Уравнение движения маятника без трения

Нелинейный маятник. 1 Безразмерное уравнение движения физического маятника с вязким трением.

Александра Гаевская 5 лет назад Просмотров:

1 Нелинейный маятник. 1 Безразмерное уравнение движения физического маятника с вязким трением. Уравнение движения физического маятника с учётом вязкого трения: I φ + b φ + mga sin(φ) =, (1) где I момент инерции, b коэффициент момента сил вязкого трения, m масса маятника, g- ускорение свободного падения, a расстоянии от точки подвеса до центра масс. Введя частоту ω, перепишем уравнение (1) в виде: φ + b I mga φ + sin(φ) = I ω ω = mga I φ + b I φ + ω sin(φ) = () И приведём полученное уравнение () к безразмерному виду, удобному для анализа: φ + b ω I φ + sin(φ) = ω τ = ω t, d ω dt = d b, β = dτ ω I φ + βφ + sin(φ) = (3) В уравнении (3) производные берутся по безразмерному времени τ = ω t. При этом максимальное значение амплитуды безразмерной скорости φ соответствующей колебательному движению маятника без затухания составляет: φ max =. Отличие решений уравнения (3) от решения нелинейного маятника без затухания определяется только значением безразмерного параметра β, который в дальнейшем предполагается малым: 2 Фазовая диаграмма нелинейного маятника с затуханием. С помощью численного решения уравнения (3) можно определить фазовый портрет нелинейного маятника для заданных начальных условий и параметра затухания β. На рисунке 1 приведён пример фазового портрет для β =.1 и с начальной безразмерной скоростью φ =. На рисунке также показаны красным цветом сепаратрисы нелинейного маятника без затухания ограничивающие область колебательных решений. Рис. 1: Пример фазового портрета для нелинейного маятника с затуханием вычисленный с помощью численного интегрирования уравнения движения (3)

3 3 Закон сохранения энергии для нелинейного маятника с затуханием Интегрирование уравнения (3) по углу отклонения: φ dφ+βφ dφ+sin(φ)dφ = φ dφ +β φ dφ+ sin(φ)dφ = Const φ cos(φ) = β φ dφ + Const (5) Постоянную интегрирования найдём из начальных условий. В начальный момент времени (τ = ) будем считать, что маятник проходит положение равновесия (φ = ), и имеет скорость φ, тогда: Const = φ 1 (6) В момент первого максимального отклонения маятника: cos( ) = β φ dφ + φ 1 β φ dφ = φ + cos() 1 ( β φ dφ = φ ) sin (7) При возвращении к положению равновесия угловая скорость маятника φ 1 из-за трения станет меньше чем начальная φ : 1 1 = φ 1 β φ φ 1 = φ β φ dφ β φ dφ β φ dφ φ dφ В выражения (7) и (8) входят интегралы учитывающие потери энергии на трение. Потери механической энергии связаны с работой сил трения. (8) 4 Связь амплитуды колебаний и угловых скоростей в положении равновесия. Для оценки значения интегралов в уравнении (8) используем следующее приближение которое, обосновывается на рисунке. 3

4 Рис. : Участок траектории маятника на фазовой плоскости Интегралы, входящие в (8) равны площадям заштрихованных на рисунке областей. Примем следующее приблизительное правило: φ dφ A φ (9) φ dφ A φ 1 которое означает, что отношение площади верхней заштрихованной области к площади прямоугольника со сторонами φ и такое же как и отношение нижней заштрихованной области к площади прямоугольника со сторонами φ 1 и. Знак во втором уравнении введён для учёта отрицательного значения скорости φ 1 (заметим, что оба интеграла положительны). Это приблизительное равенство тем лучше будет выполняться, чем меньше параметр безразмерного затухания. Тогда уравнение 4

