Уравнение движения в форме даламбера

Принцип Даламбера теоретической механики

Вы будете перенаправлены на Автор24

Принцип Даламбера является в теоретической механике одним из главных принципов динамики. Согласно этому принципу, при условии присоединения силы инерции к активно действующим на точки механической системы силам и реакциям наложенных связей, получается уравновешенная система.

Данный принцип получил название в честь французского ученого Ж. Даламбера, впервые предложившего его формулировку в своем сочинении «Динамика».

Определение принципа Даламбера

Принцип Даламбера звучит следующим образом: если к воздействующей на тело активной силе прикладывается дополнительная сила инерции, тело будет пребывать в равновесном состоянии. При этом суммарное значение всех действующих в системе сил, дополненное вектором инерции, получит нулевое значение.

Согласно указанному принципу, в отношении каждой i-той точки системы, становится верным равенство:

• $F_i$ -активно воздействующая на эту точку сила,
• $N_i$ — реакция связи, наложенной на точку;
• $J_i$ — сила инерции, определяемая формулой $J_i=-m_ia_i$ (она направлена противоположно этому ускорению).

Фактически, отдельно для каждой рассматриваемой материальной точки $ma$ переносится справа налево (второй закон Ньютона):

$ma$ при этом называется силой инерции Даламбера.

Такое понятие, как сила инерции, было введено еще Ньютоном. Согласно рассуждениям ученого, при условии движения точки под воздействием силы $F=ma$, тело (или система) – становится источником этой силы. При этом, согласно закону о равенстве действия и противодействия, ускоряемая точка будет влиять на ускоряющее ее тело с силой $Ф=-ma$. Такой силе Ньютон дал название системы инерции точки.

Силы $F$ и $Ф$ будут равными и противоположными, но приложенными к разным телам, что исключает их сложение. Непосредственно на точку сила инерции воздействия не оказывает, поскольку для нее она представляет фиктивную силу. При этом точка оставалась бы в состоянии покоя, если бы, помимо силы $F$, на точку оказывала воздействие еще и сила $Ф$.

Готовые работы на аналогичную тему

Принцип Даламбера позволяет применять при решении задач динамики более упрощенные методы статики, что объясняет его широкое применение в инженерной практике. На этом принципе основывается метод кинетостатики. Особенно он удобен в применении с целью установления реакций связей в ситуации, когда известен закон происходящего движения или он получен при решении соответствующих уравнений.

Разновидностью принципа Даламбера выступает принцип Германа-Эйлера, фактически представлявшего собой форму данного принципа, но обнаруженную до появления публикации сочинения ученого в 1743 году. При этом принцип Эйлера не рассматривался его автором (в отличие от принципа Даламбера) в качестве основы для общего метода решения задач движения механических систем со связями. Принцип Даламбера считается более целесообразным в применении в случае необходимости определения неизвестных сил (для решения первой задачи динамики).

Принцип Даламбера для материальной точки

Многообразие типов решаемых в механике задач нуждается в разработке эффективных методик составления уравнений движения для механических систем. Одним из подобных методов, позволяющих посредством уравнений описать движение произвольных систем, считается в теоретической механике принцип Даламбера.

Опираясь на второй закон динамики, для несвободной материальной точки запишем формулу:

где $R$ представляет реакцию связи.

Эта формула является выражением принципа Даламбера для материальной точки, согласно которому, для движущейся в любой момент времени точки геометрическая сумма воздействующих на нее активных сил и силы инерции получает нулевое значение. Этот принцип позволяет записывать уравнения статики для движущейся точки.

Принцип Даламбера для механической системы

Для состоящей из $n$-точек механической системы, можно записать $n$-уравнений вида:

При суммировании всех этих уравнений и введении следующих обозначений:

которые являются главными векторами внешних сил, реакции связей и сил инерции соответственно, получаем:

Условием для равновесного состояния твердого тела является нулевое значение главных вектора и момента действующих сил. Учитывая это положение и теорему Вариньона о моменте равнодействующей в результате запишем такое соотношение:

примем следующие обозначения:

главные моменты внешних сил, реакции связей и сил инерции соответственно.

