме них существует множество состояний смешанных (или суперпозиционных), для которых одно или несколько квантовых чисел являются неопределенными:

Все такие функции, составленные из слагаемых с разными значениями квантовых чисел n и/или l, описывают нестационарные состояния, которые в течение короткого времени (порядка 10 –8 с) редуцируют к одному из стационарных состояний типа Y_n,l,m, в которых все три квантовые числа точно определены. Исключением из этого общего правила являются суперпозиционные функции типа Y_n,l. Редукция таких состояний может быть вызвана только действием внешних причин (например, магнитного поля).

Дата добавления: 2015-06-10 ; просмотров: 3441 ; ЗАКАЗАТЬ НАПИСАНИЕ РАБОТЫ

Уравнение для волновой функции электрона в атоме водорода

3.1.2 Волновое уравнение. Квантовомеханическое объяснение строения атома

Неопределенность установления положения и скорости электрона столь велика, что необходимо вообще отказаться от анализа траектории его движения. Однако есть возможность вероятностного описания строения атома.

,

m – масса электрона Масса покоя электрона m_e=9,109 . 10 -31 кг ;

E – полная энергия электрона;

x , y , z – координаты.

Решением уравнения Шредингера является волновая функция Ψ и соответствующее ей значение энергии электрона E. Вероятность нахождения электрона в пространстве характеризуется квадратом волновой функции, т.е. величиной | Ψ | 2 . Для описания строения атома можно рассматривать электрон как бы “размазанным” в пространстве в виде электронного облака. Величина | Ψ | 2 , полученная из волнового уравнения, является мерой электронной плотности в данном элементе объема, или мерой вероятности нахождения электрона в данном элементе объема атома.

Таким образом, в квантовомеханической (вероятностной) модели атома исчезает смысл орбиты, на которой находится электрон. Взамен ее мы имеем дело с электронной плотностью, “размазанной” в пространстве атома. Тело, образованное “размазанным” электроном, называют орбиталью . Обычно под орбиталью понимают часть пространства, заключающую 90% электронного облака.

Наличие трех измерений пространства приводит к тому, что в выражении волновой функции Ψ , являющейся решением уравнения Шредингера, появляются три величины, которые могут принимать только дискретные целочисленные значения – три квантовых числа. Они обозначаются символами n , l и m_l . Эти квантовые числа характеризуют состояние электрона не только в атоме водорода, но и в любом другом атоме.

а) Главное квантовое число ( n ) определяет средний радиус электронного облака, или общую энергию электрона на данном уровне. Оно принимает натуральные значения от 1 до ∞ . В реальных атомах n имеет 7 значений, обозначаемых латинскими буквами K, L, M, N, O, P, Q. Значение n=1 отвечает уровню с самой низкой энергией (т.е. наиболее устойчивому состоянию электрона). Теоретически количество уровней не ограничено, но в атоме главным образом бывают заняты электронами уровни с низкой энергией.

б) Побочное, или орбитальное, квантовое число ( l ). В спектрах многоэлектронных атомов наблюдается мультиплетная структура линий, т.е. линии расщеплены на несколько компонент. Мультиплетность линий означает, что энергетические уровни представляют собой совокупности энергетических подуровней, т.к. любой линии в спектре отвечает переход электрона из одного состояния в другое. Энергетические различия в состоянии электронов в данном уровне связаны с различием в форме электронных облаков.

Для характеристики энергетических подуровней используется орбитальное квантовое число l . Оно может принимать в пределах каждого уровня целочисленные значения от 0 до n –1. Таким образом, уровень в зависимости от l подразделяется на подуровни, которые имеют также буквенные обозначения: s ( l=0), p ( l=1), d ( l=2), f ( l=3). Электроны, находящиеся в этих состояниях, называются s -, p -, d — и f-электронами.

Форма s-электронного облака . Это облако обладает сферической симметрией, т.е. имеет форму шара. График волновой функции Ψ расположен по одну сторону от оси абсцисс (рисунок 3.1), т.е. волновая функция s-электрона положительна.