5 (8) преобразуется: φ 1 А уравнение (7) приводится к виду: ( βa φ = φ sin φ + φ 1φ = φ 4 sin ( или = φ βa(φ φ 1) (1) φ + φ 1 = βa ) ( βa φ = φ 4 sin ) φ 1 φ = 4 sin ( ( sin ) = φ 1φ 4 ) ) (11a) Здесь знак — в правой части учитывает то, что скорости φ и φ 1 всегда должные иметь разные знаки. Другой способ оценки интегралов (9) состоит в том, что угловая скорость φ в подынтегральном выражении выводится через формулы (5) и (6) но с параметром затухания β =. (Метод последовательных приближений.) Как показано в приложении 8.1, это приводит к следующему соотношению между амплитудой и скоростями: sin ( Среднее между (11a) и (11б): ) φ = + φ 1 8 (11б) sin ( ) = (φ φ 1) 16 (11в) Фактически, (11б) это средний квадрат синуса половинного угла амплитуды, (11в) квадрат среднего синуса половинного угла амплитуды, а (11a) это среднее геометрическое. (Имеется в виду усреднение по двум значениям sin( /) получаемым из модели без учёта трения, β =, для скоростей φ и φ 1.) Отметим, что эти выражения позволяют вычислять амплитуду колебания без явного знания значения параметра затухания. Но информация об этом параметре связана с различием угловых скоростей φ и φ 1. На рисунке 3 показаны графики относительной ошибки выражений (11a), (11б) и (11в) для β =.1 в зависимости от амплитуды, полученные на основе численного решения. Видно, что выражение (11в) является 5

6 Рис. 3: Относительная точность формул (11a), (11б) и (11в) наиболее точным для оценки амплитуды колебаний, относительная погрешность не превышает величины.%. Для значений β 7 Если полностью пренебречь затуханием, тогда из (5), (6) и (7): π 1 + dφ = φ ( ( sin ) ) + 9 ( π 1 + ( 4 ) ( 4 ( sin dφ sin ( ) ( sin φ ) = K ( ( sin ) ) ) ) ( ( sin ( ) ) ) ) (13) Через K() обозначена специальная математическая функция — полный эллиптический интеграл первого рода. При переходе от безразмерных величин обратно к размерным получим следующее выражение для периода нелинейных колебаний: T = τ ( sin( 1 τ 1 τ 1 = = T ω π/t π = T )) π ( ) 11 ( ) ) (14) 4 T ( Здесь T период линейных колебаний маятника. В приложении 8.3 показан способ численного вычисления полного эллиптического интеграла K(x ), который используется для теоретического определения значения периода при заданной амплитуде колебаний. 6 Определение периода линейных колебаний. Измерение периода линейных колебаний маятника можно проводить двумя разными способами. В первом случае проводится прямое измерение периода малых колебаний маятника, когда влияние нелинейности пренебрежимо мало. Во втором случае проводится измерение угловой скорости маятника при прохождении через положение равновесия, при движении из начального состояния с углом отклонения равным 18 градусов и нулевой начальной скоростью. Период определяется косвенно через измеренную скорость. Недостаток первого метода состоит в том, что энергия малых колебаний очень мала и поэтому оказывается существенным влияние сил трения разной природы (сухое трение, флуктуации вязкого трения о воздух связанные с потоками воздуха через спицы маятника). Во втором случае энергия маятника значительно больше, хотя потери на 7

8 трения всё равно не равны нулю. Рассмотрим второй метод более подробно. При отсутствии трения закон сохранения энергии связывает угловую скорость ω x и максимальную амплитуду качаний маятника, которая равна 18 градусам: Iωx = mga Обозначения такие же как и в уравнении (1). Выразим отсюда угловую скорость ω x через угловую частоту линейных колебаний маятника ω : mga ω x = I = ω (15) Таким образом, измеряемая угловая скорость получается в два раза больше чем угловая частота линейных колебаний. Период линейных колебаний: T = π = 4π (16) ω ω x Уравнение (16) справедливо при отсутствии трения, в случае вязкого трения можно оценить его вклад в качестве поправки. В приложении 8. выведено выражение (5) в котором учтено влияние трения в рамках первого приближения. Именно это выражение используется в работе при обработке предварительных измерений. 7 Измерения скорости и полупериода колебаний с помощью оптоэлектронного датчика. Оптоэлектронный датчик располагается так, что спица маятника пересекает луч оптопары тогда, когда маятник проходит через положение равновесия маятника. Спица маятника имеет в месте прохождения луча угловую ширину Δφ; моменты пересечения спицей луча происходят так, как показано на рисунке. Здесь отмечены моменты нарушения T 1 i и восстановления T i оптического тракта оптопары (i = 1,, 3..). Зная угловой размер спицы маятника и учитывая, что этот размер достаточно мал (Δφ.47.), можно определять угловую скорость маятника в моменты прохождения положения равновесия: φ i = Δφ, Δt i (17) Δt i = T i T 1 i 8

