Уравнение движения механизма при установившемся движении

Установившийся режим движения машины.

Установившийся режим движения машины наступает тогда когда работа внешних сил за цикл не изменяет ее энергии, то есть суммарная работа внешних сил за цикл движения равна нулю.

Установившееся движение А д ц = А с ц , А ц = D Т = 0 ,

-соответственно работа

за цикл движущих сил и сил сопротивления,

j 10 — начальное значение обобщенной координаты, D j ц — приращение обобщенной координаты за цикл.

Неравномерность движения и методы ее регулирования.

В пределах цикла текущее значение суммарной работы не равно нулю. Работа может быть то положительной, то отрицательной. При положительной величине работы машина увеличивает свою кинетическую энергию за счет увеличения скорости, то есть разгоняется. На участках, где суммарная работа отрицательна, кинетическая энергия и скорость машины уменьшается, машина притормаживается. В установившемся режиме величины увеличения скорости на участках разгона и снижения на участках торможения за цикл равны, поэтому средняя скорость движения w 1ср = const постоянна. В машинах приведенный момент инерции которых зависит от обобщенной координаты, на неравномерность движения оказывает влияние величина изменения приведенного момента инерции. Колебания скорости изменения обобщенной координаты машины не оказывают прямого влияния на фундамент машины. Поэтому эти колебания и вызывающие их причины определяют, так называемую, внутреннюю виброактивность машины.

Величина амплитуды колебаний скорости D w 1 определяется разностью между максимальной w 1max и минимальной w 1min скоростями. За меру измерения колебаний скорости в установившемся режиме принята относительная величина,

которая называется коэффициентом изменения средней скорости

d = D w 1 / w 1ср = ( w 1max- — w 1min ) / w 1ср ,

где w 1ср = ( w 1max + w 1min ) / 2 — средняя угловая скорость машины.

Для различных машин в зависимости от требований нормального функционирования (обрыв нитей в прядильных машинах, снижение чистоты поверхности в металлорежущих станках, нагрев обмоток и снижение КПД в электрогенераторах и т.д.) допускаются различные максимальные значения коэффициента изменения средней скорости. Существующая нормативная документация устанавливает следующие допустимые значения коэффициента неравномерности [ d ] :

дробилки [ d ] = 0.2 . 0.1;

прессы, ковочные машины [ d ] = 0.15 . 0.1;

насосы [ d ] = 0.05 . 0.03;

металлорежущие станки нормальной точности [ d ] = 0.05 . 0.01;

металлорежущие станки прецизионные [ d ] = 0.005 . 0.001;

двигатели внутреннего сгорания [ d ] = 0.015 . 0.005;

электрогенераторы [ d ] = 0.01 . 0.005;

прядильные машины [ d ] = 0.02 . 0.01 .

Чтобы снизить внутреннюю виброактивность и неравномерность движения применяются различные методы:

уменьшение влияния неравномерности внешних сил ( например, применение многоцилиндровых ДВС, насосов и компрессоров с рациональным сдвигом рабочих процессов в цилиндрах );

уменьшение влияния переменности приведенного момента инерции ( тоже обеспечивается увеличением числа цилиндров в поршневых машинах, а также уменьшением масс и моментов инерции деталей, приведенный момент инерции которых зависит от обобщенной координаты );

установка на валах машины центробежных регуляторов или аккумуляторов кинетической энергии — маховиков;

активное регулирование скорости с использованием систем автоматического управления, включая и компьютерное управление.

Рассмотрим подробно наиболее простой способ регулирования неравномерности вращения — установку дополнительной маховой массы или маховика. Маховик в машине выполняет роль аккумулятора кинетической энергии. При разгоне часть положительной работы внешних сил расходуется на увеличение кинетической энергии маховика и скорость до которой разгоняется система становится меньше, при торможении маховик отдает запасенную энергию обратно в систему и величина снижения скорости машины уменьшается. Сказанное иллюстрируется графиками, изображенными на рис. 8.2. На этом рисунке: D w 1 — изменение угловой скорости до установки маховика, D w 1 * — после установки маховика. Отсюда можно сделать вывод: чем больше дополнительная маховая масса, тем меньше изменение D w 1 * и коэффициент неравномерности d .

