Уравнение движения атмосферы в общем виде

Раздел метеорологии, в котором устанавливаются закономерности строения атмосферы при отсутствии движения её относительно поверхности Земли, носит название статики атмосферы.

Несмотря на то, что атмосфера обычно находится в движении относительно земной поверхности (наблюдается ветер), изучение её статического состояния оправданно, так как устанавливаемые законы распределения давления и плотности воздуха по высоте с одинаковой точностью справедливы для статичной и движущейся атмосферы. Законы статики используются при решении многих практических задач. Наиболее важная из них – определение высоты прибора, станции или летательного аппарата по измеренному давлению (барометрический метод расчета высот.)

Силы, действующие в атмосфере в состоянии равновесия

Система находится в равновесии (покое), если результирующая всех сил, действующих на систему, равна нулю.

Силы, действующие в атмосфере, можно разделить на две группы: массовые и поверхностные.

К массовым относятся силы, которые действуют на каждый элемент массы (или объем) независимо от того, существуют ли рядом с рассматриваемым элементом массы (объема) другие воздушные частицы.

Массовыми силами, действующими на атмосферу в целом и на отдельные её части, являются сила тяжести и отклоняющая сила вращения Земли (сила Кориолиса).

Поверхностные силы представляют собой силы взаимодействия некоторого объема воздуха и окружающей среды. Эти силы приложены к поверхностным частицам выделенного объема.

Поверхностные силы, действующие в атмосфере, — это сила давления и сила трения. Но кориолисова сила и сила трения появляются лишь при наличии движения атмосферы относительно поверхности Земли или одних её частей относительно других. Поэтому силами, действующими в атмосфере в состоянии покоя, являются сила тяжести и сила давления (см. приложение).

Ускорение свободного падения (ускорение силы тяжести) g представляет собой результирующую (векторную сумму) ускорения силы гравитационного (ньютонова) притяжения g_a и центробежной силы Z:

Центробежная сил возникает вследствие суточного вращения Земли, в котором полностью участвует и атмосфера. В каждой точке она направлена вдоль перпендикуляра к оси вращения Земли.

Направление, в котором действует сила тяжести, носит название истинной вертикали, а поверхность, в каждой точке которой сила тяжести перпендикулярна к ней, — уровенной поверхности.

Под влиянием касательной (к меридиану) составляющей центробежной силы Земля приобрела сплюснутую форму. С достаточной для практики степенью точности уровенные поверхности можно считать эллипсоидами вращения. При решении метеорологических задач зависимость ускорения свободного падения g от расстояния r до центра Земли и широты места φ записывается в виде:

где g₀ = 9,80665 м/с 2 – ускорение свободного падения на широте 45º и на уровне моря; z – высота точки над уровнем моря; а₁ = 0,0026 и а₂ = 3,14 ×10 -7 м -1 – постоянные /Матвеев/.

Зависимость ускорения свободного падения от широты и высоты учитывается при решении некоторых задач, рассматриваемых в метеорологии. К числу таких задач относится, прежде всего, измерение давления воздуха с помощью ртутных барометров. Высота столба ртути в барометре при фиксированном давлении зависит от ускорения свободного падения на данной широте и высоте станции над уровнем моря, а также от температуры ртути. Ускорение свободного падения нужно рассматривать как функцию высоты и широты при решении вопросов, относящихся к строению и физическим процессам, происходящим на больших высотах. Это, например, вопрос о плотности и составе воздуха на больших высотах, об ускользании газов из земной атмосферы, о высоте и форме верхней границы атмосферы и др. Во всех случаях зависимость g от φ и z можно учесть путем перехода от высоты к вводимой геопотенциальной высоте.

Уравнение статики атмосферы

Рассмотрим в атмосфере вертикальный столб воздуха единичного сечения, причем предположим, что:

1. воздух находится в покое относительно земной поверхности;
2. воздух можно рассматривать как идеальный газ;
3. состав воздуха с высотой не меняется.