9 Рис. 4: Зависимость угла поворота маятника от времени синяя кривая. Красные кривые положение граней спицы маятника. Также показаны моменты времени, регистрируемые с помощью оптопары Полупериод колебания: T 1,i = T i + T 1 i T i 1 + T 1 i 1 (18) Эти выражения используются для определения измеряемых в опытах величин: угловой скорости и полупериода колебаний. Период колебаний определяется как сумма двух последовательных полупериодов. Соответствующая этому периоду амплитуда как среднее арифметическое от амплитуд (формула (11в) ) двух последовательных качаний маятника. Если вместо углового размера Δφ в формуле (17) использовать эффективный угловой размер Δφ n : Δφ n = Δφ ω (19) то угловая скорость будет определяться в безразмерных единицах. В опытах с качанием маятника с начальной амплитудой в 18 градусов угловая скорость в положении равновесия согласно уравнению (15): 9

10 ω x = ω, с другой стороны из (17) и (18) получаем следующее выражение для эффективного углового размера спицы Δφ n : ω x = Δφ Δt = ω Δt = Δφ ω Δφ n = Δt () Формула () выполняется точно, если трение отсутствует, при наличии слабого вязкого трения можно сделать поправку первого приближения. В приложении 8. показан вывод с учётом этой поправки выражение (6). 1

11 8 Приложение. 8.1 Учёт вязкого сопротивления при движении маятника. Исходные выражения для связи скорости и угла: φ cos(φ) = β φ dφ + Const cos( ) = Const φ = cos(φ) cos(φ x) β φ dφ φ = 4(sin( ) sin( φ ) ) β φ dφ Обозначим через φ _ скорость маятника без трения (нулевое приближение), и через φ _1 скорость маятника с учётом трения в первом приближении:. φ _ = sin( ) sin( φ ) 1. φ _1 = 4(sin( ) sin( φ ) ) β φ _dφ Далее, для учёта трения, преобразуем интеграл скорости по углу, с учётом нулевого приближения скорости: sin ( ) sin ( φ ) dφ ( ) = sin 1 sin( φ ) dφ (1) sin( ) Максимальный угол отклонения обозначен через. Применим замену переменной: sin( φ ) = sin(θ), dφ = sin( sin( ) 1 sin(θ) dθ ) 1 sin( ) sin(θ) И дальнейшие преобразования интеграла (1) принимают вид: sin( ) sin( π/ ) π/ π/ 1 sin(θ) sin( φ x 1 sin(θ) ) 1 sin( ) sin(θ) dθ = 1 sin(θ) π/ 1 sin( ) sin(θ) dθ = 1 sin( 1 sin( ) sin(θ) dθ+(sin( ) 1) π/ ) sin(θ) + sin( ) 1 1 sin( dθ = ) sin(θ) dθ 1 sin( ) sin(θ) = E( π sin( ) ) + (sin( ) 1) F ( π sin( ) ) Здесь выделены известные специальные математические функции: F ( π sin( ) ) = K(sin( ) ) = π/ dθ — полный эллиптический интеграл первого 1 sin( ) sin(θ) рода 11

