Уравнение движения для шарика на наклонной

Движение по наклонной плоскости тела: скорость, трение, время

Динамика и кинематика — это два важных раздела физики, которые изучают законы перемещения объектов в пространстве. Первый рассматривает действующие на тело силы, второй же занимается непосредственно характеристиками динамического процесса, не вникая в причины того, что его вызвало. Знание этих разделов физики необходимо применять для успешного решения задач на движение по наклонной плоскости. Рассмотрим этот вопрос в статье.

Основная формула динамики

Конечно же, речь идет о втором законе, который постулировал Исаак Ньютон в XVII веке, изучая механическое движение твердых тел. Запишем его в математической форме:

Действие внешней силы F¯ вызывает появление линейного ускорения a¯ у тела с массой m. Обе векторные величины (F¯ и a¯) направлены в одну и ту же сторону. Сила в формуле является результатом действия на тело всех сил, которые присутствуют в системе.

В случае движения вращения второй закон Ньютона записывается в виде:

Здесь M и I — моменты силы и инерции, соответственно, α — угловое ускорение.

Формулы кинематики

Решение задач на движение по наклонной плоскости требует знания не только главной формулы динамики, но и соответствующих выражений кинематики. Они связывают в равенства ускорение, скорость и пройденный путь. Для равноускоренного (равнозамедленного) прямолинейного движения применяются следующие формулы:

Здесь v₀ — значение начальной скорости тела, S — пройденный за время t путь вдоль прямолинейной траектории. Знак «+» следует поставить, если скорость тела увеличивается с течением времени. В противном случае (равнозамедленное движение) следует использовать в формулах знак «-«. Это важный момент.

Если движение осуществляется по круговой траектории (вращение вокруг оси), тогда следует использовать такие формулы:

Здесь α и ω — угловые ускорение и скорость, соответственно, θ — угол поворота вращающегося тела за время t.

Линейные и угловые характеристики друг с другом связаны формулами:

Здесь r — радиус вращения.

Движение по наклонной плоскости: силы

Под этим движением понимают перемещение некоторого объекта вдоль плоской поверхности, которая наклонена под определенным углом к горизонту. Примерами может служить соскальзывание бруска по доске или качение цилиндра по металлическому наклоненному листу.

Для определения характеристик рассматриваемого типа движения необходимо в первую очередь найти все силы, которые действуют на тело (брусок, цилиндр). Они могут быть разными. В общем случае это могут быть следующие силы:

• тяжести;
• реакции опоры;
• трения качения и/или скольжения;
• натяжение нити;
• сила внешней тяги.

Первые три из них присутствуют всегда. Существование последних двух зависит от конкретной системы физических тел.

Чтобы решать задачи на перемещение по плоскости наклонной необходимо знать не только модули сил, но и их направления действия. В случае, если тело по плоскости скатывается, сила трения неизвестна. Однако она определяется из соответствующей системы уравнений движения.

Методика решения

Решения задач данного типа начинается с определения сил и их направлений действия. Для этого в первую очередь рассматривают силу тяжести. Ее следует разложить на два составляющих вектора. Один из них должен быть направлен вдоль поверхности наклонной плоскости, а второй должен быть ей перпендикулярен. Первая составляющая силы тяжести, в случае движения тела вниз, обеспечивает его линейное ускорение. Это происходит в любом случае. Вторая равна силе реакции опоры. Все эти показатели могут иметь различные параметры.

Сила трения при движении по наклонной плоскости всегда направлена против перемещения тела. Если речь идет о скольжении, то вычисления довольно просты. Для этого следует использовать формулу:

Где N — реакция опоры, µ — коэффициент трения, не имеющий размерности.

Если в системе присутствуют только указанные три силы, тогда их результирующая вдоль наклонной плоскости будет равна:

Здесь φ — это угол наклона плоскости к горизонту.

Зная силу F, можно по закону Ньютона определить линейное ускорение a. Последнее, в свою очередь, используется для определения скорости движения по наклонной плоскости через известный промежуток времени и пройденного телом расстояния. Если вникнуть, то можно понять, что все не так уж и сложно.

В случае, когда тело скатывается по наклонной плоскости без проскальзывания, суммарная сила F будет равна:

Где F_r — сила трения качения. Она неизвестна. Когда тело катится, то сила тяжести не создает момента, поскольку приложена к оси вращения. В свою очередь, F_r создает следующий момент:

Учитывая, что мы имеем два уравнения и две неизвестных (α и a связаны друг с другом), можно легко решить эту систему, а значит, и задачу.

