Уравнение движения материальной точки вдоль оси имеет вид

Уравнение движения материальной точки вдоль оси X имеет вид: x = A + Bt + Ct3, где A = 2 м, B = 10 м/с, C = – 0,5 м/с3. Найти координату x, скорость υx и ускорение ax точки в момент времени t = 2 с.

Готовое решение: Заказ №8342

Тип работы: Задача

Статус: Выполнен (Зачтена преподавателем ВУЗа)

Предмет: Физика

Дата выполнения: 18.08.2020

Цена: 209 руб.

Чтобы получить решение , напишите мне в WhatsApp , оплатите, и я Вам вышлю файлы.

Кстати, если эта работа не по вашей теме или не по вашим данным , не расстраивайтесь, напишите мне в WhatsApp и закажите у меня новую работу , я смогу выполнить её в срок 1-3 дня!

Описание и исходные данные задания, 50% решения + фотография:

№1 3. Уравнение движения материальной точки вдоль оси X имеет вид: x = A + Bt + Ct3, где A = 2 м, B = 10 м/с, C = – 0,5 м/с3. Найти координату x, скорость υx и ускорение ax точки в момент времени t = 2 с.

Определим координату точки в заданный момент времени: м. Найдём закон изменения скорости точки:

• Даны уравнения движения материальной точки x(t) = 4t (м) и y(t) = 0,2t3 (м). Построить график траектории y(x), вычислив значения координат точки x и y для различных моментов времени в интервале от t = 0 до t = 8 с с шагом Dt = 1 с. Найти координаты точки, её скорость и ускорение в момент времени t0 = 1 с.
• Даны уравнения движения материальной точки x(t) = 2 cos(пt) (м) и y(t) = 3 sin(пt) (м). Построить график траектории y(x), вычислив значения координат точки x и y для различных моментов времени в интервале от t = 0 до t = 2 с с шагом Dt = 0,25 с. Найти координаты точки, её скорость и ускорение в момент времени t0 = 1 с.
• Найти силу тяги, развиваемую мотором автомобиля, движущегося по горизонтальной поверхности с ускорением 1,5 м/с2. Масса автомобиля 1100 кг. Коэффициент трения 0,6.
• Упряжка собак при движении саней по снегу действует с силой F = 0,4 кН. Какой массы m гружёные сани может перемещать упряжка, двигаясь равномерно, если коэффициент трения u = 0,1?

Присылайте задания в любое время дня и ночи в ➔

Официальный сайт Брильёновой Натальи Валерьевны преподавателя кафедры информатики и электроники Екатеринбургского государственного института.

Все авторские права на размещённые материалы сохранены за правообладателями этих материалов. Любое коммерческое и/или иное использование кроме предварительного ознакомления материалов сайта natalibrilenova.ru запрещено. Публикация и распространение размещённых материалов не преследует за собой коммерческой и/или любой другой выгоды.

Сайт предназначен для облегчения образовательного путешествия студентам очникам и заочникам по вопросам обучения . Наталья Брильёнова не предлагает и не оказывает товары и услуги.

Примеры решения задач. Пример 1. Уравнение движения материальной точки вдоль оси имеет вид x = A + Bt + Ct3, где А = 2 м, В = 1 м/с

Пример 1. Уравнение движения материальной точки вдоль оси имеет вид x = A + Bt + Ct 3 , где А = 2 м, В = 1 м/с, С = — 0,5 м/с 3 . Найти координату х, скорость и ускорение точки в момент времени t = 2с.

Решение. Координату x найдем, подставив в уравнение движения числовые значения коэффициентов A, B и C и времени t:

x = (2 + 1×2 — 0,5×2 3 )м = 0.

Мгновенная скорость относительно оси х есть первая производная от координаты по времени:

.

Ускорение точки найдем, взяв первую производную от скорости по времени:

В момент времени t = 2 с

= (1 — 3×0,5×2 2 ) м/c = — 5 м/c;

= 6(- 0,5) × 2 м/с 2 = — 6 м/с 2 .

Пример 2. Тело вращается вокруг неподвижной оси по закону j = A + Bt + Ct 2 , где A = 10 рад, В = 20 рад/с, С = — 2 рад/с 2 . Найти полное ускорение точки, находящейся на расстоянии г=0,1 м от оси вращения, для момента времени t =4 с.

Решение. Полное ускорение точки, движущейся по кривой линии, может быть найдено как геометрическая сумма тангенциального ускорения , направленного по касательной к траектории, и нормального ускорения , направленного к центру кривизны траектории (рис.1):

Так как векторы и взаимно перпендикулярны, то модуль ускорения

Модули тангенциального и нормального ускорения точки вращающегося тела выражаются формулами

где w — модуль угловой скорости тела; e — модуль его углового ускорения.

Подставляя выражения и в формулу (1), находим

. (2)

Угловую скорость w найдем, взяв первую производную угла поворота по времени:

В момент времени t = 4 с модуль угловой скорости

w = [20 + 2(-2)4] рад/с = 4 рад/с.

