Уравнение движения через момент инерции

7.1. Динамика вращения вокруг неподвижной оси

Движение материальной точки характеризуется перемещением, скоростью, ускорением. Но при вращении твердого тела все его элементы имеют разные перемещения, различные скорости. Удобно найти переменные, одинаковые для всех элементов твердого тела. Мы их, собственно, уже знаем — угол поворота, угловая скорость, угловое ускорение. Соответственно, изучая динамику вращения, вместо импульса и силы мы будем оперировать их угловыми аналогами — моментом импульса и моментом силы.

Уравнение движения. В теме 4.8 было выведено уравнение движения системы материальных точек в виде

где моменты импульса и силы определялись как

Внутренние силы между телами системы, напомним, выпали из уравнений движения. Абсолютно твердое тело можно рассматривать как систему частиц (материальных точек) с неизменными расстояниями между ними. Поэтому выписанные уравнения применимы для твердого тела, а неизменность расстояний между его точками позволяет характеризовать вращение тела вокруг неподвижной оси единственной координатой — углом поворота. Поэтому мы можем упростить приведенное выше уравнение движения. Прежде всего, нас не интересуют в данный момент напряжения, возникающие в оси. Кроме того, для описания вращения достаточно рассмотреть проекции векторов моментов импульса и силы на ось вращения.

Рис. 7.1. Момент импульса L двух шаров массы m, соединенных стержнем. Вся система вращается вокруг оси z c угловой скоростью ω

Направим ось z вдоль оси вращения и выделим в твердом теле элемент массой , положение которого характеризуется радиус-вектором (рис. 7.2).

Рис. 7.2 Вращение твердого тела вокруг неподвижной оси 0z

Момент импульса этого элемента есть

Рис. 7.3. Момент импульса системы направлен вдоль оси вращения.

Радиус-вектор можно представить как сумму его проекций на ось z и плоскость ху :

где вектор лежит в плоскости вращения и направлен от оси к выделенному элементу (см. рис. 7.1). Имеем:

Первое слагаемое — вектор, направленный противоположно Поэтому оно не дает вклада в z-компоненту момента импульса. Второе слагаемое — вектор, направленный вдоль оси z. Так как

Суммируя по всем элементам тела, получаем

Величина называется моментом инерции тела.

Говоря о моменте инерции, всегда указывают, относительно какой именно оси вращения он определен (в данном случае — это ось z). Момент инерции того же тела относительно какой-то другой оси примет иное значение. Сохраняется только общее правило его вычисления: берется сумма по элементам массы, составляющим тело, умноженным на квадраты расстояний этих элементов массы до оси вращения.

В случае непрерывного распределения масс с плотностью сумма заменится на интеграл по всему объему тела:

Если тело однородно, то его плотность во всех точках постоянна и можно вынести из-под знака интеграла.

Записываем теперь уравнение движения в проекции на ось z :

Если момент инерции не зависит от времени, то дифференцировать нужно только угловую скорость, в результате получаем основное уравнение динамики вращательного движения твердого тела в виде

Производная угловой скорости по времени — это угловое ускорение

Видео 7.1. Основное уравнение динамики вращательного движения. Демонстрация, вытекающей из него связи между угловым ускорением, моментом силы и моментом инерции

Рассмотрим теперь момент внешних сил. Разложим силу на вектор в направлении оси z и вектор, ей ортогональный:

Используя снова аналогичное разложение радиус-вектора

получаем для момента внешних сил :

Первое слагаемое равно нулю. Два следующих содержат единичный орт — вектор k, направленный вдоль оси 0z и, следовательно, не дают вклада в проекцию . Оба вектора

лежат в плоскости xy и, следовательно, последнее слагаемое направлено параллельно оси 0z. Если — угол между этими векторами, то

где — плечо силы (см. тему. 4.8). Силу

надо здесь понимать в алгебраическом смысле: она входит со знаком минус, если сила тормозит вращение.

Момент инерции. Найдем моменты инерции для простейших (геометрически правильных) форм твердого тела, масса которого равномерно распределена по объему.

Рис. 7.4. Моменты инерции различных тел

1. Момент инерции обруча относительно оси, перпендикулярной к его плоскости и проходящей через его центр.

Обруч считается бесконечно тонким, то есть толщиной обода можно пренебречь по сравнению с радиусом . Поскольку в этой системе все массы находятся на одинаковом расстоянии от оси вращения, можно вынести из-под знака интеграла:

где — полная масса обруча.

2. Момент инерции диска относительно оси, перпендикулярной его плоскости и проходящей через центр.