Теперь рассмотрим, как использовать описанную методику при решении конкретных задач.

Задача на движение бруска по наклонной плоскости

Деревянный брусок находится в верхней части наклонной плоскости. Известно, что она имеет длину 1 метр и располагается под углом 45 o . Необходимо вычислить, за какое время брусок опустится по этой плоскости в результате скольжения. Коэффициент трения принять равным 0,4.

Записываем закон Ньютона для данной физической системы и вычисляем значение линейного ускорения:

a = g*(sin(φ) — µ*cos(φ)) ≈ 4,162 м/с 2

Поскольку нам известно расстояние, которое должен пройти брусок, то можно записать следующую формулу для пути при равноускоренном движении без начальной скорости:

Откуда следует выразить время, и подставить известные значения:

Таким образом, время движения по наклонной плоскости бруска составит меньше секунды. Заметим, что полученный результат от массы тела не зависит.

Задача со скатывающимся по плоскости цилиндром

Цилиндр радиусом 20 см и массой 1 кг помещен на наклонную под углом 30 o плоскость. Следует вычислить его максимальную линейную скорость, которую он наберет при скатывании с плоскости, если ее длина составляет 1,5 метра.

Запишем соответствующие уравнения:

Момент инерции I цилиндра вычисляется по формуле:

Подставим это значение во вторую формулу, выразим из нее силу трения F_r и заменим полученным выражением ее в первом уравнении, имеем:

m*g*sin(φ) — 1/2*m*a = m*a =>

Мы получили, что линейное ускорение не зависит от радиуса и массы скатывающегося с плоскости тела.

Зная, что длина плоскости составляет 1,5 метра, найдем время движения тела:

Тогда максимальная скорость движения по наклонной плоскости цилиндра будет равна:

Подставляем все известные из условия задачи величины в конечную формулу, получаем ответ: v ≈ 3,132 м/c.

По наклонной доске пустили снизу вверх шарик. На расстоянии 30 см от начала

Условие задачи:

По наклонной доске пустили снизу вверх шарик. На расстоянии 30 см от начала пути шарик побывал дважды: через 1 с и через 2 с после начала движения. Определить начальную скорость шарика.

Задача №1.3.45 из «Сборника задач для подготовки к вступительным экзаменам по физике УГНТУ»

\(S=30\) см, \(t_1=1\) с, \(t_2=2\) с, \(\upsilon_0-?\)

Решение задачи:

Во-первых, если шарик пускали по наклонной доске вверх, то у него определенно была начальная скорость. Во-вторых, в таком случае шарик будет двигаться равнозамедленно. Учитывая все сказанное, запишем уравнение движения шарика.

Если шарик побывал на расстоянии \(S\) два раза в момент времени \(t_1\) и \(t_2\), то справедливо записать следующую систему.

Подставим числа в систему и найдем начальную скорость. Если решать задачу так, то есть не в общем виде, то нужно следить за тем, чтобы численные значения величин были представлены в системе СИ. Переведем расстояние \(S\) из см в м.

Домножим левую и правую часть верхнего уравнения на 4, затем отнимем из первого уравнения второе и получим ответ к задаче.

Ответ: 1,62 км/ч.

Если Вы не поняли решение и у Вас есть какой-то вопрос или Вы нашли ошибку, то смело оставляйте ниже комментарий.

Смотрите также задачи:

А я думаю надо второе уравнение надо записать для ускоренного движения. Тогда появится плюс перед ускорением и уравнения нужно сложить.
В ответе получается 0.25 м/с.

Неееет, так точно неверно

Как будет решатся задача если вместо t2=3 сек?

При подстановке Вы получите уже такую систему:\[\left\< \begin
0,3 = <\upsilon _0>– 0,5a \hfill \\
0,3 = 3 <\upsilon _0>– 4,5a \hfill \\
\end \right.\]Домножим левую и правую часть верхнего (первого) уравнения на 9, затем отнимем из первого уравнения второе и получим ответ к задаче.\[\left\< \begin
2,7 = 9 <\upsilon _0>– 4,5a \hfill \\
0,3 = 3 <\upsilon _0>– 4,5a \hfill \\
\end \right.\]\[2,4 = 6<\upsilon _0>\]\[ <\upsilon _0>= 0,4\;м/с\]

Почему у нас в системе 2 минуса, если сначала шарик катится вверх равнозамедленно, потом вниз равноускорено

Потому что одно уравнение перемещения при равнозамедленном движении описывает движение шарика по наклонной доске, и когда он движется вверх, и когда он движется вниз.