Определение закона движения D w 1 = f ( j 1 ) и приведенного момента инерции I пр I .

Из теоремы об изменении кинетической энергии можно записать

D T = T — T нач = А, где D T = D T I + D T II = А и T I = I пр I * w 2 1 /2 .

Если допустить, что D T I » dT I , то dT I = I пр I * w 1 * d w 1 . Так как при установившемся движении D w 1 w 1 , то можно считать что w 1 » w 1ср . Тогда, переходя к конечным приращениям, получим:

D T I » I пр I * w 1ср * D w 1 , откуда D w 1 » D T I / I пр I * w 1ср .

Так как I пр I * w 1ср = const , то можно записать что D T Imax » I пр I * w 1ср * D w 1max , где D T Imax — изменение кинетической энергии первой группы звеньев за цикл, D w 1max — изменение угловой скорости за цикл. Подставим в эту формулу выражение для коэффициента неравномерности d = D w 1max / w 1ср и получим формулу для расчета приведенного момента инерции первой группы, который обеспечивает заданный коэффициент неравномерности

Определение момента инерции дополнительной маховой массы (маховика).

Рассмотрим определение маховика для примера рассмотренного в лекции 6 — одноцилиндрового поршневого насоса. В первую группу звеньев в этом примере входят: ротор электродвигателя I рот , детали редуктора I пр ред , кривошипный вал I 01 и маховик I м

откуда момент инерции маховика

Решение задачи регулирования хода машины по методу Н.И.Мерцалова.

При расчете маховика (или решении задачи регулирования хода машины) по методу Н.И.Мерцалова задача решается в следующей последовательности:

Определяются параметры динамической модели, например для ДВС М пр д — приведенный суммарный момент движущих сил и I пр II — приведенный момент инерции второй группы звеньев.

Определяется работа движущих сил А д интегрированием функции М пр д = f( j 1 ) за цикл движения машины (допустим 2 p );

Определяется работа движущих сил за цикл и приравнивается к работе сил сопротивления А д ц = А с ц . Из этого равенства определяется среднеинтегральное значение момента сил сопротивления

и для него строится диаграмма работы А с = f( j 1 ). Суммированием этой диаграммы и диаграммы А д = f( j 1 ) получаем диаграмму А = f( j 1 ).

Делается допущение w 1 » w 1ср , при котором T II » I пр II * w 1ср 2 / 2 (первое допущение метода Мерцалова), и определяется T II = f( j 1 ).

Определяется кинетическая энергия первой группы звеньев

Так как начальные значения кинетической энергии неизвестны, то если учесть, что , получим

то есть, вычитая из суммарной работы приращение кинетической энергии второй группы, получим приращение кинетической энергии первой группы.

По функции D T I = f( j 1 ) определяется максимальное изменение кинетиской энергии за цикл D T Imax . Второй раз делаем допущение w 1 » w 1ср на основании которого, как показано выше, можно записать

Из этого выражения, определив предварительно D T Imax , можно решить две задачи:

задачу синтеза — при заданном [ d ] определить необходимый для его обеспечения приведенный момент инерции I пр I нб ,

задачу анализа — при заданном I пр I определить обеспечиваемый им коэффициент неравномерности d .

Алгоритм решения прямой задачи динамики при установившемся режиме движения машины .

Решение этой задачи рассмотрим на конкретном примере машинного агрегата привода буровой установки.

Дано : Кинематическая схема машины — l AB = 0.12м, l BC = 0.528м, l BS2 = 0.169м, средняя частота вращения кривошипа — w 1ср = 47.124 рад/с 2 , массы звеньев —

m 2 = 24.2 кг, m 3 = 36.2 кг, момент инерции — I 2S = 1.21 кг* м 2 , I 10 = 2.72 кг* м 2 , максимальное давление в цилиндре — p max = 4.4 МПа , коэффициент неравномерности вращения [ d ] = 1/80 , индикаторная диаграмма (приведена на рис. 8.3) .

Определить : закон движения машины w 1 = f( j 1 ) и e 1 = f( j 1 ), момент инерции маховика I доп , обеспечивающий заданную неравномерность вращения [ d ].

