Уравнение для вращательного движения маятника

Лабораторные работы по физике

ИЗУЧЕНИЕ ЗАКОНОВ ВРАЩАТЕЛЬНОГО ДВИЖЕНИЯ НА МАЯТНИКЕ ОБЕРБЕКА

Цель работы: 1) изучение кинематических и динамических характеристик вращательного движения;

2) экспериментальное определение момента инерции крестовины маятника Обербека и момента сил трения;

3) проверка справедливости закона сохранения (превращения) энергии механической системы.

Схема экспериментальной установки

1 – ось вращения;

Основным элементом маятника Обербека (рис. 1) является крестовина, способная свободно вращаться вокруг неподвижной горизонтальной оси 1. Крестовина состоит из четырех стержней 2 с грузами-насадками 3, расположенными симметрично относительно оси вращения. С крестовиной жестко скреплен шкив 4 радиусом R. На шкив намотана нить 5, перекинутая через легкий блок 6. К свободному концу нити привязан груз 7, массу которого m можно изменять в процессе опытов. Для измерения высоты h расположения груза над полом служит линейка 8, а для измерения времени его падения – секундомер 9.

Если поднятый на высоту h груз отпустить, то он начнет падать с ускорением , которое определяется вторым законом Ньютона. На груз действуют две силы: сила тяжести и сила натяжения нити (сопротивлением воздуха в данном случае можно пренебречь). Уравнение основного закона динамики:

в проекциях на направление движения груза имеет вид:

Пренебрегая массами нити 5 и блока 6, можно считать, что нить действует на поверхность шкива касательной силой , равной по модулю силе : | | = | | = Fн . Касательная сила создает вращающий момент , по модулю равный произведению модуля силы на ее плечо, т.е. на радиус шкива R: Мн = Fн R. С учетом (1) вращающий момент силы натяжения нити равен

Под действием момента крестовина начинает вращаться с угловым ускорением . При этом на оси вращения возникают, хотя и незначительные, силы трения. Эти силы создают тормозящий момент , направленный противоположно угловому ускорению. С учетом направления моментов сил натяжения и трения алгебраическая запись уравнения основного закона динамики вращательного движения имеет вид

J e = Мн – Мтр , (3)

где J – момент инерции крестовины маятника Обербека относительно оси вращения.

Известно, что момент инерции зависит только от распределения массы тела относительно оси. Для крестовины маятника величина J определяется в основном положением грузов-насадок 3 на стержнях 2. Если их положение в ходе опытов не изменяется, то и момент инерции остается постоянным. Момент сил трения также можно считать практически неизменным. Поэтому зависимость углового ускорения e от момента силы натяжения Мн , согласно уравнению (3), имеет линейный характер. Определив опытным путем значения e при различных Мн и обработав соответствующим образом полученную экспериментальную зависимость e (Мн), с помощью этого уравнения можно найти неизвестные величины J и Мтр . Рассмотрим теперь методику измерения углового ускорения e и момента силы натяжения Мн .

Так как нить 5 практически нерастяжима, все ее точки, включая точки на поверхности шкива, движутся с одинаковым ускорением , равным по модулю ускорению падающего груза : | | = | | = a. Груз падает с высоты h равноускоренно; при этом за время t он проходит путь

Измерив высоту h и время падения груза t, можем найти ускорение

Если известны масса груза т и радиус шкива R, то по формуле (2) можно рассчитать момент силы натяжения нити Мн .

Угловое ускорение вращения шкива, а следовательно, и крестовины и тангенциальное (касательное) ускорение точек на поверхности шкива связаны известным соотношением

Таким образом, зная массу груза т, радиус шкива R и высоту h, с которой падает груз, а также измерив время его падения t, можно экспериментально определить величины e и Мн .

Рассмотрим теперь превращение энергии в вышеописанном опыте. Поднятый на высоту h груз обладает потенциальной энергией

кинетическая энергия системы «груз + крестовина» при этом равна нулю. В момент падения груза на пол его потенциальная энергия обращается в ноль, но за счет ее уменьшения груз приобретает кинетическую энергию

а крестовина – кинетическую энергию вращения

где v – скорость груза в момент падения; w – угловая скорость вращения крестовины к этому моменту.