Тогда на любом уровне на высоте z для равновесия воздуха необходимо, чтобы его упругость p уравновешивала вес Q всего столба, расположенного выше данного уровня, т.е. чтобы

Из этого равенства следует, что по мере поднятия вверх упругость воздуха p уменьшается вследствие уменьшения веса Q и что, измеряя упругость воздуха мы тем самым измеряем силу. Действующую на единицу поверхности, обусловленную весом воздушного столба, расположенного над данным уровнем. Эту силу определяем как силу атмосферного давления, обозначая её также как и упругость, через p. В случае если воздух находится в движении соотношение Q = p, строго говоря, не выполняется, но подробный анализ этого вопроса показывает, что в реальных условиях в атмосфере движения воздуха и ускорения в большинстве случаев настолько малы, что практически их влиянием можно пренебречь. Лишь в случае очень больших скоростей движений и особенно значительных вертикальных ускорений можно отметить некоторое незначительное их влияние на давление.

Рассмотрим условие, при котором отсутствуют вертикальные перемещения воздуха. Для этого на любой высоте в атмосфере выделим столб единичного сечения. Пусть давление на его нижнем основании будет p, а на верхнем p – dp. Тогда очевидно, что при отсутствии разности давлений в горизонтальном направлении уменьшение давления – dp, согласно Q = p, будет определятся весом столба воздуха. Если ρ – плотность воздуха на данной высоте z, а g – ускорение силы тяжести, то

Это соотношение связывает давление и плотность с высотой для идеального газа, находящегося под действием силы тяжести. Оно справедливо при указанных выше условиях статического равновесия воздуха, и называется уравнением статики атмосферы. Из него непосредственно вытекает, что падение давления с высотой прямо пропорционально плотности воздуха. Разделив левую и правую части уравнения на dz получим второй вид основного уравнения статики атмосферы:

,

где —dp/dz — вертикальная составляющая градиента давления; gρ – сила тяжести, действующая на единичный объем воздуха, масса которого равна ρ. Таким образом, основное уравнение статики физически выражает собой равновесие двух сил – градиента давления и силы тяжести.

Из основного уравнения статики атмосферы можно сделать три важных вывода.

1.Если высота возрастает (dz > 0), то в правой части уравнения статики стоит произведение только положительных множителей: ρgdz > 0. поэтому и левая часть также больше нуля —dp > 0 или dp 0) всегда соответствует отрицательное приращение давления (dp 2 и высотой от данного уровня z до верхней границы атмосферы z_a . Вес этого столба обозначим через Q. Так как вес элементарного столба с высотой dz равен gρ dz (ρ dz – масса элементарного столба), то вес всего столба

.

Проинтегрировав правую и левую части уравнения статики в пределах от z, где давление p, до z_a , где давление равно нулю (по определению верхней границы), получим

или p = Q.

Таким образом, атмосферное давление или давление воздуха на каждом уровне равно весу столба воздуха единичного поперечного сечения и высотой от данного уровня до верхней границы атмосферы. Полученное следствие делает физически ясным и вывод об убывании давления с высотой: увеличение высоты приводит к уменьшению вертикальной протяженности вышележащей части столба воздух, и, следовательно, к уменьшению давления (по сравнению с нижележащими уровнями). В закрытых (негерметизированных) помещениях давление на каком-либо уровне практически не отличается (по закону Паскаля) от давления вне помещения на том же уровне.

3. Основное уравнение статики позволяет сделать выводы и относительно скорости убывания давления с высотой. Согласно этому уравнению, при подъеме на одну и ту же высоту (dz = const) уменьшение давления (—dp) тем больше, чем больше плотность воздуха ρ и ускорение свободного падения g. Основную роль играет плотность воздуха. С увеличением высоты она, как правило, убывает. Это значит, что чем выше расположен уровень, тем меньше убывание давления при подъеме на одну и ту же высоту dz.

Если точки А и В расположены на одной и той же изобарической поверхности, то плотность воздуха в этих точках будет зависеть только от температуры воздуха. Если Т_А > Т_В , то при (p = const) по уравнению состояния ρ_А 3 , g = 9,81 м/с 2 . Подставив эти значения в

,

получим, что градиент давления при нормальных условиях равен 12,5 гПа/100м. Это значение изменяется в зависимости от температуры и давления. При увеличении высоты вертикальный градиент давления уменьшается.

Основное уравнение статики является одним из важнейших уравнений метеорологии, на основе которого устанавливаются закономерности распределения давления, плотности и массы воздуха по высоте. В своем дифференциальном виде основное уравнение статики позволяет выполнить расчет изменения давления лишь для малых приращении высоты dz.