12 E( π sin( ) ) = E(sin( ) ) = π/ 1 sin( ) sin(θ) dθ- полный эллиптический интеграл второго рода Существует относительно простой способ численного вычисления этих функций, не требующий явного вычисления интегралов. Используя полученное выражение для интеграла (1) можно записать в первом приближении скорость маятника φ — до и φ 1 — после текущего максимального отклонения: φ = 4 sin( ) + 8β (E(sin( ) ) + (sin( ) 1) K(sin( ) )) φ 1 = 4 sin( ) 8β (E(sin( ) ) + (sin( ) 1) K(sin( ) )) Сумма квадратов скоростей в этом приближении не зависит от параметра затухания: sin( ) = φ + φ 1 () 8 А из разности квадратов скоростей получается оценочное выражение для параметра вязкого трения: φ φ 1 = 16β (E(sin( ) ) + (sin( ) 1) K(sin( ) )) β = φ φ 1 16 (E(sin( ) ) + (sin( ) 1) K(sin( ) )) (3) 8. Полный оборот маятника. Отдельно можно рассмотреть случай, когда максимальная амплитуда отклонения маятника составляет 18 градусов. Тогда интеграл (1) момента трения упрощается и в первом приближении скорость маятника: φ _1 = 4(1 sin( φ ) ) 4β φ π 1 sin( φ ) dφ = 4(1 sin( φ ) ) 8β sin( φ ) 8β = 4(1 sin( φ ))(1+sin(φ )) 8β(1+sin(φ )) = 4(1+sin(φ ))(1 β sin(φ )) А скорость при прохождении положения равновесия: φ 1 = 4 8β cos( φ π )d(φ ) = 4(1 β) (4) — при проходе от амплитуды в 18 градусов до первого пересечения положения равновесия. 1

13 Это выражение можно использовать для определения периода линейной системы: φ = dφ dτ Δφ ω Δt = (1 β) ω = Δφ Δt (1 β) T = 4π Δt (1 β) Δφ (5) А также определения эффективного углового размера спицы: Δφ ω Δt = Δφ n Δt = (1 β) Δφ n = Δφ ω = Δt (1 β) (6) Эффективный угловой размер спицы Δφ n позволяет определять измеряемую угловую скорость сразу в безразмерном виде, а это очень удобно для использования уравнения (11в) для определения амплитуды качаний маятника. 8.3 Численное вычисление полного эллиптического интеграла K(x ) Здесь приводится только алгоритм вычислений, без доказательства. (Обоснование алгоритма: ) На входе в алгоритм подаётся x аргумент функции в диапазоне от до 1 и последовательно выполняются вычисления: 1. a = 1 x. b = 1 a 3. a 1 = a +b 4. b 1 = a b 5. Если a 1 и b 1 различаются меньше чем требуемая точность, то закончить итерации и перейти к п. 7, иначе — перейти к п. 6 6.a = a 1, b = b 1, перейти к п.3 7.K = π 1 x 1 a 1 Вычисленная величина K есть приближённое значение полного эллиптического интеграла K(x ). Итерации этого алгоритма быстро сходятся каждая итерация удваивает количество верных значащих цифр вдвое. При расчёте с помощью калькулятора достаточно провести -3 итерации для получения результата с 4-5 верными знаками после запятой. Ниже показан код С-функции используемой в программе для расчёта значений полных эллиптических интегралов: 13

14 Рис. 5: Код С-функции используемой в программе для расчёта значений полных эллиптических интегралов первого и второго рода 14

Механические колебания

теория по физике 🧲 колебания и волны

Колебательное движение очень распространено. Заставить колебаться можно любое тело, если приложить к нему силу — однократно или постоянно. К примеру, если подтолкнуть качели, они начнут качаться вперед-назад, и такое движение будет приблизительно повторяться до тех пор, пока качели полностью не остановятся.

Другой пример колебательного движения — тело, подвешенное к пружине. Если его потянуть вниз и отпустить, то за счет сил упругости оно сначала поднимется вверх, а затем снова опустится вниз, затем движения вверх-вниз будут повторяться. Со временем они прекратятся под действием силы сопротивления воздуха.

Колебаниями можно назвать даже движение гири, которую поднимается тяжелоатлет вверх, а затем опускает в низ. При этом он будет прикладывать к гире силу постоянно. Гиря будет колебаться до тех пор, пока к нему будет прикладываться эта сила.

Колебания — это движения, которые точно или приблизительно повторяются через определенные интервалы времени.

Механические колебания — это колебательные движения, совершаемые физическим телом в механической системе.

Механическая система — совокупность материальных точек (тел), движения которых взаимосвязаны между собой.