Угловое ускорение найдем, взяв первую производную от угловой скорости по времени:

= 2 C = — 4 рад/с 2 .

Подставляя значения w, e и r в формулу (2), получаем

м/с = 1,65 м/с 2 .

Пример 3. Шар массой m₁, движущийся горизонтально с некоторой скоростью , столкнулся с неподвижным шаром массой m₂. Шары абсолютно упругие, удар прямой, центральный. Какую долю e своей кинетической энергии первый шар передал второму?

Решение. Доля энергии, переданной первым шаром второму, выразится соотношением

(1)

где Т₁ — кинетическая энергия первого шара до удара; u₂ и Т₂ — скорость и кинетическая энергия второго шара после удара.

Как видно из формулы (1), для определения e надо найти u₂. Согласно условию задачи импульс системы двух шаров относительно горизонтального направления не изменяется и механическая энергия шаров в другие виды не переходит. Пользуясь этим, найдем:

(2)

(3)

Решим совместно уравнения (2) и (3):

Подставив это выражение u₂ в формулу (1) и сократив на u₁ и m₁, получим

Из найденного соотношения видно, что доля переданной энергии зависит только от масс сталкивающихся шаров.

Пример 4. Через блок в виде сплошного диска, имеющего массу m= 80г (рис.2), перекинута тонкая гибкая нить, к концам которой подвешены грузы с массами m₁ = 100г и m₂ = 200г. Определить ускорение, с которым будут двигаться грузы, если их предоставить самим себе. Трением и массой нити пренебречь.

Решение: Рассмотрим силы, действующие на каждый груз и на блок в отдельности. На каждый груз действуют две силы: сила тяжести и сила упругости (сила натяжения нити). Направим ось х вертикально вниз и напишем для каждого груза уравнение движения (второй закон Ньютона) в проекциях на эту ось. Для первого груза

; (1)

для второго груза

(2)

Под действием моментов сил и относительно оси z перпендикулярной плоскости чертежа и направленной за чертеж, блок приобретает угловое ускорение e. Согласно основному уравнению динамики вращательного движения,

(3)

где — момент инерции блока (сплошного диска) относительно оси z.

Согласно третьему закону Ньютона, с учетом невесомости нити и . Воспользовавшись этим подставим в уравнение (3) вместо и выражения и _, получив их предварительно из уравнений (1) и (2):

После сокращения на и перегруппировки членов найдем

(4)

Формула (4) позволяет массы m₁, m₂ и m выразить в граммах, как они даны в условии задачи, а ускорение — в единицах СИ. После подстановки числовых значений в формулу (4) получим

Пример 5. Ракета установлена на поверхности Земли для запуска в вертикальном направлении. При какой минимальной скорости u₁, сообщенной ракете при запуске, она удалится от поверхности на расстояние, равное радиусу Земли (R=6,37×10 6 м)? Всеми силами, кроме силы гравитационного взаимодействия ракеты и Земли,пренебречь.

Решение. Со стороны Земли на ракету действует сила тяжести, являющаяся потенциальной силой. При неработающем двигателе под действием потенциальной силы механическая энергия ракеты изменяться не будет. Следовательно,

где Т₁, П₁ и Т₂, П₂ — кинетическая и потенциальная энергии ракеты после выключения двигателя в начальном (у поверхности Земли) и конечном (на расстоянии, равном радиусу Земли) состояниях.

Согласно определению кинетической энергии,

Потенциальная энергия ракеты в начальном состоянии

По мере удаления ракеты от поверхности Земли ее потенциальная энергия возрастает, а кинетическая — убывает. В конечном состоянии кинетическая энергия Т₂ станет равной нулю, а потенциальная — достигнет максимального значения:

Подставляя выражения Т₁, П₁, Т₂ и П₂ в (1), получаем

Заметив, что GM/R 2 =g (g — ускорение свободного падения у поверхности Земли), перепишем эту формулу в виде

что совпадает с выражением для первой космической скорости.

м/с = 7,9 км/с.

Таблица вариантов для задания № 1

101. Тело брошено вертикально вверх с начальной скоростью V₀=4 м/с. Когда оно достигло верхней точки полета из того же начального пункта, с той же началь­ной скоростью V₀ верти­кально вверх брошено второе тело. На каком расстоянии h от начального пункта встретятся тела? Сопротивление воздуха не учитывать.

102. Материальная точка движется прямолинейно с ускорением а=5м/с 2 . Опре­делить, на сколько путь, пройденный точкой в п-ю секунду, будет больше пути, пройденного в предыдущую секунду. Принять V₀= 0.

103. Две автомашины движутся по дорогам, угол между которыми a=60°. Ско­рость автома­шин V₁=54 км/ч и V₂=72км/ч. С какой скоростью V удаля­ются ма­шины одна от другой?

104. Материальная точка движется прямолинейно с начальной скоростью V₀=10 м/с и посто­янным ускоре­нием а=-5м/с 2 . Определить, во сколько раз путьΔs,пройденный материальной точ­кой, будет превышатьмодуль ее перемещения Δr спустя t=4c после начала от­счета времени.