На практике всегда необходимо иметь данные о распределении давления в слоях атмосферы конечной толщины или определить толщину таких слоев по измеренным значениям давления. Для этой цели основное уравнение статики записывают в конечном (интегральном) виде, т.е. находят его интегралы. Интегралы основного уравнения статики атмосферы, полученные при разных предположениях относительно изменения температуры и плотности воздуха с высотой, называются барометрическими формулами. На основе этих формул решаются такие важные практические задачи, как расчет распределения давления и плотности по высоте, определение высот различных летательных аппаратов по измеренному давлению, приведение давления к уровню моря и др.

Для получения интегральной формы основного уравнения статики проинтегрируем левую и правую части уравнения

в пределах от уровня моря z = 0 (или земной поверхности), где давление p₀ , до произвольной высоты z, где давление p. Получим интегральную форму для сухого воздух:

.

Здесь ρ = ρ(z) — функция высоты.

Вторую интегральную форму основному уравнению статики можно придать, если воспользоваться уравнением состояния влажного воздуха

где R_c – удельная газовая постоянная; T_v – виртуальная температура. Найдем из этого уравнения значение ρ и перепишем уравнение статики в следующем виде:

.

Интегрируя в пределах от 0 до z и от p₀ до p, получаем интегральную форму для влажного воздуха

.

Полученные интегральные формы для сухого и влажного воздуха широко используются для получения различных барометрических формул. Причем давление p₀ может обозначать как давление на уровне моря, так и на поверхности Земли. Различие будет состоять лишь в начале отсчета высоты z. В общем случае температура, а вместе с ней и плотность воздух являются достаточно сложными функциями высоты, установить аналитический вид которых далеко не всегда представляется возможным. Поэтому, прежде чем перейти к общему случаю, рассмотрим несколько частных с заданным распределением температуры по высоте. При этом обычно считают состав воздуха неизменным (μ = const) и пренебрегают изменением g с высотой, принимая g (z) = const, что, конечно, вносит некоторую неточность и допустимо до высот около 80 – 100 км.

Обычно в метеорологии рассматривают следующие частные случаи:

однородная атмосфера — плотность атмосферы ρ с высотой не изменяется;

изотермическая атмосфера – температура в атмосфере с высотой остается неизменной (T = const);

политропная атмосфера – температура воздуха в атмосфере убывает с высотой по линейному закону , где — вертикальный температурный градиент.

Выделение таких случаев имеет смысл, потому, что хотя в целом для атмосферы они и неприменимы, но атмосфера до изучаемой высоты может быть разбит на ряд отдельных слоев, каждый из которых более или менее близко соответствует одному из указанных условий. Рассмотрим изменение давления при этих условиях.

Однородная атмосфера. Предположим, что плотность воздуха в пределах всей атмосферы не изменяется с высотой (однородная атмосфера), т.е. ρ = ρ₀ = const. Здесь ρ₀ — плотность воздуха при z=0. Пренебрежем зависимостью ускорения свободного падения от высоты. Тогда на основании получаем барометрическую формулу однородной атмосферы

Согласно этой формуле, давление в однородной атмосфере убывает с высотой по линейному закону. В приложении к атмосфере эта формула дает далекое от реальных условий распределение давления. Однако для гидросферы, плотность которой изменяется в узких пределах (плотность воды близка к 1г/см 3 ) она дает удовлетворительные результаты. Поэтому её можно назвать барометрической формулой гидросферы (высота в этом случае отсчитывается от дна моря или океана).

Высота однородной атмосферы (высота на которой давление обращается в нуль). Высота однородной атмосферы обозначается через H. Согласно получим:

или

Так как , то (T₀ – температура воздуха при z = 0) получаем

Отсюда следует, что высота однородной атмосферы конечна и зависит только от температуры воздуха на поверхности Земли. При t₀ = 0ºC она составляет

Так как плотность в однородной атмосфере постоянна, а давление быстро убывает с высотой, температура её, равная по уравнению состояния должна понижаться. Беря производную по высоте от левой и правой части, получаем

Привлекая , находим следующее выражение для вертикального градиента температуры γ _А в однородной атмосфере:

или γ _А = 3,42ºС/100 м.