В итоге получаем:

Эти две формулы являются выражением принципа Даламбера для механической системы. В любой момент времени для движущейся механической системы геометрическая сумма главного вектора реакций связей, внешних сил, и сил инерции получает нулевое значение. Также нулевой будет и геометрическая сумма главных моментов от сил инерции, внешних сил и реакций связей.

Полученные формулы являются дифференциальными уравнениями второго порядка из-за присутствия в каждом из них ускорения в силах инерции (второй производной закона движения точки).

Принцип Даламбера позволяет решать методами статики задачи динамики. Для механической системы можно записывать уравнения движения в виде уравнений равновесия. Из таких уравнений можно определить неизвестные силы, в частности, реакции связей (первая задача динамики).

Магия тензорной алгебры: Часть 14 — Нестандартное введение в динамику твердого тела

Введение

Динамика твердого тела — раздел механики, который в своё время задал четкий вектор развития этой науки. Это один из самых сложных разделов динамики, и задача интегрирования уравнения сферического движения для произвольного случая распределения массы тела не решена до сих пор.

В этой статье мы начнем рассматривать динамику твердого тела, применяя аппарат тензорной алгебры. Эта пилотная статья о динамике ответит на ряд фундаментальных вопросов, касающихся, например, такого важного понятия как центр масс тела. Что такое центр масс, что отличает его от остальных точек тела, почему уравнения движения тела составляют в основном относительно этой точки? Ответ на эти, и некоторые другие вопросы находится под катом.

Интегрирование уравнений движения этой детской игрушки — одна из до сих пор не решенных задач механики.

1. Старый, как мир, принцип Даламбера

Для начала рассмотрим движение материальной точки. Непосредственно из аксиом вытекает основное уравнение динамики точки

ускорение помноженное на массу есть векторная сумма приложенных к точке сил. И о силах, которые приложены к точке надо поговорить подробнее. В разделе механики, называемом аналитической механикой, силы, прикладываемые к точкам механической системе подлежат строгой классификации.

Силы, стоящие в правой части (1) разделяются на две группы

Активные силы. Этой группе сил можно дать следующее определение

Активными называют силы, величину которых можно определить из условия задачи

Говоря формальным языком, активная сила определяется вектор функцией

где — обобщенная координата точки; — обобщенная скорость точки. Из данного выражения видно, что начиная решать задачу о движении и имея начальные условия (момент времени, положение и скорость) можно сразу рассчитать активную силу.

Сила тяжести, упругости, Кулоновская сила взаимодействия заряда с электрическим полем, сила Ампера и сила Лоренца, сила вязкого трения и аэродинамического сопротивления — всё это примеры активных сил. Выражения для их расчета известны и эти силы можно посчитать, зная положение и скорость точки.

Реакции связей. Самые неприятные силы, которые только можно придумать. Напомню одну из аксиом статики, именуемую аксиомой о связях

Связи приложенные к телу можно отбросить, заменив их действие силой, или системой сил

Изображенная на рисунке точка — не свободная точка. Её движение ограничено связью, условно представленной в виде некой поверхности, в пределах которых располагается траектория движения. Приведенная выше аксиома дает возможность убрать поверхность, приложив к точке силу , действие которой эквивалентно наличию поверхности. При этом данная сила не является известной заранее — её величина удовлетворяет ограничениям на положение, скорость и ускорение, накладываемыми связью, ну и, разумеется вектор реакции зависит от приложенных активных сил. Реакции связей подлежат определению в процессе решения задачи. К реакциям связей относится так же и сухое трение, наличие которого даже в простой задаче существенно осложняет процесс её решения.

Исходя из данной классификации, уравнение движения точки (1) переписывают в виде

где — равнодействующая активных сил, приложенных к точке; — равнодействующая реакций, наложенных на точку связей.

А теперь проделаем простейший фокус — ускорение с массой перенесем в другую часть уравнения (2)

и введем обозначение

Тогда, уравнение (2) превращается в

Сила, представляемая вектором (3) называется силой инерции Даламбера. А уравнение (4) выражает принцип Даламбера для материальной точки

Материальная точка находится в равновесии под действием приложенных к ней активных сил, реакций связей и сил инерции

Позвольте, о каком равновесии может идти речь, если точка движется с ускорением? Но ведь уравнение (4) есть уравнение равновесия, и приложив к точке силу (3) мы можем заменить движение точки её равновесием.