Диск считается бесконечно тонким, если его толщина много меньше радиуса . Момент инерции, согласно определению, величина аддитивная: момент инерции целого тела равен сумме моментов инерции его частей. Разобьем диск на бесконечно тонкие обручи радиусом и шириной (рис. 7.5).

Рис. 7.5 Вычисление момента инерции диска относительно оси z, перпендикулярной его плоскости и проходящей через центр

Площадь поверхности обруча равна произведению его длины окружности на ширину: . Поскольку масса m диска распределена равномерно, масса единицы площади равна , так что масса обруча равна

Момент инерции обруча мы уже знаем:

Осталось просуммировать моменты инерции всех таких обручей:

Такой же результат получится и для момента инерции цилиндра конечной длины относительно его продольной оси.

3. Момент инерции шара относительно его диаметра.

Поступим аналогичным образом: «нарежем» шар на бесконечно тонкие диски толщиной , находящиеся на расстоянии z от центра (рис. 7.6).

Рис. 7.6. Момент инерции шара относительно его диаметра

Радиус такого диска

Объем диска равен его площади, умноженной на толщину:

Массу диска находим, разделив массу шара на его объем и умножив на объем диска:

Момент инерции диска был найден выше. В применении к данному случаю он равен

Момент инерции шара находится интегрированием по всем таким дискам:

4. Момент инерции тонкого стержня относительно оси, проходящей через его середину перпендикулярно стержню.

Пусть стержень имеет длину . Направим ось x вдоль стержня. Начало координат по условию находится в центре стержня (рис. 7.7).

Рис. 7.7. Момент инерции тонкого стержня относительно оси, проходящей через его середину перпендикулярно стержню

Возьмем элемент стержня длиной , находящийся на расстоянии x от оси вращения. Его масса равна

а момент инерции

Отсюда находим момент инерции стержня:

Теорема Штейнера. В приведенных примерах оси проходят через центр масс (центр инерции) тела. Момент инерции относительно других осей вращения определяется в соответствии с теоремой Штейнера:

Рис. 7.8. К выводу теоремы Штейнера

Момент инерции тела относительно произвольной оси равен сумме момента инерции J_C относительно параллельной оси, проходящей через центр инерции тела, и величины ma 2 — произведения массы тела на квадрат расстояния от центра инерции тела до выбранной оси, то есть

Продемонстрируем сначала применение теоремы Штейнера. Вычислим момент инерции тонкого стержня относительно оси, проходящей через его край перпендикулярно стержню. Прямое вычисление сводится к тому же интегралу, возникшему при вычислении момента инерции стержня относительно оси, проходящей через его середину, но взятому в других пределах:

Расстояние до оси, проходящей через центр масс, равно a = l/2. По теореме Штейнера получаем тот же результат:

Вывод теоремы Штейнера иллюстрируется рис. 7.8, 7.9

Рис. 7.9. К выводу теоремы Штейнера

Пусть одна ось проходит в направлении единичного вектора n через центр масс С твердого тела (системы тел), а другая — параллельно ей через некоторую точку 0. Из центра масс в направлении второй оси проводим ортогональный осям вектор a, который определяет положение точки 0. Радиус-векторы некоторого элемента системы массой относительно точек С и 0 обозначаем и , соответственно. Момент инерции этого элемента относительно оси С есть

где — расстояние элемента от оси. По теореме Пифагора (см. рис. 7.9).

Катет равен проекции векторов и на ось вращения, то есть

Используя эти выражения и суммируя по всем элементам системы, находим момент инерции относительно оси, проходящей через точку С, и, аналогичным образом, момент инерции относительно параллельной оси, проходящей через точку 0 :

Здесь выражение для получено из простой заменой на .

Как видно из рис. 7.9, векторы и связаны между собой:

так как векторы n и а ортогональны и их скалярное произведение

Тогда мы можем преобразовать выражение для :

Первое слагаемое в правой части — момент инерции относительно оси, проходящей через точку C. Третье слагаемое равно , где

— полная масса системы.

Второе слагаемое равно нулю, так как оно пропорционально радиус-вектору центра инерции относительно самого центра инерции. Окончательно:

что и требовалось доказать.

Теорема Штейнера связывает моменты инерции относительно параллельных осей. Иногда оказывается полезной другая теорема, связывающая моменты инерции относительно трех взаимно перпендикулярных осей. Однако эта теорема относится только к плоским фигурам, толщиной которых можно пренебречь по сравнению с размерами в двух других направлениях. Итак, теорема о моментах инерции плоских фигур:

Если через произвольную точку 0 плоской фигуры приведена ортогональная к фигуре ось, то момент инерции относительно этой оси равен сумме моментов инерции относительно двух взаимно перпендикулярных осей, лежащих в плоскости фигуры и проходящих через эту же точку 0.

