Уравнение движения шарика вязкой жидкости

Министерство образования и науки Российской Федерации
ИРКУТСКИЙ НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ

ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ
Институт заочно-вечернего обучения

Отчет по лабораторной работе № 2.1
«Определение коэффициента динамической вязкости жидкости методом Стокса»

Студент группы КНбз-20-1_____________Д.А. Коровкин
№ зачетной книжки 20150787
Принял:____________________________ Кузнецова С.Ю.

Различают два типа течения вязкой жидкости – ламинарное и турбулентное. Турбулентным называется такое течение жидкости, при котором её частицы совершают неустановившееся и неупорядоченные движения по сложным траекториям, приводящим к перемешиванию слоёв. Ламинарное – это упорядоченное течение жидкости, при котором траектории движения соседних частиц мало отличаются друг от друга. При ламинарном течении жидкость можно рассматривать как совокупность отдельных слоёв, движущихся с различными скоростями. Это обусловлено тем, что при движении слоев жидкости относительно друг друга с различными скоростями между ними возникает тормозящая сила, это сила внутреннего трения или сила вязкости. Вязкость – это свойство жидкости оказывать противодействие перемещению её слоёв относительно друг друга.

Природа этих сил заключается в том, что слои жидкости, движущиеся с разными скоростями, обмениваются энергией: слои с молекулами, имеющими большую скорость, передают некоторое количество движения более медленным слоям, ускоряя их, но при этом сами подвергаются торможению. Ньютон показал, что сила внутреннего трения, действующая на средние слои, прямо пропорциональна градиенту скорости слоев в направлении, перпендикулярном течению:

Градиент скорости – это изменение скорости двух слоёв жидкости dV на расстоянии между слоями dX. Коэффициент динамической вязкости зависит от природы жидкости и уменьшается с повышением ее температуры. Закон Ньютона определяет также силу трения, возникающую на границе между жидкостью и движущимся в ней твердым телом, например, шариком.

Метод Стокса. Стоксом был предложен метод определения  , основанный на анализе движения шарика, свободно падающего в вязкой жидкости. Это возможно если плотность материала шарика _ш больше плотности жидкости _ж в которой он движется. Характер его движения определяется тремя действующими на него силами (рис. 2): силой тяжести , выталкивающей силой Архимеда и силой вязкого трения . Уравнение движения шарика из основного закона динамики в данном случае принимает вид:

, (1)

где т – масса шарика; – скорость его движения относительно жидкости; – ускорение свободного падения. В проекции на ось 0 х, т.е. на направление движения шарика уравнение (1) запишется:

. (2)

Особенность силы вязкого трения заключается в том, что ее величина зависит от скорости движения тела относительно жидкости. При малых скоростях эта зависимость прямо пропорциональная. В начале, при увеличении скорости тела сила трения возрастает настолько, что движение становится равномерным. Если тело имеет постоянную скорость, т.е. движение установившееся, то и получим уравнение

. (3)

Выразим составляющие силы, входящие в уравнение (3) через параметры жидкости и шарика. Для тел сферической формы, модуль силы вязкого трения определяется формулой Стокса:

(4)

где r – радиус шарика; V – скорость его движения относительно жидкости.

Важно отметить, что формула (4) справедлива только в случае ламинарного течения жидкости относительно шарика (скорость движения шарика должна быть небольшой), а жидкость по всем направлениям простирается безгранично, т.е. размеры сосуда, в котором находится жидкость, должны быть много больше по сравнению с размерами шарика. Условия ламинарности можно считать выполненными, если число Рейнольдса Re _кр

, (5)

где ?_ж — плотность жидкости, а критическое значение числа Рейнольдса для шарика Re _кр , движущегося в жидкости можно принять равным единицы.

Выразим массу шарика через его плотность и объем

, (6)

а выражение для архимедовой силы принимает вид:

(7)

Подставляя выражения (4), (6) и (7) в уравнение (3), и учитывая, что d=2r, после простых преобразований получим

. (8)

Ц
ель работы изучение явления внутреннего трения в жидкостях и опытное определение величины коэффициента вязкости жидкости методом Стокса на виртуальной лабораторной установке.

На цилиндре имеются метки 3 и 4. Расстояние между метками L можно замерить при помощи линейки 6, а диаметр шарика – при помощи микрометра. Время прохождения между метками 3 и 4 можно определить с помощью секундомера 5. Метка 3 помещена на несколько сантиметров ниже верхнего уровня жидкости для выполнения условия равномерного движения шарика в жидкости; V = const на участке L. Цилиндр закрыт пробкой с воронкой, в которую опускается шарик, двигающийся в дальнейшем примерно по оси цилиндра так, чтобы на его движение не влияли стенки. При более точных измерениях необходимо учитывать влияние размеров стеклянного цилиндра.

Эксперимент можно проводить как на физической, так и на виртуальной модели установки.

𝜌_ш = (7,8 ± 0,1) ∙ 10 3 кг/м 3 .
Порядок выполнения работы

1. Получить свой вариант задания и допуск к работе у ведущего преподавателя. Свой вариант (значения L и d) можно взять из таблицы в приложении по номеру зачётной книжки, в нашем случае это:

2. Ознакомился с работой виртуальной лабораторной установки.

3. Провел пробные измерения для различных значений диаметра шарика d и расстояния между метками L, определяя время прохождения между метками при помощи секундомера.

4. Занес в таблицу заданные в вашем варианте значения: расстояние L_iмежду метками 3 и 4 (см. рис.3), диаметр шарика d_i и его плотность ρ_ш, а также плотность исследуемой жидкости ρ_ж.

5. Сбросив шарик в сосуд с жидкостью. В момент касания шариком верхней метки запустил секундомер, а в момент касания шариком нижней метки остановил его. Записал в таблицу показание секундомера t_i.

6. Кнопкой “СБРОС” установил нуль на табло секундомера.

7. Повторил измерения пять раз, задавая различные значения диаметра шариков d_i и расстояние L_i между метками (пункт 3 и 4).

8. Результаты опытов занесены в таблицу измерений.

Таблица 1

Пример расчета для первого эксперимента таблицы 1: скорость шарика 𝑣₁ = L₁ /t₁

9. Вычислить коэффициент вязкости η для каждого из пяти опытов по рабочей формуле (7).

(Па*с)

(Па*с)

(Па*с)

(Па*с)

(Па*с)

Число Рейнольдса

10. Найти среднее значение коэффициента вязкости по формуле

11.Определить абсолютные приборные погрешности прямых измерений (расстояния между метками ∆L, диаметра шарика ∆d, времени его падения ∆t, плотности шарика ∆ρ_ш и жидкости ∆ρ_ж), а также их относительные ошибки ε_L , ε_d , ε_ρ и ε_t.

∆L=0.5 см дано в таблице вариантов;

∆d=0.05 см дано в таблице вариантов;

∆t=0,1 с, так как секундомер цифровой, цена деления его составляет 0,1 с.

12.Оценить полную абсолютную ∆η и относительную ε погрешности.

здесь количество экспериментов n = 5, доверительная вероятность α = 0,95, коэффициент Стьюдента t_0,95;5 = 2,8.

𝜂_𝑖 − 𝜂̅, Па с

1,47

13. Записать конечный результат в виде η= 1,47± 0,05 (Па с)

14. Сравнить полученное значение η со справочными данными. Полученный экспериментальным путем диапазон значений η = 1,47 ± 0,05 (Па с) включает в себя табличное значение коэффициента вязкости для глицерина при комнатной температуре (20 0 С)

η, 10 -3 Па· с

15. По результатам эксперимента сделали вывод: в ходе выполнения работы изучили явления внутреннего трения в жидкостях и опытным путем определили величины коэффициента вязкости жидкости методом Стокса на виртуальной лабораторной установке.

Измеряем вязкость жидкости

Экспериментальная задача по измерению вязкости жидкости была сформулирована нашим учителем в виде отдельных терминов и фраз, которые для получения условия нужно было связать воедино. Выглядела она так: измерение вязкости электронный секундомер шарик тонет формула Стокса

Метод Стокса, с помощью которого должна решаться задача, является общеизвестным и широко применимым (к примеру, в медицине его используют для измерения вязкости плазмы крови). Необычность же предлагаемого способа заключается в применении компьютера с электронным блоком сопряжения для повышения точности и быстроты измерений.

На движущийся в жидкости шарик действует сила трения, тормозящая его движение. При условии, что диаметр шарика заметно меньше диаметра сосуда, эту силу можно вычислить по закону Стокса:

Где r-радиус шарика, v-его скорость. Если шарик свободно падает в вязкой жидкости, то на него, кроме силы трения, будут действовать направленная вниз сила тяжести и направленная вверх архимедова сила.

На основании второго закона Ньютона получаем запись: m dv/dt=ρVg — ρ1Vg — 6πηrv

В этом уравнении сила сопротивления имеет переменное значение. Поскольку с течением времени эта сила растет, то ускорение движения уменьшается до нуля и движение шарика становится равномерным. В этот момент сила тяжести, действующая на шарик, оказывается равной сумме сил трения и архимедовой силы.

Отсюда следует, что скорость равномерного движения шарика может быть определена уравнением: v=Vg(ρ – ρ1)/6πηr

Существенно то, что эта скорость пропорциональна разности плотностей шарика и жидкости. Поэтому, чем ближе плотность шарика к плотности жидкости, тем меньше скорость равномерного движения шарика и тем точнее она может быть измерена. Кроме этого необходимо, чтобы обтекание шарика жидкостью было ламинарным, что также достигается при малых скоростях движения. В вискозиметрах заводского изготовления с этой целью применяется набор различных шариков, чтобы можно было измерять вязкость в большом диапазоне значений.

Если учесть, что объем шара V=4πr3 /3, то полученное уравнение изменяется:

Таким образом, для определения вязкости жидкости нужно измерить ее плотность, плотность материала шарика, его радиус и скорость движения.

Измерение скорости равномерного движения с достаточно большой точностью и является главной проблемой в этом опыте. С этой целью в нашей школе мы применяем инфракрасные датчики положения и электронный блок сопряжения с компьютером.

Работа с прибором

Для проведения опыта потребуется стеклянная трубка такого сечения, чтобы она входила в корпус инфракрасных датчиков положения, шарик с диаметром заметно меньшим, чем диаметр трубки, весы, измерительный цилиндр и штангенциркуль.

Если диаметр шарика соизмерим с диаметром трубки, то в найденное значение вязкости придется вводить поправочный коэффициент h/(R + 0. 24r)(h + 1. 33r), где h – высота жидкости в трубке, R – радиус трубки, r — радиус шарика.

С помощью весов и штангенциркуля находим массу и объем шарика, чтобы вычислить его плотность. Для определения плотности жидкости применим измерительный цилиндр и весы.

С помощью штатива закрепляем трубку в вертикальном положении и заполняем ее исследуемой жидкостью. В нижней части трубки устанавливаем инфракрасные датчики на любом известном расстоянии друг от друга. Роняем шарик в жидкость, чтобы убедиться в том, что в процессе падения он не задевает стенок трубки и перекрывает инфракрасный луч, включая секундомер. Для удобства проведения опыта желательно использовать несколько одинаковых шариков, чтобы не добывать его каждый раз из жидкости.

После всех этих подготовительных действий можно ввести в компьютер программу, обслуживающую секундомер и произвести измерение скорости движения шарика. Значение скорости появится на экране монитора после введения с клавиатуры значения расстояния между датчиками, соответствующий вопрос появится в диалоговом окне сразу, как только шарик пройдет мимо инфракрасных датчиков положения. Поскольку прибор является многофункциональным, то он выдаст на экран значения времени движения, максимальной скорости, дальности и т. д. На эти числа внимания не обращаем, а используем для работы только величину средней скорости.

Скорость движения шарика в воде 0,0016 м/с

Масса шарика 0,55 г

Диаметр шарика 10 мм

Внутренний диаметр трубки 12,5 мм

Расстояние между датчиками 0,5 м

Температура в помещении 19 градусов

Произведенные измерения дают такой результат для вязкости воды:

η = 0,0010334 Па * с, что хорошо согласуется с табличным значением при данной температуре.