Уравнение движения материальной точки это зависимость

Уравнение движения материальной точки

Вы будете перенаправлены на Автор24

Система отсчета. Системы координат

Под движением материальной точки в пространстве понимают изменение ее положения относительно некоторых тел с течением времени. В связи с этим можно говорить только о движении в некоторой системе отсчета.

Сами по себе точки пустого пространства неразличимы между собой, поэтому говорить о той или иной точке пространства можно, если в ней находится материальная точка. Ее положение и определяется относительно тела отсчета с помощью измерений, для чего с телом (телами) отсчета жестко связывается некоторая система координат; в ней и измеряются пространственные координаты. Например, на поверхности Земли это географическая широта и долгота точки.

В теоретических рассуждениях часто наиболее удобна декартова прямоугольная система координат, в которой положение точки определяется радиус-вектором $\overline$ с тремя проекциями $x,y,z$ — координатами точки. Но возможно и использование других систем координат, например:

• сферической, где положение точки и ее радиус-вектор определены координатами $r,\vartheta ,\varphi $;
• цилиндрической: с координатами $p,z,\alpha $;
• на плоскости — полярной: $r,\varphi $.

В теоретических рассуждениях часто не принимают во внимание реальную систему отсчета, сохраняя только систему координат, которая и служит математической моделью системы отсчета, применяемой при измерениях на практике.

Кинематическое уравнение движения материальной точки

Итак, в любой системе отсчета и системе координат имеется возможность определить координаты материальной точки в любой момент времени.

Если положение материальной точки в каждый момент времени определено в данной системе отсчета, то движение ее задано или описано.

Это задание достигается в виде кинематического уравнения движения:

Аналитически положение точки всегда определяется совокупностью трех независимых между собой чисел. Этот факт выражают словами: свободная точка имеет три степени свободы движения.

Готовые работы на аналогичную тему

Движение точки согласно уравнению (1) полностью определено, если указано ее положение в любой момент времени $t$. Для этого достаточно задать декартовы координаты точки как однозначные и непрерывные функции времени:

Прямоугольные декартовы координаты $x,y,z$ являются проекциями радиус-вектора $\overline$, проведенного в точку из начала координат, т.е.:

Длина и направление вектора $\overline$находятся из известных соотношений:

Здесь, $\alpha ,\beta ,\gamma $ — углы, образованные радиус-вектором с координатными осями.

Равенства (2) являются кинематическими уравнениями движения материальной точки в декартовых координатах. Но уравнения могут быть записаны в любой другой системе координат, связанной с декартовой взаимно однозначным преобразованием. При движении точки в плоскости Оху часто бывает удобно пользоваться полярными коордиинатами $r,\varphi $, связанными с декартовыми преобразованием:

В этом случае кинематические уравнения движения точки имеют следующий общий вид:

$r=r(t),\varphi =\varphi (t)$. (3)

В криволинейных координатах $q_ <1>,q_ <2>,q_ <3>$ связанных с декартовыми преобразованием:

кинематические уравнения движения точки запишутся так:

(Это могут быть сферические, цилиндрические и другие координаты).

Годограф радиус-вектора точки, т.е. кривая, описываемая концом вектора $\overline$при движении точки, совпадает с траекторией движения этой точки. Уравнение траектории в параметрической форме, когда параметром служит время $t$, дано кинематическими уравнениями движения (2), (5). Для получения уравнения траектории в координатной форме достаточно исключить из кинематических уравнений время.

Движение точки может быть определено по-другому: заданием траектории и мгновенным положением точки на ней. Положение точки на кривой определяется указанием только одной величины — расстояния, измеряемого вдоль кривой от некоторой начальной точки. При этом должно быть указано положительное направление кривой. Тогда мгновенное положение точки на заданной кривой определяется функцией:

Это уравнение является уравнением движения точки по траектории. Такой способ задания движения называется естественным или траекторным.

