Уравнение движения гироскопа в кардановом подвесе

Свойства гироскопа, с тремя степенями свободы

Простейшим вариантом гироскопа с тремя степенями свободы является гироскоп в кардановом подвесе (рис. 1.1).

Ротор / подвешен в системе колец так, что он может вращать­ся вокруг оси X—X относительно внутреннего кольца 2 (собствен­ное вращение), внутреннее кольцо — вокруг оси У—У относитель­но внешнего кольца 3, а последнее — вокруг оси Z—Z относитель­но основания 4. Точка О пересечения осей X—X, У—У и Z—Z яв­ляется центром подвеса гироскопа.
Первое свойствозаключается в следующем. Главная ось свободного гироскопа стремится удержать неизменным свое направление в инерциальном пространстве. Это означает, что если глав­ная ось отправляй на какую-либо звезду, то при любых переме­щениях основания, на котором установлен гироскоп, она будет неизменно указывать на эту звезду, изменяя свою ориентацию по отношению к системе координат, связанной с Землей. Впервые указанное свойство было использовано Л. Фуко для доказатель­ства суточного вращения Земли.
Второе свойство Под действием внешней силы приложенной к внутреннему или внешнему кольцу и создающей момент_, несовпадающий по направлению с главной осью
гироскопа, последняя будет двигаться не по направлению действия силы , а перпендикулярно этому направлению. Подобное свойство гироскопа называется прецессией. Прецессионное движение происходит с постоянной угловой скоростью.

Третье свойствоПод действием импульса силы (удара)главная ось гироскопа практически не изменяет первоначального направления, а лишь совершает быстрые колебания около положения равновесия.Эти колебания называются нутацией.

2.Составление уравнений движения гироскопа способом Кудревича:1.Выбираем систему координат OXоYоZo неподвижную в пространстве . 2.Выбранная система координат не имеет углового движения, вследствие чего по этому пункту никаких действий не выполняем.

3..В качестве системы координат, связанной с гироскопом, принимаем систему осей Резаля QXYZ, т. е., связанных с гироскопом во всех его движениях, кроме собственного вращения.

4.Сообщаем гироскопу отклонения на углы α и β(Рис. 1.8),оба в положительном направлении.

5. Наносим векторы угловых скоростей α и β (с точками наверху)

6.Определяем проекции q = β (с точкой); r = α (с точкой ) * cosβ .

7.Находим гироскопические моменты:Hr = H* α (с точкой ) cos β (направ­лен в отрицательную сторону); H*q = H* β (с точкой) (направлен в положительную сторону).

8. Находим угловые ускорения α и β (с 2 точками наверху) (оба вектора направлены в ту же сторону, что и векторы α и β (с точками наверху) )

9. Определяем инерционные м оменты Jэ * α (с 2 точками наверху) cos β и Jэ* β (с 2 точками наверху).

10. Предполагаем, что на гироскоп действует сила F, которая создает момент относительно оси OY. Вектор момента лежит в положительном направлении оси OY. Нанесем вектор этого момента Lу на чертеж. Считаем, что никакие другие моменты внешних сил на гироскоп не действуют.

11.Моментов сил инерции нет. Так как читаем. Что точка О неподвижна или движется равномерно. Поэтому никаких действий по данному пункту не выполняем.

12.Суммирование моментов по осям OY и OZ приводит к следующим двум уравнениям, образующим систему: Jэ* β (с 2 точками наверху) + H* α (с точкой ) *cos β = Lу , Jэ* α (с 2 точками наверху) — H * β (с точкой) = 0.

13. Считая, что углы отклонения гироскопа относительно заданного положения малые, т.е.

3.Классификация гироскопов. В качестве гироскопа могут применяться вращающиеся твер­дые, жидкие и газообразные тела. Практически доказана возмож­ность использования гироскопических свойств частиц — атомных ядер или электронов, обладающих спиновым или орбитальным мо­ментами. На базе оптических квантовых генераторов созданы ла­зерные гироскопы.

Однако в настоящее время в технических устройствах, особен­но на морском флоте, наибольшее распространение получили гироскопы в которых используется динамически симметричное быстровращающееся твердое тело (ротор)._ подвешенное, таким образом, что ось его собственного вращения может произвольно изменять направление в пространстве. Следовательно, основными частями гироскопа являются_ротор и его подвес.