Иными словами, берем на фигуре произвольную точку 0 и проводим координатные оси так, чтобы 0x и 0y лежали в плоскости фигуры. Тогда, согласно теореме, момент инерции относительно оси 0z равен сумме моментов инерции относительно осей 0x и 0y:

При этом расположение осей 0x, 0y может быть произвольным; главное, чтобы они лежали в плоскости фигуры (рис. 7.10).

Рис. 7.10. Моменты инерции плоской фигуры относительно взаимно перпендикулярных осей

Из рисунка видно, что

что и требовалось доказать.

Найдем, например, момент инерции диска относительно его диаметра. Два ортогональных диаметра диска равноправны, поэтому

Согласно теореме о плоской фигуре

Теперь можно применить теорему Штейнера, чтобы найти, например, момент инерции относительно оси , параллельной диаметру и проходящей через край диска (см. рис. 7.10):

Глава 11. Раскручиваем объекты: момент инерции

• Переходим от динамики поступательного движения к динамике вращательного движения
• Вычисляем момент инерции
• Определяем работу вращательного движения
• Находим связь между работой и изменением кинетической энергии
• Изучаем закон сохранения момента импульса

Эта глава посвящена динамике вращательного движения, т.е. описанию сил и их влияния на характер вращательного движения. Здесь рассматриваются основные законы динамики вращательного движения по аналогии с законами динамики поступательного движения. Например, описывается аналог второго закона Ньютона (см. главу 5), представлено новое понятие “момент инерции”, исследуется связь между работой и кинетической энергией и т.п.

Применяем второй закон Ньютона для вращательного движения

Согласно второму закону Ньютона (см. главу 5), ускорение объекта под действием силы пропорционально величине силы и обратно пропорционально массе объекта:

Рассмотрим простой пример. Пусть привязанный нитью мячик для игры в гольф вращается по окружности, как показано на рис. 11.1. Допустим, что к мячику приложена направленная по касательной к окружности тангенциальная сила, которая приводит к увеличению тангенциальной скорости мячика. (Обратите внимание, что речь идет не о нормальной силе, направленной вдоль радиуса окружности вращения. Более подробно нормальная и тангенциальная скорости, а также нормальное и тангенциальное ускорения рассматриваются в главе 10.)

то, умножая обе части этой формулы на радиус окружности ​ \( r \) ​, получим:

Поскольку ​ \( r\mathbf=\mathbf \) ​ то

Таким образом, частично совершен переход от второго закона Ньютона для поступательного движения к его аналогу для вращательного движения. (Следует отметить, что это выражение справедливо для материальной точки, т.е. объекта, размерами которого можно пренебречь по сравнению с величиной радиуса окружности ​ \( r \) ​. Для протяженного объекта следует использовать другие формулы, которые описываются далее в этой главе. — Примеч. ред.)

Преобразуем тангенциальное ускорение в угловое

Чтобы полностью перейти от описания поступательного движения к описанию вращательного движения, необходимо использовать связь между угловым ускорением ​ \( \alpha \) ​ и тангенциальным ускорением ​ \( \mathbf \) ​. Как нам уже известно из главы 10, они связаны следующим соотношением:

Подставляя это выражение в приведенную выше формулу

Итак, мы получили связь момента силы, действующей на материальную точку, и ее углового ускорения. Коэффициент пропорциональности между ними, ​ \( l=mr^2 \) ​, называется моментом инерции материальной точки. Таким образом, мы получили эквивалент второго закона Ньютона для вращательного движения, где роль силы играет момент силы, роль ускорения — угловое ускорение, а роль массы — момент инерции.

Пример: вычисляем момент силы для обеспечения углового ускорения

Если на объект действует несколько сил, то второй закон Ньютона имеет следующий вид:

где ​ \( \mathbf <\sum\!F>\) ​ обозначает векторную сумму всех сил, действующих на объект.

Аналогично, если на объект действует несколько моментов сил, то второй закон Ньютона имеет вид:

где \( \mathbf <\sum\! M>\) обозначает векторную сумму всех моментов сил, действующих на объект. Аналог массы, т.е. момент инерции, измеряется в кг·м 2 .

Помните, что аналогом второго закона Ньютона при описании вращательного движения является формула ​ \( \mathbf<\sum\! M>=l\alpha \) ​, т.е. угловое ускорение прямо пропорционально сумме всех моментов сил, действующих на вращающийся точечный объект, и обратно пропорционально моменту инерции.