Рисунок 3.1 – График волновой функции s-электрона в зависимости от расстояния до ядра. Форма s-орбитали

Форма p-электронного облака . Для p-электрона при удалении от ядра по некоторому направлению волновая функция имеет перегиб (рисунок 3.2). По одну сторону от ядра Ψ положительна , а по другую – отрицательна (не путать знак волновой функции со знаком электрического заряда!). В начале координат Ψ обращается в нуль. В отличие от s-орбитали , p-орбиталь не обладает сферической симметрией, а имеет форму, напоминающую гантель (рисунок 3.2).

Рисунок 3.2 – График волновой функции p-электрона. Форма p-электронного облака

Знаки “+” и “–” от носятся не к вероятности нахождения электрона (она всегда положительна и равна | Ψ | 2 ), а к волновой функции, которая в разных частях электронного облака имеет различный знак.

Еще более сложную форму имеют электронные облака d — и f-электронов. Например, d-орбитали могут иметь четырехлепестковое строение, причем знаки волновой функции в “лепестках” чередуются:

в) Магнитное квантовое число ( m_l ). Если атом поместить во внешнее магнитное поле, то происходит дальнейшее расщепление спектральных линий. Это означает, что при данных значениях n и l может существовать несколько состояний электрона с одинаковой энергией. Такие энергетические состояния называются вырожденными. Вырождение исчезает при воздействии на атом внешнего магнитного поля, что и приводит к появлению новых линий в спектре.

Энергетические изменения под действием магнитного поля объясняются различием в характере расположения электронных облаков в пространстве и, следовательно, их различной ориентацией по отношению к силовым линиям поля. Магнитное квантовое число m_l для данного подуровня – это целочисленная величина в диапазоне от – l до + l . Таким образом, при данном l оно имеет (2 l+1) различных значений. Например, для s-подуровня ( l=0) имеется только одно значение m_l , равное нулю. Поэтому s-подуровень содержит единственную орбиталь . Для p-подуровня ( l=1) возможны три значения: m_l ∈ <–1,0,1>. В соответствии с этим каждый p-подуровень состоит из трех орбиталей гантелеобразной формы, ориентированных перпендикулярно друг другу вдоль трех координатных осей и обозначаемых p_x , p_y , p_z . Легко определить, что на d-подуровне ( l=2) содержится 2 l+1=5 орбиталей , а на f-подуровне ( l=3) – 7 орбиталей .

На рисунке 3.3 показано постепенное усложнение представлений о структуре электронной оболочки атома (от уровней к подуровням и далее к орбиталям ).

Рисунок 3.3 – Эволюция представлений о строении электронной оболочки атома. Энергетическая диаграмма уровней с 1-го по 3-й

г) Спиновое квантовое число ( m_s ) не связано с движением электрона вокруг ядра, а определяет его собственное состояние. Природа этого состояния неизвестна до сих пор. Предполагается, что она связана с вращением электрона вокруг собственной оси «Spin» в переводе с английского — «кружение», «верчение». . Число m_s принимает два значения: +1/2 и –1/2.

Для определения состояния электрона в многоэлектронном атоме важное значение имеет принцип Паули, согласно которому в атоме не может быть двух электронов, у которых все четыре квантовых числа были бы одинаковыми. Следовательно, каждая орбиталь , характеризующаяся определенными значениями n , l и m_l , может быть занята не более чем двумя электронами, спины которых имеют противоположные знаки. Такие электроны называются спаренными.

Пользуясь принципом Паули, можно подсчитать, какое максимальное число электронов может находиться на каждом подуровне, т.е. определить емкость подуровней:

Здесь электроны на орбиталях изображены стрелками, направленными вверх или вниз в зависимости от знака спинового квантового числа.

Уравнение для волновой функции электрона в атоме водорода

Атом водорода и водородоподобные системы – это системы, состоящие из ядра с зарядом Ze и одного электрона (например, ионы He + , Li 2+ ).

Решение задачи об энергетических уровнях электрона для атома водорода (а также водородоподобных систем: иона гелия Не + , двукратно ионизованного лития Li + + и др.) сводится к задаче о движении электрона в кулоновском поле ядра.