Итак, начальное значение полной механической энергии рассматриваемой системы равно W0 = Wp , а конечное W = Wk1 + Wk2 . Изменение энергии:

Как известно, изменение полной механической энергии консервативной системы равно нулю, а при наличии неконсервативных сил – их работе. В данной системе действуют неконсервативные силы трения, работа которых равна

где j – угол поворота крестовины за время падения груза. Знак « – » отражает тот факт, что работа сил трения и сопротивления всегда отрицательна (угол между направлениями силы и перемещения равен 180 ° ). Итак, закон сохранения (превращения) энергии в данном случае можно записать как

С учетом соотношений (6)-(9) уравнение (10) примет вид:

Для экспериментальной проверки справедливости уравнения (11) необходимо знать все входящие в него величины. К ним относятся, во-первых, заранее известные ускорение свободного падения g, масса груза т и высота h; во-вторых, определяемые путем обработки экспериментальной зависимости момент инерции крестовины J и момент сил трения Мтр ; в-третьих, кинематические характеристики системы v, w и j . Остановимся на определении последних.

Скорость груза в момент его падения на пол найдем исходя из закономерностей равноускоренного движения:

Такую же по величине скорость имеют и точки на поверхности шкива. Используя связь между линейной и угловой скоростями, получим

Так как линейное расстояние, пройденное точками на поверхности шкива, равно перемещению груза за тот же промежуток времени, угол j (в радианах) может быть рассчитан как

Порядок измерений и обработки результатов

1. Запишите радиус шкива R , выразив его в метрах, в тетрадь (R=17мм).

2. Занесите во второй столбец таблицы 1 значение массы груза т (в кг).

3. Вращая крестовину, намотайте нить на шкив так, чтобы нижняя поверхность груза 7 оказалась на заданной высоте h над полом, запишите значение высоты в тетрадь (значение h задает преподаватель или спишите с экрана монитора).

4. Отпустив крестовину, одновременно включите секундомер, а в момент касания грузом пола – выключите. Запишите время падения в третий столбец таблицы 1.

5. Повторите пп. 3 и 4 с тем же грузом еще два раза. Рассчитайте и занесите в таблицу среднее из трех значений времени t.

6. Увеличивая массу груза согласно рекомендациям, выполните пп. 2-5 еще пять раз.

7. Для каждого из шести проделанных опытов рассчитайте ускорение а по формуле (4), подставляя в нее среднее из трех измеренных значений времени падения t. Величину а (с точностью не менее чем до трех значащих цифр) запишите в четвертый столбец таблицы 1.

8. По формулам (2) и (5) вычислите значения момента силы натяжения нити Мн и углового ускорения e . Результаты занесите в соответствующие столбцы табл. 1.

9. Руководствуясь правилами [1], постройте график зависимости углового ускорения от момента силы натяжения (в данной работе необходимо, чтобы начало координат совпадало с нулевыми значениями откладываемых величин e и Мн). Нанесите на график экспериментально полученные точки.

10. Одним из описанных ниже способов* обработайте линейную экспериментальную зависимость e (Мн) и найдите значения момента инерции крестовины J и момента сил трения Мтр. Запишите эти значения в тетрадь.

11. Для одного из проделанных опытов рассчитайте по формулам (12)-(14) скорость груза v, угловую скорость вращения w и угол поворота j крестовины маятника Обербека в момент падения груза на пол.

12. Вычислите значения левой и правой частей уравнения закона сохранения энергии (11). Сравнив эти значения между собой, сделайте выводы.

Обработка зависимости e (Мн)

Угловое ускорение крестовины e и момент силы натяжения нити Мн связаны уравнением основного закона динамики вращательного движения (3). Зависимость e (Мн) можно представить в виде

где . Таким образом, определив коэффициенты линейной зависимости (15) K и b, легко найти момент инерции J и момент сил трения Мтр :

Обработку экспериментальной зависимости e (Мн) можно провести либо графически, либо методом наименьших квадратов.

Графический способ. По экспериментальным точкам проведите сглаживающую прямую. Из уравнения (3) следует, что угловое ускорение e обращается в нуль при Мн = Мтр . Таким образом, момент сил трения Мтр определяется (с учетом масштаба!) отрезком, отсекаемым проведенной прямой на оси абсцисс (рис. 2).

