Уравнение движения маятника с затуханием

Затухания и приведенной длины физического маятника

Литература

1. Детлаф А.А., Яворский Б.М. Курс физики. ‑ М., 1989. С. 298 – 314.

2. Методические указания к выполнению лабораторных работ по физике. Раздел «Механика материальной точки». / МТИПП. ‑ М., 1990. С 18 – 31.

Введение

Всякое движение, в котором наблюдается повторяемость во времени значений физических величин, определяющих это движение, называется колебательным движением.

Гармоническим колебательным движением называется такое движение, при котором величина, характеризующая состояние системы, изменяется со временем по закону синуса или косинуса, т.е. уравнение гармонических колебаний имеет вид:

, (1)

где x – смещение от положения равновесия;

A – амплитуда колебаний – наибольшее смещение от положения равновесия;

– фаза колебаний;

j_о – начальная фаза колебаний;

w_о – собственная циклическая частота колебаний – это число колебаний за 2p секунд.

Время одного полного колебания Т называется периодом колебаний. Количество колебаний в единицу времени называется частотой колебаний . Между периодом, частотой и циклической частотой существует связь:

(2)

Если выражение (1) продифференцировать по времени, то получим закон изменения скорости от времени

(3)

Продифференцировав (3) еще раз по времени, найдем закон зависимости ускорения от времени:

(4)

учитывая, что , получим

(5)

Последнее уравнение показывает, что при гармонических колебаниях ускорение пропорционально величине смещения и всегда направлено противоположно смещению.

Примерами систем, в которых могут возникать гармонические колебания, могут служить мятники: пружинный, математический и физический.

Рассмотрим пружинный маятник – грузик на идеально упругой пружине при отсутствии трения. На примере его движения получим дифференциальное уравнение гармонических колебаний.

Чтобы система (маятник) совершала гармонические колебания, необходимо воздействие на нее упругой или квазиупругой силы, изменяющейся при смещении системы от положения равновесия по закону:

(6)

Эта сила, пропорциональна смещению и всегда направлена к положению равновесия. Применим второй закон Ньютона к пружинному маятнику.

Возвращающая сила , действуя на тело массой m, создает ускорение а. Согласно второму закону Ньютона

Колебания происходят вдоль оси х (рис.1), поэтому спроецируем векторное уравнение на ось ОХ :

Поделив все члены на m, перенеся их в одну часть равенства, обозначив , получим окончательный вид дифференциального уравнения гармонических колебаний пружинного маятника:

или , (7)

где – собственная частота колебаний пружинного маятника;

– период колебаний (8)

Решением уравнения (7) является уравнение (1).

Рассмотрим математический маятник – это материальная точка, подвешенная на невесомой и нерастяжимой нити длиною (рис. 2). На грузик m действуют сила тяжести и сила натяжения нити . Равнодействующая этих сил «похожа» на силу упругости тем, что она пропорциональна величине смещения и направлена к положению равновесия, но сила не имеет упругой природы. Силу называют квазиупругой силой. Колебательные движения математического маятника можно рассматривать как часть вращательного. Для его описания применим основной закон вращательного движения

, (9)

где M – момент возвращающей силы;

I – момент инерции материальной точки;

– угловое ускорение.

При условии малых колебаний заменим ; , x – смещение точки от положения равновесия.

Подставим полученные выражения в формулу

Знак « – » имеет то же значение, что и в случае (6)

или

Поделив все члены на , перенеся их в одну сторону, обозначив , получим окончательный вид дифференциального уравнения гармонических колебаний математического маятника:

или , (10)

где – собственная частота колебаний;

– период колебаний. (11)

Из формулы (11) видно, что период колебаний математического маятника не зависит от его массы, а определяется лишь его длиной и ускорением свободного падения.

Решением уравнения (10) является уравнение (1).

Рассмотрим физический маятник – это абсолютно твердое тело, которое может свободно вращаться вокруг оси О, не проходящей через его центр масс (рис. 3).

На физический маятник действует сила тяжести и сила реакции опоры . При отклонении физического маятника от положения равновесия на угол j, равнодействующая этих сил является квазиупругой возвращающей силой

Колебания физического маятника рассматриваем как часть вращательного движения вокруг оси О и для его описания применяем основное уравнение динамики вращательного движения

где М – момент возвращающей силы;

I – момент инерции твердого тела, относительно оси О;

e – угловое ускорение.