Потенциальная энергия взаимодействия электрона с ядром, обладающим зарядом Zе (для атома водорода Z =1):

Состояние электрона в атоме водорода описывается волновой функцией Ψ, удовлетворяющей стационарному уравнению Шредингера

Его решения позволяют определить характеристики ВДПА:

Энергия . В теории дифференциальных уравнений доказывается, что такие уравнения имеют решения, удовлетворяющие требованиям однозначности, конечности и непрерывности волновой функции Ψ, только при собственных значениях энергии

при n = 1, 2, 3.

т. е. для дискретного набора отрицательных значений энергии.

Таким образом, как и в случае «потенциальной ямы» с бесконечно высокими «стенками», решение уравнения Шредингера для атома водорода приводит к появлению дискретных энергетических уровней. Самый нижний уровень Е₁, отвечающий минимальной возможной энергии, – основной, все остальные (Е_n>E₁, n = 2, 3,…) – возбужденные. При Е 0 движение электрона является свободным; область непрерывного спектра Е >0 соответствует ионизованному атому.

Энергия ионизации атома водорода равна

Квантовые числа . В квантовой механике доказывается, что уравнению Шредингера удовлетворяют собственные функции Ψ, определяемые тремя квантовыми числами: главным п, орбитальным l и магнитным m_l.

Главное квантовое число n, определяет энергетические уровни электрона в атоме и может принимать любые целочисленные значения, начиная с единицы:

Из решения уравнения Шредингера вытекает, что момент импульса (механический и орбитальный момент) электрона квантуется, т. е. не может быть произвольным, а принимает дискретные значения, определяемые формулой

где l – орбитальное квантовое число,которое при заданном n принимает значения

т. е. всего п значений, и определяет момент импульса электрона в атоме.

Из решения уравнений Шредингера следует также, что вектор L_e момента импульса электрона может иметь лишь такие ориентации в пространстве, при которых его проекция L_еz а направление z внешнего магнитного поля принимает квантованные значения, кратные ħ

где т_l – магнитное квантовое число,которое при заданном l может принимать значения

т.е. всего 2l+1 значений. Таким образом, магнитное квантовое число т_l определяет проекцию момента импульса электрона на заданное направление, причем вектор момента импульса электрона в атоме может иметь в пространстве 2l + 1 ориентаций.

Так как при данном п орбитальное квантовое число l может изменяться от 0 до n – 1, а каждому значению l соответствует 2l + 1 различных значений т_l, то число различных состояний, соответствующих данному n, равно

Опыт Штерна и Герлаха

О. Штерном и В. Герлахом были поставлены опыты (1921), целью которых являлось измерение магнитных моментов р _m атомов различных химических элементов. Для определения орбитального момента импульса L _l и р _m одного электрона опыты должны быть поставлены с атомами, у которых орбитальные механические (и магнитные) моменты всех электронов, кроме одного, взаимно компенсируют друг друга. Такими атомами являются атомы химических элементов, образующие первую группу периодической системы Менделеева и имеющие один валентный электрон на внешней оболочке.

Идея опытов Штерна и Герлаха заключалась в измерении силы, действующей на атом в неоднородном магнитном поле. Опыты Штерна и Герлаха обнаружили ошибочность классического предположения отом, что магнитный момент р_m и механический момент импульса L_l атома произвольно ориентируются относительно направления внешнего поля, и подтвердили наличие пространcтвенного квантования.

В трубке, где был создан вакуум порядка 10 -5 мм рт. ст., помещался источник пучка атомов — нагреваемый до высокой температуры серебряный шарик К. Атомы серебра вылетали с его поверхности со средней тепловой скоростью порядка 100 м/с, соответствующей температуре испарения серебра. Из этих атомов при помощи щелевых диафрагм В вырезался узкий пучок, проходящий через сильное и неоднородное магнитное поле, направленное перпендикулярно пучку. Основная трудность опыта состояла в том, чтобы достигнуть такой большой неоднородности магнитного поля, которая сказывалась бы на расстояниях порядка размеров атома. При такой величине неоднородности поля можно было рассчитывать получить значительную отклоняющую силу F, действующую на атом в магнитном поле. Необходимая неоднородность поля была достигнута в результате применения сильного электромагнита SN с полюсными наконечниками специальной формы. Приемником атомов серебра служила фотопластинка А.