Какими бывают колебания?

Напомним, что в механической системе выделяют два вида сил:

• Внутренние силы — это силы, которые возникают между телами внутри системы. Примером внутренних сил служат силы тяготения между телами солнечной системы.
• Внешние силы — силы, которые действуют на тела системы со стороны тел, которые в эту систему не входят. Примером внешней силы может стать сила ветра, под действием которой шарик, подвешенный к опоре за нить, отклоняется в сторону порыва ветра.

Свободные колебания

Свободные колебания — колебания, происходящие в системе под действием внутренних сил после того, как эта система выведена из положения равновесия.

Колебательная система — механическая система, в которой возможно совершение свободных колебаний.

Свободные колебания в колебательной системе могут возникнуть только при наличии двух условий:

1. После выведения из равновесия в колебательной системе появляются силы, направленные в сторону положения равновесия. Эти силы стремятся возвратить систему в положение равновесия.
2. Трение между телами колебательной системы относительно мало. В противном случае колебания либо сразу затухнут, либо не начнутся совсем.

Примеры свободных колебаний:

• колебания шарика на дне сферической чаши;
• движение качелей после однократного толчка;
• колебания груза на пружине после ее растяжения;
• колебания струны после ее отклонения.

Примером колебательной системы также служит математический маятник — материальная точка, подвешенная на невесомой нерастяжимой нити. В действительности такого маятника не существует. Это идеализированная модель реального маятника, примером которого служит тяжелый шарик, подвешенный на длинной нити. В этом случае размером шарика и растяжением нити можно пренебречь.

В колебательную систему математического маятника входят:

• нить;
• тело, привязанное к нити;
• Земля, в поле тяжести которой находится привязанное к нити тело.

В положении равновесия (точка О) шарик висит на нити и покоится. Если его отклонить от положения равновесия до точки А и отпустить, под действием силы тяжести шарик приблизится к положению равновесия. Так как к этому моменту шарик обретет скорость, он не сможет остановиться и приблизится к точке В. Затем он снова вернется в точку А через положение равновесия в точке О. Шарик будет колебаться, пока не затухнут под действием возникающей силы сопротивления воздуха.

Вынужденные колебания

Вынужденные колебания — колебания тел под действием внешних периодически изменяющихся сил.

Примерами вынужденных колебаний служат:

• движение поршня в цилиндре;
• раскачивание ветки дерева на ветру;
• движение иглы швейной машинки;
• движение качелей под действием постоянных толчков.

Затухающие и незатухающие колебания

Затухающие колебания — колебания, которые со временем затухают. При этом максимальное отклонение тела от положения равновесия с течением времени уменьшается.

Колебания затухают под действием сил, препятствующих колебательному движению. Так, шарик в сферической чаше перестает колебаться под действием силы трения. Математический маятник и качели перестают совершать колебательные движения за счет силы сопротивления воздуха.

Все свободные колебания являются затухающими, так как всегда присутствует трение или сопротивление среды.

Незатухающими колебаниями могут быть только те, которые совершаются под действием периодической внешней силы (вынужденные колебания). Так, ветка будет раскачиваться до тех пор, пока дует ветер. Когда он перестанет дуть, колебания ветки со временем затухнут. Иголка швейной машинки будет совершать колебательные движения до тех пор, пока швея вращает ручку привода. Когда она перестанет это делать, иголка сразу остановится.

Динамика колебательного движения

Для того чтобы описать количественно колебания тела пол действием силы упругости пружины или колебания шарика, подвешенного на нити, воспользуемся законами механики Ньютона.

Уравнение движения тела, колеблющегося под действием сил упругости

Рассмотрим колебательное движение шарика, вызванное силой упругости, возникшей при растяжении горизонтальной пружины вдоль оси Ох.