Таким образом, в однородной атмосфере температура убывает с высотой по линейному закону:

,

при этом скорость понижения (градиент) значительно больше среднего значения γ в пределах тропосферы.

Изменение плотности воздуха с высотой в общем случае. Возьмем логарифмическую производную по высоте от левой и правой части уравнения состояния p = R_cρT :

.

Заменив dp/dz по и в полученном выражении ρ по уравнению p = R_cρT найдем

или .

Эта формула справедлива для любого распределения температуры воздуха по высоте. На основе её можно сделать выводы относительно изменения плотности воздуха о высоте. Возможны три различных случая.

1. Если γ>γ_А = 3,42ºС/100м, то dρ /dz> 0, т.е. плотность воздуха возрастает с высотой. Вертикальные градиенты температуры γ, больше 3,42ºС/100м, в реальных условиях атмосферы могут наблюдаться лишь в дневные часы летом в приземном слое атмосферы. При таких условиях плотность в этом слое растет с высотой.
2. Если γ =γ_А , то dρ /dz= 0 т.е. плотность воздуха не изменяется с высотой: ρ = ρ₀=const. Это случай однородной атмосферы.
3. Если γ γ_А , то dρ /dzγ_А при любых состояниях атмосферы. В приземном слое случаи когда γ γ_А , наблюдаются также значительно чаще, чем случаи γ>γ_А . Таким образом, наиболее характерным состоянием атмосферы является такое, когда плотность воздуха убывает с высотой.

Изотермическая атмосфера. Такая атмосфера наблюдается при условии когда температура с высотой не изменяется, т.е. Т = Т₀=const, здесь Т₀ – температура на уровне моря или поверхности Земли. Изотермическая атмосфера по своим свойствам противоположна однородной атмосфере. Считая атмосферу сухой и пренебрегая зависимостью ускорения свободного падения от высоты, на основании получаем барометрическую формулу изотермической атмосферы: или ,

т.е. давление в изотермической атмосфере убывает с высотой по экспоненциальному закону.

Отсюда видно, что изотермическая атмосфера не имела бы верхней границы и простиралась бы до бесконечности, а на высоте z = H давление в ней уменьшилось бы только в expраз, в то время как в однородной атмосфере на этой высоте оно было бы равно нулю.

Высоту z, на которой в изотермической атмосфере давление равно p_z, можно выразить формулой или, учитывая и переходя к десятичным логарифмам получим . Принимая H₀ = 8000 м, последнее уравнение перепишем в виде

Главные выводы изотермической атмосферы

1.Если высота растет в прогрессии арифметической, то давление убывает в прогрессии геометрической.

2.При более высокой Т давление в изотермич. атм. убывает с высотой медленнее, чем при более низкой Т

3.Чем выше расположен слой атмосферы определенной толщины, тем меньше давление в этом слое.

Можно отметить, что в изотермической атмосфере давление уменьшилось бы (при t=0º) в 10 раз на высоте 18,4 км и в 100 раз на высоте около 37 км. В действительности эта высота несколько меньше, так как средняя температура такого слоя меньше нуля.

Политропная атмосфера. Политропной называют такую атмосферу, которая характеризуется линейным изменением температуры воздуха с высотой (или постоянным значением вертикального градиента температуры):

.

Считая атмосферу сухой (T_v=T) и подставляя Т в формулу получаем

.

Выполнив интегрирование (в предположении g = const), приходим к барометрической формуле политропной атмосферы:

.

Графически зависимость p от z изображена на рисунке. Кривые соответствуют одним и тем же значениям p и T₀, но разным значениям вертикального градиента температуры: γ₁ > γ₂. Давление при большем значении вертикального градиента температуры (γ₁) убывает с высотой быстрее, чем при меньшем (γ₂).

Рисунок. Распределение давления по высоте в политропной атмосфере [Матвеев].

Для сравнения приведены кривые изменения давления в однородной и изотермической атмосферах (штриховые кривые). Высота политропной атмосферы конечна. Т.е. согласно , давление обращается в нуль на такой высоте z = H_γ, на которой

или .

Формула для плотности воздуха в политропной атмосфере имеет вид

.