Если бы момент импульса L_l атома (и его магнитный момент р_m ) мог принимать произвольные ориентации в магнитном поле, то можно было бы ожидать непрерывного распределения попаданий атомов на пластинку с большей плотностью попаданий в середине пластинки и меньшей плотностью к ее краям. Опыты, проведенные с серебром и атомами других элементов периодической системы, привели к совершенно другому результату. На рисунке показана фотография результата опыта Штерна и Герлаха с литием. Из рисунка видно, что на фотопластинке получились две резкие полосы — все атомы отклонялись в магнитном поле двояко, что соответствовало лишь двум возможным ориентациям магнитного момента во внешнем поле. Момент импульса атома (и его магнитный момент) равен суммарным моментам электронов, поскольку магнитные моменты ядер имеют значительно меньшее значение, чем магнитные моменты электронов. Последние совпадают с суммарными моментами валентных электронов, так как моменты электронов замкнутых оболочек компенсируются.

Для объяснения этого американские физики Д. Уленбек (1900- 1974) и С. Гаудсмит (1902-1979) предположили, что электрон обладает собственным неуничтожимым механическим моментом импульса, не связанным с движением электрона в пространстве — спином.

Спин электрона (и всех других микрочастиц) — квантовая величина, у нее нет классического аналога; это внутреннее неотъемлемое свойство электрона, подобное его заряду и массе.

Если электрону приписывается собственный механический момент импульса (спин) L_s, то ему соответствует собственный (спиновый) магнитный момент р_ms,. Согласно общим выводам квантовой механики, спин квантуется по закону

где s – спиновое квантовое число.

По аналогии с орбитальным моментом импульса, проекция L_sz, спина квантуется так, что вектор L_s, может принимать 2s + 1 ориентаций. Так как в опытах Штерна и Герлаха наблюдались только две ориентации, то 2s + 1 = 2, откуда s = 1 / 2. Проекция спина на направление внешнего магнитного поля, являясь квантованной величиной, определяется выражением

где m_s – магнитное спиновое квантовое число; оно может иметь только два значения: m_s = ± ½.

Таким образом, опытные данные привели к необходимости характеризовать электроны (и микрочастицы вообще) добавочной внутренней степенью свободы. Поэтому для полного описания состоянии электрона в атоме необходимо наряду с главным, орбитальным и магнитным квантовыми числами задавать еще магнитное спиновое квантовое число.

Движение электрона в атоме водорода по круговой орбите радиусом r описывается уравнением:

Найдем радиус n-орбиты:

Для атома водорода радиус первой орбиты электрона (первый боровский радиус) равен

Принцип запрета Паули

Если перейти от рассмотрения движения одной микрочастицы (одного электрона) к многоэлектронным системам, то проявляются особые свойства, не имеющие аналога в классической физике. Пусть квантово-механическая система состоит из одинаковых частиц, например электронов. Все электроны имеют одинаковые физические свойства – массу, электрический заряд, спин и др. внутренние характеристики (например, квантовые числа). Такие частицы называют тождественными, которые невозможно экспериментально различить тождественные частицы.

В классической механике даже одинаковые частицы можно различить но положению в пространстве и импульсам. Если частицы в какой-то момент времени пронумеровать, то в следующие моменты времени можно проследить за траекторией любой из них. Классические частицы, таким образом, обладают индивидуальностью.

В квантовой механике положение иное. Из соотношения неопределенностей вытекает, что для микрочастиц вообще неприменимо понятие траектории; состояние микрочастицы описывается волновой функцией, позволяющей вычислять лишь вероятность (|Ψ| 2 ) нахождения микрочастицы в окрестностях той или иной точки пространства. Если же волновые функции двух тождественных частиц в пространстве перекрываются, то разговор о том, какая частица находится в данной области, лишен смысла: можно лишь говорить о вероятности нахождения в данной области одной из тождественных частиц. Таким образом, в квантовой механике тождественные частицы полностью теряют свою индивидуальность и становятся неразличимыми.