105. Велосипедистехал из одного пункта в другой. Пер­вую треть пути он про­ехал со скоро­стью V₁=18 км/ч. Да­лее половину оставшегося времени он ехал со ско­ростью V₂=22 км/ч, после чего до конечного пункта он шел пеш­ком со скоростью V₃=5км/ч. Определить среднюю ско­рость V велосипедиста.

106. Тело брошено под углом a = 30 о к горизонту со скоростью v_o = 30 м/с. Каковы будут нормальное a_n и тангенциальное a_t ускорения тела через время t = 1 с после начала движения.

107. Материальная точка движется по окружности с постоянной угловой скоростью w = p/6 рад/с. Во сколько раз путь Ds, пройденный точкой за время t = 4 с, будет больше модуля ее перемещения Dr? Принять, что в момент начала отсчета времени радиус-вектор r, задающий положение точки на окружности, относительно исходного положения был повернут на угол j_о = p/3 рад.

108. Материальная точка движется в плоскости ху согласно уравнениям х = А₁ + В₁ t + С₁ t 2 и у = А₂ + В₂ t + С₂ t 2 , где В₁ = 7 м/с, С₁ = — 2 м/с 2 , В₂ = — 1 м/с, С₂ = 0,2 м/с 2 . Найти модули скорости и ускорения точки в момент времени t = 5 с.

109. По краю равномерно вращающейся с угловой скоростью w = 1 рад/с платформы идет человек и обходит платформу за время

t = 9,9 с. Каково наибольшее ускорение а движения человека относительно Земли? Принять радиус платформы R = 2 м.

110.Точка движется по окружности радиусом R = 30 см с постоянным угловым ускорением e. Определить тангенциальное ускорение a_t точки, если известно, что за время t = 4 с она совершила три оборота и в конце третьего оборота ее нормальное ускорение

111. При горизонтальном полете со скоростью V=250 м/с снаряд массой m=8кг разорвался на две части. Большая часть массой m₁=6 кг получила ско­рость U₁=400м/c в направлении полета сна­ряда. Опре­делить модуль и направление скорости U₂ меньшей части снаряда.

112. С тележки, свободно движущейся по горизон­тальному пути со скоростью V₁=3 м/с, в сторону, про­тивоположную движению тележки, прыгает человек, пос­ле чего скорость тележки изменилась и стала равной U₁=4 м/с. Определить горизонтальную составляющую скорости U_2x че­ловека при прыжке относительно тележки. Масса тележки m₁=210кг, масса человека m₂=70 кг.

113. Орудие, жестко закрепленное на железнодорож­ной платформе, производит выстрел вдоль полотна же­лезной дороги под углом a=30° к линии горизонта. Определить скорость U₂ от­ката платформы, если снаряд вылетает со скоростью U₁=480м/c. Масса платформы с орудием и снарядами m₂=18т, масса снаряда m₁=60 кг.

114. Человек массой m₁=70 кг, бегущий со скоростью V₁=9 км/ч, догоняет тележку массой m₂=190кг, движу­щуюся со скоростью V₂=3,6 км/ч, и вскакивает на нее. С какой скоростью станет двигаться тележка с челове­ком? С какой скоростью будет двигаться тележка с чело­веком, если человек до прыжка бежал навстречу те­лежке?

115. Конькобежец, стоя на коньках на льду, бросает камень массой m₁=2,5 кг под углом a=30° к горизонту со скоростью V=10 м/с. Какова будет начальная ско­рость V₀ движения конькобежца, если масса его m₂=60 кг? Перемещением конькобежца во время бро­ска пренебречь.

116. На полу стоит тележка в виде длинной доски, снабженной легкими колесами. На одном конце доски сто­ит человек. Масса его m₁=60 кг, масса доски m₂=20 кг. С какой скоростью (относительно пола) будет двигаться тележка, если человек пойдет вдоль нее со скоростью (относительно доски) V=1 м/с? Массой колес и тре­нием пренебречь.

117. Снаряд, летевший со скоростью V = 400 м/с, в верхней точке траектории разорвался на два осколка. Меньший осколок, масса которого составляет 40% от массы снаряда, полетел в противоположном направлении со скоростью U₁=150 м/с. Определить скорость U₂ боль­шего осколка.

118. Две одинаковые лодки массами m=200кг каж­дая (вместе с человеком и грузами, находящимися в лодках) движутся параллельными курсами навстречу друг другу с одинаковыми скоростями V=1 м/с. Когда лодки поравнялись, то с первой лодки на вторую и со второй на первую одновременно перебрасывают грузы массами m₁=200 кг. Определить скорости U₁ и U₂ лодок после перебрасывания грузов.

119. На сколько переместится относительно берега лодка длиной l=3,5м и массой m₁=200 кг, если стоящий на корме человек массой m₂=80 кг переместится на нос лодки? Считать лодку расположенной перпендику­лярно берегу.