Пусть мячик из предыдущего примера (см. рис. 11.1) имеет массу 45 г, а длина нити равна 1 м. Какой момент сил необходимо приложить, чтобы обеспечить угловое ускорение — ​ \( 2\pi с^ <-2>\) ​? Подставляя значения в уже известную нам формулу

Как видите, для решения этой задачи достаточно было поступить, как при определении силы, необходимой для обеспечения ускорения поступательного движения (где нужно было бы умножить массу на ускорение), т.е. умножить угловое ускорение на момент инерции.

Вычисляем момент инерции протяженного объекта

Момент инерции легко вычисляется для очень маленького (точечного) объекта, если все точки объекта расположены на одинаковом расстоянии от точки вращения. Например в предыдущем примере, если считать, что мячик для игры в гольф гораздо меньше длины нити, то все его точки находятся на одинаковом расстоянии от точки вращения, равном радиусу окружности вращения ​ \( r \) ​. В таком случае момент инерции имеет знакомый вид:

где \( r \) — это расстояние, на котором сосредоточена вся масса мячика \( m \) .

Однако такая идеальная ситуация имеет место далеко не всегда. А чему равен момент инерции протяженного объекта, например стержня, вращающегося относительно одного из своих концов? Ведь его масса сосредоточена не в одной точке, а распределена по всей длине. Вообще говоря, для определения момента инерции протяженного объекта нужно просуммировать моменты инерции всех материальных точек объекта:

Например, момент инерции ​ \( l \) ​ системы из двух “точечных” мячиков для игры в гольф с одинаковой массой ​ \( m \) ​ на расстояниях ​ \( r_1 \) ​ и ​ \( r_2 \) ​ равен сумме их отдельных моментов инерции ​ \( l_1=mr_1^2 \) ​ и \( l_2=mr_2^2 \) :

А как определить момент инерции диска, вращающегося относительно своего центра? Нужно мысленно разбить диск на множество материальных точек, вычислить момент инерции каждой такой точки и просуммировать полученные моменты инерции. Физики научились вычислять моменты инерции для многих объектов со стандартной формой. Некоторые из них приведены в табл. 11.1.

Попробуем вычислить моменты инерции нескольких предметов с простой геометрией.

Пример: замедление вращения компакт-диска

Компакт-диски могут вращаться с разными угловыми скоростями. Это необходимо для обеспечения одинаковой линейной скорости считывания информации на участках, находящихся на разных расстояниях от центра вращения. Пусть диск массой 30 г и диаметром 12 см сначала вращается со скоростью 700 оборотов в секунду, а спустя 50 минут — со скоростью 200 оборотов в секунду. Какой средний момент сил действует на компакт-диск при таком уменьшении скорости? Связь момента сил и углового ускорения имеет вид:

Момент инерции диска с радиусом ​ \( r \) ​, вращающегося относительно своего центра в плоскости диска, выражается формулой:

Подставляя значения, получим:

Теперь нужно определить угловое ускорение, которое определяется следующей формулой:

Изменение угловой скорости ​ \( \Delta\omega \) ​ произошло за промежуток времени:

В данном примере изменение угловой скорости:

где ​ \( \omega_1 \) ​ — конечная, а \( \omega_0 \) — начальная угловая скорость компакт-диска.

Чему они равны? Начальная скорость 700 оборотов в секунду означает, что диск за секунду 700 раз проходит ​ \( 2\pi \) ​ радиан:

Аналогично, конечная скорость 200 оборотов в секунду означает, что диск за секунду 200 раз проходит \( 2\pi \) радиан:

Подставляя значения в формулу углового ускорения, получим:

Подставляя значения момента инерции и углового ускорения в итоговую формулу момента силы, получим:

Итак, средний момент равен 10 -4 Н·м, а чему будет равна сила для создания такого момента, если она приложена к краю диска? Ее величину легко вычислить по следующей формуле:

Оказывается, для такого замедления компакт-диска нужно приложить не такую уж и большую силу.

Еще один пример: поднимаем груз

Вращательное движение порой внешне выглядит не так очевидно, как вращение ком- пакт-диска. Например подъем груза с помощью блока также является примером вращательного движения. Хотя канат и груз движутся поступательно, но сам блок вращается (рис. 11.2). Пусть радиус блока равен 10 см, его масса равна 1 кг, масса груза равна 16 кг, а к веревке прилагается сила 200 Н. Попробуем вычислить угловое ускорение блока.