Достаточно распространен спор о том, являются ли силы инерции (3) физическими силами. В инженерной практике используется понятие центробежной силы, которая есть сила инерции, связанная с центростремительным (или осестремительным) ускорением, искривляющим траекторию точки. Моё личное мнение таково, что силы инерции есть математический фокус, продемонстрированный выше, позволяющий перейти к рассмотрению равновесия вместо движения с ускорением. Сила инерции (3) определяется ускорением точки, но оно, в свою очередь определяется действием на точку приложенных к ней сил, и в соответствии аксиоматикой Ньютона сила первична. Поэтому ни о какой «физичности» сил инерции говорить не приходится. Природа не знает активных сил, зависящих от ускорения.

2. Принцип Даламбера для твердого тела. Главный вектор и главный момент сил инерции

Теперь распространим уравнение (4) на случай движения твердого тела. В механике его рассматривают как неизменяемую механическую систему, состоящую из множества точек, расстояние между которыми в каждый момент времени остается неизменным. Все точки тела движутся по различным траекториям, но уравнение движения каждой точки соответствует (2)

Силы, действующие на конкретную точку можно разделить на внешние активные , реакции внешних связей , и внутренние силы , представляющие собой силы взаимодействия рассматриваемой точки с остальными точками тела (по сути — внутренние реакции). Все упомянутые силы есть равнодействующие соответствующей группы сил, приложенных к точке. Применим к этому уравнению Принцип Даламбера

где — сила инерции, приложенная к данной точке тела.

Теперь, когда все точки тела находятся в равновесии, мы можем воспользоваться условием равновесия твердого тела, которое дает нам статика

Твердое тело находится в равновесии под действием приложенной к нему системы сил, если главный вектор и главный момент этой системы сил, относительно выбранного центра O, раны нулю

Главный вектор системы сил — это векторная сумма всех сил, приложенных к телу. Сумма сил, приложенных к каждой точке тела определяется последним уравнением, поэтому складывая уравнения для всех точек, в левой его части получим главный вектор

При этом, сумма внутренних сил равна нулю, как следствие из третьего закона Ньютона. Аналогично вычисляем сумму моментов всех сил относительно выбранного произвольного центра O, что дает нам равный нулю главный момент системы сил

причем, как показывается в классическом курсе динамики, сумма моментов внутренних сил, приложенных к системе материальных точек, равна нулю, то есть . Уравнения (5) и (6) уже выражают принцип Даламбера применительно к твердому телу, но лишь с одной необходимой поправкой.

Число активных сил и реакций связей в уравнениях (5) и (6) конечно. Большинство слагаемых в соответствующих суммах равны нулю, ибо активные внешние силы и реакции внешних связей, вообще говоря, приложены лишь в некоторых точках тела. Чего нельзя сказать о силах инерции — силы инерции приложены к каждой точке тела. То есть сумма сил инерции, и сумма их моментов относительно выбранного центра есть суммы интегральные. Систему сил инерции принято сводить к главному вектору и главному моменту и мы можем написать, что

главный вектор и главный момент сил инерции, приложенных к твердому телу. Интегралы (7) и (8) берутся по всему объему тела, а — радиус вектор точки тела относительно выбранного центра O.

Исходя из данного соображения мы можем переписать (5) и (6) в окончательном виде

Уравнения (10) и (11) выражают принцип Даламбера для твердого тела

Теврдое тело находится в равновесии под действием приложенных к нему внешних сил, реакций связей, главного вектора и главного момента сил инерции.

По сути (10) и (11) есть форма записи дифференциальных уравнений движения твердого тела. Они довольно часто применяются в инженерной практике, однако с точки зрения механики, такая форма записи уравнений движения не является самой удобной. Ведь интегралы (7) и (8) можно вычислить в общем виде и придти к более удобным уравнениям движения. В этой связи (10) и (11) следует рассматривать как теоретическую основу построения аналитической механики.