Ось собственного вращения ротора называется главной осью гироскопа (осью фигуры). Две любые другие оси, лежащие в_ плоскости собственного вращения ротора и перпендикулярные между собой и к главной оси, называются экваториальными

Понятие «быстровращающийся ротор» означает, что угловая скоростьсобственного вращения ротора на много порядков больше тех угловых скоростей, которые он может иметь относительно экваториальных осей.

Центром подвеса гироскопа является та его точка, которая остается единственной неподвижной при всех вращательных движениях ротора. Если центр масс гироскопа совпадает с центром подвеса, то гироскоп называется астатическим, или уравновешенным, если не совпадает— тяжелым. .

Свободным называется такой гироскоп, на который никакие моменты внешних сил не действуют В технике часто под свобод­ным гироскопом понимают астатический гироскоп с предельно ма­лыми моментами сил трения в подвесе.

Степень совершенства гироскопа, построенного на основе твер­дого ротора, во многом зависит от качества его подвеса. Через подвес ротор гироскопа связан с основанием (объектом, платфор­мой), на котором он установлен. Подвес гироскопа считается тем лучше, чем меньше угловые движения основания передаются ротору.

Все гироскопы (гироскопические чувствительные элементы) можно разделить на два класса в зависимости от того, что явля­ется объектом подвеса: камера (оболочка), содержащая быстровращающийся ротор (или систему роторов). В этом классе гироскопов применяют карданный, гидростатический (в сочетании с электромагнитным или упругим подвесом), а также газостатическийподвес; собственно быстровращающийся ротор(подвесы — электроста­тический, гидродинамический, электромагнитный, криогенный, га­зодинамический, а также упругий вращающийся).

В тех гироскопах, в которых для подвеса используется элект­ростатическое или электромагнитное поле либо давление жидкос­ти или газа, собственно ротор или камера, содержащая ротор, как правило, имеет сферическую форму. Эта форма наиболее удобна с точки зрения обеспечения симметрии действующих сил поддержания.

гироскоп, должен иметь: ротор (камеру с ро­тором), привод (для придания ротору собственного вращательно­го движения), датчик угла (для слежения за угловым положением гироскопа), а в ряде случаев и устройство для наложения управляющих и корректирующих моментов.

4. Принцип действия гиротахометра. Оптические ГТ.Гиротахометром (ГТ) называется гироскопический прибор, предназначенный для измерения угловой скорости поворота объекта, на котором он установлен. Он же «дифференцирующий гироскоп», «датчик угловой скорости».

В настоящее время наибольшее распространение для целей судовождения получили гиротахометры, в которых используется «астатический гироскоп с двумя степенями свободы.

Модель гиротахометра, построенного на двухстепенном гиро­скопе с механическими элементами, обеспечивающими наложение на него восстанавливающего и демпфирирующего моментов, изобра­жена на рис. 4.7. На рисунке показаны: гирокамера 3 с быстровращающимся ротором внутри нее; упругий элемент 1 (пружина), создающий восстанавливающий момент по углу β ; демпфирующее устройство 2 (жидкостный или воздушных поршень), обеспечивающее погашение собственных колебаний гироскопа; преобразователь 4 механического движения (угла поворота гироскопа β) в электрический сигнал, выполненный в виде переменного потенциометра; индикатор измеряемой угловой скорости аналогового 5 ( вданном случае) или цифрового 6 типа (возможна и одновременная установка индикаторов обоих вариантов). При ориентации гироскопа, представленной на рис. 4.7, гиротахометр поставлен, на судно с целью измерения его угловой скорости по углу рыскания. Принцип действия гиротахометра: при появлении угловой скорости ωz пово­рота объекта по углу рыскания возникает гироскопический момент. Вектор этого гироскопического момента направлен по оси OY и для малых углов β имеет значение R_y = Hωz. Указанный мо­мент будет поворачивать гироскоп до тех пор, пока действие момента не будет уравновешено моментом сил упругости пружи­ны Lп=Cβ, С — коэффициент, характеризующий жесткость пружины. В итоге угол поворота главной оси гироскопа будет пропорционалён угловой скорости поворота основания, так как из равенства R_y=Lп или Hωz = Cβr вытекает, что βr = (H/C)ωz. По принципу действия гиротахометр измеряет абсолютную угловую скорость здесь (а также в дальнейшем) не учитываются угловые скорости суточного вра­щения Земли и вращения объекта вокруг Земли лишь по той причине, что они либо находятся за порогом его чувствительности, либо входят в погрешность измерения ( если не компенсированы)

Недостатки — Нестабильность показаний гиротахометра с течением времени. Не достаточная линейность выходной хар-ки. Сравнительно низкий диопозон измерений