В данном примере нужно вычислить сумму всех моментов сил ​ \( \mathbf <\sum\! M>\) ​, которые действуют на веревку:

В данном примере на веревку действует два момента сил: один ​ \( M_1 \) ​ со стороны груза весом ​ \( mg \) ​, а другой \( M_2 \) — со стороны горизонтальной силы ​ \( F \) ​:

Отсюда получаем формулу для углового ускорения:

Эти моменты ​ \( M_1 \) ​ и \( M_2 \) имеют одинаковое плечо, равное радиусу блока ​ \( r \) ​, поэтому:

Поскольку блок имеет форму диска, то из табл. 11.1 находим его момент инерции:

Подставляя выражения для ​ \( l \) ​, ​ \( M_1 \) ​ и ​ \( M_2 \) ​ в формулу для углового ускорения, получим:

Подставляя значения, получим:

Вычисляем энергию и работу при вращательном движении

При изучении поступательного движения в главе 8 мы познакомились с понятием работа. Она равна произведению силы на перемещение под действием этой силы. Можно ли выразить работу при вращательном движении на основе его характеристик? Конечно можно, и для этого потребуется преобразовать силу в момент силы, а перемещение — в угол. В этом разделе демонстрируется такое преобразование, а также связь работы с изменением энергии.

Работа при вращательном движении

Допустим, что инженеру в области автомобилестроения необходимо рассчитать параметры революционно новой шины колеса. Для начала он решил оценить работу, которую необходимо выполнить для ускоренного раскручивания этой шины. Как связать работу при поступательном движении и работу при вращательном движении? Инженер предложил простую, как все гениальное, идею: “связать” шину веревкой. Точнее говоря, он предложил намотать веревку на шину, потянуть за веревку с помощью внешней силы и раскрутить шину. Так, приравнивая работу внешней силы при поступательном движении веревки и работу ускорения вращательного движения шины, можно, образно говоря, “связать” их веревкой.

Пусть шина имеет радиус ​ \( r \) ​ и для ее вращения используется сила ​ \( F \) ​, как показано на рис. 11.3.

Чему равна работа этой силы? Применим знакомую нам формулу:

где ​ \( s \) ​ — это перемещение веревки под действием этой силы. В данном примере перемещение ​ \( s \) ​ равно произведению радиуса ​ \( r \) ​ на угол поворота шины ​ \( \theta \) ​:

Подставляя это выражение в формулу работы, получим:

Поскольку момент ​ \( M \) ​, создаваемой этой силой, равен:

то получаем для работы:

Таким образом, работа при вращательном движении равна произведению момента силы и угла поворота. Она измеряется в тех же единицах, что и работа при поступательном движении, т.е. в джоулях.

Учтите, что для описания вращательного движения в этих формулах работы угол нужно указывать в радианах.

Вот еще один пример. Пусть пропеллер самолета совершает 100 поворотов с постоянным моментом силы 600 Н·м. Какую работу выполняет двигатель самолета? Для ответа на этот вопрос начнем с уже известной нам формулы:

Полный оборот соответствует повороту на угол ​ \( 2\pi \) ​. Подставляя значения в формулу, получим:

Что происходит с выполненной таким образом работой? Она преобразуется в кинетическую энергию вращательного движения.

Изучаем кинетическую энергию вращательного движения

Из главы 8 нам уже известно, что объект массы ​ \( m \) ​, движущийся поступательно со скоростью ​ \( v \) ​, обладает кинетической энергией:

А как получить формулу кинетической энергии для вращающегося объекта? Нужно применить данную формулу для всех его частичек.

При описании вращательного движения аналогом массы является момент инерции, а аналогом скорости — угловая скорость.

Как известно (см. главу 10), тангенциальная скорость ​ \( v \) ​ и угловая скорость ​ \( \omega \) ​ связаны соотношением:

где ​ \( r \) ​ — это радиус окружности вращения.

Подставляя это соотношение в предыдущую формулу, получим:

Однако эта формула справедлива только для бесконечно малой материальной точки. Чтобы определить кинетическую энергию протяженного объекта, нужно просуммировать кинетические энергии всех его мельчайших материальных точек, т.е. вычислить сумму:

Как можно было бы упростить эту формулу? Предположим, что все составляющие частички протяженного объекта вращаются с одинаковой угловой скоростью. Тогда угловую скорость можно вынести за знак суммирования и получим:

Здесь начинается самое интересное. Ранее в этой главе уже приводилась формула момента инерции:

Теперь совсем нетрудно сделать подстановку в предыдущей формуле кинетической энергии:

Итак, кинетическая энергия вращательного движения вычисляется аналогично кинетической энергии поступательного движения, если вместо массы использовать момент инерции, а вместо тангенциальной скорости — угловую скорость. Примеры кинетической энергии вращательного движения окружают повсюду. Спутник на космической орбите и бочка пива, которую скатывают по наклонной плоскости, обладают определенной кинетической энергией вращательного движения. Особенности вращательного движения бочки пива более подробно описываются в следующем разделе.

