Уравнение движения эйлера для газа

Кратко о гидродинамике: уравнения движения

Написав предыдущий пост, исторический и отчасти рекламный (хотя потенциальные абитуриенты такое вряд ли читают), можно перейти и к разговору «по существу». К сожалению, высокой степени популярности описания добиться вряд ли получится, но всё же постараюсь не устраивать курс сухих лекций. Хотя, от сухости избавиться не удалось, да и пост писался в результате ровно месяц.

В нынешней публикации описаны основные уравнения движения идеальной и вязкой жидкости. По возможности кратко рассмотрен их вывод и физический смысл, а также описаны несколько простейших примеров их точных решений. Увы, этими несколькими примерами доступные аналитически решения уравнений Навье-Стокса в значительной мере исчерпываются. Напомню, что Институт Клэя отнёс доказательство существования и гладкости решений к проблемам тысячелетия. Гении уровня Перельмана и выше — задача вас ждёт.

Понятие сплошной среды

В, если можно так выразиться, «традиционной» гидродинамике, сложившейся исторически, фундаментом является модель сплошной среды. Она отвлекается от молекулярной структуры вещества, и описывает среду несколькими непрерывными полевыми величинами: плотностью, скоростью (определяемой через суммарный импульс молекул в заданном элементе объёма) и давлением. Модель сплошной среды предполагает, что в любом бесконечно малом объёме содержится ещё достаточно много частиц (как принято говорить, термодинамически много — числа, близкие по порядку величины к числу Авогадро — 10 23 шт.). Таким образом, модель ограничена снизу дискретностью молекулярной структуры жидкости, что в задачах типичных пространственных масштабов совершенно несущественно.

Однако, такой подход позволяет описать не только воду в пробирке или водоёме, и оказывается куда более универсальным. Поскольку наша Вселенная на больших масштабах практически однородна, то, как ни странно, она начиная с некоторого масштаба превосходно описывается как сплошная среда, с учётом, конечно же, самогравитации.

Другими, более приземлёнными применениями сплошной среды являются описание свойств упругих тел, динамики плазмы, сыпучих тел. Также можно описывать топлу людей как сжимаемую жидкость.

Параллельно с приближением сплошной среды, в последние годы набирает обороты кинетическая модель, основанная на дискретизации среды на небольшие частицы, взаимодействующие между собой (в простейшем случае — как твердые шарики, отталкивающиеся при столкновении). Такой подход возник в первую очередь благодаря развитию вычислительной техники, однако существенно новых результатов в чистую гидродинамику не превнёс, хотя оказался крайне полезен для задач физики плазмы, которая на микроуровне не является однородной, а содержит электроны и положительно заряженные ионы. Ну и опять же для моделирования Вселенной.

Уравнение неразрывности. Закон сохранения массы

Самый элементарный закон. Пусть у нас есть какой-то совершенно произвольный, но макроскопический объём жидкости V, ограниченный поверхностью F (см. рис.). Масса жидкости внутри него определяется интегралом:

И пусть с жидкостью внутри него не происходит ничего, кроме движения. То есть, там нет химических реакций и фазовых переходов, нет трубок с насосами или чёрных дыр. Ну и всё происходит с маленькими скоростями и для малых масс вещества, потому никакой теории относительности, искривления пространства, самогравитации жидкости (она становится существенна на звёздных масштабах). И пусть сам объём и границы еего неподвижны. Тогда единственное, что может изменить массу жидкости в нашем объёме — это её перетекание через границу объёма (для определённости — пусть масса в объёме убывает):

где вектор j — поток вещества через границу. Точкой, напомним, обозначается скалярное произведение. Поскольку границы объёма, как было сказано, неподвижны, то производную по времени можно внести под интеграл. А правую часть можно преобразовать к такому же, как слева, интегралу по объёму по теореме Гаусса-Остроградского.

В итоге, в обеих частях равенства получается интеграл по одному и тому же совершенно произвольному объёму, что позволяет приравнять подинтегральные выражения и перейти к дифференциальной форме уравнения:

Здесь (и далее) использован векторный оператор Гамильтона. Образно говоря, это условный вектор, компоненты которого — операторы дифференцирования по соответствующим координатам. С его помощью можно очень кратко обозначать разного рода операции над скалярами, векторами, тензорами высших рангов и прочей математической нечистью, основные среди которых — градиент, дивергенция и ротор. Не буду останавливаться на них детально, поскольку это отвлекает от основной темы.