Полная барометрическая формула (формула Лапласа). Общий случай: температура распределяется произвольно по высоте, реальный воздух влажный, ускорение свободного падения – функция широты и высоты. С полным выводом уравнения можно ознакомиться на с.87 [Матвеев].

Полная барометрическая формула (Формула Лапласа) окончательно имеет вид:

.

Величина В = 2,30×18 400 м называется барометрической постоянной, а средние значения и носят название средних барометрических (температуры и удельной влажности соответственно).

В таком полном виде барометрическая формула на практике используется лишь при барометрическом нивелировании. При решении подавляющего большинства метеорологических задач такой высокой точности не требуется. Поэтому, если считать воздух сухим и пренебречь зависимостью ускорения свободного падения от широты и высоты, получим барометрическую формулу реальной атмосферы:

Возвращаясь к натуральным логарифмам и абсолютной температуре эту формулу можно записать в виде: , где =273 (1+) – средняя барометрическая температура слоя воздуха, заключенного между уровнями и . Средняя барометрическая температура – это такая постоянная в пределах слоя температура, которая обеспечивает значения давления на границах его, наблюдаемые при реальном распределении температуры по высоте. Практически нередко отождествляют со средней арифметической температурой, т.е. полагают

,

где и — температуры воздуха на нижней и верхней границах слоя. Если уровень совпадает с поверхностью Земли ( = 0), а уровень — произвольный ( = z), то формула принимает вид .

Решение задач с помощью барометрических формул:

1. Вычисление распределения давления по высоте. Задача состоит в определении величины давления на некотором уровне по заданному значению на уровне и среднему значению в слое — . Обычно при этих расчетах применяются формулы для изотермической атмосферы.
2. Барометрическое нивелирование. Оно применяется, когда ставится задача определить разность высот двух точек — по значениям давления в них , и виртуальной температуры и . При необходимости получения большой точности расчету следует вести по формуле Лапласа. Обычно на практике проводят вычисления по формуле для изотермической атмосферы, используя её последовательно для небольших слоев (1-2км). Также используются гипсометрические таблицы и номограммы.
3. Приведение давления к уровню моря. Известны , , , и . Требуется найти . Эта задача имеет широкое применение в метеорологии, когда давление , наблюденное на некоторой станции на высоте , приводится к давлению на уровне моря. Практически это осуществляется при помощи готовых таблиц.
4. Определение средней температуры слоя. В этом случае известны и на высотах и и требуется найти , что осуществляется с помощью приведенных выше формул.

Барическая ступень

Барической ступенью называется такая высота (h), на которую нужно подняться до исходного уровня, чтобы давление понизилось на 1гПа. Единица барической ступени м/гПа. Так как при увеличении высоты на dz давление понижается на –dp, для того чтобы оно уменьшилось на 1гПа необходимо подняться на высоту равную

С учетом эта формула принимает вид . Эта формула показывает, что h зависит только от плотности воздуха. Чем меньше плотность воздуха, тем больше барическая ступень, и наоборот. Уменьшение плотности приводит у росту барической ступени при увеличении высоты. Заменив в формуле плотность по уравнению получим

, где м

Если сравнивать барические ступени на одной и той же изобарической поверхности в теплой и холодной воздушных массах, то барическая ступень в теплой массе больше барической ступени в холодной. Чем меньше барическая ступень, тем быстрее падает с высотой давление. В таблице приведены значения барической ступени при разных температурах и давлениях.

Барическая ступень (гПа) [Матвеев]

Геопотенциал. Абсолютная и относительная высота изобарических поверхностей

Геопотенциалом Ф*точки называется работа, которую необходимо совершить, чтобы поднять единицу массы в поле силы тяжести от исходного уровня (как правило это уровень моря) до этой точки.

Так как при подъеме единичной массы на высоту dz затрачивается работа dФ* = gdz, формула для Ф*имеет вид , где z – высота точки над уровнем моря. Единицей геопотенциала в СИ служит м 2 /с 2 .

Геопотенциальная высота Ф представляет собой отношение геопотенциала Ф* к нормальному ускорению свободного падения g₀ = 9,80665 м/с 2 , т.е.

, .

Геопотенциальная высота имеет размерность длины — геопотенциальный метр (гп.м).