Величина K в уравнении (15) представляет собой угловой коэффициент прямой, т.е. тангенс угла ее наклона к оси абсцисс. Согласно (16), момент инерции J есть величина, обратная K, – значит, его можно найти как котангенс этого угла. Выбрав на сглаживающей прямой две достаточно удаленные друг от друга точки, рассчитайте значение J как отношение отрезков

причем величины отрезков D Мн и D e должны быть взяты с учетом масштаба графика и выражены в соответствующих единицах измерения: D Мн – в Н × м, а D e – в рад/с2 или в с – 2. Только в этом случае результат будет правильным, и момент инерции будет иметь размерность кг × м2.

Метод наименьших квадратов. (Подробно этот метод рассмотрен в [1]). Изучив данный материал, заполните два последних столбца табл. 1. Найдите суммы значений величин в последних четырех столбцах и занесите их в строку « S = ». Вычислите коэффициенты K и b зависимости (15); результаты расчетов запишите в тетрадь. Для определения момента инерции крестовины J и момента сил трения Мтр воспользуйтесь соотношениями (16). На графике зависимости e (Мн) проведите прямую по двум точкам, координаты которых рассчитайте по найденным значениям коэффициентов. Убедитесь в правильности проведенных расчетов (прямая должна «наилучшим» образом пройти через экспериментальные точки).

Какие величины характеризуют вращательное движение?

Что характеризует момент инерции твердого тела относительно оси вращения? Как он рассчитывается?

Сформулируйте и докажите теорему Штейнера.

Как изменится кинетика опускания гири, если грузы на крестовине передвинуть ближе (дальше) к оси вращения.

Дайте определение момента силы. Какие моменты сил действуют на крестовину маятника Обербека в этой работе.

Запишите математически и сформулируйте главный закон динамики вращательного движения.

Покажите, что в пренебрежении трением, расчетная формула для момента инерции маятника Обербека будет иметь вид:
.

Запишите и поясните закон сохранения (превращения) механической энергии в этой работе.

Изучение основного закона динамики вращательного движения на маятнике Обербека

Экспериментальная проверка основного закона динамики вращательного движения твердого тела.

ПРИБОРЫ И ПРИНАДЛЕЖНОСТИ

Набор грузов с известными массами.

Метровая линейка или рулетка.

ВЫВОД РАСЧЕТНОЙ ФОРМУЛЫ

Маятник Обербека представляет собой систему, состоящую из шкива и ступицы со спицами (рис. 1). Система может вращаться относительно неподвижной оси, проходящей через центр симметрии системы. На каждую из спиц насажены равные по массе грузы m, передвигая которые можно менять момент инерции системы. Грузы закрепляются на спицах винтами, масса которых входит в массу грузов. К шкиву крепится упругая нить, к свободному концу которой крепится груз массой m₀. Натяжение нити создает момент силы, приводящий маятник во вращение.

Основной закон динамики вращательного движения твердого тела имеет вид:

где M – алгебраическая сумма моментов сил, действующих на тело, относительно оси вращения; I – момент инерции тела относительно оси вращения; – угловое ускорение.

Для маятника Обербека основной закон динамики вращательного движения принимает вид:

, (1)

где Т – сила натяжения нити, – момент силы трения системы, I₀ – момент инерции маятника Обербека без грузов, n – число грузов массой m, – расстояние от центра груза m до оси вращения (рис. 2), r – радиус шкива, равный для всех установок 5,9 см.

Экспериментальная проверка основного закона динамики вращательного движения на маятнике Обербека заключается в независимом определении левой и правой части соотношения (1) и их сравнении.

Из второго закона Ньютона для груза m₀ выразим силу натяжения нити

, (2)

где – ускорение поступательного движения груза, g –ускорение свободного падения.

Для экспериментального определения силы натяжения нити необходимо знать массу груза и найти ускорение груза .

Масса груза известна. При необходимости массу можно определить с помощью технических весов.