Наконец, поток вещества равен массе, переносимой через единичную площадку за единицу времени:

Окончательно, закон сохранения массы (называемый также уравнением неразрывности) для сплошной среды таков:

Это выражение наиболее общее, для среды, обладающей переменной плотностью. В реальности, эксперимент свидетельствует о крайне слабой сжимаемости жидкости и практически постоянном значении плотности, что с высокой точностью позволяет применять закон сохранения массы в виде условия несжимаемости:

которое с не менее хорошей точностью работает и для газов, пока скорость течения мала по сравнению со звуковой.

Уравнение Эйлера. Закон сохранения импульса

Весь относительно громоздкий процесс колдовства преобразования интегралов, использованный выше, даёт нам не только уравнение неразрывности. Точно такие же по сути преобразования позволяют выразить законы сохранения импульса и энергии, и получить в итоге уравнения для скорости жидкости и для переноса тепла в ней. Однако пока не будем сильно торопиться, и займёмся не просто сохранением импульса, а даже сохранением импульса в идеальной несжимаемой жидкости — т.е. рассмотрим модель с полным отсутствием вязкости.

Рассуждения практически те же самые, только теперь нас интересует не масса, а полный импульс жидкости в том же самом объёме V. Он равен:

При тех же самых условиях, что и выше, импульс в объёме может меняться за счёт:

• конвективного переноса — т.е. импульс «утекает» вместе со скоростью через границу
• давления окружающих элементов жидкости
• просто за счёт внешних сил, например — от силы тяжести.

Соответствующие интегралы (порядок отвечает списку) дают такое соотношение:

Начнём их преобразовывать. Правда, для этого нужно воспользоваться тензорным анализом и правилами работы с индексами. Конкретнее, к первому и второму интегралам применяется теорема Гаусса-Остроградского в обобщённой форме (она работает не только для векторных полей). И если перейти к дифференциальной форме уравнения, то получится следующее:

Крестик в кружочке обозначает тензорное произведение, в данном случае — векторов.

В принципе, это уже уравнение Эйлера, однако его можно чуток упростить — ведь закон сохранения массы никто не отменял. Раскрыв здесь скобки в дифференциальных операторах и приведя затем подобные слагаемые, мы увидим, что три слагаемых благополучно собираются в уравнение неразрывности, и потому дают в сумме ноль. Итоговое уравнение оказывается таким:

Если перейти в систему отсчёта, связанную с движущейся жидкостью (не будем заострять внимание на том, как это делается), мы увидим, что уравнение Эйлера выражает второй закон Ньютона для единицы объёма среды.

Учёт вязкости. Уравнение Навье-Стокса

Идеальная жидкость, это, конечно, хорошо (правда, всё равно точно не решается), но во многих случаях учёт вязкости необходим. Даже в той же конвекции, в течении жидкости по трубам. Без вязкости вода вытекала бы из наших кранов с космическими скоростями, а малейшая неоднородность температуры в воде приводила бы к её крайне быстрому и бурному перемешиванию. Потому давайте учтём сопротивление жидкости самой себе.

Дополнить уравнение Эйлера можно различными (но эквивалентными, конечно же) путями. Воспользуемся базовой техникой тензорного анализа — индексной формой записи уравнения. И пока также отбросим внешние силы, чтобы не путались под руками / под ногами / перед глазами (нужное подчеркнуть). При таком раскладе всё, кроме производной по времени, можно собрать в виде дивергенции одного такого тензора:

По смыслу, это плотность потока импульса в жидкости. К нему и нужно добавить вязкие силы в виде ещё одного тензорного слагаемого. Поскольку они явно приводят к потере энергии (и импульса), то они должны вычитаться:

Идя обратно в уравнение с таким тензором, мы получим обобщённое уравнение движения вязкой жидкости:

Оно допускает любой закон для вязкости.