гироскоп

ГИРОСКОП (от греч. gyreuо — кружусь, вращаюсь и skopeo — смотрю, наблюдаю) — быстровращающееся симметричное твёрдое тело, ось вращения (ось симметрии) к-рого может изменять своё направление в пространстве. Свойствами Г. обладают вращающиеся небесные тела, артиллерийские снаряды, роторы турбин, устанавливаемых на судах, винты самолётов и т. п. В совр. технике Г.- осн. элемент всевозможных гироскопич. устройств или приборов, широко применяемых для автоматич. управления движением самолётов, судов, торпед, ракет и в ряде др. систем гироскопич. стабилизации, для целей навигации (указатели курса, поворота, горизонта, стран света и др.), для измерения угловых или поступат. скоростей движущихся объектов (напр., ракет) и во мн. др. случаях (напр., при прохождении стволов штолен, строительстве метрополитенов, при бурении скважин).

Чтобы ось Г. могла свободно поворачиваться в пространстве, Г. обычно закрепляют в кольцах т. н. карданова подвеса (рис. 1), в к-ром оси внутр. и внеш. колец и ось Г. пересекаются в одной точке, наз. центром подвеса. Закреплённый в таком подвесе Г. имеет 3 степени свободы и может совершать любой поворот около центра подвеса. Если центр тяжести Г. совпадает с центром подвеса, Г. наз. уравновешенным, или астатическим. Изучение законов движения Г.- задача динамики твёрдого тела.

Рис. 1. Классический карданов подвес, а — внешнее кольцо, б — внутреннее кольцо, в — ротор.

Рис. 2. Прецессия гироскопа. Угловая скорость прецессии направлена так, что вектор собственного кинетического момента Н стремится к совмещению с вектором момента М пары, действующей на гироскоп.

Основные свойства гироскопа. Если к оси быстровращающегося свободного Г. приложить пару сил (P — F)с моментом (h — плечо силы) (рис. 2), то (против ожидания) Г. начнёт дополнительно поворачиваться не вокруг оси х, перпендикулярной к плоскости пары, а вокруг оси у, лежащей в этой плоскости и перпендикулярной к собств. оси тела z. Это дополнит. движение наз. прецессией. Прецессия Г. будет происходить по отношению к инерциалъной системе отсчета (к осям, направленным на неподвижные звёзды) с угловой скоростью

где I — момент инерции Г. относительно оси z, — угловая скорость собств. вращения Г. относительно той же оси. Величина наз. собственным кинетическим моментом (или моментом количества движения)Г. Направление определяется так, как показано на рис. 2. Из ф-лы (1) ясно, что прецессия происходит тем медленнее, чем больше ; на практике величинабывает в миллионы раз меньше .

Рис. 3. Конус нутаций.

При более подробном рассмотрении оказывается, что собств. вращение и прецессия симметричного Г. могут сопровождаться т. н. нутациями — быстрыми конич. движениями оси Г. относительно изменяющегося по закону (1) направления (рис. 3). Угол конуса нутации , как правило, бывает очень мал. Кроме того, из-за наличия неизбежных сопротивлений нутации обычно быстро затухают. Всё это позволяет при решении большинства технич. задач учитывать только прецессию Г., что и приводит к т. н. элементарной, или прецессионной, теории гироскопич. явлений, осн. соотношением к-рой является ф-ла (1). В более общем случае, когда угол а между осями собств. вращения и прецессии оказывается не равным 90°, эта ф-ла принимает вид

При изучении поведения Г. по отношению к подвижному основанию в выражение для M должны входить и моменты сил инерции переносного движения.

Из ф-лы (1) следует, что если Г. будет полностью свободен от постоянно действующих на него сил, т. е. при M=0, ось Г. будет сохранять неизменное направление по отношению к неподвижным звёздам, т. к. тогда =0. Кратковрем. воздействие на ось такого Г. пары сил с моментом вызовет смещение оси на малый угол, тем меньший, чем меньше , т. е. чем больше будет . С прекращением же этого воздействия будет опять M=0, а следовательно, и =0, так что смещение оси прекратится. Т.о., ось быстровращающегося свободного Г. практически не изменяет своего направления под влиянием кратковрем. внеш. возмущений (толчков) и в этом смысле устойчива. Важным свойством свободного Г. устойчиво сохранять направление своей оси пользуются в устройствах, применяемых для автоматич. управления движением самолётов, ракет и т. п., а также в ряде навигац. и др. приборов.