Знак « – » имеет тот же смысл, что и в случае (6)

В случае малых колебаний заменим , , х – смещение маятника от положения равновесия.

Сделав подстановку, получили

или

Поделив все члены равенства на , перенесем в одну сторону и обозначим , получим

или (12)

дифференциальное уравнение гармонических колебаний физического маятника.

– собственная частота колебаний

Период колебаний физического маятника выражается формулой

(13)

Приведенной длиной физического маятника называется длина такого математического маятника, у которого его период колебаний совпадает с периодом колебаний данного физического маятника.

(14)

Решением уравнения (12) является уравнение (1).

Итак, гармонические колебания, возникающие в идеальных колебательных системах, не зависимо от вида маятника, описываются одинаковыми уравнениями (7), (10), (12), которые имеют решение (1).

В реальных колебательных системах всегда присутствуют силы трения, на преодоление которых будет тратиться собственная энергия системы. Если энергия не будет восполняться за счет работы внешних сил, то колебания будут затухать, т.е. амплитуда их будет уменьшаться с течением времени.

При малых смещениях от положения равновесия на систему будут действовать:

1) квазиупругая возвращающая сила ;

2) сила сопротивления, пропорциональная скорости и направленная противоположно ее направлению ,

где r – коэффициент сопротивления.

Применим второй закон Ньютона к описанию движения колеблющейся системы

В проекции на ось ОХ, это уравнение будет выглядеть как , если подставить и , получим

Поделив все члены равенства на m, перенеся их в одну сторону, обозначив , , получим дифференциальное уравнение затухающих колебаний.

или (15)

Решением уравнения (15) будет периодическая функция с убывающей амплитудой

, (16)

где A_o – наибольшее отклонение системы от положения равновесия;

– коэффициент затухания;

– закон убывания амплитуды;

– частота затухающих колебаний.

Уменьшение амплитуды колебаний за один период характеризует декремент затухания

В качестве меры затухания берут величину натурального логарифма декремента затухания

(17)

d называют логарифмическим декрементом затухания.

Для получения незатухающих колебаний необходимо воздействовать на систему дополнительной переменной внешней силой, работа которой непрерывно восполняла бы убыль энергии из-за наличия сил трения. Эта переменная сила называется вынуждающей, а колебания – вынужденными.

Пусть вынуждающая сила меняется по гармоническому закону

При этом условии уравнение второго закона Ньютона в случае вынужденных колебаний будет иметь вид

Поделим все члены равенства на m, обозначим ; , , получим дифференциальное уравнение вынужденных колебаний

или (18)

Решением этого уравнения является уравнение вида:

, (19)

где амплитуда установившихся колебаний имеет вид

а начальная фаза может быть определена из условия

Амплитуда колебаний зависит от частоты вынуждающей силы. Если затухание существует , то амплитуда колебаний достигнет наибольшего значения при частоте вынуждающей силы, совпадающей с частотой незатухающих колебаний w_о:

Явление возрастания амплитуды вынужденных колебаний при приближении частоты вынуждающей силы к значению называется резонансом. Соответственно величина называется резонансной циклической частотой, а кривые зависимости – резонансными кривыми (рис. 5).

Форма резонансных кривых зависит от величины коэффициента затухания a. С увеличением a резонансные кривые становятся более пологими, уменьшается значение максимума амплитуды

Рис. 5

Описание установки и метода измерений

Прибор для изучения законов колебательного движения представляет собой комбинацию двух связанных маятников: физического 1 и математического 2 (рис.6). Связь маятников осуществляется при помощи вилки 3, жестко связанной с физическим маятником, в ушко которого продернута нить математического маятника. Длина математического маятника может быть измерена на требуемую величину путем перемещения нити с помощью фиксируемого ползунка 4, закрепленного на линейке 5. Положение ползунка на

этой линейке позволяет задать необходимую длину математического маятника. Амплитуда колебаний обоих маятников определяется по шкале 6.

Для увеличения затухания на физическом маятнике может быть закреплена тормозящая пластина 7.

Порядок выполнения и обработка результатов измерений

1. Определение логарифмического декремента затухания

1. Убирают математический маятник (для этого можно поднять шарик или отвести его в сторону).

2. На физическом маятнике закрепляют тормозящую пластину 7.

3. Отклоняют физический маятник до заданной начальной амплитуды A_o, отпускают его и одновременно включают секундомер. Фиксируют число полных колебаний n и промежуток времени t, по прошествии которого амплитуда принимает значение A_n.