Определение параметров динамической модели: М пр д — приведенного суммарного момента движущих сил и I пр II — приведенного момента инерции второй группы звеньев.

Определение первых кинематических передаточных функций. Определение кинематических передаточных функций для звеньев механизма u 21 = u 31 , центров масс V qS1 , V qS2 и V qS3 и точки приложения движущей силы V qD . Для определения этих функций воспользуемся методом проекций векторного контура механизма .

Рассмотрим следующие векторные контуры, изображенные на рис. 8.4 рядом со схемой механизма:

l AB + l CB = l AC ; l AS2 = l AB + l BS2 .

Для первого векторного контура l AB + l CB = l AC проекции на оси координат

Производные от этих выражений

позволяют определить первые передаточные функции

Для третьего векторного контура l AS2 = l AB + l BS2 проекции на оси координат

Производные от этих выражений

позволяют определить первую передаточную функцию

1.2. Определение приведенного момента движущих сил М пр д .

Индикаторную диаграмму (рис.8.3) строим по заданным значениям давления в цилиндре двигателя. Отрезок хода поршня Н C * m i делим на 10 интервалов. В каждой точке деления строим ординату диаграммы, задавшись (при p i /p max = 1 ) максимальной ординатой y pmax . Тогда текущее значение ординаты

Масштаб индикаторной диаграммы

Площадь поршня

При построении графика силы, действующей на поршень, ординаты этого графика принимаем равными ординатам индикаторной диаграммы. Тогда масштаб силы

Для исследуемого механизма приведенный суммарной момент состоит из двух составляющих: движущей силы и момента сил сопротивления

Приведенный момент движущей силы определяется в текущем положении механизма по формуле

где F дi — значение движущей силы,

где y Fдi — ордината силы сопротивления,

m F — масштаб диаграммы сил.

V qСi — значение передаточной функции в рассматриваемом положении механизма,

— угол между вектором силы и вектором скорости точки ее приложения.

Масштаб диаграммы по оси абсцисс определяется по формуле

где b — база диаграммы ( отрезок оси абсцисс, который изображает цикл изменения обобщенной координаты).

1.3. Построение диаграммы приведенных моментов инерции I v пр = I II пр .

Инерционные характеристики звеньев механизма в его динамической модели представлены суммарным приведенным моментом инерции. При расчете эту характеристику динамической модели представляетсяв виде суммы двух составляющих переменной I v пр = I II пр и постоянной I c пр = I I пр . Первая определяется массами и моментами инерции звеньев, передаточные функции которых постоянны, вторые — массами и моментами инерции звеньев передаточные функции которых переменны.

Проведем расчет переменной части приведенного момента инерции I v пр = I II пр . Для рассматриваемого механизма во вторую группу звеньев входят звенья 2 и 3. Звено 3 совершает поступательное движение, звено 2 -плоское. Расчет переменной части приведенного момента проводится по следующим зависимостям:

2. Построение диаграмм работы движущей силы, сил сопротивления и суммарной работы.

Диаграмму работы движущей силы получим интегрируя диаграмму ее приведенного момента

Интегрирование проведем графическим методом (рис.8.8), приняв при этом отрезок интегрирования равным k 1 . Тогда масштаб полученной диаграммы работы движущей силы будет равен

Величина среднеинтегрального момента сил сопротивления определяется по формуле

3. Построение диаграмм кинетических энергий.

Диаграммы кинетических энергий для первой и второй групп звеньев получает на основании теоремы об изменении кинетической энергии системы

График кинетической энергии второй группы звеньев получим из зависимости

принимая, что w 1 » w 1ср . Тогда диаграмма приведенного момента инерции второй группы звеньев в масштабе рассчитанном по формуле

соответствует диаграмме кинетической энергии Т II .

График кинетической энергии первой группы звеньев приближенно строим по уравнению

В каждом положении механизма из ординат кривой A= f ( j 1 ) вычитаем ординаты y TII и получаем ординаты искомой диаграммы T I = f ( j 1 ). Для этого необходимо ординаты диаграммы T II = f ( j 1 ) из масштаба m T перевести в масштаб m A * по формуле

Диаграмма кинетической энергии первой группы звеньев представлена на рис. 8.10.