Г., ось к-рого закреплена подшипниками a, a₁ в кольце с неподвижной осью вращения bb₁ (рис. 4), обладает двумя степенями свободы. Если это кольцо вращать вокруг оси bb₁ с угловой скоростью , то Г. будет совершать вынужденную прецессию. При этом со стороны Г. на подшипники a, а₁ действует пара сил (Q, Q₁), стремящаяся совместить ось собств. вращения aа₁ с осью прецессии bb₁ так, чтобы направления векторов и совпали (правило H. E. Жуковского). Момент этой гироскопич. пары

где— угол между осями аa₁ и bb₁. Подобный гироскопич. эффект имеет место у роторов турбин, установленных на судах, при повороте судов или при качке, у винтовых самолётов при виражах и т. п. Ф-ла (3) позволяет определить возникающие при этом гироскопич. давления на подшипники.

На гироскопич. эффекте основан принцип т. н. силовой гироскопич. стабилизации (см. ниже), а также устройство ряда приборов, напр. гироскопич. указателя поворотов и др.

Уравнения движения гироскопа. Движение большинства гироскопич. систем таково, что если исключить кратковрем. переходные процессы, возникающие при ударах или при резких изменениях сил, действующих на систему, изменение ориентации осей роторов Г. относительно направлений на неподвижные звёзды происходит весьма медленно. При изучении такого прецессионного движения достаточно пользоваться элементарной теорией Г.

Рис. 4. Гироскоп с двумя степенями свободы.

Исследование процессов, в течение к-рых оси роторов Г. совершают нутации, и решение вопросов устойчивости гироскопич. систем требуют учёта кинетич. моментов всех тел, входящих в состав гироскопич. системы. Соответствующие ур-ния движения являются ур-ниями нутац. теории Г. Дифференц. ур-ния нутац. теории имеют для данной гироскопич. системы более высокий порядок, чем ур-ния прецессионного движения. Однако решение задач нутац. теории упрощается тем обстоятельством, что во мн. случаях можно ограничиться рассмотрением малых движений методами теории малых колебаний.

Строго ур-ния движения Г. справедливы по отношению к инерциальной системе отсчёта, однако на практике движение гироскопич. систем приходится изучать по отношению к осям, связанным с тем подвижным объектом (судно, самолёт, ракета, Земля и др.), на к-ром эти системы установлены. Поэтому при составлении ур-ний в число действующих сил надлежит включать также переносные и Кориолиса силы, инерции, обусловленные перемещением объекта. Оказывается, что удобнее всего составлять ур-ния движения Г. по отношению к системе координат с началом в центре 0 подвеса гироскопич. системы и с осями, не изменяющими своей ориентации относительно направлений на неподвижные звёзды, т. е. перемещающимися по отношению к инерциальной системе отсчёта поступательно. В этом случае кориолисовы силы инерции вообще отсутствуют, а все силы инерции переносного движения антипараллельны ускорению центра 0 в его движении относительно инерциальной системы отсчёта.

Рис. 5. Приложение теоремы механики системы о кинетическом моменте к установлению уравнения прецессионного движения ротора гироскопа. Скорость конца вектора собственного кинетического момента принимается геометрически равной главному моменту совокупности сил, приложенных к ротору.

В теории Г. с достаточным для практики приближением можно за инерциальную систему отсчёта принять невращающуюся систему координат с началом в центре Земли. Точно так же малая погрешность при подсчёте сил инерции переносного движения происходит, если за ускорение центра 0 подвижной невращающейся системы координат принять его ускорение относительно земной поверхности. В этом случае вместо действующих на массы частей гироскопич. системы сил тяготения к Земле следует брать силы тяжести. Для составления ур-ний движения Г. введём ещё систему осей 0x’y’z’ с началом в той же точке 0, что и у системы 0 (точка 0 лежит где-то на оси симметрии ротора, напр. в центре его подвеса). Ось z‘ системы совпадает с осью симметрии ротора, но сама система Ox’y’z’ не вращается вместе с ротором, будучи связанной, напр., с кожухом Г. Тогда ур-ния прецессионного движения ротора, симметричного Г. относительно осей , записанные в проекциях на оси Ox’y’z’, имеют вид