4. Полученные результаты заносят в табл. 1.

5. Определяют период T физического маятника по формуле ,

где t – время, n – число полных колебаний.

6. Вычисляют логарифмический декремент затухания по формуле:

и коэффициент затухания по формуле:

7. Вычисляются относительные и абсолютные погрешности при определении d и a. Все результаты заносятся в табл. 1.

№ п/п

A_o, дел

A_n, дел

t, с

T, с

T_ср, с

DT, с

d_ср

a, с -1

a_ср, с -1

Da, с -1

A_o – начальная амплитуда; A_n – конечная амплитуда;

n – число колебаний; t – время колебаний;

Т – период колебаний; a – коэффициент затухания;

d – логарифмический декремент затухания.

2. Снятие резонансной кривой

1. Выводят из зацепления математический маятник.

2. Устанавливают начальную длину математического маятника (максимальную или минимальную).

3. Отводят физический маятник на 5 – 6 делений от положения равновесия и дают ему свободно качаться.

Наблюдая возникновение колебаний математического маятника, фиксируют по шкале 6 максимальное значение угла отклонения при заданной длине маятника и заносят в табл. 2 результаты.

4. Изменяя длину маятника последовательно на 10 см, повторяют опыт, проходя весь интервал возможных длин. На участке, где начинает обнаруживаться явление резонанса, изменение длины уменьшают до 5 см. Заносят показания в табл. 2.

5. Строят график зависимости угла отклонения математического маятника от его длины . По графику определяют резонансное значение и сравнивают его величину с – приведенной длиной физического маятника, определяемой по формуле:

с использованием численного значения T по результатам предыдущего опыта.

Делаются соответствующие выводы.

, м.

, дел.

1. Что мы называем математическим, физическим маятником?

2. Напишите уравнение гармонических колебаний.

3. Выведите дифференциальное уравнение затухающих колебаний.

4. Выведите период колебаний математического и физического маятников.

5. Дайте определение логарифмического декремента затухания. Что характеризует логарифмический декремент затухания?

6. Выведите дифференциальное уравнение вынужденных колебаний.

7. Дайте объяснение явления механического резонанса.

Курсовая работа: Колебания маятника с различными механизмами затухания

Сейчас уже невозможно проверить легенду о том, как Галилей, стоя на молитве в соборе, внимательно наблюдал за качением бронзовых люстр. Наблюдал и определял время, затраченное люстрой на движение туда и обратно. Это время потом назвали периодом колебаний. Часов у Галилея не было, и, чтобы сравнить период колебаний люстр, подвешенных на цепях разной длины, он использовал частоту биения своего пульса.

Маятники используют для регулировки хода часов, поскольку любой маятник имеет вполне определенный период колебаний. Маятник находит также важное применение в геологической разведке. Известно, что в разных местах земного шара значения g различны. Различны они потому, что Земля — не вполне правильный шар. Кроме того, в тех местах, где залегают плотные породы, например некоторые металлические руды, значение g аномально высоко. Точные измерения g с помощью математического маятника иногда позволяют обнаружить такие месторождения.

Целью данной курсовой работы является изучение колебаний маятника с различными механизмами затухания на примерах физического и пружинного маятников, где физический маятник — тело, совершающее под действием силы тяжести колебания вокруг неподвижной горизонтальной оси, не проходящей через центр тяжести тела, а пружинный маятник может быть осуществлен в виде груза массой m и невесомой пружины жесткостью k.

Реализовать поставленную цель можно решив ряд задач:

— определение исходных теоретических положений;

— изучение и анализ литературы, посвященной данным проблемам;

Объектом данной курсовой работы является маятник. Предметом – колебания маятника с различными механизмами затухания.

Для решения постановленных задач использовались научные труды следующих авторов: Андронова А.А., Витта А.А., Хайкина С.Э., Анищенко В.С., Боголюбова Н.Н., Митропольского Ю.А., Владимирова С.Н., Майдановского А.С., Новикова С.С., Горелика Г.С., Дмитриева А.С., Кислова В.Я., Капранова М.В., Кулешева В.Н., Уткина Г.М., Ланда П.С., Мигулина В.В., Медведева В.И., Неймарка Ю.И., Рабиновича М.И., Трубецкова Д.И. и некоторых других.