Принцип неразличимости тождественных частиц ведет к определенному свойству симметрии волновой функции. Если при перемене частиц местами волновая функция не меняет знака, то она называется симметричной,если меняет антисимметричной.Изменение знака волновой функции не означает изменения состояния, так как физический смысл имеет лишь квадрат модуля волновой функции. В квантовой механике доказывается, что характер симметрии волновой функции не меняется со временем.

Установлено, что симметрия или антисимметрия волновых функций определяется спином частиц. В зависимости от характера симметрии все элементарные частицы и построенные из них системы (атомы, молекулы) делятся на два класса.

Частицы с полуцелым спином (например, электроны, протоны, нейтроны) описываются антисимметричными волновыми функциями и подчиняются статистике Ферми – Дирака; эти частицы называются фермионами.

Частицы с нулевым или целочисленным спином (например, π-мезоны, фотоны) описываются симметричными волновыми функциями и подчиняются статистике Бозе – Эйнштейна; эти частицы называются бозонами.

Сложные частицы (например, атомные ядра), составленные из нечетного числа фермионов, являются фермионами (суммарный спин – полуцелый), а из четного бозонами (суммарный спин целый).

Зависимость характера симметрии волновых функций системы тождественных частиц от спина частиц теоретически обоснована швейцарским физиком В. Паули (1900—1958), что явилось еще одним доказательством того, что спин является фундаментальной характеристикой микрочастиц.

Квантово-механическая формулировка принципа Паули:

Два одинаковых фермиона, входящих в одну систему, не могут находиться в одинаковых состояниях, так как для фермионов волновая функция должна быть антисимметричной.

Отметим, что число однотипных бозонов, находящихся в одном и том же состоянии, не лимитируется.

Таким образом, принцип Паули утверждает, что два электрона, связанные в одном и том же атоме, различаются значениями по крайней мере одного квантового числа.

Согласно принципу, данному п соответствует п 2 различных состояний электронов, отличающихся значениями l и т_l. Квантовое число m_s, может принимать лишь два значения (±1/2). Поэтому максимальное число электронов, находящихся в состояниях, определяемых данным главным квантовым числом, равно

Совокупность электронов в многоэлектронном атоме, имеющих одно и то же главное квантовое число n, называют электронной оболочкой.

В каждой из оболочек электроны распределяются по подоболочкам, соответствующим данному l. Поскольку орбитальное квантовое число принимает значения от 0 до п – 1, число подоболочек равно порядковому номеру п оболочки. Количество электронов в подоболочке определяется магнитным и магнитным спиновым квантовыми числами: максимальное число электронов в под оболочке с данным l равно 2 (2l+ 1).

Многоэлектронный атом

В многоэлектронном атоме, заряд которого равен Ze, электроны будут занимать различные «орбиты» (оболочки). При движении вокруг ядра Z‑электроны располагаются в соответствии с квантово‑механическим законом, который называется принципом Паули (1925 г.). Он формулируется так:

1. В любом атоме не может быть двух одинаковых электронов, определяемых набором четырех квантовых чисел: главного n, орбитального /, магнитногоm и магнитного спиновогоm_s.

2. В состояниях с определенным значением могут находиться в атоме не более 2n 2 электронов.

Значит, на первой оболочке («орбите») могут находиться только 2 электрона, на второй – 8, на третьей – 18 и т. д.

Таким образом, совокупность электронов в многоэлектронном атоме, имеющих одно и то же главное квантовое число n, называют электронной оболочкой . В каждой из оболочек электроны располагаются по подоболочкам, которые соответствуют определенному значению /. Так как орбитальное квантовое число l принимает значения от 0 до (n – 1), число подоболочек равно порядковому номеру оболочки п. Количество электронов в подоболочке определяется магнитным квантовым числом m_l и магнитным спиновым числом m_s.