Измеряем кинетическую энергию бочки, катящейся по наклонной плоскости

Итак, нам уже известно, что объекты могут двигаться поступательно и вращательно, причем двигаться так, что без знания строгих законов физики порой трудно понять их поведение. Да ну? Действительно, если бочка скользит вниз по наклонной плоскости, то ее потенциальная энергия превращается в кинетическую энергию поступательного движения (см. главу 8). А если бочка скатывается вниз по наклонной плоскости, то ее потенциальная энергия превращается не только в кинетическую энергию поступательного движения, но и в кинетическую энергию вращательного движения.

На рис. 11.4 показан случай, когда с наклонной плоскости высотой ​ \( h \) ​ скатываются сплошной и полый цилиндры с одинаковой массой ​ \( m \) ​. Какой цилиндр достигнет нижнего конца наклонной плоскости?

Иначе говоря: какой цилиндр будет обладать большей скоростью в конце наклонной плоскости? Поскольку действующие на цилиндры силы постоянны, то постоянны и их ускорения, а значит, большая скорость в конце пути означает меньшее время его прохождения. В случае только поступательного движения цилиндра и при отсутствии трения уменьшение потенциальной энергии ​ \( mgh \) ​ преобразуется в увеличение кинетической энергии только поступательного движения ​ \( <>^1\!/\!_2mv^2 \) ​, т.е.:

Однако в данном примере эта формула не годится, потому что цилиндры скатываются без проскальзывания. Это значит, что часть уменьшения потенциальной энергии будет преобразовываться в увеличение кинетической энергии поступательного движения \( <>^1\!/\!_2mv^2 \) , а часть — в кинетическую энергию вращательного движения \( <>^1\!/\!_2I\omega ^2 \) . Тогда предыдущее равенство принимает следующий вид:

Сделаем подстановку ​ \( \omega=v/r \) ​ и получим:

Путем несложных алгебраических преобразований получим:

откуда легко получить выражение для скорости цилиндра:

Для обоих цилиндров все параметры одинаковы, кроме момента инерции ​ \( I \) ​. Как это повлияет на скорость цилиндров? Согласно данным из табл. 11.1, полый цилиндр имеет момент инерции ​ \( mr^2 \) ​, а сплошной — ​ \( <>^1\!/\!_2mr^2 \) ​.

Итак, для полого цилиндра получим:

а для сплошного цилиндра:

А их отношение равно:

Как видите, скорость сплошного цилиндра в 1,15 раза больше скорости полого цилиндра, а значит, сплошной цилиндр быстрее достигнет конца наклонной плоскости.

Как на пальцах объяснить полученный результат? Все очень просто. В полом цилиндре вся масса сосредоточена на расстоянии радиуса цилиндра, а в сплошном цилиндре значительная часть масса распределена ближе радиуса. Это значит, что при одинаковой угловой скорости в полом цилиндре больше материала будет обладать большей тангенциальной скоростью, а для этого потребуется потратить больше энергии.

Не можем остановиться: момент импульса

Допустим, нам нужно остановить космический корабль с массой 40 т, который находится на околоземной орбите. Для этого потребуется затратить немалые усилия. Почему? Все дело во вращательном импульсе космического корабля.

В главе 9 подробно описывается понятие импульс материальной точки, который выражается следующей формулой:

где ​ \( m \) ​ — это масса, a ​ \( v \) ​ — скорость материальной точки.

По аналогии, при описании вращательного движения физики используют понятие вращательный импульс (который в русскоязычной научной литературе чаще называют моментом импульса материальной точки. — Примеч. ред.):

где ​ \( l \) ​ — это момент инерции, а ​ \( \omega \) ​ — угловая скорость материальной точки.

Следует помнить, что момент импульса (или вращательный импульс) является вектором, направление которого совпадает с направлением вектора угловой скорости.

Момент импульса в системе СИ измеряется в кг·м 2 ·с -1 (более подробно системы единиц измерения описываются в главе 2). Одним из наиболее важных свойств момента импульса является закон сохранения момента импульса.