Согласно II закону Ньютона произведение массы тела на ускорение равно равнодействующей всех сил приложенных к телу. Поскольку сила трения пренебрежимо мала, мы можем считать, что в этой механической системе действует единственная сила — сила упругости. Учтем, что шарик колеблется вдоль одной прямой, и выберем одномерную систему координат Ох. Тогда:

m a x = F x у п р

Согласно закону Гука, проекция сила упругости прямо пропорциональная смещению шарика из положения равновесия (точки О). Смещение равно координате x шарика, причем проекция силы и координаты имеют разные знаки. Это связано с тем, что сила упругости всегда направлена к точке равновесия, в то время как расстояние от этой точки во время движения увеличивается в обратную сторону. Отсюда делаем вывод, что сила упругости равна:

F x у п р = − k x

где k — жесткость пружины.

Тогда уравнение движения шарики принимает

Вид — группа особей, сходных по морфолого-анатомическим, физиолого-экологическим, биохимическим и генетическим признакам, занимающих естественный ареал, способных свободно скрещиваться между собой и давать плодовитое потомство.

Так как масса шарики и жесткость пружины для данной колебательной системы постоянны, отношение k m . . — постоянная величина. Отсюда делаем вывод, что проекция a x ускорения тела прямо пропорциональна его координате x, взятой с противоположным знаком.

Пример №1. Груз массой 0,1 кг прикрепили к пружине школьного динамометра жесткостью 40 Н/м. В начальный момент времени пружина не деформирована. После того, как груз отпускают, возникают колебания. Чему равна максимальная скорость груза?

Максимальной скорости груз достигнет при максимальном его отклонении от положения равновесия — в нижней точке траектории. Учтем, что тело движется вниз под действием силы тяжести. Но в то же время на него действует сила упругости, которая возникает в пружине и нарастает до тех пор, пока не становится равной по модулю силе тяжести. Применив III закон Ньютона получим:

∣ ∣ ∣ → F т я ж ∣ ∣ ∣ = ∣ ∣ ∣ → F у п р ∣ ∣ ∣

где y m a x — максимальное отклонение груза от положения равновесия. В этой точке скорость тела будет максимальная. Для нахождения этой величины используем формулу из кинематики:

y m a x = v 2 m a x − v 2 0 2 g . .

Начальная скорость равна нулю. Отсюда:

y m a x = v 2 m a x 2 g . .

m g = k v 2 m a x 2 g . .

Максимальная скорость равна:

v m a x = g √ 2 m k . . = 10 √ 2 · 0 , 1 40 . . ≈ 0 , 71 ( м с . . )

Уравнение движения математического маятника

Ниже на рисунке представлен математический маятник. Если мы выведем из положения равновесия шарик и отпустим, возникнет две силы:

• сила тяжести, направленная вниз;
• сила упругости, направленная вдоль нити.

При колебаниях шарика также будет возникать сила сопротивления воздуха. Но так как она очень мала, мы будем ею пренебрегать.

Чтобы описать динамику движения математического маятника, удобно силу тяжести разложить на две составляющие:

→ F т = → F τ + → F n

Причем компонента → F τ направлена перпендикулярно нити, а → F n — вдоль нее.

Компонента → F τ представляет собой проекцию силы тяжести в момент, когда нить маятника отклонена от положения равновесия (точки О) на угол α. Следовательно, она равна:

→ F τ = − → F т sin . α = − m g sin . α

Знак «–» мы здесь поставили по той причине, что компоненты силы тяжести → F τ и α имеют противоположные знаки. Ведь если отклонить шарик на угол α>0, то составляющая → F τ будет направлена в противоположную сторону, так как она будет пытаться вернуть шарик в положение равновесия. И ее проекция будет отрицательной. Если же шарик отклонить на угол α → F τ будет направлена в обратную сторону. В этом случае ее проекция будет положительной.

Обозначим проекцию ускорения маятника на касательную к его траектории через a τ . Эта проекция характеризует быстроту изменения модуля скорости маятника. Согласно II закону Ньютона:

m a τ = − m g sin . α

Разделим обе части выражения на массу шарика m и получим:

При малом отклонении нити маятника от вертикали можно считать, что sin . α ≈ α (при условии, что угол измерен в радианах). Тогда:

Внимание! Чтобы перевести градусы в радианы, нужно умножить градусы на число π и поделить результат на 180. К примеру 2 о = 2∙3,14/180 рад., или 2 о = 0,035 рад.