А чему тогда равно ускорение, если начальная скорость 0.45

Полученное значение начальной скорости нужно подставить в любое из двух уравнений системы, тогда найдете ускорение:\[S = <\upsilon _0> – \frac<><2>\]\[\frac<> <2>= <\upsilon _0> – S\]\[a = \frac<<2\left( <<\upsilon _0> – S> \right)>><>\]\[a = \frac <<2\left( <0,45 \cdot 1 – 0,3>\right)>><<<1^2>>> = 0,3\;м/с^2\]

В вашем решении допущена ошибка: 2 уравнение записано неверно, так как путь, пройденный за 2 секунды будет равен S+2*S1, где S — путь, который прошло тело за 1 секунду, а S1 — путь, который прошло тело до полной остановки, правильный ответ V=0,6 м/с

Вы слишком усложняете решение. Одно уравнение описывает движение шарика по наклонной доске: и когда он движется вверх, и когда он движется вниз. Не нужно ничего выдумывать.

А как получилось,что начальную скорость в уравнении умножили на 4?

по-моему мнению нужно было домножить на 4, чтобы ускорения сократились…дальше все делать как как решаются системы

Верно мыслите, я умножал на 4, чтобы далее при вычитании избавиться от ускорения

Почему во втором уравнение есть начальная скорость? Ведь когда он доехал до точки остановки, скорость набиралась только за счет ускорения. Получается его снова толкнули?!

Потому что движение шарика вверх и вниз можно описать одним уравнением.

Вы решали задачи на движение тела, брошенного под углом к горизонту? В таких задачах Вы же не записываете два уравнения для движения тела вверх и вниз, верно?

Где именно был шарик на второй секунде пути ? Он скатился обратно, и пересек точку с которой его запускали пройдя путь S ? Тогда в втором уравнении ускорение положительное, а начальной скорости нет.

И если первое уравнение описывает движение тела не только в верх, но и вниз то что тогда описывает второе уравнение ?

“Так как в одной точке шарик побывал 2 раза”-.как это может быть ?

Ну шарик же пустили снизу вверх, он сначала будет двигаться вверх, потом остановится и начнет движение вниз. Он в принципе в любой точке своего движения вверх побывает два раза – когда катится вверх и когда катится вниз.

Уравнение S(t)=v0*t—a*t^2/2 описывает движение и вверх, и вниз. То, что написано в системе – это вот это же уравнение, просто записанное для двух моментов времени.

Почему два уравнения имеют одинаковые знаки. Вверх – РАВНОЗАМЕДЛЕННО, Вниз – РАВНОУСКОРЕННО

У меня одно уравнение, записанное для двух моментов времени

И второй момент прошу пояснить:
Второе равенство для 2 секунд расстояние S разве 30 см будет? Это же пройденный путь за 2 секунды, то есть с начала подъёма до остановки в верхней точке и спуска вниз до точки 30 см от начала подъёма.

Повторяя комментарий ниже: cамое первое уравнение движения (которое S(t)) описывает и движение вверх, и движение вниз, не нужно рассматривать их отдельно.

Почему это так?
Дело в том, что член (v_0*t) – это модуль вектора перемещения вдоль оси x, которое прошёл бы шарик, если бы не было ускорения.
С другой стороны, член (a*t^2/2) – это модуль вектор перемещения шарика против оси x, которое прошёл бы шарик, если двигался равноускоренно, если бы не было начальной скорости.
А итоговое перемещение S – это сумма этих движений (так называемая суперпозиция), т.е. сумма проекций этих векторов.

Так как в одной точке шарик побывал 2 раза, значит перемещение шарика через 1 и 2 секунды было одинаковым.
Дальше, надеюсь, понятно.

Через 2 секунды шарик будет двигаться вниз, то есть равноускоренно. Почему уравнение 2 записано для равно замедленного случая?

Почему оно равнозамедленное? В задаче я говорю, что движение вверх равнозамедленное, о движении вниз – ни слова.

Знак “минус” показывает проекцию ускорения на ось x, но никак не характер ускоренного движения.

Самое первое уравнение движения, написанное в решении, описывает и движение вверх, и движение вниз, не нужно рассматривать их отдельно.

А почему мы из верхнего уравнения вычитаем нижнее?

Решение задач на движение тел по наклонной плоскости

Этот видеоурок доступен по абонементу

У вас уже есть абонемент? Войти

Мы ежедневно сталкиваемся с движением по наклонной плоскости, когда транспорт едет с горы или в гору, при проведении лабораторных работ, и сегодня мы рассмотрим, как решаются задачи на движение тел по наклонной плоскости.