Они выражают (рис. 5) равенство (по числ. величине и направлению) скорости конца вектора собственного кинетич. момента и гл. момента относительно центра 0 сил, приложенных к ротору. В число этих сил должны быть включены переносные силы инерции, обусловленные поступат. движением системы отсчёта О . Величины и — проекции на оси х’ и у’ угловой скорости системы координат Ox’y’z’ относительно системы , т. е. относительно направлений на неподвижные звёзды. Угловую скорость ротора относительно осей Ox’y’z’ можно наз. угловой скоростью его собств. вращения. Вектор Н направлен по оси собств. вращения (рис. 6> ротора z’, а его модуль можно принять равным

где С — момент инерции ротора относительно его оси симметрии z’ (полярный момент инерции), — угол поворота ротора относительно системы координат x’y’z’. Принимается также, что значительно превышает величину — проекцию угловой скорости системы координат на её же ось (на практике на 3-4 порядка). В большинстве случаев Н можно считать постоянным, т. к. обычно моменты сил, вращающих ротор, и моменты сопротивления этому вращению взаимно уравновешиваются. Соответственно, в 3-м из ур-ний (4) следует положить М_z’=0.

Рис. 6. Вектор собственного кинетического момента гироскопа. Система координат аbс связана с ротором гироскопа; она вращается относительно системы x’y’z’ с угловой скоростью вокруг оси z’, совпадающей с осью с. Момент инерции ротора относительно оси с (оси симметрии или оси собственного вращения) обозначен через С.

Более строгими ур-ниями движения ротора являются ур-ния, соответствующие нутац. теории Г., а именно:

где А — момент инерции ротора относительно к—л. оси, перпендикулярной его оси симметрии и проходящей через центр О (экваториальный момент инерции). В ур-ниях (6), в отличие от ур-ний (4), принято, что система координат x’y’z’ может иметь угловую скорость с произвольной составляющей вдоль оси симметрии ротора z’. B частности, эту систему можно связать с самим ротором. Тогда ур-ния обращаются в общеизвестные ур-ния Эйлера движения твёрдого осесимметричного тела (см. Эйлера динамические уравнения), осложнённые наличием в правых частях упоминавшихся выше переносных сил инерции.

Ур-ния (4) и (6) пригодны для изучения движения ротора Г., не стеснённого кардановым подвесом, напр. в случае шарового Г. (см. ниже), и вообще свободных тел (снаряд, небесные тела, искусств. спутники, космич. корабли). При наличии же карданова подвеса в состав сил, образующих моменты относительно осей х’ и у’, т. е. в выражения для М_х’ и M_y’ , войдут неизвестные силы — нормальные реакции подшипников оси ротора. Для исключения этих сил, представляющих воздействие внутр. кольца подвеса (кожуха) на ротор, следует совместно с ур-ниями движения ротора рассматривать также и ур-ния движения элементов подвеса Г.

При составлении ур-ний прецессионного движения Г. в кардановом подвесе изменение кинетич. моментов элементов подвеса не учитывается. Поэтому совокупность сил, приложенных, напр., к внутр. кольцу подвеса (кожуху), следует считать статически эквивалентной нулю (уравновешенной). T. о., вместо ур-ний движения внутр. кольца фактически составляются ур-ния равновесия всех приложенных к нему сил, т. е. сил взаимодействия с внеш. кольцом, ротором Г. и его основанием, сторонних (внеш.) сил и сил инерции переносного движения. То же относится и к силам, приложенным к внеш. кольцу карданова подвеса.

После исключения нормальных реакций осей подвеса ур-ния прецессионного движения Г. в кардановом подвесе приводятся к виду

Здесь т_х’ , т_y’ , m_z’ — суммы моментов относительно осей х’, у’, z’ соответственно всех сторонних сил и сил инерции переносного движения, действующих на ротор; I_х’ ,I_y’ ,I_z’ — аналогичные суммы, относящиеся к внутр. кольцу подвеса (кожуху); M — сумма моментов относительно оси z’ сил, действующих на ротор со стороны внутр. кольца (кожуха), т. е. сил, вращающих ротор, и сил сопротивления этому вращению (сил трения); L — сумма моментов относительно оси у’ (или ) кожуха (рис. 7) сил воздействия внеш. кольца карданова подвеса на внутр. кольцо (кожух); К — сумма моментов относительно оси (или ) внеш. кольца сил воздействия основания Г. на это кольцо; k — аналогичная сумма моментов сторонних сил, действующих на внеш. кольцо; — угол поворота внутр. кольца (кожуха) относительно внешнего. Он принимается положительным, если система координат x’y’z’, связанная с внутр. кольцом (кожухом), повёрнута относительно системы координат , связанной с внешним кольцом подвеса, против хода часовой стрелки (наблюдение за поворотом производится со стороны положит. части оси у’ или ). При=0 оси этих систем соответственно совпадают.