120. Лодка длиной 1=3 м и массой т=120 кг стоит на спокойной воде. На носу и корме находятся два рыбака массами т₁=60 кг и т₂=90 кг. На сколько сдвинется лодка относительно воды, если рыбаки поме­няются местами?

121. В деревянный шар массой т₁=8 кг, подвешен­ный на нити длиной l=1,8 м, попадает горизонтально летящая пуля массой т₂= 4 г. С какой скоростью ле­тела пуля, если нить с шаром и застрявшей в нем пулей отклонилась от вертикали на угол a=3°? Размером шара пренебречь. Удар пули считать прямым, централь­ным.

122. По небольшому куску мягкого железа, лежащему на наковальне массой т₁=300 кг, ударяет молот массой т₂ = 8 кг. Определить КПД h удара, если удар неупру­гий. Полезной считать энергию, затраченную на дефор­мацию куска железа.

123. Шар массой m₁=1 кг движется со скоростью V₁= 4 м/с и сталкивается с шаром массой т₂=2 кг, движущимся навстречу ему со скоростью V₂=3 м/с. Ка­ковы скорости и₁ и u₂ шаров после удара? Удар считать абсолютно упругим, прямым, центральным.

124. Шар массой т₁=3 кг движется со скоростью V₁=2 м/с и сталкивается с покоящимся шаром массой т₂ = 5 кг. Какая работа будет совершена при деформа­ции шаров? Удар считать абсолютно неупругим, прямым, центральным.

125. Определить КПДh неупругого удара бойка мас­сой т₁=0,5 т, падающего на сваю массой т₂=120 кг. Полезной считать энергию, затраченную на вбивание сваи.

126. Шар массой т₁=4 кг движется со скоростью V₁= 5 м/с и сталкивается с шаром массой m₂ =6 кг, который движется ему навстречу со скоростью V₂= 2 м/с. Определить скорости u₁ и u₂ шаров после удара. Удар считать абсолютно упругим, прямым, цент­ральным.

127. Из ствола автоматического пистолета вылетела пуля массой m₁ = 10 г со скоростью V = 300 м/с. Затвор пистолета массой m₂ = 200 г прижимается к стволу пру­жиной, жесткость которой k=25 кН/м.На какое рас­стояние отойдет затвор послевыстрела? Считать, что пистолет жестко закреплен.

128. Шар массой т₁ = 5 кг движется со скоростью V₁ = 1 м/с и сталкивается с покоящимся шаром массой т₂ = 2 кг. Определить скорости u₁ и u₂ шаров после удара. Удар считать абсолютно упругим, прямым, цент­ральным.

129. Из орудия, не имеющего противооткатного уст­ройства, производилась стрельба в горизонтальном на­правлении. Когда орудие было неподвижно закреплено, снаряд вылетел со скоростью V₁ = 600 м/с, а когда ору­дию дали возможность свободно откатываться назад, снаряд вылетел со скоростью V₂ = 580 м/с. С какой ско­ростью откатилось при этом орудие?

130. Шар массой т₁ = 2 кг сталкивается с покоя­щимся шаром большей массы и при этом теряет 40% ки­нетической энергии. Определить массу т₂ большего шара. Удар считать абсолютно упругим, прямым, цент­ральным.

131. Определить работу растяжения двух соединен­ных последовательно пружин жесткостями k₁ = 400 Н/м и k₂ = 250 Н/м, если первая пружина при этом растя­нулась на Dl = 2 см.

132. Из шахты глубиной h = 600 м поднимают клеть массой т₁ = 3,0 т на канате, каждый метр которого име­ет массу m = 1,5 кг. Какая работа A совершается при поднятии клети на поверхность Земли? Каков коэффи­циент полезного действия h подъемного устройства?

133. Пружина жесткостью k = 500 Н/м сжата силой F = 100 H. Определить работу A внешней силы, допол­нительно сжимающей пружину еще на Dl = 2 см.

134. Две пружины жесткостью k₁ = 0,5 кН/м и k₂ = 1 кН/м скреплены параллельно. Определить потен­циальную энергию П данной системы при абсолютной деформации Dl = 4 см.

135. Какую нужно совершить работу A, чтобы пру­жину жесткостью k = 800 Н/м, сжатую на х= 6 см, до­полнительно сжать на Dx = 8 см?

136. Если на верхний конец вертикально расположен­ной спиральной пружины положить груз, то пружина сожмется на Dl = 3 мм. На сколько сожмет пружину тот же груз, упавший на конец пружины с высоты h = 8 см?

137. Из пружинного пистолета с пружиной жестко­стью k = 150 Н/м был произведен выстрел пулей массой m = 8 г. Определить скорость V пули при вылете ее из пистолета, если пружина была сжата на Dx = 4 см.

138. Налетев на пружинный буфер, вагон массой m = 16 т, двигавшийся со скоростью V = 0,6м/с, оста­новился, сжав пружину на Dl = 8 см. Найти общую жест­кость k пружин буфера.