Принято считать очевидным, что сопротивление зависит от скорости движения. Вязкость же, как перенос импульса между участками жидкости с различными скоростями, зависит от градиента скорости (но не от самой скорости — тому мешает принцип относительности). Если ограничиться разложением этой зависимости до линейных слагаемых, получится вот такой жутковатый объект:

в котором величина перед производной содержит 81 коэффициент. Однако, используя ряд совершенно разумных предположений об однородности и изотропности жидкости, от 81 коэффициента можно перейти всего к двум, и в общем случае для сжимаемой среды, тензор вязких напряжений равен:

где η (эта) — сдвиговая вязкость, а ζ (зета или дзета) — объёмная вязкость. Если же среда ещё и несжимаема, то достаточно одного коэффициента сдвиговой вязкости, т.к. второе слагаемое при этом уходит. Такой закон вязкости

носит название закона Навье, а полученное при его подстановке уравнение движения — это уравнение Навье-Стокса:

Точные решения

Главной проблемой гидродинамики является отсутствие точных решений её уравнений. Как бы с этим ни боролись, но получить действительно всеобщих результатов не удаётся до сих пор, и, напомню, вопрос существования и гладкости решений уравнений Навье-Стокса входит в список Проблем тысячелетия института Клэя.

Однако, несмотря на столь грустные факты, некоторые результаты есть. Здесь будут представлены далеко не все, а лишь самые простые случаи.

Потенциальные течения

Особый интерес представляют течения, в которых жидкость не завихряется. Для такой ситуации можно отказаться от рассмотрения векторного поля скорости, поскольку она выражается через градиент скалярной функции — потенциала. Потенциал же удовлетворяет хорошо изученному уравнению Лапласа, решение которого полностью определяется тем, что задано на границах рассматриваемой области:

Более того, при отсутствии вязкости из уравнения Эйлера можно однозначно выразить и давление, что вовсе замечательно и приводит нас к полному решению задачи. Ах, если бы так было всегда… то гидродинамики, наверное, уже бы и не было как современной и актуальной отрасли.

Дополнительно можно упростить задачу предположением, что течение жидкости двумерно — скажем, всё движется в плоскости (x,y), и ни одна частица не перемещается вдоль оси z. Можно показать, что в таком случае скорость может быть также заменена скалярной функцией (на этот раз — функцией тока):

которая при потенциальном течении удовлетворяет условиям Коши-Лагранжа из теории функций комплексной переменной и воспользоваться соответствующим математическим аппаратом. Полностью совпадающим с аппаратом электростатики. Теория потенциальных течений развита на высоком уровне, и в принципе хорошо описывает большой спектр задач.

Простые течения вязкой жидкости

Решения для вязкой жидкости чаще всего удаётся получить, когда из уравнения Навье-Стокса благодаря свойствам симметрии задачи выпадает нелинейное слагаемое.

Сдвиговое течение Куэтта

Самая элементарная задачка. Канал с неподвижной нижней и подвижной верхней стенкой, которая движется равномерно с некоторой скоростью. На границах жидкость прилипает к ним, так что скорость жидкости равна скорости границы. Этот результат является экспериментальным фактом, и как-то даже авторы первых экспериментов не упоминаются, просто — по совокупности экспериментов.

В такой ситуации от уравнения Навье-Стокса останется уравнение вида v» = 0, и потому профиль скорости в канале окажется линейным:

Данная задача является практически базовой для теории смазки, т.к. позволяет непосредственно определить силу, которую требуется приложить к верхней стенке для её движения с конкретной скоростью.

Течение Пуазейля

Вторая по элементарности — ламинарное течение в канале. Или в трубе. Результат оказывается один — профиль скорости является параболическим:

На основе решения Пуазейля можно определить расход жидкости через сечение канала, но, правда, только при ламинарном течении и гладких стенках. С другой стороны, для турбулентного потока и шероховатых стенок точных решений нет, а есть лишь приближённые эмпирические закономерности.