3. На сцену выходят центр масс и тензор инерции

Вернемся к нашим тензорам и с их помощью вычислим интегралы (7) и (8) для общего случая движения твердого тела. В качестве центра приведения выберем точку O₁. Эта точка выбрана в качестве полюса и в ней определен локальный базис связанной с телом системы координат. В одной из прошлых статей мы определили тензорное соотношение для ускорения точки тела в таком движении

Умножив (12) на массу точки со знаком минус, мы получим силу инерции, приложенную к элементу объема твердого тела

Выражение (13) — ковариантное представление вектора силы инерции. Двойное векторное произведение в (12) перепишем в более удобной форме, используя тензор Леви-Чивиты и псевдовекторы угловой скорости и углового ускорения

Подставляем (14) в (13) и берем тройной интеграл по всему объему тела, учитывая, что угловая скорость и угловое ускорение одинаковы в каждой точке этого объема, то есть их можно вынести за знак интеграла

Интеграл в первом слагаемом — это масса тела. Интеграл во втором слагаемом более интересная штука. Вспомним одну из формул курса теоретической механики:

где — контравариантные компоненты радиус-вектора центра масс рассматриваемого тела. Не в даваясь в смысл понятия центра масс просто заменим интегралы в (15) в соответствии с формулой (16), учтя, что во втором слагаемом (15) используются ковариантные компоненты.

Ага, выражение (17) тоже нам знакомо, представим его в более привычной векторной форме

Первое слагаемое в (18) — сила инерции, связанная с поступательным движением тела вместе с полюсом. Второе слагаемое — центробежная сила инерции, связанная с осествемительным ускорением центра масс тела при его движении вокруг полюса. Третье слагаемое — вращательная составляющая главного вектора сил инерции, связанная с вращательным ускорением центра масс вокруг полюса. В общем-то всё находится в соответствии с классическими соотношениями теормеха.

Пытливый читатель скажет: «зачем применять тензоры для получения этого выражения, если в векторном виде оно было бы получено не менее очевидным способом?». В ответ я скажу, что получение формул (17) и (18) — это была разминка. Теперь мы получим выражение главного момента сил инерции относительно выбранного полюса, и тут тензорный подход проявляет себя во всей красе.

Возьмем уравнение (13) и умножим его векторно слева на радиус вектор точки тела относительно полюса. Тем самым мы получим момент силы инерции, приложенной к элементарному объему тела

Снова выполним подстановку (14) в (19), но не станем торопится брать интеграл

Не знаю как у вас, а у меня рябит в глазах, даже при моей привычности к таким формулам. Слагаемые расположены в более естественном порядке — переставлены местами вращательная и центробежная составляющие. Кроме того, от первого слагаемого ко второму возрастает сложность преобразующих выкладок. Будем упрощать их по очереди, сначала упростим первое, сразу взяв интеграл

Тут снова появился радиус вектор центра масс. Здесь ничего сложного — ускорение полюса у нас одно и мы вынесли его за знак интеграла. Интерпретацией займемся чуть позже, а пока преобразуем второе слагаемое (20). В нем мы можем выполнить свертку произведения тензоров Леви-Чивиты по немому индексу k

Здесь мы воспользовались свойством дельты Кронекера заменять свободный индекс вектора/ковектора при выполнении свертки. Теперь возьмет интеграл, учтя, что угловое ускорение постоянно для всего объема тела

Во как! Малопонятный «крокодил», путем формальных тензорных преобразований схлопнулся в компактную формулу. Я лукавлю, мы ввели новое обозначение:

Но это не просто абстрактная формула. По структуре выражения (24) видно, что оно отражает распределение массы тела вокруг полюса и называется оно — тензор инерции твердого тела. Эта величина имеет поистине фундаментальное значение для механики, и о ней мы поговорим подробнее, пока лишь скажу, что (24) — тензор второго ранга, компонентами которого являются осевые и центробежные моменты инерции тела в выбранной системе координат. Он характеризует инертность твердого тела при вращении. Обращаю внимание читателя и на то, как быстро мы получили выражение для тензора инерции, по сути действуя формальным способом. С векторными соотношения без ломки мозгов не обойтись, в этом я убедился на личном опыте.