139. Цепь длиной l == 2 м лежит на столе, одним кон­цом свисая со стола. Если длина свешивающейся части превышает ‘/зl, то цепь соскальзывает со стола. Опре­делить скорость V цепи в момент ее отрыва от стола.

140. Какая работа А должна быть совершена при поднятии с земли материалов для постройки цилиндри­ческой дымоходной трубы высотой h = 40 м, наружным диаметром D = 3,0 м и внутренним диаметром d = 2,0 м? Плотность материала r принять равной 2,8×10 3 кг/м 3 .

141.Определить напряженность G гравитационного поля на высоте h = 1000 км над поверхностью Земли. Считать известными ускорение g свободного падения у поверхности Земли и ее радиус R.

142. Какая работа А будет совершена силами гравитационного поля при падении на Землю тела массой m = 2 кг:

1) с высоты h = 1000 км; 2) из бесконечности?

143. Из бесконечности на поверхность Земли падает метеорит массой m = 30 кг. Определить работу А, которая при этом будет совершена силами гравитационного поля Земли. Ускорение свободного падения g у поверхности Земли и ее радиус R считать известными.

144.С поверхности Земли вертикально вверх пущена ракета со скоростью v=5 км/с. На какую высоту она поднимется?

145.По круговой орбите вокруг Земли обращается спутник с периодом Т = 90 мин. Определить высоту спутника. Ускорение свободного падения g у поверхности Земли и ее радиус R считать известными.

146.На каком расстоянии от центра Земли находится точка, в которой напряженность суммарного гравитационного поля Земли и Луны равна нулю? Принять, что масса Земли в 81 раз больше массы Луны и что расстояние от центра Земли до центра Луны равно 60 радиусам Земли.

147.Спутник обращается вокруг Земли по круговой орбите на высоте h=520 км. Определить период обращения спутника. Ускорение свободного падения g у поверхности Земли и ее радиус R считать известными.

148. Определить линейную и угловую скорости спутника Земли, обращающегося по круговой орбите на высоте h =1000 км. Ускорение свободного падения g у поверхности Земли и ее радиус R считать известными.

149.Какова масса Земли, если известно, что Луна в течение года совершает 13 обращений вокруг Земли и расстояние от Земли до Луны равно 3,84×10 8 м.

150.Во сколько раз средняя плотность земного вещества отличается от средней плотности лунного? Принять, что радиус R_з Земли в 390 раз больше радиуса R_л Луны и вес тела на Луне в 6 раз меньше веса тела на Земле.

Дата добавления: 2014-10-31 ; просмотров: 63 ; Нарушение авторских прав

Примеры решения задач. Пример 1. Уравнение движения материальной точки вдоль оси имеет вид х = А+В+Сt

Пример 1. Уравнение движения материальной точки вдоль оси имеет вид х = А+В+Сt . Найти координату х, скорость υ и ускорение а точки в момент времени t = 2 с.

Решение. Координату х найдем, подставив в уравнение движения числовые значения коэффициентов А, В и С и времени t:

Мгновенная скорость есть первая производная от координаты по времени:

Ускорение точки найдем, взяв первую производную от скорости по времени:

В момент времени t=2 c:

Пример 2. Тело вращается вокруг неподвижной оси по закону φ=А+Bt+Ct 2 , где A=10 рад, B=20 рад/с, C=-2 рад/c 2 .Найти полное ускорение точки, находящейся на расстоянии r=0,1 м от оси вращения, для момента времени t=4 c.

Решение. Полное ускорение в точки, движущейся по кривой линии, может быть найдено как геометрическая сумма тангенциального ускорения а_τ направленного по касательной к траектории, и нормального ускорения а_π, направленного к центру кривизны траектории (рис. 1):

Так как векторы а_τ и а_π взаимно перпендикулярны, то модуль ускорения:

(1)

Тангенциальное и нормальное ускорения точки вращающегося тела выражаются формулами:

(2)

где ω – угловая скорость тела; ε – его угловое ускорение.

Подставляя выражения а_τ и а_π в формулу (1), находим:

(2)

Угловую скорость ω найдем, взяв первую производную угла поворота по времени:

В момент времени t=4 с угловая скорость

ω=[20+2(-2)4]рад/с =4 рад/с.

ε=dω/dt=2C=-4 .

Подставляя значения ω, ε и r формулу (2), получаем:

.

Пример 3. При выстреле из пружинного пистолета вертикально вверх пуля массой m=20 г. Поднялась на высоту h=5 м. Определить жесткость k пружины пистолета, если она была сжата на х=10 см. Массой пружины пренебречь.

Решение. Система пуля – Земля (вместе с пистолетом) является замкнутой системой, в которой действуют консервативные силы – силы упругости и силы тяготения. Поэтому для решения задачи можно применить закон сохранения энергии в механике. Согласно ему полная механическая энергия системы в начальном состоянии (в данном случае перед выстрелом) равна полной энергии в конечном состоянии (когда пуля поднялась на высоту h), т.е.

или (1)

где — кинетические и потенциальные энергии системы в начальном и конечном состояниях.

