Уравнение движения цилиндра без проскальзывания

Задача 24107 Запишите уравнение движения и уравнение.

Условие

Запишите уравнение движения и уравнение моментов для цилиндра, скатывающегося без проскальзывания с наклонной плоскости с углом альфа. Определите ускорение его центра масс.

Решение

Ответ: В решение

Момент силы (в векторном виде) по определению равен векторному произведению радиус-вектора на силу (М=[r,F], жирным шрифтом нередко в литературе обозначаются векторы) . Модуль этого векторного произведения равен r*F*sin(a), где а — угол между векторами r и F. Чему равны r, F И sin(a) для силы реакции опоры и силы тяжести? поиогите, пж.

10 класс. 1-я сессия. Результаты выпускной (контрольной) работы. 17.09.11

10 класс. 1-я сессия. Результаты выпускной (контрольной) работы. 17.09.11.

Было предложено 3 задачи. Всего писали 19 человек.

1-я задача на относительность движения, сложение скоростей. Проверка усвоения материала 9 класса (предыдущих сессий). Задача из числа тех, которые решали на занятиях. Полностью правильно сделали всего 4 человека. Еще 5 сделали правильно чертеж (построение), но допустили математические ошибки.

2-я задача на движение по окружности и сложение сил, по текущему материалу. Справились 6 человек. У остальных трудности либо со сложением сил, либо не могут записать правильно уравнение движения по окружности.

3-я задача оказалась трудной для всех. В задаче участвует сила трения покоя и заранее неизвестно, чему она равна. Ее надо определить, а пока она неизвестна, нельзя использовать уравнение движения. Два человека догадались применить закон сохранения энергии и найти скорость и ускорение, не применяя уравнение движения. В 8-ми работах сила трения, действующая на скатывающийся цилиндр, оказалась направленной вдоль наклонной плоскости вниз, а не вверх.

3-я задача. Найдите ускорение, с которым скатывается без проскальзывания по наклонной плоскости с углом тонкостенный цилиндр. Какова сила трения, действующая на него?

Решение. Уравнение поступательного движения цилиндра вдоль наклонной плоскости . (1) Но этим уравнением воспользоваться нельзя, т. к. сила трения неизвестна. Воспользуемся законом сохранения энергии (ЗСЭ). Условие скатывания без проскальзывания устанавливает связь между поступательным и вращательным движениями цилиндра. Т. к. скорость точки касания равна нулю, то линейная скорость вращения точек цилиндра относительно оси равна скорости поступательного движения . По ЗСЭ при скатывании цилиндра потенциальная энергия переходит в кинетическую энергию поступательного движения и кинетическую энергию вращения. Т. к. цилиндр тонкостенный, то считаем, что все его части находятся на одинаковом расстоянии от оси и движутся относительно нее с одинаковой скоростью . Получим . Выразим высоту через перемещение вдоль наклонной плоскости и найдем . Применяем кинематическое уравнение для равноускоренного движения и находим ускорение поступательного движения цилиндра . Теперь можно воспользоваться уравнением (1) и найти силу трения .

Ответ: , .

Уравнение движения цилиндра без проскальзывания

2017-05-21
По горизонтальному столу может катиться без скольжения цилиндр массы $m$, на который намотана нить. К свободному концу нити, переброшенному через легкий блок, подвешен груз той же массы $m$ (рис.). Система предоставлена сама себе. Найти ускорение груза и силу трения между цилиндром и столом. Задачу решить для полого и сплошного цилиндров.

Система состоит из двух тел — груза и цилиндра, связанных между собой. Поэтому между кинематическими параметрами этих тел существуют определенные соотношения. На груз действуют сила тяжести $m \vec$ и сила натяжения нити:

На цилиндр действуют силы тяжести и нормальной реакции стола, взаимно компенсирующие друг друга, и в горизонтальном направлении — сила натяжения $\vec^< \prime>$ нити и сила трения $\vec_<тр>$ между цилиндром и столом. Обе силы создают вращающие моменты относительно оси цилиндра (предполагаем, что нить намотана так, что обе силы действуют в одной вертикальной плоскости, перпендикулярной оси цилиндра и совпадающей с плоскостью рисунка). Следовательно, цилиндр совершает сложное плоское движение, уравнения которого

Чтобы найти связь между $a_<1>, a_<0>$ и $\epsilon$, рассмотрим движение точек $M$ и $N$ цилиндра. Цилиндр участвует в двух движениях, и скорость любой его точки $\vec_ = \vec_ <0>+ \vec$, где $\vec_<0>$ — скорость центра масс, т. е. скорость поступательного движения; $\vec_ = \omega \vec_$ — линейная скорость, обусловленная вращением вокруг центра масс. Для точек М и N в проекциях на ось X

$v_ = v_ <0>+ \omega r, v_ = v_ <0>— \omega r$.

Продифференцируем эти уравнения:

$a_ = a_ <0>+ \epsilon r, a_ = a_ <0>— \epsilon r$,

где $a_$ и $a_$ — проекции результирующего ускорения точек М и N на ось X. При отсутствии скольжения $v_ = 0$ и $v_ <0>= \omega r$. Тогда

$a_ <0>= \epsilon r$, (3)

а горизонтальная составляющая результирующего ускорения точки М

$a_ = a_ <0>+ \epsilon r = 2a_<0>$.

Если нить, связывающая цилиндр и груз, нерастяжима и не проскальзывает относительно цилиндра, то горизонтальная составляющая результирующего ускорения точки М цилиндра равна ускорению груза. Следовательно,

Очевидно, искомые величины могут быть найдены решением системы уравнений (1) и (2) с учетом соотношений (3) и (4). Однако уравнения (1) и (2) следует заменить скалярными соотношениями, а для этого необходимо знать направление силы трения.

Последняя является силой трения покоя, и направление ее противоположно вектору скорости точки $N$, которую она имела бы при отсутствии трения. Если начальная скорость равна нулю, то $\vec_$ направлена так же, как горизонтальная составляющая результирующего ускорения $\vec_$, когда трения нет. В этом случае цилиндр совершает сложное движение и

$a_ = a_ <0>— \epsilon r$,

где $a_<0>$ и $\epsilon$ — соответственно ускорение центра масс и угловое ускорение цилиндра при отсутствии трения.

Таким образом, направление силы трения можно найти, рассмотрев предварительно задачу без учета силы трения.

Уравнения (2) движения цилиндра без трения примут вид

Запишем момент инерции цилиндра в виде $J = mbr^<2>$ (для полого цилиндра $b = 1$, для сплошного — $b = frac<1><2>$) и подставим его в выражение (6):

Так как $b \leq 1$, то $a_ <0>\leq \epsilon r$ и $a_ = a_ <0>— \epsilon r < 0$. Если $a_= 0$, то точка N цилиндра не будет скользить по поверхности стола (при любом значении силы $T^< \prime>$) и трение не возникнет. Если $a_ < 0$, то сила трения направлена по оси X так, как показано на рисунке.

Коллинеарность сил, действующих на груз, позволяет переписать уравнение (1) в скалярном виде:

Уравнениям (2) соответствуют скалярные соотношения

Второе из уравнений (8) соответствует тому, что, как и при отсутствии силы трения, цилиндр вращается по часовой стрелке.

Невесомость блока и нити позволяет считать силу натяжения вдоль всей нити постоянной по модулю, т. е. $T = T^< \prime>$.

Учитывая соотношения (3) и (4), выражение для момента инерции и равенство сил натяжения, перепишем уравнения (7) и (8):

$ma_ <1>= mg — T, ma_<1>/2 = T + f_<тр>, bmr^<2>a_ <1>/(2R) = Tr — f_<тр>r$.

Сокращая последнее уравнение на $r$ и решая полученную систему совместно, находим

$a_ <1>= 4g/(5 + b), f_ <тр>= mg(1 — b)/(5 + b)$.