Движение тела, брошенного горизонтально или под углом к горизонту.
Движение тела, брошенного горизонтально или под углом к горизонту.
Это движение в плоскости, поэтому для описания движения необходимо 2 координаты.
Считаем, что движение происходит вблизи поверхности Земли, поэтому ускорение тела – ускорение свободного падения (a = g).
Так как мы пренебрегаем сопротивлением воздуха, то ускорение направлено только к поверхности Земли ( g ) – вдоль вертикальной оси ( y ), вдоль оси х движение равномерное и прямолинейное.
Движение тела, брошенного горизонтально.
Выразим проекции скорости и координаты через модули векторов.
Для того чтобы получить уравнение траектории, выразим время tиз уравнения координаты x и подставим в уравнение для y:
— между координатами квадратичная зависимость, траектория – парабола!
Движение тела, брошенного под углом к горизонту.
Порядок решения задачи аналогичен предыдущей.
Докажем, что траекторией движения и в этом случае будет парабола. Для этого выразим координату Y через X (получим уравнение траектории):
.
Мы получили квадратичную зависимость между координатами. Значит траектория — парабола.
Найдем время полета тела от начальной точки до точки падения. В точке падения координата по вертикальной оси у=0.
Следовательно, для решения этой задачи необходимо решить уравнение
Оно будет иметь решение при t=0 (начало движения) и
Зная время полета, найдем максимальное расстояние, которое пролетит тело:
Дальность полета:
Из этой формулы следует, что:
— максимальная дальность полета будет наблюдаться при бросании тела (при стрельбе, например) под углом 45 0 ;
— на одно и то же расстояние можно бросить тело (с одинаковой начальной скоростью) двумя способами – т.н. навесная и настильная баллистические траектории.
Используя то, что парабола – это симметричная кривая, найдем максимальную высоту, которой может достичь тело . Время, за которое тело долетит до середины, равно:
Тогда:
Максимальная высота:
Скорость тела в любой момент времени направлена по касательной к траектории движения (параболе) и равна
Угол, под которым направлен вектор скорости в любой момент времени:
Тело, брошенное горизонтально
Начальные условия
Пусть тело, которое можно считать материальной точкой, бросили с начальной скоростью $<\overline>_0\ $горизонтально рис.1. с некоторой высоты $h_0.$
Движение тела будем рассматривать в системе отсчета связанной с Землей. Ось X направим горизонтально, ось Y вертикально вверх. Тело будет перемещаться под действием силы тяжести, если не учитывать силу сопротивления воздуха, то других сил нет. Движение тела будет происходить в плоскости, в которой находятся векторы: начальной скорости тела $<\overline>_0$ и ускорения свободного падения $\overline.\ $
Запишем начальные условия движения нашей материальной точки:
Вектор ускорения при движении под воздействием силы тяжести считаем постоянным:
где величина ускорения свободного падения равна $g\approx $ 9,8 $\frac<м><с^2>.$
Кинематические уравнения движения тела брошенного горизонтально
Уравнение для скорости равнопеременного движения в поле силы тяжести принимает вид:
где $<\overline>_0$ — начальная скорость тела. Движение материальной точки в рассматриваемом случае можно представить сумму двух независимых движений по прямым линиям, в которых участвует тело, брошенное горизонтально. Это равномерное движение с неизменной скоростью $<\overline>_0$ в горизонтальном направлении и равноускоренное движение с ускорением $\overline$ без начальной скорости в направлении вектора ускорения свободного падения.
В проекциях на оси X и Y имеем:
Величина скорости перемещения частицы равна:
Уравнение для вектора перемещения тела, в нашем случае:
где $<\overline>_0$ — смещение тела в начальный момент времени. В нашем случае $s_0=y\ (t=0)=h_0$. Уравнение (7) даст два скалярных выражения для координат падающей частицы:
Как уже говорилось, каждое из двух отдельных движений тела происходит по прямой, но траекторией движения падающего тела является ветвь параболы, находящаяся в плоскости в которой лежат $<\overline>_0$ и $\overline$.
Исключив время, как параметр, из системы (8) получим уравнение траектории движения точки:
Максимумом траектории тела в рассматриваемом случае является точка бросания.
Время полета, дальность полета тела брошенного горизонтально
Время полета тела можно выразить из второго уравнения системы (8), если предположить, что в момент падения ордината точки $y=0$:
Дальность полета (s) — это расстояние, которое тело преодолело по горизонтали (по оси X). Его найдем, подставив время полета в первое уравнение системы (8):
Примеры задач с решением
Задание. Напишите уравнения траектории движения материальной точки М для случая, который изображен на рис. 2.
Решение. В качестве основы для решения задачи применим кинематическое уравнение для перемещения при равноускоренном движении материальной точки:
Рассматривая рис.2 запишем проекции векторного уравнения (1.1) на оси системы координат. В проекции на оси X и Y выражение (1.1) превращается в систему скалярных уравнений:
Для того чтобы получить уравнение траектории движения точки М выразим из первого уравнения системы (1.2) время и подставим его во второе уравнение:
Задание. Вертолет, летевший горизонтально на высоте $H$ со скоростью $v_0$, сбросил груз. За какое время до пролета вертолета над целью он должен сбросить груз, чтобы попасть в цель? Груз считать материальной точкой, сопротивление воздуха не учитывать.
Решение. Сделаем рисунок.
Запишем начальные условия движения груза:
Нам следует найти время полета груза. Зная, что движение груза происходит в поле тяжести Земли, начальные условия заданы (2.1). При этом время полета можно найти, используя формулу, которая получена в теоретической части статьи:
I. Механика
Тестирование онлайн
Движение тела, брошенного горизонтально
Рассмотрим движение тела, брошенного в горизонтальном направлении с некоторой высоты h и начальной скоростью v0. Траектория такого движения имеет вид спадающей ветви параболы.
Для описания движения тела необходимо задать координатные оси. Ось Оy направим вертикально вверх, горизонтальную ось Оx — вдоль полета. Такое движение по криволинейной траектории рассматривают как сумму двух движений, протекающих независимо друг от друга — движение с ускорением свободного падения вдоль оси Оy и равномерного прямолинейного движения вдоль оси Оx.
Движение вдоль горизонтальной оси Оx равномерное.
Движение вдоль вертикальной оси ОУ — свободное падение тела с некоторой высоты h (на графике y0).
Реальная скорость тела в некоторый момент времени — это векторная сумма горизонтальной составляющей скорости vx и вертикальной скорости vy.
Движение тела, брошенного под углом к горизонту
Угол броска определяет траекторию движения, дальность полета, максимальную высоту подъема тела.
Аналогично движению тела, брошенного горизонтально, это движение рассматривают как сумму независимых движений: равномерного движения вдоль горизонтальной оси ОХ и свободного падения тела вдоль вертикальной оси ОУ.
Движение вдоль горизонтальной оси ОХ равномерное.
Движение вдоль вертикальной оси ОУ — свободное падение тела, брошенного вертикально вверх с некоторой начальной скоростью v0y. Тело поднимается на максимальную высоту h, затем возвращается вниз.
Действительная скорость, с которой движется тело.
Упражнения
При каком угле бросания достигается максимальная дальность полета?
При угле бросания 45 0 , так как можно вывести формулу для дальности полета . Максимальная дальность полета будет при
.
. Максимальная дальность полета будет при 