Так как кинетические энергии пули в начальном и конечном состояниях равны нулю, то (1) примет вид

.

Если потенциальную энергию в поле сил тяготения Земли на ее поверхности принять равной нулю, то энергия системы в начальном состоянии будет равна потенциальной энергии сжатой пружины, т.е. а в конечном состоянии – потенциальной энергии пули на высоте h, т.е.

. (2)

Подставив выражения в формулу (2), найдем , откуда

. (3)

Проверим, дает ли полученная формула единицу жесткости k. Для этого в правую часть формулы (3) вместо величин, подставим их единицы:

.

Убедившись, что полученная единица является единицей жесткости (1 Н/м), подставим в формулу (3) значения величин и произведем вычисления:

.

Пример 4. Шар массой m₁ , движущийся горизонтально с некоторой скоростью υ₁, столкнулся с неподвижным шаром массой m₂. Шары абсолютно упругие, удар прямой, центральный. Какую долю ε своей кинетической энергии первый шар передал второму?

Решение. Доля энергии, переданной первым шаром второму, выразится соотношением

, (1)

где T₁— кинетическая энергия первого шара до удара; u₂ и T₂ — скорость кинетическая энергия второго шара после удара.

Как видно из формулы (1), для определения ε надо найти u₂ . При ударе абсолютно упругих тел одновременно выполняются законы сохранения импульса и механической энергии. Пользуясь этими законами, найдем:

(2)

(3)

Решим совместно уравнения (2) и (3):

Подставим это выражение в формулу (1) и сократив на и , получим

Из найденного соотношения видно, что доля переданной энергии зависит только от масс сталкивающихся шаров. Доля передаваемой энергии не изменится, если шары поменять местами.

Пример 5. Через блок в виде сплошного диска, имеющего массу т=80 г (рис. 2), перекинута тонкая гибкая нить, к концам которой подвешены грузы с массами г и г. Определить ускорение, с которым будут двигаться грузы, если их предоставить самим себе? Трением и массой нити пренебречь.

Решение. Воспользуемся основными уравнениями динамики поступательного и вращательного движений. Для этого рассмотрим силы, действующие на каждый груз в отдельности и на блок. На первый груз действуют две силы: сила тяжести и сила упругости (сила натяжения нити) . Спроецируем эти силы на ось Х,

которую направим вертикально вниз, и напишем уравнение движения (второй закон Ньютона):

.

Уравнение движения для второго груза:

.

Под действием двух моментов сил T₁r и T₂r относительно оси, перпендикулярной плоскости чертежа, блок приобретает угловое ускорение ε. Согласно основному уравнению динамики вращательного движения

(3)

где ε = а/r, — момент инерции блока (сплошного диска) относительно оси Z.

Согласно третьему закону Ньютона , . Воспользовавшись этими, подставим в уравнение (3) вместо и выражения и , получив их предварительно из уравнений (1) и (2):

.

После сокращения на r и перегруппировки членов найдем

. (4)

Отношение масс в правой части формулы (4) есть величина безразмерная. Поэтому массы и т можно выразить в граммах, как они даны в условии задачи. Ускорение g надо выразить в единицах СИ. После подстановки получим

.

Пример 6. Маховик в виде сплошного диска радиусом R=0,2 м и массой m=50 кг раскручен до частоты n₁=480 мин -1 и предоставлен сам себе. Под действием сил трения маховик остановился через t=50 c. Найти момент М сил трения.

Решение. Для решения задачи воспользуемся основным уравнением динамики вращательного движения в виде

, (1)

где — изменение момента импульса маховика, вращающегося относительно оси Z, совпадающей с геометрической осью маховика, за интервал времени dt; M_z— момент внешних сил (в данном случае момент сил трения), действующих на маховик относительно той же оси.

Момент сил трения можно считать не изменяющимся с течением времени (M_z=const)поэтому интегрирование уравнения (1) приводит к выражению

. (2)

При вращении твердого тела относительно неподвижной оси изменение момента импульса

. (3)

где — момент инерции маховика относительно оси Z; — изменение угловой скорости маховика.

Приравняв правые части равенств (2) и (3), получим , откуда

. (4)

Момент инерции маховика в виде сплошного диска определяется по формуле .

Изменение угловой скорости выразим через конечную и начальную частоты вращения, пользуясь соотношением :

.

Подставив в формулу (4) выражения и , получим

. (5)

Проверим, дает ли расчетная формула единицу момента силы. Для этого в правую часть формулы вместо символов величин подставим их единицы:

.

Найденная единица (1 Н . м) является единицей момента силы.

Подставим в (5) числовые значения величин и произведем вычисления, учитывая, что мин -1 = 480/60 с -1 = 8 с -1 :

.

Знак “минус” показывает, что силы трения оказывают на маховик тормозящее действие.

Пример 7.Точка совершает гармонические колебания с частотой v=10 Гц. В момент, принятый за начальный, точка имела максимальное смещение: х_max =1 мм. Написать уравнение колебаний точки и начертить их график.

