Уравнение движения частицы электромагнитном поле

Julia и движение заряженной частицы в электромагнитном поле

Закрепляем навыки решения и визуализации дифференциальных уравнений на примере одного из самых распространенных эволюционных уравнений, вспоминаем о старом-добром Scilab и пытаемся понять, а надо ли оно нам… Под катом картинки (килобайт на семьсот)

и приступим к постановке задачи

Движение заряженных частиц в электромагнитном поле

На заряженую частицу с зарядом движущуюся в ЭМП со скоростью действует сила Лоренца: . Данная формула справедлива при ряде упрощений. Пренебрегая поправками на теорию относительности, считаем массу частицы постоянной, так что уравнение движения имеет вид:

Направим ось Y вдоль электрического поля, ось Z — вдоль магнитного поля и предположим для простоты, что начальная скорость частицы лежит в плоскости XY. В этом случае вся траектория частицы также будет лежать в этой плоскости. Уравнения движения примут вид:

Обезразмерим: . Звёздочками обозначены размерные величины, а — характерный размер рассматриваемой физической системы. Получим безразмерную систему уравнений движения заряженной частицы в магнитном поле:

В качестве начальной конфигурации модели выберем: Тл, В/м, м/с. Для численного решения воспользуемся пакетом DifferentialEquations:

Здесь используется метод Эйлера, для которого задаётся количество шагов. Также сохраняется в матрицу ответов не всё решение системы, а только 1 и 2 индексы, то есть координаты икс и игрек (скорости нам не нужны).

Проверим результат. Введем вместо х новую переменную . Таким образом осуществляется переход в новую систему координат, движущуюся относительно исходной со скоростью u в направлении оси Х:

Если выбрать и обозначить , то система упростится:

Электрическое поле исчезло из последних равенств, и они представляют собой уравнения движения частицы, находящейся под действием однородного магнитного поля. Таким образом, частица в новой системе координат (х, у) должна двигаться по окружности. Так как эта новая система координат сама перемещается относительно исходной со скоростью , то результирующее движение частицы будет складываться из равномерного движения по оси X и вращения по окружности в плоскости XY. Как известно, траектория, возникающая при сложении таких двух движений, в общем случае представляет собой трохоиду. В частности, если начальная скорость равна нулю, реализуется простейший случай движения такого рода — по циклоиде.
Удостоверимся, что скорость дрейфа вышла действительно равной Е/В. Для этого:

подпортим матрицу ответов, поставив вместо первого элемента (максимального) заведомо меньшее значение
найдем номер максимального элемента во втором столбце матрицы ответов, который откладывается по ординате
вычислим безразмерную скорость дрейфа, разделив значение абсциссы в максимуме на соответствующее значение времени

Out: 8.333333333333332e-5
С точностью до седьмого порядка!
Для удобства определим функцию, принимающую параметры модели и подпись графика, которая будет также служить названием файла png, создаваемого в папке с проектом (работает в Juno/Atom и Jupyter). В отличии от Gadfly, где графики создавались в слоях, а потом выводились функцией plot(), в Plots, чтобы в одном фрейме наделать разных графиков, первый из них создается функцией plot(), а последующие добавляются использованием plot!(). Названия функций меняющих принимаемые объекты в Джулии принято оканчивать восклицательным знаком.

При нулевой начальной скорости, как и предполагалось, получаем циклоиду:

Получим траекторию частицы при занулении индукции, напряженности и при смене знака заряда. Напомню, что точка значит поочередное выполнение функции со всеми элементами массива

Немного о Scilab

На Хабре уже есть достаточно информации о Сайлабе, например 1, 2, а тут про Octave поэтому ограничимся ссылками на Википедию и на домашнюю страницу.

От себя добавлю, про наличие удобного создания интерфейса с флажками кнопками и выводом графиков и довольно интересного инструмента визуального моделирования Xcos. Последний можно использовать, например, для моделирования сигнала в электротехнике:

И здесь очень удобное руководство:

Собственно, нашу задачу вполне можно решить и в Scilab:

Здесь информация по функции для решения дифуров ode. В принципе напрашивается вопрос

А зачем нам Julia?

… если и так есть такие замечательные штуки как Scilab, Octave и Numpy, Scipy?
Про последние два не скажу — не пробовал. Да и вообще вопрос сложный, так что прикинем навскидку:

Scilab
На харде займет чуть больше 500 Мб, запускается быстро и сходу доступно и дифуросчитание, и графика и всё остальное. Хорош для начинающих: отличное руководство (по большей части локализованное), есть много книг на русском. Про внутренние ошибки уже было сказано тут и здесь, и так как продукт очень нишевый, сообщество вялое, и дополнительные модули весьма скудны.

Julia
По мере добавления пакетов (особенно всякой питонщины а-ля Jupyter и Mathplotlib) разрастается от 376 Мб до вполне-таки шести с лишним гигабайт. Оперативку она тоже не щадит: на старте 132 Мб и после того, как в Юпитере намалевать графиков, до 1 ГБ спокойно дойдёт. Если работать в Juno, то всё почти как в Scilab: можно выполнять код сразу в интерпретаторе, можно печатать во встроенном блокноте и сохранять как файл, есть обозреватель переменных, журнал команд и интерактивная справка. Лично у меня вызывает возмущение отсутствие clear(), т. е. запустил я код, потом начал там поправлять и переименовывать, а старые переменные-то остались (в Юпитере нет обозревателя переменных).