Стекание слоя жидкости по наклонной плоскости

Тут — почти как в задаче Пуазейля, только верхняя граница жидкости будет свободной. Если предположить, что по ней не бегут никакие волны, и вообще сверху нет трения, то профиль скорости будет практически нижней половинкой предыдущего рисунка. Правда, если из полученной зависимости вычислить скорость течения для средней равнинной речки, она составит около 10 км/с, и вода должна самопроизвольно отправляться в космос. Наблюдаемые в природе низкие скорости течения связаны с развитой завихренностью и турбулентностью потока, которые эффективно увеличивают вязкость воды примерно в 1 млн. раз.

В следующем посте планируется рассказать о законе сохранения энергии и соответствующих ему уравнениях переноса тепла при течении жидкости.

Уравнение Эйлера в форме Громека для движения газа

34. Интеграл Бернулли в изотермическом процессе течении ид. газа.

Этот интеграл называется интегралом Бернулли. Из уравнения (3.38) следует, что сумма удельной кинетической (первое слагаемое), удельной потенциальной (второе слагае-мое) энергий и удельной работы сил давления (третье слагае-мое) для безвихревого потока — величина постоянная.

При изотермическом процессе Т = const, поэтому отношение давления к плотности газа есть величина постоянная и функция давления имеет вид:

Интеграл Бернулли для поля сил тяжести тогда запишется так:

В большинстве случаев, однако, считать происходящие в газе процессы изотермическими не совсем верно, но поскольку все эти процессы являются быстро протекающими, т.е. теплообмен с внешней средой не успевает происходить, то исключительно важное значение в гидромеханике приобретают адиабатические процессы. (если тебе попался этот вопрос, лучше не пизди про адиабатический процесс, а то получишь порцию вопросов. Просто имей ввиду на всякий случай)

35. Интергал Бернулли в адиабатическом процессе течения идеального газа.

Этот интеграл называется интегралом Бернулли. Из уравнения (3.38) следует, что сумма удельной кинетической (первое слагаемое), удельной потенциальной (второе слагае-мое) энергий и удельной работы сил давления (третье слагае-мое) для безвихревого потока — величина постоянная.

Как известно, при адиабатическом процессе

36. Уравнение Бернулли в условиях действия на идеальную жидкость сил тяжести центробежных сил.

Рассматриваемый случай описывает движение идеальных жидкостей в различных обогатительных устройствах (гидроциклонах, классификаторах и др.), где имеет место вра-щение жидкости вокруг вертикальной оси с постоянной угловой скоростью u и поступательное движение вдоль той же оси со скоростью u0.

Выберем прямоугольную систему координат, вертикальная ось Z которой совпадает с осью вращения (рис. 3.1). Очевидно, что отнесенные к единице массы проекции сил инерции на координатные оси будут иметь следующий вид:

Потенциал этих массовых сил:

Тогда интеграл Бернулли для рассматриваемого случая будет иметь такой вид:

или, поделив на величину ускорения силы тяжести g и приведя тем самым выражение к размерности длины, получим зависимость

37. Истечение идеальной жидкости из отверстий. Вывод формулы Торричелли.

Пусть в сосуде поддерживается постоянный уровень жидкости Н. Предположим, что давление окружающей среды в сосуде р1, а в атмосфере р2. Запишем интеграл Бернулли для сечений I-I (поверхность воды в сосуде) и II-II (струя жидкости на выходе из сосуда в так называемом сжатом сечении, имеющем минимальную площадь):

В силу малости поперечного сечения отверстия в сравнении с площадью сосуда можно считать, что скорость движения жидкости в сосуде равна нулю. Тогда скорость истечения жидкости из малого отверстия:

Если давление в сосуде равно атмосферному, то равенство превращается в известную формулу Торричелли:

38. Адиабатическое истечение газа из отверстия в сосуде.

Будем пренебрегать скоростью газа внутри сосуда в сравнении со скоростью газа в выходном сечении. Таким образом, можно считать, что внутри сосуда газ находится в состоянии покоя при адиабатическом процессе без потерь энергии. Такое состояние газа принято называть заторможенным, а его параметры — параметрами заторможенного газа (обычно они обозначаются нулевым индексом).