1. Уравнения собственных затухающих колебаний маятника

1.1 Общие характеристики колебаний

Колебаниями называются процессы, которые характеризуются определенной повторяемостью во времени. Колебательные процессы широко распространены в природе и технике, например качания маятника часов, переменный электрический ток и т.д. При колебательном движении маятника изменяется координата центра масс, в случае переменного тока колеблются напряжение и сила тока. Физическая природа колебаний может быть разной, однако различные колебательные процессы описываются одинаковыми характеристиками и одинаковыми уравнениями.[1] Далее рассмотрим затухающие колебания.

Затухающими колебаниями называют собственные колебания, амплитуда А которых убывает со временем t по закону экспоненты А(t)=Аоexp (-?t) (? — показатель затухания из-за диссипации энергии благодаря силам вязкого трения для механических затухающих колебаний и омическому сопротивлению для электромагнитных затухающих колебаний). Количественно затухающие колебания характеризуются декрементом затухания ?, добротностью Q = ?/? и временем затухания ? = 1/?, за которое амплитуда затухающих колебаний убывает в e = 2,73 раза.[2]

Затухание колебаний, уменьшение интенсивности колебаний с течением времени, обусловлено потерей энергии колебательной системой. Простейшим случаем уменьшения энергии колебания является превращение ее в тепло вследствие трения в механических системах и сопротивления в электрических системах. В последних, затухание колебаний происходит также вследствие излучения электромагнитной энергии. Закон затухания колебаний определяется характером потерь энергии и другими свойствами системы. Наиболее изученным является случай, когда затухание колебаний обусловлено уменьшением энергии, пропорциональным квадрату скорости движения в механической системе или соответственно квадрату силы тока в электрической системе, это справедливо для линейных систем. В этом случае затухание колебаний имеет экспоненциальный характер, т.е. размахи колебаний убывают по закону геометрической прогрессии.

Потери энергии в системе, вызывая затухание колебаний, нарушают их периодичность, поэтому затухающие колебания не являются периодическим процессом и, строго говоря, к ним неприменимо понятие периода или частоты. Однако, когда затухание мало, состояния в системе приблизительно повторяются и можно условно пользоваться понятием периода как промежутка времени между двумя последующими прохождениями колеблющейся физической величины (тока, напряжения, размаха колебаний маятника и т.д.) в одну и ту же сторону через максимальное значение. Оценку относительного уменьшения амплитуды колебаний за период дает логарифмический декремент затухания. Скорость затухание колебаний связана с добротностью колебательной системы.

Декремент затухания – количественная характеристика быстроты затухания колебаний. Декремент затухания d равен натуральному логарифму отношения двух последующих максимальных отклонений х колеблющейся величины в одну и ту же сторону: .

Декремент затухания – величина, обратная числу колебаний, по истечении которых амплитуда убывает в е раз. Например, если d=0,01, то амплитуда уменьшится в е раз после 100 колебаний. Декремент затухания характеризует число периодов, в течение которых происходит затухание колебаний, а не время такого затухания. Полное время затухания определяется отношением Т/d.[3]

Добротность колебательной системы, отношение энергии, запасенной в колебательной системе, к энергии, теряемой системой за один период колебания. Добротность характеризует качество колебательной системы, т.к. чем больше Добротность колебательной системы, тем меньше потери энергии в системе за одно колебание. Добротность колебательной системы Q связана с логарифмическим декрементом затухания d. При малых декрементах затухания Q»p/d. В колебательном контуре с индуктивностью L, емкостью C и омическим сопротивлением R добротность колебательной системы

где w — собственная частота контура. В механической системе с массой m, жесткостью k и коэффициентом трения b.

Добротность колебательной системы

Добротность — количественная характеристика резонансных свойств колебательной системы, указывающая, во сколько раз амплитуда установившихся вынужденных колебаний при резонансе превышает амплитуду вынужденных колебаний вдали от резонанса, т. е. в области столь низких частот, где амплитуду вынужденных колебаний можно считать не зависящей от частоты. На этом свойстве основан метод измерения Добротность колебательной системы величина добротности характеризует также и избирательность колебательной системы. Чем больше добротность, тем уже полоса частот внешней силы, которая может вызвать интенсивные колебания системы.

Экспериментально добротность колебательной системы обычно находят как отношение частоты собственных колебаний к полосе пропускания системы, т.е. Q=w/Dw.