Рис. 7. Схема гироскопа в кардановом подвесе. Система координат x’y’z’ связана с внутренним кольцом подвеса, система -с внешним, а -с основанием гироскопа (на рис. показана лишь ось ).

Для определения величин , следует знать угловые скорости: основания Г. относительно системы координат , внеш. кольца карданова подвеса по отношению к основанию и внутр. кольца по отношению к внешнему. Имеют место след. ф-лы:

где — проекции угловой скорости основания Г. на оси, связанной с основанием системы координат . Осьэтой системы совпадает с осью внеш. кольца подвеса. Угол поворота внеш. кольца относительно основания обозначен через (рис. 8). При =0 оси систем координат соответственно совпадают. Положит. направление отсчёта угла такое же, как и угла. Ур-ния (7) и (8) позволяют решать большинство вопросов, связанных с одногироскопными гироскопическими системами в рамках прецессионной теории гироскопа.

Рис. 8. К подсчёту абсолютной угловой скорости внутреннего кольца карданова подвеса (система координат x’y’z’). Вектор — относительная угловая скорость внешнего кольца относительно основания , — угловая скорость внутреннего кольца относительно внешнего.

Рис. 9. Полюс гироскопа (точка P) и связь составляющих его скорости v_x и v_y относительно невращающейся системы координат (на рис не показана) с суммами M_x и M_y моментов сил, действующих на ротор гироскопа и его внутреннее кольцо (кожух).

В случае, когда можно пренебречь моментами трения К и L в осях подвеса и считать равными нулю моменты k, т_z , l_z и М, ур-ния прецессионной теории Г. в кардановом подвесе значительно упрощаются и допускают следующую геометрич. интерпретацию. Вводится вспомогат. система координат xyz с началом в центре подвеса Г. (рис. 9). На расстоянии, равном единице от начала координат, строится плоскость, параллельная координатной плоскости ху. Через х и у обозначаются координаты точки P пересечения вектора H с упомянутой плоскостью (полюс Г.). Тогда ур-ния прецессионного движения Г. можно представить в виде:

где v_x и v_y — проекции на оси х и у скорости точки P в её движении по отношению к системе координат . Модуль H в данном случае — пост. величина. Предполагается, что направление H мало отклоняется от направления оси z, в результате чего координаты х и у точки P малы по сравнению с единицей и с большой точностью равны углам отклонения от координатных плоскостей yz и xz вектора H или, что то же, оси собств. вращения гироскопа z.

Величины M_х и M_у, к-рые находятся в правых частях ур-ний (9), представляют собой суммы моментов относительно осей х и у сторонних сил и переносных сил инерции, действующих на механич. систему: ротор — внутр. кольцо (кожух) Г.

Если обозначить через проекции на оси х, у, z угловой скорости системы координат х у z относительно невращающейся системы , то ур-ния (9) можно представить в виде

Полученные ур-ния удобны для исследования поведения однороторного гирокомпаса, гироскопич. маятника (гировертикали) при смещениях основания, на к-ром они расположены. В первом случае ось z направляется на север, а во втором — вертикально.

Ур-ния движения Г. в кардановом подвесе, соответствующие нутац. теории, можно также вывести, пользуясь Лагранжа уравнениями 2-го рода. При этом следует рассматривать движение механич. системы, состоящей из ротора и элементов подвеса Г. по отношению к невращающейся системе координат с началом в центре карданова подвеса, и принять углы за обобщённые координаты упомянутой механич. системы. Составив ур-ния для её кинетич. энергии, с помощью ур-ний Лагранжа 2-го рода можно получить ур-ния движения, позволяющие изучать поведение Г. в разл. гироскопич. устройствах.

Устойчивость гироскопа. Г. с тремя степенями свободы, находящийся под длит. воздействием сил, устойчив не всегда. Напр., вертикальный («спящий») волчок, испытывающий воздействие силы тяжести (рис. 10), устойчив только при выполнении условия

где P — вес Г., а — расстояние его центра тяжести от точки опоры О, А — момент инерции Г. относительно оси Ox. При невыполнении этого условия ось Г. будет удаляться от вертикали, совершая петлеобразные движения. Аналогичное условие имеет место и для устойчивости прецессионного движения Г. Напр., устойчивость при движении в воздухе вращающегося артиллерийского снаряда приближённо определяется ф-лой H. В. Маиевского, к-рая совпадает с (11), если в ней под P понимать силу сопротивления воздуха, а под а — расстояние от центра масс С до точки О пересечения линии действия силы P с осью снаряда (рис. 11). Г. с двумя степенями свободы (рис. 4) всегда неустойчив; при толчке, дающем момент относительно оси bb₁, такой Г. начнёт вращаться вместе с кольцом вокруг этой оси.

