Уравнение движения точки на ободе колеса

Парадокс колеса

На приведённом рисунке хорошо видно, что все точки расположенные на радиусе колеса при совершении им одного оборота занимают те же самые места, на которых они были до начала вращения. Иными словами все точки радиуса колеса за один оборот перемещаются на одно и то же расстояние.

В то же время из школьного курса математики известно, что длина окружности равна:

Если прокатить колесо по поверхности и затем замерить пройденный им путь, то он будет точно соответствовать длине его окружности. Таким образом, две точки колеса: центр вращения и точка на внешней окружности проходят путь точно соответствующий приведённому расчёту. Но вот в отношении меньших радиусов мы приходим к выводу, что траектория их движения противоречит каноническому утверждению.

Так путь пройденный точкой, расположенной на половине радиуса колеса (r = R/2) должен быть равен:

C(r) = пиR, т.е. в половину меньше траектории точки расположенной на внешней окружности.

Но на самом деле она проходит фактически путь вдвое больший.

Соотношение фактически пройденной траектории и фактической дины окружности описываемый соответствующим радиусом растёт с уменьшением радиуса, фактически до бесконечности. Но в точке вращения он вновь возвращается к единице.

Самое удивительное в том, что если вырезать любую внутреннюю часть колеса и измерить его окружность, то она точно будет соответствовать вычисленной по канонической формуле.

Рассмотренный парадокс усиливается в случае, если колесо прокатывается с внешней стороны другой окружности. В этом случае траектория внутренних радиусов становится больше траектории точки на внешнем радиусе. И, наоборот, при прокатывании с внутренней стороны их траектория становится меньше.

Таким образом, можно сделать вывод о том, что траектория точек расположенных на внутренних радиусах колеса зависти не от величины собственного радиуса, а от радиуса внешней окружности. Что при этом происходит с материальными точками колеса расположенных на этих радиусах в пространстве остаётся загадкой.

Единственно разумное объяснение этого феномена предложил Галилей. Он считал, что поскольку фактическая траектория движения внутренних точек значительно больше фактической длины окружности, то точки внутренних радиусов проходят наблюдаемую траекторию с большей скоростью, чем это предписано им физикой [1]:

V = w*R, где w — угловая скорость вращения колеса.

Фактически линейная скорость внутренних точек колеса должна описываться уравнением:

V = n*w*r, где n = R/r
R – внешний радиус колеса;
r – внутренний радиус.

Иными словами линейная скорость точек внутренних радиусов является величиной постоянной и зависит только от внешнего радиуса колеса.

Вывод прямо скажем обескураживающий, но иного разумного объяснения пока ни кто не предложил.

Математически парадокс колеса в интерпретации Галилея описывается следующим уравнением:

dV = w*(R-r), где
dV – изменение скорости движения внутренних точек колеса;
R – внешний радиус колеса;
r – внутренний радиус колеса.
При r = R dV = 0
При r = 0 dV = w*R

Иными словами, изменение скорости точек расположенных на внутренних радиусах колеса меняется пропорционально от 0 на внешнем радиусе до V=w*R в центре вращения колеса. Поэтому ось колеса перемещается в пространстве с той же скоростью, которая соответствует линейной скорости вращающегося движения внешней окружности колеса при его прямолинейном движении. Соответственно такую же скорость имеют и все внутренние точки колеса.

С физической точки зрения полученный результат интерпретируется как движение жёсткого стержня, расположенного перпендикулярно направлению линейного движения оси вращения. Если рассмотреть движение такого стержня без привязки его к вращательному движению, то не трудно заметить, что все материальные точки стержня имеют одну и ту же скорость.

Преобразование вращательного движения в линейно-поступательное в данном случае решается методом рычага в рамках курса теоретической механики, которой к сожалению во времена Галилея ещё не существовало.

[1] Очевидно, именно по этому, этот парадокс практически не обсуждается в научной литературе.

Поскольку один из комментаторов так возбудился после прочтения этой статьи, что внёс меня в свои чёрные списки, и у меня нет возможности ему ответить иным путём, поэтому использую материал статьи не по назначению.

Сазонов Сергей 3 сентября 2019 года в 12:54

Писать рецензию на Вашу бредятину «Парадокс колеса» считаю излишним (много чести) — найдите в детском журнале «Квант» за 1975 год статью «ЦИКЛОИДА» . Там — примерно этот круг вопросов. Парадокса нет.
(конец цитаты)

К сожалению, найти указанный журнал в Интернете не смог, поэтому не смог лично ознакомиться со статьёй. Но уже само её название «ЦИКЛОИДА» говорит о том, Сергей Сазонов не видит разницы между прямой и циклоидой. В парадоксе колеса траектория меньшего радиуса разворачивается не в виде циклоиды, а в виде прямой линии. В этом то, как раз, и заключается парадокс. С другой стороны, то, что этим парадоксом интересовались Аристотель, Галилей, и возможно другие, не менее, замечательные умы человечества, говорит о том, что парадокс действительно существовал.
Уничижительное отношение к оппонентам явный признак ограниченной умственной деятельности. Конечно, можно было и не обращать внимание на подобные выпады, но, к сожалению, подобный уровень комментаторов встречается не так уж редко, поэтому считаю необходимым противостоять банальному хамству.