Координатный и естественный способы задания движения точки физически (в смысле фиксации ее положения в пространстве)

эквивалентны. Что же касается математической стороны дела, то в одних задачах оказывается проще применение координатного, а в другом — естественного метода.

Закон движения точки по траектории может быть задан аналитически, графически или в виде таблицы. Оба последних способа широко применяются на транспорте (например, графики и расписания движения поездов).

Уравнение движения материальной точки имеет вид $x=0,4t^ <2>$. Написать формулу зависимости $v_ (t)$ и построить график зависимости скорости точки от времени. Показать на графике площадь, численно равную пути, пройденному точкой за 4 секунды, и вычислить этот путь. \end

Решение: Зависимость скорости от времени имеет вид:

Запишем уравнение зависимости координаты от времени и сравним его с данным:

Из сравнения видно, что $x_ <0>=0$, $v_ <0x>=0$, $a_ =0,8$м/с2.

Подставим полученные данные в уравнение скорости и получим:

Определим точки и построим график:

Путь, пройденный телом, численно равный площади фигуры, ограниченной графиком и может быть найден по следующей формуле:

Получи деньги за свои студенческие работы

Курсовые, рефераты или другие работы

Автор этой статьи Дата последнего обновления статьи: 01 07 2021

Уравнение движения материальной точки

Движение материальной точки в пространстве – это изменение ее положения относительно других тел с течением времени.

Имеет смысл говорить только о движении в некоторой системе отсчета.

Система отсчета. Системы координат

Точки, располагаемые в пустом пространстве, не различаются. Поэтому о точке рассуждают при условии нахождения в ней материальной точки. Определить ее положение можно при помощи измерений в системе координат, где и проводится нахождение пространственных координат. Если рассматривать в виде примера поверхность Земли, то следует учитывать широту и долготу располагаемой точки.

В теории используется декартова прямоугольная система координат, где определение точки возможно при наличии радиус-вектора r и трех проекций x , y , z – ее координат. Могут быть применены другие:

• сферическая система с положением точек и ее радиус-вектором, определенных координатами r , υ , φ ;
• цилиндрическая система с координатами p , z , α ;
• на полярной плоскости с параметрами r , φ .

В теории зачастую не принимают во внимание реальную систему отсчета, а сохраняют только ту, которая представляет собой ее математическую модель, применяемую во время практических измерений.

Кинематическое уравнение движения материальной точки

Любая система отсчета или координат предполагает определение координат материальной точки в любой момент времени.

При условии положения и определения материальной точки в данной системе отсчета считается, что ее движение задано или описано.

Это возможно при использовании кинематического уравнения движения:

Аналитически положение точки определяется совокупностью трех независимых между собой чисел. Иначе говоря, свободная точка имеет три степени свободы движения.

Ее перемещение по уравнению ( 1 ) определено, если имеется указанное положение в любой момент времени t . Для этого следует задавать декартовы координаты точки в качестве однозначных и непрерывных функций времени:

x ( t ) = x , y ( t ) = y , z ( t ) = z ( 2 ) .

Прямоугольные декартовы координаты x , y , z — это проекции радиус-вектора r ¯ , проведенного из начала координат. Очевидно, что длину и направление r ¯ можно найти из соотношений, где a , β , γ являются образованными радиус-вектором углами с координатными осями.

Равенства ( 2 ) считают кинематическими уравнениями движения материальной точки в декартовых координатах.

Они могут быть записаны в другой системе координат, которая связана с декартовой взаимно однозначным преобразованием. Если движение точки происходит в плоскости О х у , тогда применимы полярные координаты r , φ , относящиеся к декартовым преобразованиям. Данный случай подразумевает использование уравнения движения точки следующего вида:

r = r ( t ) , φ = φ ( t ) ( 3 ) .