Сохраняем момент импульса

Закон сохранения момента импульса гласит: момент импульса сохраняется, если равна нулю сумма всех моментов внешних сил. Этот закон проявляется во многих обыденных ситуациях. Например часто приходится видеть, как мастера фигурного катания на льду вращаются с широко разведенными в стороны руками, а затем резко приближают их к своему телу и сильно ускоряют свое вращение. Дело в том, что таким образом они уменьшают свой момент инерции и, согласно закону сохранения момента импульса, увеличивают свою угловую скорость. Зная начальную угловую скорость вращения фигуриста ​ \( \omega_0 \) ​ и его моменты инерции в позе с разведенными руками ​ \( I_0 \) ​ и в позе с сомкнутыми руками ​ \( I_1 \) ​, легко найти конечную угловую скорость ​ \( \omega_1 \) ​ по формуле:

Однако этот закон удобно использовать не только в таких простых ситуациях. Возвращаясь к примеру с космическим кораблем на околоземной орбите, следует отметить, что его орбита далеко не всегда является строго круглой. Чаще всего орбиты спутников Земли и других планет имеют эллиптическую форму. Поэтому без закона сохранения момента импульса было бы гораздо сложнее определять параметры их орбитального движения.

Пример закона сохранения момента импульса: вычисляем скорость спутника

Предположим, что космический корабль вращается на эллиптической орбите вокруг Плутона. Причем в самой близкой к Плутону точке орбиты спутник находится на расстоянии 6·10 6 м от центра Плутона и имеет скорость 9·10 3 м/с. Вопрос: какой будет скорость спутника в самой далекой точке эллиптической орбиты на расстоянии 2·10 7 м от центра Плутона?

Для ответа на этот вопрос нужно воспользоваться законом сохранения момента импульса, поскольку на спутник не действуют никакие внешние моменты сил (сила гравитационного притяжения направлена параллельно радиусу и не создает момента). Однако закон сохранения момента импульса нужно преобразовать так, чтобы вместо угловых скоростей в его формулировке фигурировали тангенциальные скорости.

Итак, рассмотрим формулу закона сохранения момента импульса:

где ​ \( I_ <бл>\) ​ — это момент инерции спутника в самой близкой точке, \( I_ <дал>\) — это момент инерции спутника в самой далекой точке, \( \omega_ <бл>\) — угловая скорость спутника в самой близкой точке, а \( \omega_ <дал>\) — угловая скорость спутника в самой далекой точке.

Предположим, что размеры спутника гораздо меньше расстояния до центра Плутона и спутник можно считать материальной точкой. Тогда его моменты инерции равны:

где ​ \( r_ <бл>\) ​ — это расстояние от спутника до центра Плутона в самой близкой точке эллиптической орбиты, а \( r_ <дал>\) — это расстояние от спутника до центра Плутона в самой далекой точке эллиптической орбиты.

Подставляя все перечисленные соотношения в формулу закона сохранения момента импульса

Отсюда путем несложных алгебраических преобразований, получим:

Подставляя значения, получим:

Итак, в ближайшей к Плутону точке орбиты спутник будет иметь скорость 9000 м/с, а в самой дальней — 2700 м/с. Этот результат мы легко получили только благодаря знанию закона сохранения момента импульса.

Лекция №5. ДИНАМИКА АБСОЛЮТНО ТВЕРДОГО ТЕЛА

4.1. Динамика поступательного движения твердого тела.

Движение любого твердого тела можно рассматривать как сумму поступательного движения его центра масс и вращательного движения относительно оси, проходящей через его центр масс.

Разобьем твердое тело на элементарные массы m_i , тогда его можно представить как систему материальных точек, взаимное расположение которых остается неизменным. Поэтому для описания поступательного движения тела можно использовать закон изменения импульса механической системы

p = $$<\sum_^n>$$ m_i υ _i=m υ _C — импульс всех материальных точек твердого тела.

Также можно воспользоваться понятием центра масс и к поступательному движению твердого тела применить закон движения центра масс

Центр масс твердого тела движется как материальная точка, в которой сосредоточена масса тела, и на которую действуют все силы, приложенные к телу. Уравнение (4.1.2) дает возможность установить закон движение центра масс твердого тела, если известна масса тела и действующие на него силы. Если тело движется только поступательно, то это уравнение будет определять не только закон движения центра масс, но и любой другой точки тела.

4.2. Момент импульса. Момент силы.

Момент силы. Векторная величина, равная векторному произведению радиус-вектора r точки, проведенному из полюса в точку приложения силы, на силу F называется моментом силы материальнойточки относительно некоторого центра

Пусть на частицу массой m действует сила F , а ее положение в некоторой инерциальной системе отсчета характеризуется радиус-вектором r относительно начала координат. Тогда момент силы частицы относительно точки O дается уравнением (4.2.1). Направление момента силы M совпадает с направлением поступательного движения правого винта при его вращении от радиус-вектора r к силе F , и он перпендикулярен как вектору r , так и вектору F (рис. 4.2.1). Тогда модуль вектора момента силы равен

где d=r sin α − плечо силы относительно точки O .