Если геопотенциальную высоту ввести в барометрическую формулу реальной атмосферы она примет вид: . Из формулы следует , где Ф_р— геопотенциальная высота над уровнем моря (абсолютная высота изобарической поверхности).

Географические карты с нанесенными на них значениями абсолютной высоты изобарической поверхности называются картами абсолютной топографии (АТ). На них проводятся линии равных значений Ф_р (изогипсы). Так как изобарическая поверхность над циклонами имеет вогнутую к земной поверхности форму, а над антициклонами – выпуклую, то циклоны и антициклоны на картах АТ это области с замкнутыми изогипсами с низким и высоким значением Ф_р в центре.

На карты относительной топографии (ОТ), наносятся значения относительных высот (превышение одной изобарической поверхности над другой). Формула для относительной высоты имеет вид .

Из неё следует, что относительная высота зависит только от средней температуры столба воздуха, т.е. карты ОТ эквивалентны картам средней температуры. В таблице приведены значения высот z, на которых расположены изобарические поверхности с давлением р.

Высота изобарических поверхностей

Стандартная атмосфера (СА)

СА- это расчетная атмосфера, параметры которой принимаются с учетом многолетних значений метеорологических величин. Изменения в СА происходят по мере накопления новых данных о состоянии верхних слоев атмосферы. В качестве параметров и констант в СА использованы: температура, давление, плотность воздуха, относительные величины (по отношению к значениям на уровне моря) давления, температуры и плотности воздуха, относительная молекулярная масса, скорость звука, вязкость (динамическая и кинематическая), ускорение свободного падения и средняя длина свободного пробега молекул.

Физические характеристики на уровне моря имеют следующие значения: Р= 1013,25 гПа, t=15 0 C, относительная молекулярная масса воздуха М=28,966.

Значения остальных характеристик на различных высотах (до 200км) определяются по уравнению состояния идеального газа и уравнению гидростатики (барометрической формуле). Фрагмент таблицы приведен в Приложении.

Задачи и методы градиентных измерений. Задача градиентных наблюдений — определение переноса в атмосфере некоторой физической субстанции (например, тепла, влаги, примесей). Вертикальные потоки в атмосфере могут измеряться двумя существенно различными методами: пульсационным и градиентным. Интенсивность турбулентных потоков тепла и влаги на гидрометеорологических станциях определяется двумя методами: методом теплового баланса и методом турбулентной диффузии. Метод теплового баланса является наиболее надежным и применяется в случаях, когда на станции измеряется величина радиационного баланса /2-4/.

Тепловой режим Земли (атмосферы) формируется в конечном счете под влиянием результирующего притока тепла. Формулы, с помощью которых определяется результирующий приток тепла, называют уравнениями теплового баланса.

Поглощенная деятельным слоем солнечная радиация (B,S,D) расходуется:

1. на тепло, отдаваемое атмосфере посредством турбулентного перемешивания (P).
2. на испарение воды с земной поверхности (LE). Если Е масса испарившейся воды, то затраты тепла на испарение равны LE, где L – удельная теплота парообразования;
3. на тепло, идущее в нижележащие слои гидросферы или литосферы (R).

Приравнивая радиационные потоки тепла сумме всех других затрат тепла, получим уравнение теплового баланса.

Уравнение теплового баланса имеет вид: B+P+R+LE=0.

Каждый из потоков тепла может быть направлен к подстилающей поверхности или от нее. Из всех 4-х составляющих теплового баланса непосредственно измеряется только В, остальные составляющие определяются по расчетным формулам по данным градиентных наблюдений за температурой, влажностью воздуха, скоростью ветра, температурой и влажностью воздуха на различных глубинах.

Расчет составляющих теплового баланса: турбулентного потока (Р), потоков тепла в верхних слоях почвы (R) и затрат тепла на испарение (LE) градиентным методом производится по формулам:

P= —kρc_p,

где k- коэффициент турбулентности, ρ- плотность воздуха, c_p – удельная теплоемкость при р=сonst, _—вертикальный градиент температуры воздуха.

LE = —kρв_,

где k- коэффициент турбулентности, ρ- плотность воздуха, в= 0.622,

_—вертикальный градиент влажности воздуха.

R= —k_мρ_почc_п,