Ну и наконец обратимся к последнему слагаемому (20). При взятии интеграла в нём тоже должен получится тензор инерции, и мы будем преобразовывать его таким образом, чтобы достичь этой цели. В этой части выражения (20) должно фигурировать соотношение между тензором инерции и угловой скоростью тела. Приступим, для начало свернув произведение тензоров Леви-Чивиты

Налицо существенное упрощение выражения — за счет свойств дельты Кронекера и того, что векторное произведение . Но тензора инерции в (25) не видно. С целью его получить проведем ряд эквивалентных преобразований

Здесь мы снова учли, что , воспользовались свойствами дельты Кронекера и операцией поднятия/опускания индексов при умножении на метрический тензор. И, теперь мы интегрируем (26)

Здесь мы снова видим тензор инерции:

с учетом которого получаем компактное выражение для составляющей главного момента сил инерции, связанного с центробежными силами

Выражение (27) эквивалентно векторно-матричному соотношению:

И хоть меня и переполняют пафосные фразы, отложу их на потом, а сейчас аккуратно выпишу итоговый результат в векторной форме.

В общем случае движения твердого тела главный вектор и главный момент сил инерции, приложенных к твердому телу, равны

А теперь все же восхитимся — не смотря на то, что вышеприведенные преобразования похожи на египетские иероглифы, они формальны, мы просто выполняли действия над индексами тензоров и использовали свойства тензорных операций. Нам не надо было упражняться с векторами, расписывать векторные операции в компонентах и сводить получившиеся проекции векторов к результатам матричных операций. Все матричные и векторные операции конечных выражение вышли у нас автоматически. К тому же, естественным образом получены такие фундаментальные характеристики как координаты центра масс тела и тензор инерции.

Читая лекции студентам я задался целью вывести (29) и (30) оперируя векторами. После того как я перевел стопку бумаги и изрядно поломав мозги я пришел к результату. Поверьте на слово — вышеприведенные преобразования просто семечки, в сравнении с тем, через что надо пройти не используя тензоров.

К тому же, выражения (29) и (30) получены нами для произвольного центра приведения сил, в качестве которого мы взяли полюс O₁. Эти выражения помогут нам понять что такое центр масс тела и его важность для механики.

4. Особая роль центра масс

Используя формулы (29) и (30) вернемся к уравнениям (10) и (11) и, выполнив подстановку, придем к дифференциальным уравнениям движения твердого тела

Чем плохи эти уравнения? А тем, что они зависят друг от друга — ускорение полюса будет зависеть от углового ускорения и угловой скорости тела, угловое ускорение — от ускорения полюса. Вектор определяет положение центра масс тела по отношению к полюсу. А что если мы выберем полюс прямо в центре масс? Тогда ведь и уравнения (31), (32) примут более простой вид

Узнаете эти уравнения? Уравнение (33) — теорема о движении центра масс механической системы, а (34) — динамическое уравнение Эйлера сферического движения. И эти уравнения независимы друг от друга. Таким образом, центр масс твердого тела — это точка, относительно которой силы инерции приводятся к наиболее простому виду. Поступательное движение вместе с полюсом и сферическое вокруг полюса — динамически развязаны. Тензор инерции тела, вычисляется относительно центра масс и называется центральным тензором инерции.

Уравнения (33), (34) в зарубежной литературе называют уравнениями Ньютона-Эйлера, и, в настоящее время весьма активно используются для построения ПО, предназначенного для моделирования механических систем. В рамках цикла о тензорах мы ещё не раз о них вспомним.

Заключение

Прочитанная вами статья имеет две цели — в ней мы ввели базовые понятия динамики твердого тела и проиллюстрировали мощность тензорного подхода при упрощении громоздких векторных соотношений.

В дальнейшем мы подробнее остановимся на тензоре инерции и изучим его свойства. Погрузившись в дебри аналитической механики, сведем уравнения (31) — (34) к уравнениям движения в обобщенных координатах. В общем, рассказать ещё есть о чем. А пока, благодарю за внимание!

Принцип Даламбера. Движение точки по поверхности. Движение точки по линии

Страницы работы

Содержание работы

Принцип Даламбера удобен для рассмотрения систем со связями (несвободных систем) и позволяет уравнениям динамики придать форму уравнений статики.