4. Определение необходимого момента инерции маховых масс первой группы

Максимальное изменение кинетической энергии звеньев первой группы за цикл определяем по диаграмме

Тогда необходимый момент инерции маховых масс первой группы звеньев, обеспечивающий заданный коэффициент неравномерности, равен

4.1. Определение момента инерции дополнительной маховой массы.

В нашем случае момент инерции дополнительной маховой массы рассчитывается по следующей зависимости

где I 10 — момент инерции коленчатого вала .

5. Построение приближенной диаграммы угловой скорости

то есть диаграмма изменения кинетической энергии первой группы звеньев D T I = f( j 1 ) в другом масштабе соответствует диаграмме изменения угловой скорости D w 1 = f ( j 1 ). Если считать что ординаты диаграмм равны, то

Ордината средней угловой скорости ( для определения положения начала координат на диаграмме угловой скорости )

После определения положения оси абсцисс на диаграмме угловой скорости можно определить начальное значение угловой скорости

а по ней кинетическую энергию механизма в начальном положении

6. Определение размеров маховика.

Принимаем конструктивное исполнение маховика — диск. Тогда его основные размеры и масса определятся по следующим зависимостям:

наружный диаметр

ширина b = y b * D ,

масса m = 1230* D 3 ,

где r = 7.8 кг/дм 3 — плотность материала маховика ,

y b — коэффициент ширины .

7. Определение углового ускорения звена приведения.

Как отмечено ранее для расчета углового ускорения звена приведения e 1 = f( j 1 ) лучше пользоваться формулой :

Необходимые для расчета значения величин определяем по ранее построенным диаграммам. Диаграмма функции e 1 = f( j 1 ) приведена на рис. 8.11.

Уточнение метода Н.И. Мерцалова по способу Б.М. Гутьяра.

В методе Мерцалова при определении кинетической энергии второй группы звеньев угловую скорость принимают постоянной и равной среднему арифметическому значению w _1ср . Однако, так как известно не только w _1ср, а и коэффициент неравномерности d , то можно определить минимальное и максимальное значения угловой скорости

По способу предложенному Б.М. Гутьяром из графика кинетической энергии

D T = A S = f ( j ₁ ) вычитается кинетическая энергия D Т _II , определенная по максимальному w _{1 max} и минимальному w _{1 min} значениям угловой скорости (Рис.8.5). В области максимума D T вычитается значение рассчитанное по w _{1 max} , а в области минимума — по w _{1 min} . Таким образом устраняется ошибка вносимая в определение необходимой маховой массы использованием при расчете D Т _II средней угловой скорости w _1ср.

Метод Гутьяра, как и метод Мерцалова, является графо-аналитическим. При этом строятся небольшие участки кривых

По этим участкам определяется наибольшее изменение кинетической энергии первой группы звеньев D T_нб (Рис. 8.5), по которой рассчитывается необходимая для обеспечения заданной неравномерности маховая масса. Величина D T_нб , определенная по методу Гутьяра, всегда меньше, чем определенная по методу Мерцалова. То есть маховик определенный по Мерцалову больше, а коэффициент неравномерности меньше, чем заданный.

Расчет дополнительной маховой массы по методу Виттенбауэра.

Среди графо-аналитических методов расчета маховика теоретически точным считается метод Виттенбауэра. В основе этого метода лежит построение диаграммы кинетическая энергия — приведенный момент инерции (Рис.8.6). После построения этой диаграммы, рассчитываются минимальная w _{1 min} и максимальная w _{1 max} угловые скорости, а по ним угловые коэффициенты наклона касательных

Затем к диаграмме проводятся касательные, образующие с осью х углы y _max и y _min . Точка пересечения этих касательных образует начало новой системы координат, смещенное от исходной по оси y на

где I пр _I — необходимый момент инерции звеньев первой группы, обеспечивающий заданный коэффициент неравномерности, T_нач — начальная кинетическая энергия системы. Так как точка пересечения касательных может при малых d выйти за пределы чертежа, величину ординаты yI можно рассчитать по отрезку ab, отсекаемому на оси у касательными:

Приведенная статическая характеристика асинхронного электродвигателя. Понятие о устойчивости работы машины.