Для определения скорости истечения газа из сосуда воспользуемся интегралом Бернулли в виде:

Из полученной формулы видно, что максимальная ско-рость истечения газа достигается при р = 0, т. е. при истече-нии в абсолютный вакуум:

Для случая истечения воздуха, находящегося в резервуаре под атмосферным давлением при температуре 288 К, в абсолютный вакуум максимальная скорость истечения составит

Если переписать интеграл Бернулли через скорость звука в газе

то нетрудно получить такую взаимосвязь скоростей звука и течения газа:

Из уравнения (3.63) следует, что с увеличением скорости истечения скорость звука должна уменьшаться. Теоретически при достаточно большом перепаде давлений в сосуде и вне его (и, как показывает практика, сужающемся насадке) скорость истечения может достигнуть скорости звука. Скорость потока, равная местной скорости звука, называется критической скоростью потока.

При достижении критической скорости дальнейшее увеличение разности давлений в сосуде и вне его не приводит к увеличению скорости истечения; говорят, что сосуд заперт потоком со звуковой скоростью. Очевидно, критическая ско-рость определится из равенства:

Если подставить критическое значение скорости в инте-грал Бернулли, то можно для адиабатического процесса по-лучить выражения для определения критических параметров газа (приведем их здесь без детального вывода):

39. Вывод формулы клепсидры

Клепсидрой называется форма сосуда, употребляемого для водяных часов, в которых уровень жидкости должен уменьшаться равномерно с постоянной скоростью V <рис. 3.3). Найдем уравнение образующей клепсидры

.

Обозначим площадь переменного уровня жидкости через w, площадь отверстия в нижней части сосуда оэо и скорость истечения жидкости из отверстия Vо. Согласно уравнению нераз-рывности

По формуле Торричелли:

а площадь сечения в верхней части сосуда

Подставляя эти выражения в (3.67), получим

отсюда уравнение клепсидры имеет вид параболы четвертой степени:

40. Модели движения вязкой жидкости: гипотеза Кулона, гипотеза Жирара и Прони, гипотеза Навье.

Физической причиной вязкости являются молекулярные взаимодействия между частицами жидкости или между моле-кулами разных жидкостей и твердых тел. Условия на границе вязкой жидкости с твердым телом отличаются от подобных же условий в идеальной жидкости.

Гипотезы распределения скоростей на Гранине потока с твердым телом

Как известно, в идеальной жидкости предполагается сво-бодное ее скольжение без трения, и эпюра распределения скоро-стей потока вблизи твердой поверхности представлена прямой линией при постоянстве величины самой скорости (рис. 4.1, а).

Для вязкой жидкости было выдвинуто несколько гипотез распределения скоростей движения по сечению потока. Так, по предположению Кулона, при отсутствии скольжения эпюра распределения скоростей потока представлена квадратичной параболой (рис. 4.1,

б); по гипотезе Жирара и Прони (имеется связанный со стенкой неподвижный слой жидкости) усеченной квадратичной параболой с началом на границе неподвижного слоя (рис. 4.1, в), а по гипотезе Навье, которая в настоящее время рассматривается как основополагающая, — усеченной квадратичной параболой с началом на границе твердого тела (рис. 4.1, г).

41. Уравнение Навье-Стокса

Уравне́ния Навье́ — Сто́кса — система дифференциальных уравнений в частных производных, описывающая движение вязкой ньютоновской жидкости. Уравнения Навье — Стокса являются одними из важнейших в гидродинамике и применяются в математическом моделировании многих природных явлений и технических задач. Названы по имени французского физика Анри Навье и британского математика Джорджа Стокса.

Система состоит из двух уравнений:

Часто уравнениями Навье — Стокса называют только одно векторное уравнение движения [1] .

В векторном виде для несжимаемой жидкости они записываются следующим образом:

где — оператор набла, — векторный оператор Лапласа, — время, — коэффициент кинематической вязкости, — плотность, — давление,

— векторное поле скоростей, — векторное поле массовых сил. Неизвестные и являются функциями времени и координаты , где , — плоская или трёхмерная область, в которой движется жидкость. Обычно в систему уравнений Навье — Стокса добавляют краевые и начальные условия, например:

Иногда в систему уравнений Навье — Стокса дополнительно включают уравнение теплопроводности и уравнение состояния.