Численные значения добротности колебательной системы:

— для радиочастотного колебательного контура 30 — 100;

— для камертона 10000;

— для пластинки пьезокварца 100000;

— для объемного резонатора СВЧ колебаний 100 — 100000.[4]

1.2 Уравнение собственных затухающих колебаний физического и пружинного маятников

Рассмотрим движение груза, жестко зафиксированного на подвесе (металлическом стержне), закрепленном в точке O (см. приложение 1). Система «груз – подвес» в общем случае представляет собой физический маятник. Точку крепления этого маятника условно назовем точкой подвеса.

Опыт показывает, что физический маятник, выведенный из положения равновесия, совершает вращательные колебания. Согласно основному закону динамики вращательного движения произведение момента инерции системы «груз – подвес» на угловое ускорение маятника равно равнодействующему моменту внешних сил: силы тяжести m·g и силы сопротивления F_c (момент силы деформации растяжения тела N равен нулю). Спроецировав это уравнение на направление оси вращения, для случая малых колебаний получим следующее выражение:

где α(t) — угол отклонения колеблющегося груза, отсчитываемый от положения равновесия;

α’ и α» — соответственно угловая скорость и угловое ускорение маятника;

k и h — размерные константы;

I — момент инерции системы «груз – подвес»;

М = -m . g . r . sin(α) = -k . sin(α) — момент возвращающей силы (для малых колебаний М = -k . α);

M_c = -h . α’ — момент сил сопротивления (выражение справедливо для малых угловых скоростей).[5]

Поделив левую и правую части уравнения (1) на величину I и перенеся все слагаемые в левую часть, получим соотношение, аналогичное выражению, описывающему движение собственных затухающих колебаний груза на пружине.

где b = h/2I — коэффициент затухания;

w₀ = (k/I) 1/2 — собственная частота колебаний груза.

Решение уравнения (2) имеет вид:

a(t) = a₀ ·e — b t ·sin(w·t + j),(3)

гдеw=(w₀ 2 — b 2 ) 1/2 — частота затухающих колебаний груза.

Как видно из уравнения (3) амплитуда углового смещения будет уменьшаться (затухать) с течением времени по экспоненциальному закону. Коэффициент затухания определяет быстроту этого процесса. Он равен промежутку времени по истечении которого, амплитуда колебаний уменьшается в e раз.

Далее рассмотрим уравнение собственных затухающих колебаний пружинного маятника.

Пружинным маятником называется система, состоящая из груза массой m и невесомой пружины жесткостью k.

Пусть масса маятника m , коэффициент упругости пружины k , сила сопротивления, действующая на маятник, F = — bv , v — скорость маятника, b — коэффициент сопротивления среды, в которой находится маятник. Так как рассматриваем только линейные системы, b = const , k = const . x — смещение маятника от положения равновесия.

(второй закон Ньютона)

Данное уравнение и есть дифференциальное уравнение свободных затухающих колебаний пружинного маятника. Принято записывать его в следующем, так называемом каноническом виде:

— коэффициент затухания, — собственная частота свободных (незатухающих) колебаний пружинного маятника, то, что раньше мы обозначали просто w.

Уравнение затухающих колебаний в таком (каноническом) виде описывает затухающие колебания всех линейных систем; конкретная колебательная система отличается только выражениями для b и j₀ .

2. Движения маятника с различными механизмами затухания

При исследовании собственных колебаний предполагается отсутствие внешней среды. Наличие среды приводит к появлению диссипативной силы, которая, как мы показали, постепенно уменьшает первоначально переданную системе энергию. Это выражается через уменьшение собственной частоты колебаний ω₀ , также как постепенным уменьшением амплитуды колебаний.

Примечание: во избежание путаницы нумерация формул останется такой же как в научной литературе.[6]

Пусть на колеблющееся тело действует сила мокрого трения:

Уравнение движения частицы примет следующий вид:

, (1.35)

. (1.36)

Подставляя последнее в (1.35), получим:

(1.37).

Так как полученное уравнение верно для произвольного момента времени, то выражение в скобках должно быть нулем. Последнее дает для неизвестной величины следующее значение

(1.38)

, (1.39)

Учитывая (1.38), решение (1.36) примет следующий вид:

, (1.40)

Полученное уравнение движения описывает затухающие колебания, где и – постоянные, определяемые из начальных условий.