Как отмечалось ранее, силы действующие на механизмы зависят не только от положения или обобщенной координаты, а зависят и от времени или от скорости. Эти зависимости обычно определяются экспериментально и называются механическими характеристиками машины. Механическая характеристика приведенная к обобщенной координате или скорости называется приведенной механической характеристикой. В качестве примера рассмотрим приведенную статическую характеристику асинхронного электродвигателя.

На диаграмме: М пр дп — приведенный пусковой момент; М пр дн — приведенный номинальный крутящий момент; М пр дк или М пр дmax — приведенный критический или максимальный момент; w 1н — номинальная круговая частота вращения звена приведения; w 1хх или w 1с — частота вращения звена приведения на холостом ходу или синхронная. Уравнение приведенной статической характеристики асинхронного электродвигателя на линеаризованном участке устойчивой части

где М пр д — приведенный движущий момент на звене приведения,

w 1 — круговая частота звена приведения ,

Как на исходной статической характеристике двигателя, так и на приведенной можно выделить два участка: устойчивый — bd и неустойчивый — ab. На устойчивом участке при увеличении момента сопротивления на валу двигателя частота вращения уменьшается, обеспечивая сохранение мощности примерно на постоянном уровне, на неустойчивом участке работа двигателя невозможна, так как в любой точке этого участка увеличение момента сопротивления на валу двигателя должно сопровождаться увеличением частоты вращения и увеличением мощности двигателя, при этом моменты сопротивления больше пускового момента двигателя. При увеличении момента сопротивления на валу звена приведения до величины большей М пр дmax двигатель попадает в зону неустойчивой характеристики и останавливается. Для устойчивой работы машины необходимо, чтобы колебания момента сопротивления на

валу звена приведения не выходили за пределы линейной части устойчивого участка приведенной статической характеристики.

Учет приведенной статической характеристики при анализе динамических процессов в машине.

Учет влияния статической характеристики двигателя на закон движения машины можно проводить различными методами:

совместным решением уравнения движения с уравнением статической характеристики;

последовательным приближением (на первом этапе решается задача для сил зависящих только от положения, на втором и последующих учитывается статическая характеристика двигателя).

Рассмотрим решение задачи методом последовательных приближений для машинного агрегата с приводом от асинхронного электродвигателя (пример с поршневым насосом в лекции 6). При первом приближении решается задача определения закона движения без учета статической характеристики, по алгоритму описанному в предыдущем разделе. Затем определяется приведенная статическая характеристика и по ней определяются значения движущего момента при каждом значении угловой скорости, рассчитанной на первом этапе (при первом приближении). По этим значениям момента строится диаграмма движущего момента второго приближения М пр д(2) , затем определяется суммарная работа, кинетическая энергия первой группы звеньев и угловая скорость звена приведения при втором приближении. Далее эти действия повторяются пока различия между результатами расчета на последующем этапе будут отличаться от результатов предыдущего на величину меньшую заданной погрешности. На рис. 8.13 показано графическое решения задачи при втором приближении.

1. Какой режим движения машины называется установившимся ? (стр. 1)

2. Что называется «коэффициентом неравномерности» и какие величины этого коэффициента установлены для различных машин ? (стр. 2)

3. Какими методами регулируется величина «коэффициента неравномерности» ? (стр. 2)

4. Как влияет момент инерции маховика на коэффициент неравномерности ? (стр. 2-3)

5. Как по коэффициенту неравномерности определяется необходимая маховая масса первой группы звеньев ? (стр. 3-4)

6. Изложите алгоритм решения задачи регулирования хода машины по методу Н.И. Мерцалова ? (стр.4-5)

7. По каким зависимостям рассчитываются первые передаточные функции кривошипно-ползунного механизма ? (стр. 5-7)

8. Как определяются параметра динамической модели для двигателя внутреннего сгорания ? (стр. 7-9)

9. Как строится диаграмма кинетической энергии второй группы звеньев ? (стр. 10-11)

10. Как строится диаграмма угловой скорости звена приведения ? (стр. 11-13)

11. Как учитывается статическая характеристика асинхронного электродвигателя при анализе динамических процессов ? (стр.14-16

Уравнение движения механизма

Выполнив приведение сил и масс, любой механизм с одной степенью свободы (рычажный, зубчатый, кулачковый и др.), сколь бы сложным он ни был, можно заменить его динамической моделью (рис. 5.2). Эта модель в общем случае имеет переменный приведенный момент инер- ции и к ней приложен суммарный приведенный момент . Закон движения модели такой же, как и закон движения начального звена механизма (см. 5.1).

