Уравнение движения тела брошенного вертикально вверх

Движение тела, брошенного вертикально вверх (вниз)

Начнем с утверждения, что

все тела на Земле, брошенные вертикально вверх, брошенные вертикально вниз и свободно падающие, — все они падают вниз или летят вверх с одним и тем же ускорением — ускорением свободного падения .

Надо сказать, что во всех трех случаях:

1. бросание тела вверх
2. бросание тела вниз
3. свободное падение тела

— во всех этих трех случаях ускорение свободного падения направлено исключительно вниз. Вертикально вниз.

1. В случае подбрасывания вверх движение тела — равнозамедленное (начальная скорость направлена вверх, ускорение — вниз — оно тормозит тело);
2. В случае бросания вниз движение тела — равноускоренное;
3. Также движение тела равноускоренное и в случае свободного падения с нулевой начальной скоростью.

Это утверждение бывает трудно воспринять. Жизнь нам показывает другое: камень и перышко падают по-разному. Камень падает быстро, а перышко спускается медленно. Никак нельзя сказать, что движение у них происходит с одним и тем же ускорением. Да, это так, но падение в этом случае — не свободное . Им мешает воздух. Есть такой классный опыт — трубка Галилея. В нем перышко и камень падают внутри трубки, из которой откачан воздух.

Движение там происходит действительно почти одинаково. Можете сами посмотреть видео .

Обратите внимание на то, что тела, подброшенные вертикально вверх, летят вверх с тем же ускорением свободного падения. Пока тело летит вверх, это ускорение направлено в сторону, противоположную движению. Оно замедляет движение вверх. Подброшенное вверх тело достигает верхней точки траектории и начинает падать вниз с тем же ускорением. Движение тела, брошенного вертикально вверх, — равноускоренное движение. При этом ускорение тела одинаково и направлено в сторону земли и тогда, когда тело летит вверх, и тогда, когда оно падает вниз.

Разбираться в этой теме лучше всего на конкретных задачах.

Шаг 1. Сделаем рисунок.

На рисунке обязательно надо указывать:

• вектор ускорения свободного падения
• ось для проектирования
• вектор начальной скорости.

Шаг 2. Мы знаем, что движение происходит под действием ускорения свободного падения. То есть движение равноускоренное. Для равноускоренного движения мы знаем следующие формулы, которые описывают зависимость координаты от времени и проекции скорости от времени:

«Адаптируем» эти уравнения к нашему случаю. Что это значит? Запишем правильные значения начальной координаты x 0 x_0 x 0 ​ , начальной скорости V 0 x V_ <0x>V 0 x ​ и ускорения a x a_x a x ​ .

Тогда наши формулы перепишутся в виде:

Или, если подставить числа и упростить:

Мы записали уравнения изменения координаты и проекции скорости.

Шаг 3. Теперь построим графики зависимости координаты и проекции скорости от времени.

Чтобы найти точки пересечения параболы с осью абсцисс, решим уравнение 2 t − 5 t 2 = 0 2t-5t^2=0 2 t − 5 t 2 = 0 :

Все нужное мы записали и построили.

Шаг 4. Предлагаем немного проанализировать полученные решения. Посмотрим на графики. Видно, что с увеличением времени координата сначала увеличивается — это наше тело подлетает наверх. Затем в момент времени 0 , 2 0,2 0 , 2 с тело достигает своей вершины — вершины параболы. Затем тело падает вниз и с увеличением времени координата все уменьшается и уменьшается.

Скорость. В начальный момент времени тело имело некоторую скорость. С увеличением времени (мы видим по графику) скорость все уменьшается, уменьшается и уменьшается, но ее проекция остается положительной. Это наше тело движется вверх. В верхней точке траектории тело «замирает» — скорость становится равной нулю. Затем тело начинает двигаться вниз. Скорость теперь уже направлена вниз — противоположно направлению оси O X OX O X . Поэтому проекция скорости становится отрицательной.

Последнее, что нам необходимо узнать в этой теме, — это значения координаты и скорости в некоторых особых точках. Это:

• максимальная высота подъема
• время подъема
• время полета (до падения)
• скорость в нижней точке траектории.

Удобнее всего рассмотреть конкретный пример.

б) максимальную высоту (относительно земли) h в е р ш и н ы h_ <вершины>h в е р ш и н ы ​ , на которую поднимается мячик;

в) скорость в момент пролета мячиком балкона при падении V б а л к о н V_ <балкон>V б а л к о н ​ ;

г) скорость в момент времени, когда мячик достигнет земли V з е м л я V_ <земля>V з е м л я ​ .

Шаг 1. Прежде всего — сделаем рисунок, введем вертикальную ось.

Шаг 2. Запишем уравнения движения для нашего случая.

«Адаптируем» эти уравнения в общем виде к нашему конкретному случаю:

Подставим и числа тоже:

А теперь — самое главное (!).

Чтобы найти что-то в определенных точках траектории, нужно понять — чем эти точки отличаются от всех остальных точек траектории.

Найдем высоту подъема. Для этого подставим t в е р ш и н ы t_ <вершины>t в е р ш и н ы ​ в уравнение для координаты:

Мы справились с пунктами а) и б).

Точка пролета балкона и точка падения уникальны тем, что в них известны координаты. В точке пролета балкона y б а л к о н а = h = 1 y_<балкона>=h=1 y б а л к о н а ​ = h = 1 , а в нижней точке координата равна нулю: y з е м л я = 0 y_<земля>=0 y з е м л я ​ = 0 .

Проекция скорости получилась отрицательной, поскольку мячик летел уже вниз. Обратите внимание: скорость точно такая же, как была при броске. Просто направлена уже в другую сторону. Так проявляет себя закон сохранения механической энергии, к которому мы обратимся немного позже.

Осталось найти скорость в момент времени, когда мячик достигнет земли. В нижней точке y з е м л я = 0 y_<земля>=0 y з е м л я ​ = 0 . Используем этот факт и найдем время, за которое мячик достигнет земли:

У этого квадратного уравнения два корня: t 1 = − 0 , 2 t_1=-0,2 t 1 ​ = − 0 , 2 и t 2 = 1 t_2=1 t 2 ​ = 1 .

Первый момент времени нас не устраивает, поскольку он отрицательный. А второй — устраивает. Именно этот момент времени соответствует падению мячика на землю.

Найдем скорость в этот момент времени. Для этого подставим время t = 1 t=1 t = 1 в уравнение скорости V y = 4 − 1 0 t V_y=4-10t V y ​ = 4 − 1 0 t :

Скорость получилась отрицательная, поскольку мячик летит вниз, а ось направлена вверх.

Еще раз резюме : чтобы найти какие-то величины в особых точках, нужно использовать их «особенности»; на вершине траектории скорость равна нулю, а в определенных точках траектории обычно известна координата тела.

Задачи для самостоятельного решения: #движение по вертикали

Движение тела, брошенного вертикально вверх

Если тело бросить вертикально вверх при наличии начальной скорости υ 0 , оно будет двигаться равнозамедленно с ускорением, равным a = — g = — 9 , 81 υ c 2 .

Формулы вычисления показателей движения брошенного тела

Высота подбрасывания h за время t и скорость υ через промежуток t можно определить формулами:

t m a x — это время, за которое тело достигает максимальной высоты h m a x = h , при υ = 0 , а сама высота h m a x может быть определена при помощи формул:

Когда тело достигает высоты, равной h m a x , то оно обладает скоростью υ = 0 и ускорением g . Отсюда следует, что тело не сможет оставаться на этой высоте, поэтому перейдет в состояние свободного падения. То есть, брошенное вверх тело – это равнозамедленное движение, при котором после достижения h m a x изменяются знаки перемещения на противоположные. Важно знать, какая была начальная высота движения h 0 . Общее время тела примет обозначение t , время свободного падения — t п , конечная скорость υ к , отсюда получаем:

Если тело брошено вертикально вверх от уровня земли, то h 0 = 0 .

Время, необходимое для падения тела с высоты, куда предварительно было брошено тело, равняется времени его подъема на максимальную высоту.

Так как в высшей точке скорость равняется нулю видно:

Конечная скорость υ к тела, брошенного от уровня земли вертикально вверх, равна начальной скорости υ 0 по величине и противоположна по направлению, как показано на ниже приведенном графике.

Примеры решения задач

Тело было брошено вертикально вверх с высоты 25 метров со скоростью 15 м / с . Через какой промежуток времени оно достигнет земли?

Дано: υ 0 = 15 м / с , h 0 = 25 м , g = 9 , 8 м / с 2 .

Найти: t .

Решение

t = υ 0 + υ 0 2 + g h 0 g = 15 + 15 2 + 9 , 8 · 25 9 , 8 = 3 , 74 с

Ответ: t = 3 , 74 с .

Был брошен камень с высоты h = 4 вертикально вверх. Его начальная скорость равняется υ 0 = 10 м / с . Найти высоту, на которую сможет максимально подняться камень, его время полета и скорость, с которой достигнет поверхности земли, пройденный телом путь.

Дано: υ 0 = 10 м / с , h = 4 м , g = 9 , 8 м / с 2 .

Найти: H , t , v 2 , s .

Решение

H = h 0 υ 0 2 2 g = 4 + 10 2 9 , 8 = 14 , 2 м .

t = υ 0 + υ 0 2 + g h 0 g = 10 + 10 2 + 9 , 8 · 4 9 , 8 = 1 , 61 с .

υ 2 = υ k = 2 g H = 2 · 9 , 8 · 14 , 2 = 16 , 68 м / с .

s = H — h 0 + H = 2 H — h 0 = 2 · 14 , 2 = 24 , 4 м .

Ответ: H = 14 , 2 м ; t = 1 , 61 с ; v 2 = 16 , 68 м / с ; s = 24 , 4 м .

Движение тела, брошенного вертикально вверх

Этот видеоурок доступен по абонементу

У вас уже есть абонемент? Войти

Данный видеоурок предназначается для самостоятельного изучения темы «Движение тела, брошенного вертикально вверх». В ходе этого занятия учащиеся получат представление о движении тела, находящегося в свободном падении. Учитель расскажет о движении тела, брошенного вертикально вверх.