В зависимости от соотношения коэффициента трения и частоты собственных колебаний , затухающие колебания подразделяются на два класса. Они соответствуют случаям периодического и непериодического затухания.

Периодическое затухание. Оно осуществляется при слабых силах трения:

, (1.41)

когда величина (1.39) действительна. В этом случае решение (1.40) выражается формулой (в действительной форме)

, (1.42)

Графически это колебание представлено на рисунке (см. приложение 2) и является колебанием с постоянной частотой (1.39), но убывающей с течением времени амплитудой. В этом смысле это не только не гармоническое, но даже и не периодическое колебание, поскольку колебания не повторяются в том же виде. Тем не менее, удобно говорить о периоде этих колебаний, понимая под этим промежуток времени

, (1.43)

Говоря «амплитуда затухающих колебаний» понимают величину

, (1.44)

которая есть максимальное смещение частицы относительно положения равновесия во время колебаний. Из выражения (1.44) следует, что за время , (1.45) амплитуда убывает в раз. Этот промежуток времени называется временем затухания, а – декрементом затухания.

Наиболее объективной характеристикой затухания колебаний является логарифмический декремент, который является отношением периода колебаний (1.43) к времени затухания (1.45)

, (1.46)

Легко заметить, что логарифмический декремент равен натуральному логарифму отношения двух последующих амплитуд:

, (1.47)

Определим число N колебаний, в течение которых амплитуда колебаний убывает в , раз:

откуда следует, что

, (1.48)

На основании этого соотношения можно экспериментально определить логарифмический декремент затухания , считая соответствующее число колебаний.

Непериодическое затухание. При сильном трении

(1.49)

величина (1.43) становится мнимой. В этом случае удобно представить (1.42) так:

, (1.50)

, (1.51)

В рассматриваемом случае решение (1.42) примет вид:

, (1.52)

которое не описывает какое-либо колебание, а представляет экспоненциональное убывание смещения от положения равновесия (см. приложение 3). Непериодическое затухание маятника можно наблюдать, если поместить его в сильно вязкую среду (глицерин, мед).

Специальным случаем непериодического затухания является случай, когда . В этом случае решение уравнения (1.35) выражается в виде:

, (1.53).

Целью данной курсовой работы являлось изучение колебаний маятника с различными механизмами затухания. Для реализации поставленной цели предполагалось решение ряда задач, что позволило сделать следующие выводы:

На основании анализа существующей литературы даны определения исходных теоретических положений, а именно: колебания, виды колебаний, маятник (физический маятник, пружинный маятник), декремент затухания, добротность колебательной системы и т.д.

Также, исходя из проработанной литературы, сделан вывод о том, что данная тема изучалась и изучается многими авторами, как зарубежными, так и советскими, и находит практическая применение в различных науках.

Получены уравнения собственных затухающих колебаний на примерах физического и пружинного маятников.

где — коэффициент затухания,

— собственная частота свободных (незатухающих) колебаний пружинного маятника.

Таково полученное уравнение собственных затухающих колебаний пружинного маятника. Это уравнение описывает затухающие колебания всех линейных систем; конкретная колебательная система отличается только выражениями для b и j₀ .

a(t) = a₀ ·e — b t ·sin(w·t + j),(3)

гдеw=(w₀ 2 — b 2 ) 1/2 — частота затухающих колебаний груза.

Данное уравнение определяет быстроту процесса затухания колебаний физического маятника.

Определены два механизма затухающих колебаний: периодическое (осуществляется при слабых силах трения) и непериодическое (при сильном трении), а также получены формулы, для их расчета.

— для периодического механизма затухающих колебаний;

, — для непериодического механизма затухающих колебаний.

Библиографический список литературы

1. Андронов А.А., Витт А.А., Хайкин С.Э. Теория колебаний. М.: Наука, 1991. — 568 с.

2. Анищенко В.С. Сложные колебания в простых системах. М.: Наука, 1990. – 59 с.

3. Боголюбов Н.Н., Митропольский Ю.А. Асимптотические методы в теории нелинейных колебаний. М.: Наука, 1994. — 408 с.

4. Владимиров С.Н., Майдановский А.С., Новиков С.С. Нелинейные колебания многочастотных автоколебательных систем. Томск: изд-во Томск. ун-та, 1993. — 203 с.

5. Горелик Г. С., Колебания и волны, 2 изд., М., 1989. — 124 с.