Рис. 5.2. Динамическая модель механизма с W = 1

после приведения сил и масс

Основой для составления уравнения движения механизма с одной степенью свободы служит теорема об изменении кинетической энергии:

Работу совершают все активные силы и моменты и силы трения во всех кинематических парах механизма.

Уравнение движения в энергетической форме. Запишем формулу для кинетической энергии модели, учитывая уравнение (5.1):

(5.3)

Так как вся нагрузка, приложенная к модели, выражается суммарным приведенным моментом , то сумма работ равна

_(5.4)

Здесь переменная интегрирования φ_м заменена координатой φ₁ начального звена, так как φ_м = φ₁.

Подставив выражения (5.4) в (5.2), получим уравнения движения в энергетической форме:

_(5.5)

где искомой величиной является угловая скорость φ₁ начального звена механизма.

В общем случае верхний предел φ₁ интегрирования в равнении (5.5) считается переменным. Если вся нагрузка, приложенная к механизму, зависит только от его положения, то и суммарный приведенный момент есть функция только координаты φ₁. В этом случае уравнение (5.5) решается непосредственно относительно искомой величины ω₁:

(5.6)

Укажем, что интеграл под корнем имеет знак, который необходимо учитывать.

Уравнение движения в дифференциальной форме.

Продифференцируем (5.5) по координате φ₁:

Определим производную, стоящую в левой части уравнения, помня, что в общем случае переменной величиной является не только угловая скорость ω₁, но и . Поэтому

(5.7)

Это и есть уравнение движения в дифференциальной форме, поскольку искомая переменная величина – угловая скорость ω₁ начального звена механизма – стоит под знаком производной. При пользовании уравнением (5.7) следует помнить, что суммарный приведенный момент , а также производная d/dφ₁ величины алгебраические и подставляются со своими знаками.

В том случае, когда исследуется механизм, имеющий = const (например, зубчатый механизм с круглыми центроидами), уравнение его движения упрощается и приобретает вид

(5.8)

Уравнение движения в дифференциальной форме (5.7) может быть получено также и из уравнения Лагранжа второго рода.

Для определения углового ускорения ₁ начального звена используем уравнение (5.7) и решаем его относительно

(5.9)

Величины и d/dφ₁ подставляются в уравнение (5.9) со своими знаками. Если угловое ускорение ₁ получится со знаком, противоположным знаку угловой скорости ω₁, значит, начальное звено механизма движется замедленно.

Производную d/dφ₁ подсчитывают численным дифференцированием или графическим дифференцированием. Необходимо отметить, что существует другой значительно более точный (но и более трудоемкий) способ определения производной d/dφ₁ , который можно найти в специальной литературе.

7 Уравнения движения механизма

Уравнения движения механизма

Выполнив приведение сил и масс, любой механизм с одной степенью свободы (рычажный, зубчатый, кулачковый и др.), сколь бы сложным он ни был, можно заменить его динамической моделью (рис. 7.1). Эта модель в общем случае имеет переменный приведенный момент инерции и к ней приложен суммарный приведенный момент . Закон движения модели такой же, как и закон движения начального звена механизма (см. уравнение 7.1).

(7.1)

Работу совершают все активные силы и моменты и силы трения во всех кинематических парах механизма.

Уравнение движения в энергетической форме. Запишем формулу для кинетической энергии модели, учитывая уравнение (7.1):

Рекомендуемые файлы

. (7.2)

Так как вся нагрузка, приложенная к модели, выражается суммарным приведенным моментом , то сумма работ равна

(7.3)

Здесь переменная интегрирования заменена координатой начального звена, так как

Учитывая (5.16) и подставив выражения (7.2) и (7.3) в основное уравнение (7.1), получим уравнение движения в энергетической форме:

(7.4)

где искомой величиной является угловая скорость начального звена механизма. В общем случае верхний предел интегрирования в уравнении (7.4) считается переменным.

Если вся нагрузка, приложенная к механизму, зависит только от его положения, то и суммарный приведенный момент есть функция только координаты . В этом случае уравнение (7.4) решается непосредственно относительно искомой величины :

(7.5)

Укажем, что интеграл под корнем имеет знак, который надо учитывать.

Уравнение движения в дифференциальной форме. Продифференцируем уравнение (7.4 по координате :

Определим производную, стоящую в левой части уравнения, помня, что в общем случае переменой величиной является не только угловая скорость , но и . Поэтому:

(7.6)

Это и есть уравнение движения в дифференциальной форме, поскольку искомая переменная величина — угловая скорость начального звена механизма — стоит под знаком производной. При пользовании уравнением (7.6) надо помнить, что суммарный приведенный момент , а также производная суть величины алгебраические и подставляются со своими знаками.

В том случае, когда исследуется механизм, имеющий (например, зубчатый механизм с круглыми колесами), уравнение его движения упрощается и приобретает такой вид:

(7.7)

Уравнение движения в дифференциальной форме (7.6) может быть получено также и из уравнений Лагранжа II рода [2], [4].

Для определения углового ускорения начального звена используем уравнение (7.6), решим его относительно :

(7.8)

Величины и подставляются в уравнение (7.8) со своими знаками. Если угловое ускорение получится со знаком, противоположным знаку угловой скорости , то это значит, что начальное звено механизма движется замедленно.

Производная подсчитывается или численным дифференцированием на ЭВМ, или графическим дифференцированием (см. § 4.2). Другой значительно более точный (но и более трудоемкий) способ определения производной можно найти в литературе

(см.: Минут С. Б. Об определении производной приведенного момента инерции массы звеньев механизма// Науч. тр. МВТУ им. Н. Э. Баумана, 1970; Зиновьев В. А., Бессонов А. П. Основы динамики машинных агрегатов. М., 1964).

Основные режимы движения машины.

При установившемся режиме III скорость главного вала изменяется периодически. В частном случае скорость может быть постоянной. В установившемся режиме работает большинство энергетических и технологических машин. Часто установившееся движение чередуется с разгонами (при повышениях скоростного режима II) и торможениями (при понижениях скоростного режима IV). Так работают, например, автомобильный двигатель и различные другие транспортные машины. Многие механизмы в установившемся режиме вообще не работают. Это особенно характерно для целого ряда приборов (реле, контакторы и т. п.). Их механизм во время срабатывания (режим VI) переходит из одного положения в другое, не совершая замкнутого повторяющегося кинематического цикла.

Неустановившийся режим движения машины имеет место тогда, когда ее пускают в ход и она, набирая скорость, выходит на установившийся режим, а также тогда, когда для остановки машины ее двигатель выключают и она продолжает двигаться за счет накопленного запаса кинетической энергии; при этом машина постепенно теряет скорость из-за действия сил трения или каких-либо других сил сопротивления, в том числе и специальных тормозных сил. В этих случаях необходимо знать, насколько быстро происходят переход из неподвижного состояния в рабочее и обратный переход до полной остановки. Применительно к транспортным машинам изучение обратного перехода особенно важно для надежного расчета длины тормозного пути. Исследование неустановившегося режима движения дает возможность определить время срабатывания механизма, что абсолютно необходимо для проектирования многих приборов, таких, как фотозатворы, средства автоматической защиты и др.

Разгоны (разбеги) и торможения могут происходить с большим ускорением. Это вызывает значительное динамическое нагружение механизма, что, в свою очередь, может привести к перенапряжениям и даже к поломкам.

Во время разбега и выбега угловая скорость многих машин проходит через критическую (резонансную) зону. Во избежание динамической перегрузки механизма и возможной аварии проход этой зоны должен быть достаточно быстрым, что надо обеспечить при проектировании, сделав расчет обеих фаз неустановившегося режима. Решение многих других динамических задач также связано с исследованием этого режима.

Таким образом, изучение неустановившихся (переходных) процессов весьма существенно для грамотного динамического проектирования механизма, машины или прибора.

Для определения закона движения механизма при неустановившемся режиме должны быть известны следующие исходные данные: кинематическая схема механизма; характеристики геометрии масс всех подвижных звеньев; механические характеристики сил и моментов; начальные условия движения. Последнее важно для исследования именно неустановившегося режима.

Рассмотрим механизм, нагруженный силами и моментами, которые являются функциями только перемещения своих точек приложения. Пусть приведенный момент инерции рассматриваемого механизма имеет переменную величину . Требуется определить зависимость скорости начального звена от его угла поворота, т. е. . Подобная задача является весьма распространенной. В качестве примеров можно привести механизмы дизель-компрессоров, буровых станков и подъемных кранов с приводом от двигателей внутреннего сгорания, различных устройств с пневмоприводом, приборов с пружинными двигателями и др.

Неустановившееся движение механизма

(переходные режимы работы)

Способами, изложенными в предыдущих лекциях строим диаграммы и , таким образом динамическая задача сводится к следующей: известны зависимости и , требуется определить закон изменения угловой скорости и углового ускорения звена приведения (модели).

Для решения данной задачи нужно взять уравнение движения, составленное в энергетической форме:

(7.9)

Порядок определения искомой угловой скорости таков:

1. Выполняют приведение масс и строят суммарную диаграмму приведенного момента инерции ;

2. По механическим характеристикам строят диаграммы приведенного движущего момента, затем диаграмму суммарного приведенного момента

Если силы тяжести и силы трения значительны, то их приведенные моменты должны войти слагаемыми в величину , т.е.

3. Графическим интегрированием строим диаграмму работы суммарного приведенного момента.

По уравнению (7.9) c учетом начальных условий определяют угловую скорость начального звена (модели) и строят зависимость

Если , то (7.10)

Если , то

Для определения углового ускорения начального звена (модели) используем уравнение движения, составленное в дифференциальной форме и решим его относительно

(7.11)

из уравнения видно, что для подсчета величины необходимо знать и в том положении начального звена, для которого определяется , а также нужно знать зависимость , по которой находят

Производную определяют графическим дифференцированием

Следует напомнить что величины и подставляют в уравнение (7.11) со своими знаками. Заметим, что графическое дифференцирование зависимости вносит некоторую ошибку во второй член уравнения.

Для тихоходных машин второй член уравнения (7.11) мал по сравнению с первым, поэтому ошибка существенного значения не имеет.

Для быстроходных машин второе слагаемое, зависящее от квадрата угловой скорости, может быть весьма значительным. В этом случае следует точно определить производную путем использования передаточных функций скоростей и ускорений (предложенных Минутом С.Б.), угловое ускорение величина алгебраическая.

Существует другой менее точный, но более простой способ определения , основанный на применении диаграммы = — метод поднормалей.

(7.12)

где — масштаб углового ускорения, = (по построению)

Величина и знак производной определяются по диаграмме аналогично определению производной

— угол наклона касательной, проведенной к кривой , с положительным направлением оси x.

(7.13)

Определение продолжительности переходного процесса

Рассмотрим построение кривой времени (рис. 7.5) по заданной диаграмме . При интегрировании обратной функции применяем метод трапеций. В пределах выбранных участков 01, 12,… кривую заменяем ступенчатым графиком с ординатами . Величины указанных ординат определяются из условия равенства площадей криволинейных трапеций и соответствующих прямоугольников. Ординаты и т.д. переносим на ось ординат, затем и на отрицательную полуось абцисс и получаем точки 1’, 2’,… i’. Отложив на оси ординат отрезок интегрирования К, соединяем точки 1’, 2’,… i’ с концом отрезка интегрирования. На диаграмме в пределах каждого участка проводим линии, параллельные линиям 1’K, 2’K,… i’K и т.д. Через точки 0, 1”, 2”…i” проводим кривую, которая является кривой времени , в масштабе мм/с. Масштаб вычисляем из равенства углов на кривой и .