При учёте сжимаемости уравнения Навье — Стокса принимают следующий вид:

где — коэффициент динамической вязкости (сдвиговая вязкость), — «вторая вязкость», или объёмная вязкость, — дельта Кронекера.

Будучи дополненной уравнениями переноса тепла и переноса массы, а также соответствующих массовых сил, система уравнений Навье — Стокса может описывать конвекцию, термодиффузию в жидкостях, поведение многокомпонентных смесей различных жидкостей .

Тема № 4: Основные уравнения газового потока в лопаточных машинах

Преобразование энергии расширения рабочего тела в энергию вращения ротора происходит в результате обтекания потоком неподвижных сопловых и рабочих решеток.

Законы течения сжимаемой жидкости имеют большое значение для изучения процессов, происходящих в ступени.

Теория лопаточных машин базируется на основных уравнениях движения газа: уравнении неразрывности, уравнении сохранения энергии, уравнении первого закона термодинамики, уравнении Бернулли и уравнениях Эйлера. Эти уравнения рассматриваются в курсе термодинамики. Здесь остановимся лишь на некоторых особенностях этих уравнений, которые связаны с их использованием в расчетах лопаточных машин. Уравнение Эйлера о количестве движения применительно к ступени турбины будет рассмотрено ниже.

Реальное течение рабочего тела в ступени турбомашины является пространственным периодически неустановившимся течением вязкого сжимаемого газа, математическое исследование которого в строгой постановке затруднительно. Для получения относительно простых уравнений, которые можно без труда использовать в инженерных расчетах, делаются некоторые упрощения:

1) рассматривают осредненные значения параметров в точке (стационарность);

2) во всех сечениях каждой ступени неизменными.

Указанные допущения означают, что число лопаток СА и РК бесконечно.

Уравнение неразрывности в случае установившегося течения формулируется следующим образом: секундный массовый расход газа через любое поперечное сечение элементарной струйки при установившемся течении сохраняется постоянным (см. рис. 4.1).

Рис. 4.1. К выводу уравнения неразрывности

Если в рассматриваемых сечениях элемента двигателя поток является равномерным или рассматриваются осредненные параметры газового потока в этих сечениях, то уравнение неразрывности с равным основанием может быть записано и для всего потока. В частности, для сечений, нормальных к оси потока:

. (2.1)

В общем случае, когда выбранное сечение не перпендикулярно к оси струйки, а составляет с ней некий угол , нужно рассматривать нормальную составляющую скорости в этом сечении (т. е. в применении к теории ступени турбомашин – осевую составляющую скорости ), а уравнение неразрывности записывается в виде:

. (2.2)

Уравнение первого закона термодинамики

Уравнением первого закона термодинамики пользуются для определения параметров состояния газа при осуществлении термодинамического процесса. Оно является частным выражением закона сохранения энергии для элементарного объема газа, написанным в системе координат, движущейся вместе с рассматриваемым элементом объема или, в частном случае, для покоящегося газа.

Для элементарного объема газа уравнение первого закона термодинамики имеет вид:

, (2.7)

т. е. все тепло, подведенное к рассматриваемому объему газа, идет на изменение внутренней энергии и на совершение работы против сил давления, связанной с изменением объема.

Для движущегося газа удобно вместо внутренней энергии пользоваться понятием энтальпии:

. (1.8)

Переходя к интегральной форме записи, с учетом того, что тепло трения эквивалентно работе сил трения , можно получить:

, (1.9)

т. е. все тепло, подводимое к потоку между сечениями 1–1 и 2–2 (рис. 2.2), состоящее из тепла, подводимого извне, и тепла, выделяющегося в результате трения (работы сил трения), идет на совершение работы сжатия (расширения) и на изменение внутренней энергии потока ( ).

Уравнение первого закона термодинамики удобно для определения работы сил трения по известному значению показателя политропы , который легко определяется по термодинамическим соотношениям, если известны параметры потока в начале и в конце процесса.

Обобщенное уравнение Бернулли

Основным уравнением, на котором строятся расчеты турбомашин, является уравнение Бернулли:

. (2.10)

Уравнение (2.10) можно трактовать так: подведенная извне энергия идет на работу сжатия (расширения) газа , приращение кинетической энергии и преодоление гидравлического сопротивления .