При малом отклонении также дугу ОА мы можем принять за длину отрезка OA, который мы примем за s. Тогда угол α будет равен отношению противолежащего катета (отрезка s) к гипотенузе (длине нити l):

Так как ускорение свободного падения и длина нити для данной колебательной системы постоянны, то отношение g l . . — тоже постоянная величина.

Это уравнение похоже на то уравнение, которое мы получили для описания колебательного движения шарика под действием силы упругости. И оно также позволяет сделать вывод, что ускорение прямо пропорционально координате.

Пример №2. Определить длину нити, если шарик, подвешенный к ней, отклонится на 1 см. При этом нить образовала с вертикалью угол, равный 1,5 о .

При отклонениях на малый угол мы можем пользоваться следующей формулой:

Чтобы найти длину нити, нужно выразить угол α в радианах:

1 , 5 ° = 3 , 14 · 1 , 5 180 . . ≈ 0 , 026 ( р а д )

Тогда длина нити равна:

l = s α . . = 0 , 01 0 , 026 . . ≈ 0 , 385 ( м ) = 38 , 5 ( с м )

Основные характеристики колебательного движения

Амплитуда — максимальное отклонение тела от положения равновесия. Обозначается буквой A, иногда — x_max. Единиц измерения — метр (м).

Период — время совершения одного полного колебания. Обозначается буквой T. Единица измерения — секунда (с).

Частота — количество колебаний, совершенных в единицу времени. Обозначается как ν («ню»). Единица измерения — 1/секунда, или секунда –1 , или герц (1/с, или с –1 , или Гц).

Период и частота колебаний связаны между собой следующей формулой:

Период колебаний также можно вычислить, зная количество совершенных колебаний N за время t:

Поскольку частота — это величина, обратная периоду колебаний, ее можно выразить в виде:

Пример №3. Определить частоту колебаний груза, если суммарный путь, который он прошел за 2 секунды под действием силы упругости, составил 1 м. Амплитуда колебаний равна 10 см.

Во время одного колебания груз проходит расстояние, равное 4 амплитудам. Посмотрите на рисунок. Положение равновесия соответствует состояние 2. Чтобы совершить одно полное колебание, сначала груз отводят в положение 1. Когда его отпускают, он проходит путь 1–2 и достигает положения равновесия. Этот путь равен амплитуде колебаний. Затем он продолжает движение до состояния 3. И в это время он проходит расстояние 2–3, равное еще одной амплитуде колебаний. Чтобы вернуться в исходное положение (состояние 1), нужно снова проделать путь в обратном направлении: сначала 3–2, затем 2–1.

Следовательно, количество колебаний равно отношению пройденного пути к амплитуде, помноженной на 4:

Так как мы знаем, что эти колебания совершались в течение 2 секунд, для вычисления частоты мы можем использовать формулу:

ν = N t . . = s 4 A t . . = 1 4 · 0 , 1 · 2 . . = 1 , 25 ( Г ц )

В таблице представлены данные о положении шарика, колеблющегося вдоль оси Ох, в различные моменты времени.

Каков период колебаний шарика?

Алгоритм решения

Решение

Из таблицы видно, что амплитуда колебаний равна 15 мм. Следовательно, максимальное отклонение в противоположную сторону составляет –15 мм. Расстояние между двумя максимальными отклонениями от положения равновесия шарика равно половине периода колебаний. Этим значения в таблице соответствует время 1 и 3 секунды соответственно. Следовательно, разница между ними — половина периода. Тогда период будет равен удвоенной разнице во времени:

T = 2 ( t 2 − t 1 ) = 2 ( 3 − 1 ) = 4 ( с )

pазбирался: Алиса Никитина | обсудить разбор | оценить

Массивный груз, подвешенный к потолку на пружине, совершает вертикальные свободные колебания. Пружина всё время остается растянутой. Как ведут себя потенциальная энергия пружины, кинетическая энергия груза, его потенциальная энергия в поле тяжести, когда груз движется вверх к положению равновесия?

Для каждой величины определите соответствующий характер изменения:

Запишите в таблицу выбранные цифры для каждой физической величины. Цифры в ответе могут повторяться.