Кинематическое уравнение движения точки в криволинейных координатах q 1 , q 2 , q 3 , связанных с декартовыми преобразованиями вида x = x ( q 1 , q 2 , q 3 ) , y = y ( q 1 , q 2 , q 3 ) , z = z ( q 1 , q 2 , q 3 ) ( 4 ) , записывается как

q 1 = q 1 ( t ) , q 2 = q 2 ( t ) , q 3 = q 3 ( t ) ( 5 ) .

Кривая радиус-вектора, описываемая концом вектора r при движении точки, совпадает с ее траекторией. Параметрическое уравнение траектории с t представлено кинематическими уравнениями ( 2 ) , ( 5 ) . Чтобы получить координатное уравнение траектории следует исключить время из кинематических уравнений.

Определение движения точки возможно с помощью задания траектории и мгновенного положения точки на ней. Ее положение на кривой определяется с помощью указания только одной величины: расстояния вдоль кривой от некоторой начальной точки с положительным направлением:

Это и есть уравнение движения точки по траектории. Способ его задания относят к естественному или траекторному.

Понятия координатного и естественного способа задания движения точки физически эквивалентны. С математической стороны это рассматривают как возможность применения разных методов, исходя из случая математической задачи.

Задание такого закона возможно аналитическим, графическим путем или с использованием таблицы, последние два из которых зачастую рассматривают в виде графиков и расписаний движений поездов.

Дано уравнение движения материальной точки x = 0 , 4 t 2 . Произвести запись формулы зависимости υ x ( t ) , построить график зависимости скорости от времени. На графике отметить площадь, численно равную пути, пройденному точкой за 4 секунды, произвести вычисление.

Дано: x = 0 , 4 t 2 , t = 4 c

Найти: υ x ( t ) , S — ?

Решение

При решении необходимо учитывать зависимость скорости от времени:

υ x = υ 0 x + a x t .

Зависимость координаты от времени и сравнение уравнения с заданным принимает вид:

x = x 0 + υ 0 x t + a x t 2 2 , x = 0 , 4 t 2 .

Очевидно, что x 0 = 0 , υ 0 x = 0 , a x = 0 , 8 м / с 2 .

После подстановки данных в уравнение:

Определим точки, изобразим график:

υ x = 0 , t = 0 , υ x = 4 , t = 5

Путь, по которому двигалось тело, равняется площади фигуры, ограниченной графиком, и находится с помощью формулы:

Уравнение движения материальной точки

Время чтения: 14 минут

Механика твердого тела

Чтобы иметь возможность описать движение тела в математических терминах, мы должны сначала понять тип движения, которому оно подвергается. Используемый вид уравнения движения материальной точки будет варьироваться в зависимости от рассматриваемой ситуации.

Линейное движение

Существует три общих случая линейного движения, характеризующихся типом ускорения, которому оно подвергается. Виды линейного движения:

Если положение объекта изменяется по отношению к контрольной точке, то считается, что он находится в движении. Если точка не изменяется, то она находится в состоянии покоя. Для лучшего понимания или для решения различных ситуаций покоя и движения мы выводим некоторые стандартные уравнения, связывающие термины: расстояние, перемещение, скорость материальной точки уравнения движения и ускорение тела с помощью уравнений, называемых — уравнениями движения.

Прямолинейное равномерное движение

Если скорость объекта постоянно фиксирована, то объект не испытывает никакого ускорения или замедления. Его скорость будет оставаться постоянной с течением времени. На него могут действовать или не действовать силы, но нет чистой силы, заставляющей его ускоряться.

Уравнение движения, используемое в этом случае, простое, в виде:

Где: v: скорость (в м/с), s: пройденное расстояние или перемещение (в метрах), t: время, необходимое для прохождения этого расстояния (в секундах).

Пример 1. Человеку требуется 10 минут, чтобы дойти от точки А до точки Б. Вычислите расстояние, разделяющее две точки, предполагая, что он все время идет с постоянной скоростью 1,5 м/с.

Ответ: Во-первых, затраченное время необходимо перевести в секунды, чтобы оно соответствовало единицам измерения. Включив значения в уравнение, мы получим расстояние 900 м.