Ускорение груза можно определить из эксперимента. Замотаем нить, на конце которой закреплен груз , на шкив маятника. Предоставим возможность грузу из состояния покоя пройти расстояние h за время t. Ускорение груза

Момент силы трения определим, оценив работу сил трения. Для этого предоставим грузу возможность опускаться с высоты , равной длине нити. Груз , опустившись до конца, затем поднимается на высоту (рис. 3). Убыль потенциальной энергии груза равна работе сил трения

. (3)

В экспериментальной установке силы трения действуют внутри системы, и момент силы трения можно считать постоянным. Работу сил трения можно вычислить по закону

, (4)

, (5)

где – угол поворота маятника, – число оборотов.

Из (3), (4) с учетом соотношения (5), получим

, (6)

. (7)

Зная длину нити и , можно определить коэффициент , а затем момент силы трения .

В правую часть (1) входят неизвестные величины и . Длину можно измерить экспериментально. При отсутствии проскальзывания нити по шкиву тангенциальное ускорение точек на поверхности шкива совпадает с ускорением поступательного движения груза , а угловое ускорение равно

. (8)

Соотношение (1) с учетом (2), (6) и (8) принимает вид

(9)

Это уравнение проверим экспериментально.

ПОРЯДОК ВЫПОЛНЕНИЯ РАБОТЫ

1. Запишите значение момента инерции I₀, число спиц n, массу груза m, радиус шкива r в таблицу (см. образец, табл.1).

2. Измерьте длину нити h с помощью рулетки или метровой линейки.

3. Грузы на спицах маятника установите в крайние положения и измерьте длину – расстояние от центра грузов m до оси вращения.

4. Подберите груз m₀ не менее 100 г.

5. Закрутите полностью нить на шкив маятника и отпустите груз без толчка, одновременно включив секундомер.

6. В крайнем нижнем положении груза m₀ фиксируйте время падения и дайте возможность закрутиться нити. В максимальной точке подъема груза m₀ остановите маятник и измерьте расстояние h. Чтобы убедиться в правильности фиксации времени падения, опыт проведите 5 раз.

7. Сдвиньте грузы m на спицах ближе к оси вращения и измерьте расстояние . Повторите опыт по измерению времени падения t и h для груза m₀.

8. Подберите груз m₀ меньше 100 г и проведите опыты как в предыдущих пунктах 5–7.

9. По результатам опытов вычислите ускорение груза, коэффициент , левую и правую части (9) для каждого из четырех проведенных опытов.

10. Результаты измерений и расчета занесите в таблицу (см. образец, табл.1).

11. Сравните результаты всех полученных четырех опытов. Установите, в каком опыте получается наименьшее расхождение между левой и правой частями (9). Попытайтесь проанализировать причины разных расхождений во всех опытах.

h, м	, м	m₀, кг	t, с	, м	а, м/с 2	Левая часть (кг·м 2 /с 2 )	Правая часть (кг·м 2 /с 2 )




n=	g=9,8 м/с 2	m₀=0,255 кг	r=0,059 м	I₀= кг·м 2

1. Сформулируйте основную идею работы. Какие физические законы применяются для решения задач работы?

2. Выведите рабочую формулу для проверки основного закона динамики вращательного движения твердого тела.

3. Как при помощи маятника Обербека изменить момент инерции системы? момент внешней силы?

4. Запишите и сформулируйте основной закон динамики вращательного движения твердого тела относительно закрепленной оси. Сопоставьте его со вторым законом Ньютона, проведите аналогию.

5. Опишите экспериментальную установку. Из каких основных частей она состоит?

6. Как можно оценить момент сил трения, действующих в системе?

7. Что называется моментом инерции тела относительно оси и каков его физический смысл?

8. Запишите и сформулируйте теорему Штейнера.

9. Что называется моментом силы относительно оси? Как он направлен?

10. Какие предположения сделаны в данной работе относительно физических свойств нити? Обоснуйте их.

11. Какие величины используют для описания вращательного движения?

12. Чему равен момент импульса тела относительно оси?

13. Проведите аналогию между величинами и формулами для поступательного и вращательного движения твердого тела.

14. Могут ли единицы измерения различных физических величин иметь одинаковую размерность?

15. Как спортсмен, прыгая с трамплина в воду, управляет скоростью своего вращения?

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Савельев, И. В. Курс физики. В 3-х т. Т. 1. Механика. Молекулярная физика./ И. В. Савельев.- М.: Наука, 1989.- 352 с.

2. Иродов, И. Е. Механика. Основные законы./ И. Е. Иродов.- М.: Лаборатория Базовых Знаний, 2001.- 256 с.

3. Волков, В. Н. Физика. В 3-х т. Т. 1. Механика. Молекулярная физика./ В. Н. Волков, Г. И. Рыбакова, М. Н. Шипко; Иван. гос. энерг. ун-т.- Иваново, 1993.- 230 с.

Уравнение для вращательного движения маятника

В эксперименте исследуется вращательное движение закрепленной на оси системы тел, у которой может меняться момент инерции. Различные моменты внешних сил создается грузами, подвешенными на нити, намотанной на шкив.

Основное уравнение вращательного движения твердого тела с моментом инерции J вокруг неподвижной оси z имеет вид (1.1)где — угловое ускорение, M — момент внешних сил.
Для экспериментального доказательства этого соотношения в работе используется маятник Обербека (рис.3). Он состоит из четырех стержней A и двух шкивов различного радиуса R₁ и R₂, укрепленных на одной горизонтальной оси. По стержням могут перемещаться и закрепляться в нужном положении четыре (по одному на каждом стержне) груза одинаковой массы m ‘ . При помощи груза массы m, прикрепленного к концу намотанной на тот или иной шкив нити, маятник может приводиться во вращение.
Пренебрегая силами трения и считая нить невесомой и нерастяжимой, можем написать: уравнение вращательного движения маятника (1.2)уравнение поступательного движения груза на нити (1.3)уравнение кинематической связи (1.4)Здесь R — радиус шкива, T — натяжение нити, a — линейное ускорение груза массы m, g — ускорение свободного падения.
Из системы уравнений (1.2-1.4) следует, что груз m должен двигаться с постоянным ускорением (1.5)Основное уравнение вращательного движения (1.1) было записано без учета момента сил трения в оси маятника и момента сил вязкого трения о воздух. Для доказательства правомерности такого подхода в процессе выполнения работы необходимо убедиться , что суммарный момент сил трения M_тр много меньше момента силы натяжения нити M , который равен: С учетом неравенства mR 2 J можно записать, что M mgR.
Оценить величину момента сил трения можно, если предположить, что он остается неизменным во время движения. При опускании груза m c отметки x₀ на полную длину нити до отметки x₃ и затем при последующем подъеме до отметки x₄ изменение его потенциальной энергии будет равно работе силы трения, то есть где Ф — полный угол поворота маятника Обербека. Причем поэтому Таким образом, условие малости момента сил трения окончательно имеет вид (1.6)

Установка для изучения вращательного движения (рис.4) или AVI (15.3M) состоит из основания (1), вертикальной колонны (2) с закрепленными на ней двумя подвижными кронштейнами (3,4), на которых крепятся оптические датчики положения. На колонне закреплены два неподвижных кронштейна (5,6).
На нижнем кронштейне (5) закреплен двухступенчатый вал (7). На верхнем кронштейне (6) закреплен подшипниковый узел (8) и блок (9). Через блок перекинута нить (10), один конец которой намотан на двухступенчатый вал (7), а на втором конце закреплен груз (11). На двухступенчатом валу крепятся тело маятника (12).
Кронштейны с фотодатчиками могут крепиться на разной высоте. Расстояние между этими кронштейнами измеряется по шкале, нанесенной на колонне. Время движения грузов определяют с помощью электронного таймера. Запуск таймера осуществляется нажатием кнопки «Пуск», остановка — кнопкой «Стоп». При подготовке к дальнейшим измерениям результаты предыдущих измерений убираются с табло таймера нажатием кнопки «Сброс».

Упражнение 1. Проверка закона движения.

Из (1.2-1.4) следует, что вращение маятника Обербека происходит с постоянным угловым ускорением , при этом груз m опускается с постоянным линейным ускорением a. Координата x груза, отпушенного без начальной скорости с отметки x₀ меняется по закону (ось х системы координат направлена вниз (см. рис. 3)) (1.7)Используя (1.7), определим время t пролета груза между двумя отметками x₁ и x₂: (1.8)Из (1.8) следует, что в случае равнопеременного движения (a=const) и фиксированных положений x₀ и, x₂ зависимость времени t от является линиейной и изображается на графике прямой линией.

Установить максимальное расстояние между кронштейнами с фотодатчиками
Установить грузы m ‘ в среднее положение, разместив их на равном расстоянии от оси таким образом, чтобы маятник находился в положении безразличного равновесия. Начало движения груза m всегда осуществляют от одного и того же положения x₀, которое необходимо записать в рабочий журнал. Нить наматывают на вал большего диаметра виток к витку.
Опустить груз m и произвести измерение времени t пролета груза m между фотодатчиками. Данные записать в таблицу 1.1 Провести измерения времени t для нескольких положений x₁ верхнего датчика (рекомендуется менять x₁ с шагом 5 см). Для каждого положения датчика измерения времени проводят не менее 3-х раз.
Для 5-7 первых опытов измерить значения x₄ — отметки, до которой поднимается груз при вращении маятника в одну сторону. Результаты занести в табл. 1.1.
Определить значение x₃ — максимальной отметки, до которой опускается груз m при своем движении.

Таблица 1.1

N	x_1i	x₄	t_ij	S
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15

Обработка результатов

По экспериментальным данным для каждого положения фотодатчика x₁ рассчитать среднее значение величины t_i по формуле

где N — число измерений при каждом фиксированном положении датчика.

Вычислить ошибку измерения (выборочное стандартное отклонение)

Результаты вычислений внести в табл. 1.1.

Построить зависимость t от , которая должна быть линиейной. Получившаяся линейная зависимость указывает на то, что движение тела является равнопеременным.
Найти среднее значение и оценить величину по формуле (1.6). Убедиться в малости момента сил трения по сравнению с начальным моментом силы натяжения нити.

Упражнение 2. Проверка независимости инерционных свойств маятника (момента инерции) от момента внешних сил.

В данном упражнении экспериментально показывается, что инерционные свойства маятника, а именно — момент инерции — не зависят от момента внешних сил.
Из уравнения (1.2) имеем (1.9)Из уравнений (1.5), (1.8) следует, что (1.10)В уравнение (1.10) входят величины, определяемые экспериментально.

Измерить штангенциркулем радиусы R₁ и R₂ шкивов, результаты, занести в рабочую тетрадь.
Устаноновить максимальное расстояние между кронштейнами с фотодатчиками. Занести в рабочий журнал координаты фотодатчиков x₁, x₂ и значение x₀.
Установить грузы m ‘ в среднее положение, разместив их на равном расстоянии от оси таким образом, чтобы маятник находился в положении безразличного равновесия.
На конец нити, намотанной на шкив радиуса R₁, прикрепить груз массы m₁ и измерить время прохождения груза между двумя фотодатчиками t. Одновременно измерить x₄— отметку, до которой поднимается груз. Измерение провести 3 раза. и результаты внести в табл.1.2.
Перебросить нить на другой шкив (радиуса R₂). и измерить время t и значение x₄ (3 раза). Результаты внести в табл. 1.2.
Провести аналогичные измерения (п.4-п.5), прикрепив к концу нити груз массы m₂. Результаты измерений занести в табл.1.2.

Таблица 1.2

Комбинации значений радиусов шкивов и масс при измерениях	N	t_ij	x₄	, S	J_i , S_{J_i}
R₁ , m₁	1
	2
	3
R₂ , m₁	4
	5
	6
R₁ , m₂	7
	8
	9
R₂ , m₂	10
	11
	12

Обработка результатов

По экспериментальным данным вычислить средние значения величин t и ошибки их измерений для четырех различных опытов. Результаты вычислений внесети в табл.1.2.
Вычислить значения моментов инерции J₁:J₄ по формуле (1.10).
Определить значение для каждого опыта.
Найти отношение аналогично тому, как это было сделано в упр.1. Результаты внести в табл. 1.2.
Произвести оценку погрешностей полученных результатов. В связи с тем, что экспериментальные значения J_i являются результатом косвенных измерений, то стандартное отклонение функции нескольких независимых переменных находится через ошибки прямых измерений по формуле для ошибки косвенных измерений.
Проанализировать полученный результат. Для этого отметить значения моментов инерции J₁:J₄ с учетом погрешностей на числовых осях (рис.5), выбирая J_i=S_{J_i}. Пересечение этих областей будет указывать на выполнение соотношения (1.9) , что свидетельствеут о независимости инерционных свойств маятника от момента внешних сил.