Решение. Уравнение колебаний точки можно записать в виде

, (1)

, (2)

где А – амплитуда колебаний; ω – циклическая частота; t – время; и — начальные фазы, соответствующие формы записи (1) или (2).

По определению, амплитуда колебаний

Циклическая частота ω связана с частотой ν соотношением

Начальная фаза колебаний зависит от формы записи. В момент времени t=0 формула (1) принимает вид

х_max=Аsin ,

откуда начальная фаза

,

(k=0,1,2,…).

Изменение фазы на 2π не изменяет состояние колебательного движения, поэтому можно принять

= π/2. (5)

При использовании формулы (2) для записи уравнения колебаний получаем

,

=2πk (k=0,1,2,3,…).

=0. (6)

С учетом равенств (3) – (6) уравнения колебаний примут вид

,

,

где А=1 мм=10 -3 м; ν=10 Гц; = π/2.

График соответствующего колебания приведен на рис. 3.

Пример 8. Частица массой т=0,01 кг совершает гармоническое колебания с периодом Т=2 с. Полная энергия колеблющейся частицы Е=0,1 мДж. Определить амплитуду А колебаний и наибольшее значение силы F_max, действующей на частицу.

Решение. Для определения амплитуды колебаний воспользуемся выражением полной энергии частицы:

,

где ω=2π/Т. Отсюда амплитуда

. (1)

Так как частица совершает гармонические колебания, то сила, действующая на нее, является квазиупругой и, следовательно, может быть выражена соотношением F=-kx, где k – коэффициент квазиупругой силы; х – смещение колеблющейся точки. Максимальной сила будет при максимальном смещении х_max, равном амплитуде:

Коэффициент k выразим через период колебаний:

. (3)

Подставив выражения k и A в (2) и произведя упрощения, получим

F_max= .

;

F_max= .

Пример 9. Определить число N молекул, содержащихся в объеме V=1 мм 3 воды, и массу m₁ молекулы воды. Считая условно, что молекулы воды имеют вид шариков, соприкасающихся друг с другом, найти диаметр d молекул.

Решение. Число N молекул, содержащихся в некоторой системе массой т, равно произведению постоянной Авогадро N_А на количество вещества ν:

Так как ν=m/M, где M – молярная масса, то N=(m/M)N_A. Выразим в этой формуле массу как произведение плотности на объем V, получим

Произведем вычисления, учитывая, что М=18·10 -3 кг/моль (см. прил., табл. 14):

молекул=3,34·10 19 молекул.

Массу т₁ одной молекулы можно найти по формуле

Подставив в (2) значения М и N_A, найдем массу молекулы воды:

кг=2,99·10 -26 кг.

Если молекулы воды плотно прилегают друг к другу, то можно считать, что на каждую молекулу приходится объем (кубическая ячейка) V₁=d 3 , где d – диаметр молекулы. Отсюда

. (3)

Объем V₁ найдем, разделив молярный объем V_m на число молекул в моле, т.е. на N_A:

Подставим выражение (4) в (3):

,

; (5)

Проверим, дает ли правая часть выражения (5) единицу длины:

Пример 10. В баллоне объемом V=10 л находится гелий под давлением p₁=1 МПа и при температуре Т₁=300 К. После того как из баллона было взято m=10 г гелия, температура в баллоне понизилось до Т₂=290 К. Определить давление p₂ гелия, оставшегося в баллоне.

Решение. Для решения задачи воспользуемся уравнением Менделеева — Клапейрона, применив его к конечному состоянию газа:

где т₂ – масса гелия в баллоне в конечном состоянии; М – молярная масса гелия; R – молярная газовая постоянная.

Из уравнения (1) выразим искомое давление:

Массу т₂ гелия выразим через массу т₁, соответствующую начальному состоянию, и массу т гелия, взятого из баллона:

Массу т₁ гелия найдем также из уравнения Менделеева — Клапейрона, применив его к начальному состоянию:

Подставив выражение массы т₁ в (3), а затем выражение т₂ в (2), найдем

(5)

Проверим, дает ли формула (5) единицу давления. Для этого в ее правую часть вместо символов величин подставим их единицы. В правой части формулы два слагаемых. Очевидно, что первое из них дает единицу давления, так как состоит из двух множителей, первый из которых (Т₂/Т₁) – безразмерный, а второй – давление. Проверим второе слагаемое:

Паскаль является единицей давления. Произведем вычисления по формуле (5), учитывая, что М=4·10 -3 кг/моль (см. прил., табл. 14):

Пример 11. Баллон содержит m₁=80 г кислорода и m₂=320 г аргона. Давление смеси р=1 МПа, температура Т=300 К. Принимая данные газы за идеальные, определить объем V баллона.

Решение. По закону дальтона давление смеси равно сумме парциальных давлений газов, входящих в состав смеси.