6. Дмитриев А.С., Кислов В.Я. Стохастические колебания в радиофизике и электронике. М.: Наука, 2001. — 280 с.

7. Капранов М.В., Кулешев В.Н., Уткин Г.М. Теория колебаний в радиотехнике. М.: Наука, 1994. — 319 с.

8. Ланда П.С. Автоколебания в системах с конечным числом степеней свободы. М.: Наука, 1991. — 360 с.

9. Мигулин В.В., Медведев В.И., Мустель Е.Р., Парыгин В.Н. Основы теории колебаний. М.: Наука, 1989. — 390 с.

10. Мун Ф. Хаотические колебания: Вводный курс для научных работников и инженеров. М.: Мир, 1990. — 312 с.

11. Неймарк Ю.И., Ланда П.С. Стохастические и хаотические колебания. М.: Наука, 1995. — 424 с.

12. Рабинович М.И., Трубецков Д.И. Введение в теорию колебаний и волн. М.: Наука, 1994. — 431 с.

13. Стрелков С. П., Введение в теорию колебаний, 2 изд., М., 2002. — с. 597.

[1] Андронов А.А., Витт А.А., Хайкин С.Э. Теория колебаний. М.: Наука, 1991. — с. 137.

[2] Мигулин В.В., Медведев В.И., Мустель Е.Р., Парыгин В.Н. Основы теории колебаний. М.: Наука, 1989. — с. 52.

[3] Стрелков С. П., Введение в теорию колебаний, 2 изд., М., 2002. — с. 597.

[4] Горелик Г.С., Колебания и волны, 2 изд., М., 1989. – с. 82

[5] Мун Ф. Хаотические колебания: Вводный курс для научных работников и инженеров. М.: Мир, 1990. — с. 192.

[6] Стрелков С. П., Введение в теорию колебаний, 2 изд., М., 2002. — с. 149-154.

Затухающие колебания

Определение затухающих колебаний

Механическое движение всегда сопровождается трением. Трение приводит к рассеянию (диссипации) механической энергии. Диссипация энергии имеется в любых не идеализированных колебательных системах, она вызывает затухание собственных колебаний.

Затухающими колебаниями называют колебания, амплитуда которых постепенно уменьшается со временем из-за потерь энергии колебательной системой.

Уравнение колебаний пружинного маятника с затуханием

Иногда, если тело движется в веществе, силу сопротивления ($<\overline>_

$), которая действует на рассматриваемое тело, при маленьких скоростях его движения, считают прямо пропорциональной скорости ($\overline$):

\[<\overline>_

=-\beta \overline\left(1\right),\]

где $\beta $ — коэффициент сопротивления.

Данную силу учитывают в уравнении второго закона Ньютона при описании движения. Так, уравнение, которое описывает линейные колебания по вертикали (колебания по оси X) пружинного маятника, учитывающее силу трения принимает вид:

где $\dot=v_x.$ Принимая во внимание равенства:

(где $<\omega >_0$- циклическая частота свободных незатухающих колебаний (собственная частота колебаний при $\gamma $=0) той же колебательной системы; $\gamma $ — коэффициент затухания) уравнение колебаний пружинного маятника с затуханием (2) преобразуем к виду:

Малые собственные колебания, затухающие вследствие сопротивления среды в любой физической системе (математический маятник, физический маятник, электрические колебания . ) описывают при помощи уравнения формы (4).

Уравнение затухающих колебаний имеет точное решение:

где $\omega =\sqrt<<\omega >^2_0-<\gamma >^2>$; $A_0$ — начальная амплитуда колебаний, задаваемая начальными условиями; $\varphi $ — постоянная из начальных условий. При $\gamma \ll <\omega >_0$, $\omega \approx <\omega >_0$, параметр $A_0e^<-\gamma t>$ можно считать медленно изменяющейся во времени амплитудой колебаний.

Затухание колебаний по экспоненте связано с тем, что силу сопротивления мы приняли пропорциональной скорости. Если использовать другую зависимость силы трения от скорости, то закон затухания изменится.

Диссипация энергии при затухающих колебаниях

Пусть затухание мало, при этом потеря энергии колебательной системой за один период много меньше, чем энергия колебаний.