Заметим, что уравнение Бернулли не зависит от теплообмена с окружающей средой. Однако теплообмен оказывает косвенное влияние на показатель политропы процесса.

Уравнение Бернулли, как и уравнение сохранения энергии, можно отнести к энергетическим и получить его из рассмотрения баланса механической энергии.

При свободном движении идеального газа, при отсутствии энергии, подведенной извне и потерь на преодоление гидравлического сопротивления:

. (1.11)

Для идеальной несжимаемой жидкости, для которой :

, (1.12)

т. е. для повышения давления в компрессоре динамического действия необходимо затормозить поток.

Самый простой способ достичь этого – геометрическое воздействие:

, (1.13)

Таким образом, при дозвуковом потоке ( ) расширение канала приводит к снижению скорости потока. На замедляющийся поток набегают следующие молекулы, что приводит к снижению удельного объема (увеличению плотности), т. е. давление газа растет.

Можно сделать вывод, что рабочий процесс турбокомпрессора состоит из двух взаимосвязанных, одновременно протекающих процессов:

— приращения кинетической энергии за счет подводимой внешней работы (от турбины) ;

— преобразования кинетической энергии потока в энергию потенциальную , пропорциональную давлению.

Уравнение сохранения энергии

Полная энергия рабочего тела может быть записана в виде:

,

где — внутренняя энергия; P/r – потенциальная энергия давления; С 2 /2 – кинетическая энергия; — потенциальная энергия положения.

Данное выражение можно упростить.

Потенциальной энергией положения можно пренебречь, т.к. по сравнению с остальными слагаемыми она ничтожна.

Внутренняя энергия рабочего тела в сумме с потенциальной энергией давления P/r будут равны энтальпии рабочего тела h, которая, таким образом, является мерой той потенциальной энергии, которой обладает поток рабочего тела.

В этом случае уравнение полной энергии запишется в виде:

.

Уравнение сохранения энергии может быть сформулировано следующим образом: полная энергия газового потока на выходе из рассматриваемого элемента (рис. 4.2) больше (или меньше) полной его энергии на входе на величину энергии, подведенной (или отведенной) между рассматриваемыми сечениями :

.

Рис. 4.2. К выводу уравнения сохранения энергии

Поскольку при установившемся движении газа расходы через сечения 0–0 и 1–1 одинаковы, то все члены уравнения сохранения энергии принято представлять отнесенными к 1 кг газа.

Применительно к турбомашинам уравнение сохранения энергии можно записать в виде:

, (2.3)

где – энтальпия газа (отвечает за внутреннюю и потенциальную энергию потока), с 2 /2 – кинетическая энергия потока; и – внешняя подведенная (отведенная) энергия, в виде механической работы и в виде тепла соответственно.

Для элементов двигателя, в которых отсутствует подвод или отвод энергии, уравнение сохранения энергии в частном случае имеет вид:

, (2.4)

т. е. при отсутствии энергообмена полная энергия газового потока сохраняется неизменной и равна энтальпии заторможенного потока.

Запишем уравнение сохранения энергии для турбинной ступени (см. рис. 2.1). Теплообменом с окружающей средой при этом можно пренебречь, т.к. при относительно небольших площадях теплоотдачи и хорошей теплоизоляции коэффициенты теплоотдачи малы.

Обычно для турбинной ступени , поэтому

,

т.е. работа турбинной ступени фактически численно равна изменению энтальпии потока.

Заметим, что в различные записи уравнения сохранения энергии в явном виде не входит трение, а значит, это уравнение применимо как для идеального газа, так и газа, обладающего вязкостью.

Силы трения, которые возникают на стенках, ограничивающих поток газа, и силы внутреннего трения между отдельными струйками газа являются внутренними силами, а работа на их преодоление переходит практически полностью в тепло. Трение приводит лишь к преобразованию одного вида энергии в другой и не отражается на общем балансе энергии. Например, если вследствие трения уменьшается кинетическая энергия, то энтальпия в этом сечении вырастет на ту же величину.

Дата добавления: 2015-06-17 ; просмотров: 3771 ; ЗАКАЗАТЬ НАПИСАНИЕ РАБОТЫ