Гироскопы в технике. Применяемые в технике Г. представляют собой тела вращения (роторы), имеющие обычно форму маховика с утолщенным ободом или шара массой от неск. г до десятков кг. Быстрое вращение Г. (со скоростью до 60 000 об/мин и более) обычно достигается тем, что ротор Г. делают вращающейся частью (ротором) быстроходного электродвигателя пост. или переменного тока. Иногда вращение Г. поддерживается струёй воздуха — ротор Г. является одновременно ротором возд турбинки. К основанию прибора (устройства) Г. крепится с помощью той или иной системы подвеса. Наиболее употребителен карданов подвес с ротором, заключенным в кожух. Для уменьшения сопротивления вращению в ряде случаев кожух делается герметичным и заполняется водородом. Это способствует также предотвращению коррозии металлич. частей и окисления смазки. В нек-рых приборах кожух, заключающий в себе ротор Г., погружают в жидкость. Подшипники кожуха (поплавка) при этом почти полностью разгружаются и момент трения скольжения в них уменьшается до стотысячных долей. H*см. Применяются также проволочные (торсионные) подвесы и подвесы на возд. плёнке, напр. у т.н. шара-гироскопа (рис. 12).

Рис. 10. «Спящий» волчок.

Рис. U. К устойчивости вращающегося снаряда.

Рис. 12. Шар-гироскоп Сперри на воздушном подвесе, а-стальной ротор, б-статор, создающий вращающее магнитное поле; в — датчик, посредством сигналов к-рого производится «слежение» за осью шара на качающемся основании (корабле); г — бронзовая чаша, отделённая от шара воздушным слоем толщиной порядка сотых долей мм, д — подача сжатого воздуха для поддержки шарагироскопа.

Важным элементом мн. гироскопич. приборов является уравновешенный Г. с тремя степенями свободы. Для повышения точности прибора требуется максимально уменьшать величину момента M, возникающего вследствие трения в осях подвеса и несовпадения центра тяжести ротора с центром подвеса, т. к., согласно ф-ле (1), этот момент вызывает прецессию (уход) оси ротора. Момент трения в подвесах точных (прецизионных) Г. обычно уменьшают применением высококачеств. шариковых подшипников. Вследствие вибраций подвеса или возвратно-вращат. движений внеш. обоймы шарикоподшипников момент трения в ряде случаев удаётся сделать значительно меньше момента силы тяжести. Уменьшение момента силы тяжести достигается соответствующей балансировкой Г. Требуемая при этом точность совмещения центра масс Г. с геом. центром подвеса очень велика. Так, для Г. ср. размеров массой ок. 1 кг, имеющего угловую скорость вращения ротора порядка 30 000 об/мин, смещение центра масс от осп подвеса на 1 мк вызывает прецессию со скоростью ок. 1 град/ч. Земля вращается со значительно большей угловой скоростью — 15 град/час. Следовательно, подобным Г. можно легко обнаружить факт вращения Земли. Однако для решения ряда технич. вопросов, напр. навигации судов и ракет, требуется еще более высокая точность балансировки, т. к. скорость ухода оси Г. относительно неподвижных звёзд порядка 1 град/ч оказывается чрезмерно большой. Улучшая балансировку и уменьшая трение в осях, а также увеличивая кинетич. момент H, удаётся в соответствии с ф-лой (1) достичь медленного ухода оси и обеспечить тем самым необходимую точность работы разл. гироскопич. приборов, в частности приборов управления движением баллистич. ракет и систем инерциальной навигации.

В обычных Г. имеются два разл. вида подшипников: подшипники, в к-рых совершает быстрое вращение ротор, и подшипники подвеса. Подшипники оси собств. вращения ротора должны обладать достаточной жёсткостью, высокой долговечностью при работе на больших скоростях вращения. Подшипники же подвеса работают при малых угловых скоростях и осн. требование к ним — иметь возможно меньшее трение.