Задача 1.1 (3)

Найти уравнения движения точки М обода колеса радиуса R вагона, который движется по прямолинейному участку пути со скоростью V. Колесо катится без скольжения. Точка М в начальный момент движения соприкасалась с рельсом, т.е. занимала положение М₀ (рис. 1.1).

Изобразим на расчетной схеме (рис. 1.1) оси координат х и у, начало координат поместим в начальное положение точки М₀.

Рассмотрим два положения колеса: в начальный момент t = 0 и в текущий момент времени t.

Отметим положение точки М на ободе колеса и положение центра С колеса в момент t, координаты точки: x_м = М₀В, у_м = МВ.

Расстояние от центра колеса до рельса остается постоянным и равным R; это значит, что центр C колеса движется по прямой, параллельной оси х. За время t центр колеса переместится на расстояние C₀C = Vt (закон равномерного движения точки C), одновременно колесо повернется на угол j .

Чтобы получить уравнения движения точки М, надо координаты этой точки представить как функции времени.

Из расчетной схемы (рис. 1.1) видно, что

Из треугольника МЕС имеем;

МЕ = Rsin (90° – j ) = Rcosj ,

ЕC = Rcos (90° – j ) = Rsinj ,

Тогда х_м = Vt – Rsinj , (a)

Найдем зависимость угла j от времени t: так как колесо катится без скольжения, то длина дуги АМ окружности обода колеса (рис.1.1) равна длине отрезка М₀А.

но длина дуги АМ равна также произведению радиуса R на центральный угол j ; поэтому Vt = Rj , отсюда .

Теперь уравнения (а) будут иметь вид

; .

Полученные уравнения представляют собой уравнения движения точки М. В аналитической геометрии показано, что это параметрические уравнения циклоиды (параметром в данном случае является время t). Таким образом, траектория точки обода колеса, движущегося по прямолинейному участку пути без проскальзывания, является циклоидой. Длина одной ветви циклоиды L (рис. 1.1) равна 2p R, высота – H = 2R.

Определение скоростей и ускорений точек твердого тела при поступательном и вращательном движениях – решение задачи

Основные законы и формулы, применяемые при решении задач

Вращательное движение вокруг неподвижной оси

Рассмотри твердое тело, вращающееся вокруг неподвижной оси z . Сделаем рисунок. Ось вращения направим перпендикулярно плоскости рисунка, на нас. Пусть φ – угол поворота тела вокруг оси, отсчитываемый от некоторого начального положения. За положительное направление выберем направление против часовой стрелки. Угловая скорость ω равна производной угла поворота по времени t :
.
При , тело вращается против часовой стрелки; при – по часовой. Вектор угловой скорости направлен перпендикулярно плоскости рисунка. При он направлен на нас; при – от нас.

Угловое ускорение ε равно производной угловой скорости по времени:
.
Вектор углового ускорения также направлен перпендикулярно плоскости рисунка. При он направлен на нас; при – от нас.

Скорость точки при вращательном движении тела вокруг неподвижной оси

Рассмотрим точку A , принадлежащую твердому телу. Опустим из нее перпендикуляр OA на ось вращения. Пусть – расстояние от точки до оси. Траекторией движения точки A является окружность (или дуга) с центром в точке O радиуса .

Абсолютное значение скорости точки A определяется по формуле:
.
Вектор скорости направлен по касательной к траектории (окружности), перпендикулярно отрезку OA . При этом вектор должен производить закручивание в ту же сторону, что и вектор угловой скорости .

Касательное (или тангенциальное) ускорение точки A определяется аналогично скорости:
.
Оно направлено по касательной к окружности, перпендикулярно OA . При этом вектор должен производить закручивание в ту же сторону, что и вектор углового ускорения .

Ускорение точки при вращательном движении тела вокруг неподвижной оси

Нормальное ускорение всегда направлено к центру окружности и имеет абсолютную величину
.

Полное ускорение точки A , или просто ускорение, равно векторной сумме касательного и нормального ускорений:
.
Поскольку векторы и перпендикулярны, то абсолютная величина ускорения точки A определяется по формуле:
.

Поступательное прямолинейное движение

Теперь рассмотрим прямолинейное поступательное движение тела. Направим ось x вдоль его линии движения. Пусть s есть перемещение тела вдоль этой оси относительно некоторого начального положения. Тогда скорость движения всех точек тела равна производной перемещения по времени:
.
При , вектор скорости направлен вдоль оси x . При – противоположно этой оси.

Ускорение точек тела равно производной скорости по времени, или второй производной перемещения по времени:
.
При , вектор ускорения направлен вдоль оси x . При – противоположно.

Соприкосновение тел без проскальзывания

Рассмотрим два тела, находящиеся в зацеплении без проскальзывания. Пусть точка A принадлежит первому телу, а точка B – второму. И пусть, в рассматриваемый момент времени, положения этих точек совпадают. Тогда, если между телами нет проскальзывания, то скорости этих точек равны:
.
Если каждое из тел вращается вокруг неподвижной оси, то равны соответствующие касательные ускорения:
.
Если одно из тел движется поступательно (пусть это второе тело), то ускорение его точек равно касательному ускорению точки соприкосновения первого тела:
.

Пример решения задачи

Механизм состоит из ступенчатых колес 1, 2, 3, находящихся в зацеплении и связанных ременной передачей, зубчатой рейки 4 и груза 5, привязанного к концу нити, намотанной на одно из колес. Радиусы ступеней колес равны соответственно: у колеса 1 – r₁ = 2 см, R₁ = 4 см, у колеса 2 – r₂ = 6 см, R₂ = 8 см, у колеса 3 – r₃ = 12 см, R₃ = 16 см. На ободьях колес расположены точки A, B и C. Задан закон движения груза: s₅ = t 3 – 6t (см). Положительное направление для s₅ – вниз.

Определить в момент времени t = 2 скорости точек A, C; угловое ускорение колеса 3; ускорение точки B и ускорение рейки 4.

Указания. Эта задача – на исследование вращательного движения твердого тела вокруг неподвижной оси. При решении задачи учесть, что проскальзывание в ременной передаче и в точках сцепления колес отсутствует. То есть скорости точек колес, находящихся в зацеплении равны, а скорости точек ремня равны скорости точек, лежащих на ободе колес, связанных ременной передачей.

Дано:
t = 2 с; r₁ = 2 см, R₁ = 4 см; r₂ = 6 см, R₂ = 8 см; r₃ = 12 см, R₃ = 16 см; s₅ = t 3 – 6t (см).

Определение скорости и ускорения груза 5

Груз 5 совершает поступательное движение. Поэтому скорости (и ускорения) всех его точек равны. В условии задачи задано смещение s груза относительно некоторого начального положения. Дифференцируя по времени t , находим зависимость скорости точек груза от времени:
.
Дифференцируя скорость груза по времени, находим зависимость ускорения груза от времени:
.

Находим скорость и ускорение груза в заданный момент времени :
см/с;
см/с 2 .

Определение угловых скоростей и ускорений колес

Груз 5 связан нитью с внутренним ободом колеса 3. Поэтому скорости точек внутреннего обода колеса 3 равны скорости груза:
.
Отсюда находим угловую скорость колеса 3 для произвольного момента времени:
.
Здесь подразумевается, что и являются функциями от времени t . Дифференцируя по t , находим угловое ускорение колеса 3:
.
Находим значения угловой скорости и углового ускорения в момент времени с. Для этого подставляем найденные значения и при с:
с –1 ;
с –2 .

Рассмотрим колесо 2. Его внутренний обод связан нитью с внешним ободом колеса 3. Поэтому скорости точек на этих ободьях равны:
. Отсюда
.
Дифференцируя по времени, находим угловое ускорение колеса 2 в произвольный момент времени:
.
Подставляем значения для с:
с –1 ;
с –2 .

Рассмотрим колесо 1. Его внутренний обод находится в зацеплении с внешним ободом колеса 2. Поэтому скорости точек на этих ободьях равны:
. Отсюда
.
Дифференцируя по времени, находим угловое ускорение колеса 1 в произвольный момент времени:
.
Подставляем значения для с:
с –1 ;
с –2 .

Итак, мы нашли:
ω ₁ = 5.3333 с –1 , ω ₂ = 1.3333 с –1 , ω ₃ = 0.5 с –1 , ε ₁ = 10.6667 с –2 , ε ₂ = 2.6667 с –2 , ε ₃ = 1 с –2 .

Определение скоростей точек A и C

Точка A лежит на окружности радиуса R₁ с центром в точке O₁, расположенной на оси вращения. Поэтому скорость этой точки направлена по касательной к окружности и по абсолютной величине равна
см/с.

Точка C лежит на окружности радиуса R₃ с центром O₃ на оси вращения. Скорость этой точки:
см/с.

Определение ускорения точки B

Точка B лежит на окружности радиуса R₂ с центром O₂, расположенном на оси вращения. Касательное (или тангенциальное) ускорение этой точки направлено по касательной к окружности в сторону, на которую указывает угловое ускорение (по часовой стрелке). По абсолютной величине оно равно
см/с 2 .

Нормальное ускорение всегда направлено к центру окружности. По абсолютной величине оно равно
см/с 2 .

Полное ускорение равно векторной сумме касательного и нормального ускорений:
.
Поскольку касательное ускорение перпендикулярно нормальному, то для абсолютной величины полного ускорения имеем:
см/с 2 .

Определение ускорения рейки 4

Рейка 4 движется поступательно по направляющим. Она находится в зацеплении с внешним ободом колеса 1. Поэтому ее скорость равна скорости точек внешнего обода колеса 1:
.
Дифференцирую по времени, получаем ускорение рейки в произвольный момент времени:
.
Подставляем численные значения для момента времени t = 2 с :
см/с 2 .

см/с; см/с; с –2 ; см/с 2 ; см/с 2 .

Автор: Олег Одинцов . Опубликовано: 25-10-2019