Алгоритм решения

Решение

Потенциальная энергия пружины определяется формулой:

где k — коэффициент жесткости пружины, а x — ее удлинение. Величина x была максимальной в нижней точке траектории. Когда пружина начинает сжиматься, она уменьшается. Так как потенциальная энергия зависит от квадрата x прямо пропорционально, то при уменьшении этой величины потенциальная энергия пружины тоже уменьшается.

Кинетическая энергия тела определяется формулой:

В нижней точке траектории скорость шарика была равна нулю. Но к этому времени потенциальная энергия пружины достигла максимума. Она начинает с ускорением поднимать шарик вверх, сжимаясь. Следовательно, скорость растет. Так как кинетическая энергия зависит от квадрата скорости тела прямо пропорционально, то при увеличении скорости этой величины кинетическая энергия шарика тоже увеличивается.

Потенциальная энергия тел в поле тяжести земли определяется формулой:

Масса и ускорение свободного падения шарика — постоянные величины. Следовательно, потенциальная энергия зависит только от расстояния до поверхности земли. Когда пружина поднимает шарик, расстояние между ним и землей увеличивается. Так как потенциальная энергия зависит от расстояния прямо пропорционально, то при его увеличении потенциальная энергия шарика тоже растет.

pазбирался: Алиса Никитина | обсудить разбор | оценить

В таблице представлены данные о положении шарика, прикреплённого к пружине и колеблющегося вдоль горизонтальной оси Ох, в различные моменты времени.

Из приведённого ниже списка выберите два правильных утверждения и укажите их номера.

А) Потенциальная энергия пружины в момент времени 1,0 с максимальна.

Б) Период колебаний шарика равен 4,0 с.

В) Кинетическая энергия шарика в момент времени 2,0 с минимальна.

Г) Амплитуда колебаний шарика равна 30 мм.

Д) Полная механическая энергия маятника, состоящего из шарика и пружины, в момент времени 3,0 с минимальна.

Алгоритм решения

1. Проверить истинность каждого утверждения.
2. Выбрать 2 верных утверждения.

Решение

Согласно утверждению «А», потенциальная энергия пружины в момент времени 1,0 с максимальна. Потенциальная энергия пружины максимальна, когда она отклоняется от положения равновесия на максимальную возможную величину. Из таблицы видно, что в данный момент времени ее отклонение составило 15 мм, что соответствует амплитуде колебаний (наибольшему отклонению от положения равновесия). Следовательно, утверждение «А» — верно.

Согласно утверждению «Б», период колебаний шарика равен 4,0 с. Один период колебаний включает в себя 4 фазы. В течение каждой фазы шарик на пружине проделывает путь, равный амплитуде. Следовательно, мы можем найти период колебаний, умножив время одной фазы на 4. В момент времени t = 0 с, шарик находился в положении равновесия. Первый раз он отклонился на максимальную величину (15 мм) в момент времени t = 1,0 с. Значит, период колебаний равен 1∙4 = 4 с. Следовательно, утверждение «Б» — верно.

Согласно утверждению «В», кинетическая энергия шарика в момент времени 2,0 с минимальна. В этот момент времени, согласно данным таблицы, шарик проходит положение равновесия. В этом положении скорость шарика всегда максимальна. Поэтому кинетическая энергия, которая зависит от квадрата скорости прямо пропорционально, минимальной быть не может. Следовательно, утверждение «В» — неверно.

Согласно утверждению «Г», амплитуда колебаний шарика равна 30 мм. Амплитуда колебаний — есть расстояние от положения равновесия до точки максимального отклонения шарика. В данном случае оно равно 15 мм. Следовательно, утверждение «Г» — неверно.

Согласно утверждению «Д», полная механическая энергия маятника, состоящего из шарика и пружины, в момент времени 3,0 с минимальна. Полная механическая энергия колебательной системы — это совокупность кинетической и потенциальной энергий. И при отсутствии сил трения она остается величиной постоянной. Она лишь превращается из одного вида энергии в другую. Следовательно, утверждение «Д» — неверно.

pазбирался: Алиса Никитина | обсудить разбор | оценить