Среди современных типов Г., в к-рых проблема опор решается иначе, чем в классич. схеме «ротор в кардановом подвесе», следует упомянуть т. н. динамически настраиваемый Г. В нём быстровращающийся ротор посредством упругих связей и промежуточных инерц. элементов крепится к валу. Спец. подбором параметров (условие динамич. настройки) добиваются равенства нулю (в среднем) моментов, вызывающих прецессию оси ротора в пределах малых углов её отклонения от оси вала ротора. В результате ось ротора практически оказывается неподвижной в инерциальном пространстве. Преимуществом этих Г. является отсутствие специфич. моментов трения в подшипниках подвеса, а также возможность увеличения кинетич. момента ротора при неизменных габаритах прибора.

Стремление получить Г. более высокой точности привело к созданию электростатич. и магн. подвесов. В этих Г. быстровращающийся шар поддерживается электрич. или магн. полем в вакууме. T. к. из камеры, в к-рой находится вращающееся тело, газ полностью выкачан, то тело практически не испытывает трения и может вращаться по инерции в течение неск. нед.

В случае электростатич. подвеса поверхность шара выполняется из диэлектрика, и поддерживающее электрич. поле индуцирует на нём электрич. заряды противоположного знака, в результате чего всегда возникает притягивающая сила. Для подвешивания тел это свойство непосредственно использовать нельзя, т. к., согласно Ирншоу теореме, статич. равновесие тел, притягивающихся друг к другу по закону обратных квадратов, всегда неустойчиво. Для создания устойчивого подвеса используют регулируемое поле. То же самое имеет место и для магн. подвесов, когда ротор выполняется из ферромагнетика. Если же ротор изготавливать из диамагн. материала, то подвес может быть устойчивым и без дополнит. регулирования магн. поля (пассивный подвес). Эта схема подвеса нашла применение в т. н. криогенном Г., в к-ром в условиях сверхнизких темп-р материал шара — ниобий — переходит в сверхпроводящее состояние, при этом он становится идеальным диамагнетиком. Внутрь такого материала магн. поле не проникает. Само поле создаётся токами, циркулирующими в сверхпроводнике без потерь.

Перспективными датчиками инерциальной информации являются лазерный Г. и волновой твердотельный Г., принцип действия к-рых основан на инерционности образующихся в них стоячих волн — электромагнитных в лазерном Г. и упругих в твердотельном. В лазерных Г. используют два луча света от источника когерентного излучения, распространяющиеся в противоположных направлениях по замкнутому кольцевому контуру. При вращении основания, на к-ром установлен Г., между лучами возникает разность фаз, что позволяет обнаружить это вращение и найти его угловую скорость или угол поворота.

ГИРОСКО́П

ГИРОСКО́П (от греч. γῦρος – круг, ок­руж­ность и σϰοπέω – на­блю­дать), уст­рой­ст­во, со­вер­шаю­щее бы­ст­рые цик­ли­че­ские (вра­ща­тель­ные или ко­ле­ба­тель­ные) дви­же­ния и чув­ст­ви­тель­ное вслед­ст­вие это­го к по­во­ро­ту в инер­ци­аль­ном про­стран­ст­ве. Тер­мин «Г.» пред­ло­жен в 1852 Ж. Б. Л. Фу­ко для изо­бре­тён­но­го им при­бо­ра, пред­на­зна­чен­но­го для де­мон­ст­ра­ции вра­ще­ния Зем­ли во­круг сво­ей оси. Дол­гое вре­мя тер­мин «Г.» ис­поль­зо­вал­ся для обо­зна­че­ния бы­ст­ров­ра­щаю­ще­го­ся сим­мет­рич­но­го твёр­до­го те­ла. В совр. тех­ни­ке Г. – осн. эле­мент все­воз­мож­ных ги­ро­ско­пич. уст­ройств или при­бо­ров, ши­ро­ко при­ме­няе­мых для ав­то­ма­тич. управ­ле­ния дви­же­ни­ем са­мо­лё­тов, су­дов, тор­пед, ра­кет, кос­мич. ап­па­ра­тов, мо­биль­ных ро­бо­тов, для це­лей на­ви­га­ции (ука­за­те­ли кур­са, по­во­ро­та, го­ри­зон­та, стран све­та), для из­ме­ре­ния уг­ло­вой ори­ен­та­ции под­виж­ных объ­ек­тов и во мно­гих др. слу­ча­ях (напр., при про­хо­ж­де­нии ство­лов што­лен, строи­тель­ст­ве мет­ро­по­ли­те­нов, при бу­ре­нии сква­жин).