Но всё это не критично. Scilab подходит вполне на первых парах, сделать лабу, курсач или посчитать чего промежуточного — очень даже подручный инструмент. Хоть здесь тоже есть поддержка параллельного вычисления и вызов сишных/фортрановских функций, для чего серьезного его использовать не получается. Большие массивы повергают его в ужас, чтоб задать многомерные, приходится заниматься всяким мракобесием, а вычисления за рамками классических задач вполне могут обронить всё вместе с операционкой.

И вот после всех этих болей и разочарований можно смело переходить на Julia, чтоб огрести ещё и здесь. Будем учиться дальше, благо комьюнити очень отзывчивое, проблемы утрясаются быстро, да и у Джулии есть еще много интересных особенностей, которые превратят процесс обучения в увлекательное путешествие!

Уравнения движения заряда в поле

Уравнение движения заряда в поле. Заряд на улице Со стороны поля, но влияет на само поле Измени это. Однако, если плата е невелика, Вы можете игнорировать поле. В этом случае рассмотрим движение Для данного поля можно предположить, что само поле не зависит от Будь то от координат или скорости зарядки.

Строгие требования Должны встретить плату, чтобы это можно было рассмотреть Показанное ощущение небольшое, но оно будет раскрыто позже (§75). В дальнейшем это условие предполагается выполненным.

Электромагнитное поле Эти уравнения Задано действием Людмила Фирмаль

Поэтому необходимо найти конкретное уравнение движения заряда , т. Е. Уравнением Лагранжа d_dL _ dL ,, dtdw dg ’1 *) Где L определяется уравнением (16.4). Дифференциал dL / dv является обобщенным импульсом частицы (16,5).

Ниже приводится — = VL = -град Av-выпускной ср. дг с Однако согласно известной формуле векторного анализа grad ab = (aV) b + (bV) a + [b rot a] + [a rot b], Где a и b — любые два вектора. Это уравнение Av и Помните, что производная по g выполняется с постоянной найти ном — = — (VV) A + — [vrot A] -e град (с. дг с Следовательно, форма уравнения Лагранжа — (P + -A) = — (vV) A + — [vrot A] -e град (с. д \ с Дж с

Но общая производная (dA / dt) dt состоит из двух частей Состояние: изменение векторного потенциала со временем (

7 \ л — = —— b (vV) A. дт дт в дж Подставляя это в предыдущее уравнение, получаем ^ = -e 8gas1 ^ + — [v ro tA]. (17.2)

Это уравнение движения частиц в электромагнитном поле Поле. Слева — производная по времени от импульса частицы. Следовательно, выражение в правой части (17.2) — это сила, действующая на заряд в электромагнитном поле. Вы можете видеть, что эта сила состоит из двух частей.

Он пропорционален величине скорости и перпендикулярен скорости Людмила Фирмаль

Первая часть (первое и второе слагаемые справа от (17.2)) не зависит от скорости частиц. Вторая часть (третий член) зависит от этой скорости. . Единицы типа 1 из-за нападения эквивалентны единице, Называется напряженность поля, мы показываем это Через E, и, следовательно, по определению E =

Множитель скорости, точнее v / c, вторая интенсивность Тип, который влияет на заряд единицы, называется напряженным. Магнитное поле; Н Так по определению разделение H = коррупция A (17,4) Если E ^ O и H = O в электромагнитном поле, Электрическое поле; если E = 0, aH ^ 0, поле называется Магнитно.

В общем, электромагнитное поле Суперпозиция электрических и магнитных полей. Обратите внимание, что E — это полюс, а H — это ось. Аль вектор. Уравнение для движения заряда в электромагнитном поле Пиши как сейчас (17,5) Выражение справа называется силой Лоренца.

Первая часть — это сила, действующая на электрическое поле. Когда зарядка не зависит от скорости зарядки, Направление поля Е. Вторая часть — сила, примененная магом. Поле заряда пропорционально скорости заряда, Точка, перпендикулярная этой скорости и направлению Магнитное поле Н Если скорость ниже скорости света, Импульс р почти равен его классическому выражению 77 Вт, а уравнение движения (17,5) m- = eE ++ fvHl. д т с (17.6)

Он также выводит уравнения, которые определяют динамические изменения Энергия частицы 1) Время, т.е. дифференциация d tps d S jt д т д т т / л-в 2 / с 2 Это легко проверить d $ isyn_y dp ‘ д т д т ′ Подставляя dp / dt из (17.5) и отмечая, что [vH] v = 0, (17.7) Работа над изменениями кинетической энергии с течением времени Культивируется в поле над частицами (за единицу времени).

К (17,7) Вы можете видеть, что эта работа равна произведению скорости зарядки Сила, на которую действует электрическое поле. лаборатория Это поле в течение времени dt, то есть когда заряд движется на др, Ее доктору. Подчеркните только ELEC Третичное поле, магнитное поле не влияет на движение Погрузите плату в это.