Рассеяние энергии за период колебаний происходит не равномерно, ввиду осцилляции кинетической энергии ($E_k$). Уравнение убывания энергии при затухающих колебаниях будет иметь вид:

\[\frac

=-\frac<2\beta >\left\langle E_k\right\rangle \left(6\right),\]

где $\frac

$ — скорость изменения энергии колебаний; $\left\langle E_k\right\rangle $ — средняя величина кинетической энергии за период колебаний. Уравнение (6) не применяют для промежутков времени, которые меньше периода колебаний.

Так как мы считаем затухание малым, то $\left\langle E_k\right\rangle $ можно принять равным (как при свободных колебаниях) половине полной энергии осциллятора:

\[\left\langle E_k\right\rangle =\frac<2>\left(7\right).\]

В таком случае уравнение (6) можно записать в виде:

Выражение (8) отображает «сглаженное» поведение энергии колебаний (в случае, если детали изменения энергии за один период колебаний не интересны). Оно показывает, что скорость изменения энергии пропорциональна самой энергии. Решением уравнения (8) является функция:

где $E_0$ — величина энергии колебательной системы в начальный момент времени.

Так как энергия колебаний пропорциональна квадрату амплитуды ($E\sim A^2$), изменение амплитуды колебаний за большие отрезки времени (в сравнении с периодом колебаний) запишем в виде функции:

$A_0$ — начальная амплитуда колебаний.

Время жизни колебаний. Период затухающих колебаний. Декремент затухания

Из формулы (10) видно, что амплитуда затухающих колебаний убывает по экспоненте. За время $\tau =\frac<1><\gamma >$ амплитуда убывает в $e$ раз и это не зависит от $A_0$. Время $\tau $ в этом случае называют временем жизни колебаний (или временем релаксации) (не смотря на то, что в соответствии с выражением (9) колебания должны длиться бесконечно). Тезис о малости затухания означает, что время жизни колебаний не бесконечно, а много больше, чем их период ($\tau \gg T$). За время жизни происходит много колебательных движений.

Строго говоря, затухающие колебания не являются строго периодическими движениями. Периодом в данном случае считают промежуток времени между двумя последовательными максимальными отклонениями от положения равновесия.

Период затухающих колебаний считают равным:

Пусть $A\left(t\right)\ и\ A(t+T)$ — амплитуды двух последовательных колебаний, моменты времени которых отличаются на период. Отношение этих амплитуд, следуя (10) равно:

называют декрементом затухания. Натуральный логарифм декремента затухания ($\theta $):

называют логарифмическим декрементом затухания. Для колебательной системы $\theta $ постоянная величина.

Примеры задач с решением

Задание. Каков коэффициент затухания маятника ($\gamma $), если за $\Delta t$ амплитуда его колебаний уменьшилась в $n$ раз?

Решение. За основу решения задачи примем уравнение затухающих колебаний в виде:

По условию задачи имеем:

С другой стороны:

где $t_2-t_1=\Delta t$. Найдем натуральный логарифм от правой и левой части выражения (1.2), получим:

Выразим $\gamma $ из (1.3) учтем, что $\frac=n$:

Ответ. $\gamma =\frac<<\ln n\ >><\Delta t>$

Задание. Что представляет собой фазовая траектория затухающего колебания?

Решение. Фазовой траекторией называют траекторию движения в плоскости $\left(x;;v\right).$ По оси абсцисс откладывается отклонение $x$, по оси ординат откладывают скорость $v$. Каждому движению в момент времени $t$ соответствует изображающая точка, на указанной плоскости координаты ее $\left(x,v\right),$ они однозначно определены мгновенными значениями отклонения и скорости. Точка со временем движется и описывает траекторию (рис.1). В данном случае время выступает как параметр, уравнение фазовой траектории задет функция:

Фазовая траектория затухающего колебания, если

\[<\overline>_

=-\beta \overline\left(2.2\right),\]

представляет собой незамкнутую спираль, которая закручивается вокруг начала координат (рис.1). Если затухание колебаний малое, то есть за время жизни колебательная система совершает множество колебаний, количество витков спирали в фазовой плоскости будет таким же.

источники:

http://www.bestreferat.ru/referat-117033.html

http://www.webmath.ru/poleznoe/fizika/fizika_46_zatuhajushhie_kolebanija.php

Название: Колебания маятника с различными механизмами затухания
Раздел: Рефераты по физике
Тип: курсовая работа Добавлен 00:16:42 15 ноября 2009 Похожие работы
Просмотров: 1834 Комментариев: 22 Оценило: 3 человек Средний балл: 5 Оценка: неизвестно Скачать