График зависимости расстояния от времени

Равноускоренное движение

В этом случае тело ускоряется с постоянной скоростью на протяжении всего своего движения. Поэтому скорость, с которой оно движется, будет меняться с течением времени.

Типичные графики для этого типа движения приведены ниже.

В случае движения с равномерным или постоянным ускорением (с одинаковым изменением скорости за равный промежуток времени) мы выводим три стандартных уравнения движения, которые также известны как законы постоянного ускорения. Эти уравнения содержат величины перемещения(s), скорости (начальной и конечной), времени(t) и ускорения(a), которые управляют движением тела. Уравнения могут быть применены только в том случае, когда ускорение тела постоянно, а движение является прямой линией.

v: конечная скорость (м/с)

u: начальная скорость (м/с)

a: скорость ускорения. Если тело замедляется, то используйте знак минус (м/с2)

t: затраченное время (c)

s: пройденное расстояние (м)

Пример 2. Объект удерживается в состоянии покоя на высоте 12 м над землей. Объект освобождается вовремя t = 0с и свободно падает под действием силы тяжести. Учитывая, что ускорение под действием силы тяжести составляет \[9,81 \mathrm <м>/ \mathrm^<2>\], найдите его скорость на полпути между начальной точкой и землей.

Ответ: Используем третью формулу движения \[\left(v^<2>=u^<2>+2 a c\right) \text < при >\mathrm=9,81 \mathrm<

s>=6 \mathrm, \mathrm=0 \mathrm<

m> / \mathrm\]; затем мы получаем ответ 10,85 м/с.

Нет времени решать самому?

Наши эксперты помогут!

Переменное ускорение

Каждый объект, подвергающийся этому типу движения, будет иметь определенное уравнение, описывающее его перемещение, скорость и ускорение в определенные моменты времени. Зная одно из этих уравнений, можно определить другие, интегрируя или дифференцируя их по времени. Для этого типа движения важно иметь в виду следующее:

Скорость (v) — скорость изменения расстояния (s) со временем (t) или в терминах исчисления: \[\frac\].

Ускорение (a) — это скорость изменения скорости (v) со временем (t) или в терминах исчисления: \[\frac s>>\].

Пример 3. Тело движется в пространстве со скоростью, заданной уравнением \[v=4 t^<2>+6\]. Найдите его скорость, пройденное расстояние и ускорение за время t = 5 с.

Ответ: Скорость можно легко найти, включив t = 5 с в приведенное выше уравнение, что дает v = 506 м/с. Ускорение также можно найти, дифференцируя v и используя t = 5 с. Чтобы определить пройденное расстояние, нам нужно интегрировать v используя пределы t = 0 с и t = 5 с.

Движение по окружности

Рассмотрим тело, которое движется по окружности вокруг точки O, как показано ниже.

Если телу потребуется время t чтобы сделать угол θ в точке O, то мы можем найти ее угловую скорость, используя:

Период T для завершения объектом полного оборота задается формулой:

Пройденное расстояние s рассчитывается:

Линейную скорость также можно найти, разделив последнее уравнение на затраченное время t:

Чтобы тело оставалось в круговом движении, необходима сила, притягивающая его к центру. В противном случае объект сойдет с орбиты по прямой линии в соответствии с Первым законом Ньютона. Эта сила также известна как центростремительная сила, и она вызывает ускорение тела. Направление ускорения направлено к центру, которое совпадает с направлением центростремительной силы. Центростремительное ускорение может быть рассчитано как:

Движение снаряда

Рассмотрим движение снаряда, брошенного под углом x. Градусы относительно земли показаны ниже.

Вектор скорости u может быть разложен на 2 компонента \[u_ \text < и >u_ .\]

Как только снаряд будет выпущен, его траектория будет зависеть от двух вещей: его начальной скорости и ускорения, вызванного гравитацией.