Последнее связано с силой и тем фактом, что Магнитное поле действует на частицы и всегда перпендикулярно. Его скорость отличная. Уравнения механики инвариантны относительно изменения. Относительно времени входа, замена прошлого будущего Шим.

Другими словами, в механике оба направления времени Это эквивалентно. Это в соответствии с уравнением меха Ники может быть какое-то движение, а может и наоборот Система проходит через то же состояние Обратный порядок. То же самое легко с электро Магнитное поле относительности.

Однако в этом случае Необходимо изменить t на -t и изменить знак магнитного поля. На самом деле уравнение движения (17.5) Изменить после замены t — «- t, E E, H-H. (17,8) Кроме того, согласно (17.3), (17.4) скалярный потенциал не Изменить вектор, символ: (P- »(Ј, A -> — A .. (17,9) Следовательно, это возможно в пределах электромагнитного поля.

Некоторые движения и обратное движение в поле Обратное направление N Оспаривать Выразить ускорение частиц по скорости и электрическому напряжению трик и магнитное поле. Решения. Уравнение движения (17,5) p = v ^ KHh / c2, а и н / дт выражаются согласно (17.7). В результате найдем

Если вам потребуется помощь по физике вы всегда можете написать мне в whatsapp.

Образовательный сайт для студентов и школьников

Копирование материалов сайта возможно только с указанием активной ссылки «www.lfirmal.com» в качестве источника.

Движение заряженных частиц в электрических и магнитных полях

Страницы работы

Содержание работы

Движение заряженных частиц в электрических и магнитных полях

Неквантовомеханическое описание движения заряженных частиц в заданных электромагнитных полях осуществляется на языке систем обыкновенных дифференциальных уравнений. Исчерпывающи математический алгоритм решения таких систем существует лишь в случае, когда входящие в них уравнения являются линейными и имеют постоянные коэффициенты. Этому соответствует нерелятивистское движение частиц в пространственно однородных электрических и постоянных во времени магнитных полях.

11.1. Уравнение движения

В случаях, когда квантовомеханические эффекты несущественны, описание движения заряженных частиц в электромагнитных полях может строиться на базе второго закона Ньютона в импульсной формулировке (11.1), применимого не только в классическом приближении, но и в релятивистском случае. В качестве сил, действующих на частицу следует рассматривать электрические, магнитные и диссипативные силы, вводимые для описания потерь механической энергии движущимся зарядом (11.2). Последние обычно считаются пропорциональными скорости движения частиц (аналогичная зависимость возникает при медленном движении тел в вязкой жидкости). В случае движения заряженных частиц в электромагнитных полях выбор линейной зависимости от скорости величины диссипативной скорости силы обусловлен двумя причинами. Первая состоит в том , что с токи зрения решения дифференциальных уравнений наличие в них линейных слагаемых всегда предпочтительно. Вторая причина имеет более глубоких физический смысл: потери механической энергии частицами, движущимися с ускорением, обусловлены излучением ими электромагнитных волн. Приближенное выражение для соответствующей силы радиационного трения может быть получено в рамках последовательной релятивистской теории и оказывается пропорциональным производной по времени от ускорения (11.3.). В часто встречающихся на практике случаях гармонических колебаниях и при движении по окружности (последнее сводится к двум взаимно перпендикулярным гармоническим колебаниям) вторая производная от скорости оказывается пропорциональной самой скорости, что в некоторой степени и оправдывает сделанный выбор для зависимости диссипативной силы.(11.4).

Следует иметь ввиду, что эффект радиационного трения имеет релятивистскую природу, что часто приводит к противоречиям при попытках его классического толкования. Например, возникает проблема выбора второго тела, взаимодействие с которым приводит к возникновению сил радиационного трения. Другим примером возникающих трудностей является получающийся при подстановке одной только силы радиационного трения в классическое уравнение движения явно абсурдный результат, соответствующий саморазгону заряженной частицы в пустом пространстве. Последний означает, что учет этой силы оправдан только в тех случаях, когда она проявляется на фоне других, более эффективных сил.

В приближении малых скоростей уравнение движения заряда в постоянном магнитном и пространственно однородном электрическом поле при наличии сил вязкого трения с точки зрения математики представляет собой систему обыкновенных линейных дифференциальных уравнений первого порядка относительно декартовых компонент вектора скорости. Поскольку подобные системы уравнений весьма часто встречаются в физике, представляется целесообразным на частных примерах движения частиц в электромагнитных полях познакомиться с общими методами их решения. При решении уравнения движения полезно иметь ввиду теорему существования и единственности решения обыкновенного дифференциального уравнения порядка N, для которого поставлено N начальных условий.

Релятивистское уравнение движения частицы в силовом поле (аналог второго закона Ньютона).

Силы, действующие на заряженную частицу, движущуюся в электромагнитном поле.

источники:

http://lfirmal.com/uravneniya-dvizheniya-zaryada-v-pole/

http://vunivere.ru/work21894