По уравнению Менделеева – Клапейрона парциальные давления р₁ кислорода и р₂ аргона выражаются формулами:

Следовательно, по закону Дальтона давление смеси газов

р=р₁+р₂, или

откуда объем баллона

Произведем вычисления, учитывая, что М₁=32·10 -3 кг/моль, М₂=40·10 -3 кг/моль (см. прил., табл. 14):

Пример 12. Найти среднюю кинетическую энергию вращательного движения одной молекулы кислорода при температуре Т=350 К, а также кинетическую энергию Е_к вращательного движения всех молекул кислорода массой m=4 г.

Решение. На каждую степень свободы молекулы газа приходится одинаковая средняя энергия =1/2kT, где k – постоянная Больцмана; Т – термодинамическая температура газа. Так как вращательному движению двухатомной молекулы (молекула кислорода – двухатомная) соответствуют две степени свободы, то средняя энергия вращательного движения молекулы кислорода

Кинетическая энергия вращательного движения всех молекул газа

Число всех молекул газа

где N_A – постоянная Авогадро; ν – количество вещества.

Если учесть, что количество вещества ν=т/М, где т – масса газа; М – молярная масса газа, то формула (3) примет вид

Подставим в выражение N в формулу (2), получаем

Произведем вычисления, учитывая, что для кислорода М=32×10 -3 кг/моль (см. прил., табл. 14):

=kT=1,38·10 -23 ·350 Дж=4,83·10 -21 Дж;

Пример 13. Вычислить удельные теплоемкости при постоянном объеме с_ν и при постоянном давлении с_р неона и водорода, принимая эти газы за идеальные.

Решение. Удельные теплоемкости идеальных газов выражаются формулами:

(1) (2)

где i – число степеней свободы молекулы газа; М – молярная масса. Для неона (одноатомный газ) i=3 и М=20·10 -3 кг/моль (см. прил., табл. 14).

Для водорода (двухатомный газ) i=5 и М=2·10 -3 кг/моль. Тогда

Пример 14. Кислород массой m=2 кг занимает объем V₁=1 м 3 и находится под давлением р₁=0,2 МПа. Газ был нагрет сначала при постоянном давлении до объема V₂=3 м 3 , а затем при постоянном объеме до давления р₃=0,5 МПа. Найти изменение ∆U внутренней энергии газа, совершенную им работу А и теплоту Q, переданную газу. Построить график процесса.

Решение. Изменение внутренней энергии газа

(1)

где i – число степеней свободы молекул газа (для двухатомных молекул кислорода i=5), ∆Т=Т₃-Т₁ разность температур газа в конечном (третьем) и начальном состояниях.

Начальную и конечную температуру газа найдем из уравнения Менделеева-Клапейрона pV=(m/M)RT, откуда

Работа расширения газа при постоянном давлении выражается формулой

Работа газа, нагреваемого при постоянном объеме, равна нулю, т.е.

Следовательно, полная работа, совершаемая газом,

Согласно первому началу термодинамики теплота Q, переданная газу, равна сумме изменения внутренней энергии ∆U и работы А:

Произведем вычисления, учтя, что для кислорода М=32·10 -3 кг/моль (см. прил., табл. 14):

График процесса приведен на рис. 4.

Пример 15. В цилиндре под поршнем находится водород массой m=0,02 кг при температуре Т₁=300 К. Водород сначала расширялся адиабатно, увеличив свой объем в п₁=5 раз, а затем был сжат изотермически, причем объем газа уменьшился в п₂=5 раз. Найти температуру в конце абиабатного расширения и работу, совершенную газом при этих процессах. Изобразить процесс графически.

Решение. Температуры и объемы газа, совершающего адиабатный процесс, связаны между собой соотношением

, или ,

где γ – отношение теплоемкостей газа при постоянном давлении и постоянном объеме, n₁=V₂/V₁.

Отсюда получаем следующее выражение для конечной температуры:

Работа А₁ газа при адиабатном расширении может быть определена по формуле

где С_V – молярная теплоемкость газа при постоянном объеме. Работа А₂ газа при изотермическом процессе может быть выражена в виде

, или ,

Произведем вычисления, учтя, что для водорода как двухатомного газа γ=1,4, i=5 и М=2·10 -3 кг/моль:

Так как 5 0,4 =1,91 (находится логарифмированием), то

Знак «минус» показывает, что при сжатии работа газа совершается над газом внешними силами. График процесса приведен на рисунке 5.

Пример 16. Тепловая машина работает по обратимому циклу Карно. Температура теплоотдатчика Т₁=500 К. определить термический к.п.д. η цикла и температуру Т₂ теплоприемника тепловой машины, если за счет каждого килоджоуля теплоты, полученной от теплоотдатчика, машина совершает работу А=350 Дж.

Решение. Термический КПД. тепловой машины показывает, какая доля теплоты, полученной от теплоотдатчика, превращается в механическую работу. Термический КПД. выражается формулой

где Q₁ – теплота, полученная от теплоотдатчика; А – работа, совершенная рабочим телом тепловой машины.

Зная к.п.д. цикла, можно по формуле η=(Т₁-Т₂)/Т₁ определить температуру охладителя Т₂: