Уравнение дуги по трем точкам

Уравнение окружности, проходящей через три заданные точки

Этот онлайн калькулятор выводит уравнение окружности, проходящей через три заданные точки

Этот онлайн-калькулятор находит окружность, проходящую через три заданные точки. Калькулятор находит центр, радиус и уравнение окружности, и строит окружность на графике. Методы, использованные для нахождения центра и радиуса окружности, описаны ниже под калькулятором.

Уравнение окружности, проходящей через три заданные точки

Первая точка

Вторая точка

Третья точка

Центр

Как найти окружность, проходящюю через три заданные точки

Давайте вспомним как выглядит уравнение окружности в стандартной форме:

Так как все три точки принадлежат одной окружности, мы можем записать систему уравнений

Значения , и мы знаем. Давайте сделаем подстановку с неизвестными переменнами a, b и c.

Теперь у нас есть три линейных уравнения для трех неизвестных — составим систему уравнений соответствующую матричной форме:

Мы можем решить эту систему уравнений, используя, к примеру, Гауссово исключение. (подробнее прочитать об этом можно здесь — Решение системы линейных алгебраических уравнений методом Гаусса ). «Нет решений» — означает, что точки коллинеарны и окружность через них провести нельзя.

Координаты центра окружность и ее радиус относится к подобному решению

Зная центр и радиус, мы можем получить уравнение окружности, используя этот калькулятор — Уравнение окружности по заданному центру и радиусу в различных формах

Уравнение окружности по трем точкам

Калькулятор расчета онлайн уравнения окружности по трем заданным точкам, а также нахождение координат точки центра и радиус окружности.

Уравнение окружности

r 2 = (x — h) 2 + (y — k) 2

• h,k — координаты центра Окружности
• x,y — координаты точки окружности
• r — радиус

Пример

Найдите координаты точки центра окружности, радиус и уравнение окружности, если известны координаты трех точек A (2,2), B (2,4) и C (5,5)

Решение :

Подставляем координаты точек в формулу

1. (2 — h) 2 + (2 — k) 2 = r 2
2. (2 — h) 2 + (4 — k) 2 = r 2
3. (5 — h) 2 + (5 — k) 2 = r 2

Шаг :2

Найдем значение k упрощая 1 и 2 уравнения

• (2 — h) 2 + (2 — k) 2 = (2 — h) 2 + (4 — k) 2
• 4 — 4h + h 2 + 4 — 4k + k 2 = 4 — 4h + h 2 +16 — 8k + k 2
• 8 — 4k = 20 — 8k
• k= 3

Шаг :3

Найдем значение h упрощая уравнения 2 и 3

• (2 — h) 2 + (2 — k) 2 = (5 — h) 2 + (5 — k) 2
• 4 — 4h + h 2 + 4 — 4k + k 2 = 25 — 10h + h 2 + 25 — 10k + k 2
• 8 — 4k — 4h = 50 — 10h — 10k
• 6k + 6h = 42

Подставив значение k=3 в уравнение

Получаем координаты точки центра (h,k) = ( 4,3 )

Шаг :4

Подставим значения h,k в формулу

• r 2 = (x — h) 2 + (y — k) 2
• r 2 = (2 — 4) 2 + (2 — 3) 2
• r 2 = (-2) 2 + (-1) 2
• r 2 = 5
• r = 2.24

Шаг :5

Подставим значения h, k в уравнение окружности

(x — h) 2 + (y — k) 2

Уравнение окружности = (x — 4) 2 + (y — 3) 2

Алгоритм поиска дуги, ее центра, радиуса и углов, заданных 3 точками

даны 3 точки A, B и C

Как я могу найти и дугу, которая начинается на A, заканчивается на C и проходит через B; координаты ее центра, радиус и углы для r и r’ ?

6 ответов

есть несколько способов сделать это. Вот один алгоритм:

получить ваши координаты

вычислить средние точки линий AB и BC

найти наклоны линий AB и До н. э.

построить линии, проходящие через средние точки, перпендикулярные AB и BC (спасибо Ив для ловли отрицательный!)

*** линия с Slope_perp_AB проходит через mid_AB

*** линия с Slope_perp_BC проходит через mid_BC

установите два уравнения равными друг другу и решить, чтобы найти пересечение! Это дает вам точку d= .

вычисление радиуса и углов теперь тривиально с центральной точкой d!

центр круга равноудален от трех заданных точек:

вычитая первый член из второго и третьего, получаем после перегруппировки:

эту линейную систему из двух уравнений в двух неизвестных легко решить с помощью правила Крамера.

радиус и углы можно найти, используя декартово-полярное преобразование вокруг центра:

но вы все еще пропускаете одну вещь: что такое соответствующая часть дуги ? Меньше или больше половины оборота ? От Ta to Tb или Tb до 2 Pi to Ta + 2 Pi , или что ? Ответ гораздо менее очевиден ,чем кажется, попробуйте (потому что три угла Ta , Tb и Tc несколько undeterminate кратного 2 Pi и вы не можете сортировать их) !

подсказка: рассмотрим знак площади треугольника ABC, точно половину определителя системы. Он скажет вам, если B лежит слева или право переменного тока.

найти перпендикуляр AB и BC.

найдите точку, в которой пересекаются эти линии.

точка, которую вы найдете, будет центром круга, который вы хотите.

вычислить расстояние от одной из трех точек от центра, который вы нашли на Шаге 2. Это будет радиус твоего круга.

Примечание точки A, B и C не должны будьте в одной линии. Вы должны проверить это, прежде чем выполнять шаги с 1 по 3.

решение этого почти идентично «кругу наилучшего соответствия для не-сверх-определенной системы». Так как у вас есть три точки, которые находятся точно на дуге бывшей окружностью с центром в (0,0) (дана) система может быть решена точно, а не требующие наименьших квадратов аппроксимация.

ссылки

1. поиск центра круга с учетом трех точек, по состоянию 2014-04-01,

у вас есть три уравнения для определения трех неизвестных xM, yM и R,

etc. Вычитание уравнения A из уравнений B и C дает

решая эту линейную систему 2×2, вы получаете центральную точку круга, вставка в любое исходное уравнение дает радиус.

существует малоизвестный результат, дающий неявное уравнение круга через 3 точки:

где мы определили Z:= X^2 + Y^2 для краткости.

вычисляя 3×3 несовершеннолетних, мы превращаемся в:

и после нормализации получаем обычное уравнение второй степени:

это можно переписать как:

немедленно дать центр (U, V) = (-M10/2.M00, -M20/2.M00) и радиусом R^2 = U^2 + V^2 — M30/M00 .