Упражнение 3. Проверка основного уравнения вращательного движения и теоремы Гюйгенса-Штейнера.

Пусть J₀ ‘ — суммарный момент инерции четырех грузов с массами M ‘ относительно осей, проходящих через их центры масс. При удалении центров грузов на расстояние l=l₁, от оси вращения (см. рис. 3), согласно теореме Гюйгенса — Штейнера , момент инерции будет равен J₁ ‘ (1.11)Если J₀ — момент инерции маятника без грузов, то полный момент инерции маятника будет равен (1.12)При удалении центров масс грузов на расстояние l₂ соответственно имеем (1.13)С учетом уравнений (1.2)-(1.4) и (1.10) зависимость квадрата времени пролета груза между двумя отметками x₁ и x₂ от расстояния центра грузов m ‘ от оси вращения l имеет вид (1.14)Если l₁>l₂ , то (1.15)Уравнения (1.14)-и (1.15) дают (1.16)где t₁ , t₂ — времена пролета груза между датчиками для случаев l=l₁ и l=l₂ соответственно.
В это уравнение входят величины, определяемые экспериментально.

На конец нити, намотанной на шкив радиуса R₂ (большего по размеру), прикрепить груз наибольшей массы. Фотодатчики оставить в том же положении, что и в упражнении 2.
Установить минимальное значение момента инерции маятника. Для этого грузы m ‘ установить в положение, наиболее близкое к оси. Измерить расстояние от грузов до оси. Занести это значение в табл 1.3.
Определить величину t. — время прохождения груза m между двумя фотодатчиками и x₄ — отметку, до которой он поднимается в процессе движения.Измерения проводят 3 раза. Результаты заносят в табл.1.3.
Изменяя положение грузов m ‘ на стержнях с шагом 3 см, каждый раз измеряют время t. Результаты измерения и соответствующие им расстояния l от оси маятника до центров грузов записать в табл.1.3 . Одновременно для каждого опыта измеряют и заносят в табл. 1.3 значения величины x₄ .

Таблица 1.3

N	( #t_ij )	x₄	, S	( t_i ) 2 , S_{( t_i ) 2}	l	l 2
1
2
3
.

Обработка результатов

По экспериментальным данным для каждого положения грузов m ‘ найти средние значения величин t_i.
Вычислить погрешности измерения t_i и ( t_i) 2 .
Построить график зависимости квадрата времени опускания груза ( t_i) 2 . от l 2 , — это должна быть прямая линия.
Проверить соотношение (1.16) для нескольких пар значений t 2 и l 2 .
Для каждого момента инерции определить и отношение . Убедиться в выполнении приближения .

Основные итоги работы
В результате выполнения работы должна быть осуществлена экспериментальная проверка выполнения основного уравнения вращательного движения — уравнения моментов. Должны быть проверены соотношения (1.9) и (1.16) и установлена линейная ( t) 2 зависимость от l 2 .
Контрольные вопросы

Что такое абсолютно твердое тело? Сколько степеней свободы имеет твердое тело? Сколько независимых скалярных уравнений требуется для описания движения твердого тела?

Почему угловая скорость является вектором? Куда направлен этот вектор?

Что такое момент силы относительно некоторой точки? Куда он направлен? Что такое момент силы относительно закрепленной оси?

Что такое момент импульса системы тел?

Что такое момент инерции тела относительно закрепленной оси?

Сформулируйте теорему Гюйгенса-Штейнера.

Как получить уравнение моментов и основное уравнение вращательного движения относительно закрепленной оси?

Литература

Матвеев А.Н. Механика и теория относительности. 2-е изд. М.: Высшая школа, 1986, § 31,32,34.

Сивухин Д.В. Общий курс физики. Том 1. Механика,3-е изд. M.: Наука.1989, § 30,35.

источники:

http://lektsii.org/9-16570.html

http://genphys.phys.msu.ru/rus/lab/mech/opis1/i2.htm