Плечо силы − это расстояние, измеряемое по перпендикуляру от оси вращения до линии, вдоль которой действует сила.

Таким образом, модуль момента силы относительно оси, есть скалярная величина, характеризующая вращательное движение действия силы и равная произведению модуля силы F , действующей на твердое тело, на плечо силы d относительно этой оси.

Если на тело действует несколько сил, то суммарный момент этих сил равен векторной сумме моментов всех сил относительно данной оси:

Момент импульса. Векторная величина, равная векторному произведению радиус-вектора r точки, проведенного из центра на ее импульс m υ называется моментом импульса материальной точки относительно некоторого центра

Пусть частица массой m имеет импульс p , а ее положение в некоторой инерциальной системе отсчета характеризуется радиус-вектором r относительно начала координат. Тогда момент импульса частицы относительно точки O дается уравнением (4.2.4). Направление момента импульса совпадает с направлением поступательного движения правого винта при его вращении от радиус-вектора к импульсу p , и он перпендикулярен как вектору r , так и вектору p (рис. 4.2.2). Тогда модуль вектора момента импульса равен

где d − плечо импульса относительно точки O .

Плечо импульса − это расстояние, измеряемое по перпендикуляру от оси вращения до линии, вдоль которой направлен импульс.

Таким образом, модуль вектора момента импульса относительно центра или оси − есть скалярная величина, равная произведению импульса p на плечо импульса d относительно этой оси.

Моментом импульса механической системы относительно некоторого центра называется векторная величина, равная геометрической сумме моментов импульса относительно той же точки всех материальных точек системы

4.3. Основное уравнение динамики вращательного движения относительно точки.

Рассмотрим систему материальных точек массами m₁, m₂, . m_n движущихся со скоростями υ ₁, υ ₂, . υ _n . Пусть на каждую из этих точек действуют: равнодействующие внутренних сил F i ₁, F i ₂, . F i _n , и равнодействующие внешних сил F e ₁, F e ₂, . F e _n .

Запишем уравнения движения частиц:

Умножим каждое уравнение системы (4.3.3) на соответствующий радиус-вектор и получим

Преобразуем данные уравнения

Сложим эти уравнения и получим

В последнем уравнении:

Таким образом, выражение (4.3.6) можно записать в виде

Учитывая, что моменты внутренних сил попарно уравновешивают друг друга, и сумма моментов всех внутренних сил для любой системы всегда равна нулю, т. е. $$<\sum_^n>$$ M i _i=0 , получим основное уравнение динамики вращательного движения относительно точки (или иначе закон изменения момента импульса механической системы ).

4.4. Закон сохранения момента импульса.

Если момент внешних сил $$<\sum_^n>$$ M e _i=0 , то получим

закон сохранения момента импульса.

Если момент внешних сил действующих на механическую систему относительно центра оси равен нулю, то момент импульса системы относительно этого центра с течением времени не изменяется.

Можно сказать, что момент силы при вращательном движении является аналогом силы при поступательном движении, момент импульса − аналогом импульса.

Законы изменения и сохранения момента импульса механической системы можно применить и к вращательному движению твердого тела.

4.5. Момент инерции.

Моментом инерции твердого тела относительно данной оси называется физическая величина, являющаяся мерой инертности тела во вращательном движении вокруг этой оси и равная сумме произведений масс всех частиц тела на квадраты их расстояний от той же оси:

Момент инерции зависит только от формы тела и расположения масс относительно оси. [I]=1 кг · м 2 .

Понятие момента инерции было введено при рассмотрении вращения твердого тела. Однако следует иметь в виду, что каждое тело, независимо от того, вращается оно или покоится, обладает определенным моментом инерции относительно любой оси.

Если тело сплошное, то суммирование в выражении (4.5.1) следует заменить на интегрирование:

где R − расстояние от элементарной массы dm до оси вращения.

4.6. Теорема Штейнера. Правило аддитивности

Существуют два свойства момента инерции:

1) Теорема Штейнера: момент инерции тела I_z относительно произвольной оси равен сумме момента инерции I_c относительно оси, параллельной данной и проходящей через центр масс тела, и произведения массы тела m на квадрат расстояния a между осями:

2) Правило аддитивности: сумма моментов инерции частей системы относительно оси равен моменту инерции системы относительно данной оси: