Уравнение движения тела переменной массы. Реактивное движение
Автор работы: Пользователь скрыл имя, 22 Ноября 2015 в 16:24, реферат
Краткое описание
Рассмотрим случай, когда в процессе движения масса материальной точки изменяется. Пусть в некоторый момент времени t масса двигающегося тела m и скорость .
Спустя время масса уменьшится на , а скорость увеличится на . При этом отделившаяся масса имеет скорость относительно данного тела.
Содержание
Уравнение движения тел переменной массы.
Реактивное движение.
Формула Циолковского.
Список используемой литературы.
Прикрепленные файлы: 1 файл
Уравнение движения тела переменной массы. Реактивное движение..docx
Министерство образование и науки Российской Федерации
Федеральное государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования.
«Казанский национальный исследовательский технологический университет»
Реферат
На тему: Уравнение движения тела переменной массы. Реактивное движение.
Выполнил работу: Бикбаева А.М.
Студент группы: 4151-13
Проверил: Сальманов Р.С.
- Уравнение движения тел переменной массы.
- Реактивное движение.
- Формула Циолковского.
- Список используемой литературы.
1.Уравнение движения тел переменной массы.
Рассмотрим случай, когда в процессе движения масса материальной точки изменяется. Пусть в некоторый момент времени t масса двигающегося тела m и скорость .
Спустя время масса уменьшится на , а скорость увеличится на . При этом отделившаяся масса имеет скорость относительно данного тела.
По II закону Ньютона:
— равнодействующая внешних сил, действующих на тело.
Свяжем ИСО с телом в момент времени t.
В выбранной СО тело в момент начала наблюдения покоится. Определим изменение импульса системы тел:
Разделим полученное выражение на dt:
— то после соответствующей замены получаем:
Полученное уравнение называют основным уравнением динамики точки переменной массы или уравнением Мещерского.
— реактивная сила, возникающая вследствие действия на тело отделяемой (или присоединяемой) массы.
После замен получаем основное уравнение динамики при движении тела переменной массы:
В течение многих веков человечество мечтало о космических полётах. Писатели-фантасты предлагали самые разные средства для достижения этой цели. В XVII веке появился рассказ французского писателя Сирано де Бержерака о полёте на Луну. Герой этого рассказа добрался до Луны в железной повозке, над которой он всё время подбрасывал сильный магнит. Притягиваясь к нему, повозка всё выше поднималась над Землёй, пока не достигла Луны. А барон Мюнхгаузен рассказывал, что забрался на Луну по стеблю боба.
Но ни один учёный, ни один писатель-фантаст за многие века не смог назвать единственного находящегося в распоряжении человека средства, с помощью которого можно преодолеть силу земного притяжения и улететь в космос. Это смог осуществить русский учёный Константин Эдуардович Циолковский (1857-1935). Он показал, что единственный аппарат, способный преодолеть силу тяжести — это ракета, т.е. аппарат с реактивным двигателем, использующим горючее и окислитель, находящиеся на самом аппарате.
Законы Ньютона позволяют объяснить очень важное механическое явление — реактивное движение. Так называют движение тела, возникающее при отделении от него с какой-либо скоростью некоторой его части.
По принципу реактивного движения передвигаются некоторые представители животного мира, например кальмары и осьминоги. Периодически выбрасывая вбираемую в себя воду, они способны развивать скорость до 60—70 км/ч. Аналогичным образом перемещаются медузы, каракатицы и некоторые другие животные.
Примеры реактивного движения, так же, можно обнаружить и в мире растений. Например, созревшие плоды «бешеного» огурца при самом легком прикосновении отскакивают от плодоножки и из отверстия, образовавшегося на месте отделившейся ножки, с силой выбрасывается горькая жидкость с семенами; сами огурцы при этом отлетают в противоположном направлении.
На принципе реактивного движения основаны полеты ракет. Современная космическая ракета представляет собой очень сложный летательный аппарат, состоящий из сотен тысяч и миллионов деталей. Масса ракеты огромна. Она складывается из массы рабочего тела (т. е. раскаленных газов, образующихся в результате сгорания топлива и выбрасываемых в виде реактивной струи) и конечной или, как говорят, «сухой» массы ракеты, остающейся после выброса из ракеты рабочего тела.
«Сухая» масса ракеты, в свою очередь, состоит из массы конструкции (т. е. оболочки ракеты, ее двигателей и системы управления) и массы полезной нагрузки (т. е. научной аппаратуры, корпуса выводимого на орбиту космического аппарата, экипажа и системы жизнеобеспечения корабля).
По мере истечения рабочего тела освободившиеся баки, лишние части оболочки и т. д. начинают обременять ракету ненужным грузом, затрудняя ее разгон. Поэтому для достижения космических скоростей применяют составные (или многоступенчатые) ракеты (см. рисунок). Сначала в таких ракетах работают лишь блоки первой ступени 1. Когда запасы топлива в них кончаются, они отделяются и включается вторая ступень 2; после исчерпания в ней топлива она также отделяется и включается третья ступень 3. Находящийся в головной части ракеты спутник или какой-либо другой космический аппарат укрыт головным обтекателем 4, обтекаемая форма которого способствует уменьшению сопротивления воздуха при полете ракеты в атмосфере Земли.
Когда реактивная газовая струя с большой скоростью выбрасывается из ракеты, сама ракета устремляется в противоположную сторону. Почему это происходит?
Согласно третьему закону Ньютона, сила F, с которой ракета действует на рабочее тело, равна по величине и противоположна по направлению силе F’, с которой рабочее тело действует на корпус ракеты:
Сила F’ (которую называют реактивной силой) и разгоняет ракету.
Из этого равенства следует, что сообщаемый телу импульс равен произведению силы на время ее действия. Поэтому одинаковые силы, действующие в течение одного и того же времени, сообщают телам равные импульсы. В данном случае импульс mрvр, приобретаемый ракетой, должен быть равен импульсу выброшенных газов. Отсюда следует, что скорость ракеты:
Проанализируем полученное выражение. Мы видим, что скорость ракеты тем больше, чем больше скорость выбрасываемых газов и чем больше отношение массы рабочего тела (т. е. массы топлива) к конечной («сухой») массе ракеты.
Эта формула является приближенной. В ней не учитывается, что по мере сгорания топлива масса летящей ракеты становится все меньше и меньше. Точная формула для скорости ракеты впервые была получена в 1897 г. К. Э. Циолковским и потому носит его имя.
Формула Циолковского определяет скорость, которую развивает летательный аппарат под воздействием тяги ракетного двигателя, неизменной по направлению, при отсутствии всех других сил. Эта скорость называется характеристической.
V — конечная скорость летательного аппарата, которая для случая маневра в космосе при орбитальных маневрах и межпланетных перелетах часто обозначается ΔV, также именуется характеристической скоростью.
I — удельный импульс ракетного двигателя (отношение тяги двигателя к секундному расходу массы топлива);
M <1>— начальная масса летательного аппарата (полезная нагрузка + конструкция аппарата + топливо);
M <2>— конечная масса летательного аппарата (полезная нагрузка + конструкция).
Формула Циолковского может быть получена путём интегрирования дифференциального уравнения Мещерского для материальной точки переменной массы:
в котором m — масса точки;
V — скорость точки;
u — относительная скорость, с которой движется отделяющаяся от точки часть её массы. Для ракетного двигателя эта величина и составляет его удельный импульс I.
Для многоступенчатой ракеты конечная скорость рассчитывается как сумма скоростей, полученных по формуле Циолковского отдельно для каждой ступени, причем при расчёте характеристической скорости каждой ступени к её начальной и конечной массе добавляется суммарная начальная масса всех последующих ступеней.
M <1i>— масса заправленной i-ой ступени ракеты;
M <2i>— масса i-ой ступени без топлива;
I — удельный импульс двигателя i-ой ступени;
M <0>— масса полезной нагрузки;
N — число ступеней ракеты.
Тогда формула Циолковского для многоступенчатой ракеты может быть записана в следующем виде:
Движение тела с переменной массой
Для начала сформулируем, что такое переменная масса.
Переменная масса – это масса тела, которая может меняться при медленных движениях из-за частичных приобретений или потерь составляющего вещества.
Уравнение движения материальной точки с переменной массой
Чтобы записать уравнение движения для тела с такой массой, возьмем для примера движение ракеты. В основе ее перемещений лежит очень простой принцип: она движется за счет выброса вещества с большой скоростью, а также сильного воздействия, оказываемого на это вещество. В свою очередь выбрасываемые газы также оказывают воздействие на ракету, придавая ей ускорение в противоположном направлении. Кроме того, ракета находится под действием внешних сил, таких, как гравитация Солнца и других планет, земная тяжесть, сопротивление среды, в которой она совершает движение.
Обозначим массу ракеты в какой-либо момент времени t как m ( t ) , а ее скорость как v ( t ) . То количество движения, которая она при этом совершает, будет равно m v . После того, как пройдет время d t , обе эти величины получат приращение (соответственно d m и d v , причем значение d m будет меньше 0 ). Тогда количество движения, совершаемого ракетой, станет равно:
( m + d m ) ( v + d v ) .
Нам необходимо учитывать тот момент, что за время d t также происходит движение газов. Это количество тоже нужно добавить в формулу. Оно будет равно d m г а з v г а з . Первый показатель означает массу газов, которые образуются за указанное время, а второй – их скорость.
Теперь нам нужно найти разность между суммарным количеством движения за время t + d t и количеством движения системы во время t . Так мы найдем приращение данной величины за время d t , которое будет равно F d t (буквой F обозначена геометрическая сумма всех тех внешних сил, которые действуют в это время на ракету).
В итоге мы можем записать следующее:
( m + d m ) ( v + d v ) + d m г а з + v г а з — m v = F d t .
Поскольку нам важны именно предельные значения d m d t , d v d t и их производные, приравняем эти показатели к нулю. Значит, после раскрытия скобок произведение d m · d v может быть отброшено. С учетом сохранения массы получим:
d m + d m г а з = 0 .
Теперь исключим массу газов d m г а з и получим скорость, с которой газы будут покидать ракету (скорость струи вещества), выражающаяся разностью v о т н = v г а з — v . Учитывая эти преобразования, можно переписать исходное уравнение в следующем виде:
d m v = v о т н d m + F d t .
Теперь разделим его на d t и получим:
m d v d t = v о т н d m d t + F .
Уравнение Мещерского
Форма полученного уравнения точно такая же, как у уравнения, выражающего второй закон Ньютона. Но, если там мы имеем дело с постоянной массой тела, то здесь из-за потери вещества она постепенно меняется. К тому же помимо внешней силы нужно учитывать так называемую реактивную силу. В примере с ракетой это будет сила выходящей из нее газовой струи.
Уравнение m d v d t = v о т н d m d t + F впервые вывел русский механик И.В. Мещерский, поэтому оно получило его имя. Также его называют уравнением движения тела с переменной массой.
Формула Циолковского
Попробуем исключить из уравнения движения ракеты внешние силы, воздействующие на нее. Предположим, что движение ракеты прямолинейно, а направление противоположно скорости газовой струи v о т н . Будем считать направление полета положительным, тогда проекция вектора v о т н является отрицательной. Она будет равна — v о т н . Переведем предыдущее уравнение в скалярную форму:
m d v = v о т н d m .
Тогда равенство примет вид:
d v d m = — v о т н m .
Газовая струя может выходить во время полета с переменной скоростью. Проще всего, разумеется, принять ее в качестве константы. Такой случай наиболее важен для нас, поскольку так уравнение решить намного проще.
Исходя из начальных условий, определим, какое значение приобретет постоянная интегрирования С. Допустим, что в начале пути скорость ракеты будет равна 0 , а масса m 0 . Следовательно, из предыдущего уравнения можем вывести:
C = v о т н ln m 0 m .
Тогда мы получим соотношения следующего вида:
v = v о т н ln m 0 m или m 0 m = e v v о т н .
Это соотношение и является формулой Циолковского.
Она предназначена для расчета запаса топлива, с помощью которого ракета может набрать необходимую скорость. При этом время сгорания топлива не обусловливает величину максимальной скорости ракеты. Чтобы разогнаться до предела, нужно увеличить скорость истечения газов. Для достижения первой космической скорости следует изменить конструкцию ракеты. Она должна быть многоступенчатой, поскольку необходимо меньшее соотношение между требуемой массой топлива и массой ракеты.
Разберем несколько примеров применения данных построений на практике.
Условие: у нас есть космический корабль, скорость которого постоянна. Для изменения направления полета в ней нужно включить двигатель, который выбрасывает газовую струю со скоростью v о т н . Направление выброса перпендикулярно траектории корабля. Определите угол изменения вектора скорости при начальной массе корабля m 0 и конечной m .
Решение
Ускорение по абсолютной величине будет равно a = ω 2 r = ω v , причем v = c o n s t .
Значит, уравнение движения будет выглядеть так:
m d v d t = v о т н d m d t перейдет в m v ω d t = — v о т н d m .
Поскольку d a = ω d t является углом поворота за время d t , то после интеграции первоначального уравнения получим:
a = v о т н v ln m 0 m .
Ответ: искомый угол будет равен a = v о т н v ln m 0 m .
Условие: масса ракеты перед стартом равна 250 к г . Вычислите высоту, которую она наберет через 20 секунд после начала работы двигателя. Известно, что топливо расходуется со скоростью 4 к г / с , а скорость истечения газов постоянна и равна 1500 м / с . Поле тяготения Земли можно считать однородным.
Решение
Начнем с записи уравнения Мещерского. Оно будет иметь следующий вид:
m ∆ v 0 ∆ t = μ v о т н — m g .
Здесь m = m 0 — μ t и v 0 – скорость ракеты в заданный момент времени. Разделим переменные:
∆ v 0 = μ v о т н m 0 — μ t — g ∆ t .
Теперь решим полученное уравнение с учетом первоначальных условий:
v 0 = v о т н ln m 0 m 0 — μ t — g t .
С учетом того, что H 0 = 0 при t = 0 , у нас получится:
H = v о т н t — g t 2 2 + v о т н m 0 μ 1 — μ t m 0 ln 1 — μ t m 0 .
Добавим заданные значения и найдем ответ:
H = v о т н t — g t 2 2 + v о т н m 0 μ 1 — μ t m 0 ln 1 — μ t m 0 = 3177 , 5 м .
Ответ: через 20 секунд высота ракеты будет составлять 3177 , 5 м .
Реферат: Движение тел переменной массы. Основы теоретической космонавтики
Название: Движение тел переменной массы. Основы теоретической космонавтики Раздел: Рефераты по математике Тип: реферат Добавлен 23:54:07 23 марта 2007 Похожие работы Просмотров: 2558 Комментариев: 21 Оценило: 5 человек Средний балл: 4.6 Оценка: неизвестно Скачать |