Принцип Даламбера для материальной точки.

Уравнение движения точки запишем в виде 2-го закона Ньютона : , где — равнодействующая активных сил, действующих на точку, а — равнодействующая реакций связей, наложенных на точку.

Назовем силой инерции материальной точки величину , тогда уравнение движения перепишется в виде:

Это и есть принцип Даламбера для материальной точки: “При движении материальной точки активные силы и реакций связей вместе с силой инерции точки образуют равновесную систему сил”.

Принцип Даламбера для системы материальных точек.

Для каждой точки, входящей в материальную систему имеем принцип Даламбера:

(i=1,2…n), где -сила инерции i-ой точки.

Проводя суммирование по всем точкам материальной системы получим принцип Даламбера для системы точек “При движении механической системы активные внешние силы и реакции внешних связей вместе с силами инерции точек составляют равновесную систему сил”:

Силы инерции твердого тела.

При поступательном движении твердого тела ускорение всех его точек одинаковы. Система сил инерции приводится к равнодействующей силе . Линия действия этой равнодействующей проходит через центр масс системы.

При вращении твердого тела вокруг неподвижной оси с угловой скоростью w и угловым ускорением e каждая точка имеет ускорение (здесь h — расстояние точки до оси вращения). Нормальное ускорение a_n направлено к оси вращения, тангенциальное ускорение a_t перпендикулярно радиусу вращения каждой точки и направление его зависит от знака углового ускорения. Для каждого конкретного случая необходимо построить эпюру сил инерции точек тела и найти равнодействующую силу инерции. Равнодействующая будет равна произведению массы тела на ускорение центра масс. Линия действия равнодействующей проходит через центр тяжести эпюры этих распределенных сил инерции.

В качестве иллюстрации применения принципа Даламбера для решения задач рассмотрим следующий пример.

Груз А силой тяжести Р₁ опускается вниз по грани призмы с силой тяжести Р приводя в движение груз В, имеющий силу тяжести Р₂. Призма с углами a и b при основании находится на горизонтальной плоскости (ось x), ее движение влево ограничивает вертикальная стенка (ось y). Трение отсутствует. Найти реакцию горизонтальной плоскости N, реакцию вертикальной плоскости F и силу натяжения нити T.

Предположим, что груз А движется с ускорением a. Силы инерции грузов будут равны

Применим к системе принцип Даламбера:

Из этих уравнений имеем:

Для определения T и a применим принцип Даламбера к каждому грузу в отдельности, составив условия равновесия внешних сил грузов и сил инерции в проекции на направление нити:

è

Отсюда видно, что для того, чтобы груз А двигался вниз, ускорение a должно быть больше нуля, то есть P₁Sina > P₂Sinb.

Подставляя результат для a в выражения для F и N получим:

Для натяжения нити T можно также получить:

§3.15 Движение точки по поверхности

Рассмотрим задачу о движении точки по поверхности.

Точка движется по поверхности, заданной уравнением f(x,y,z)=0 (это уравнение является уравнением связи для точки), на точку действует внешняя сила F. Считаем поверхность гладкой, поэтому реакция поверхности N нормальна к поверхности. Необходимо найти закон движения точки по поверхности и реакцию поверхности.

Составим для точки уравнения движения в форме второго закона Ньютона:

Из дифференциальной геометрии известно, что направляющие косинусы к внешней нормали поверхности, а тем самым и к N, вычисляются следующим образом:

Таким образом, компоненты реакции N можно представить в виде:

Окончательно имеем уравнения движения в виде:

Добавив к ним уравнение поверхности f(x,y,z)=0 получим систему трех обыкновенных дифференциальных уравнений и одно алгебраическое уравнение для определения четырех неизвестных величин x(t), y(t), z(t), l(t). После определения величины l можно найти значение реакции N=lDf.

§3.16 Движение точки по линии

Рассмотрим задачу о движении точки по линии.

Точка движется по линии, которая задается пересечением двух поверхностей f₁(x,y,z)=0 и f₂(x,y,z)=0, на точку действует внешняя сила F. Считаем линию гладкой, поэтому реакция линии N нормальна к линии. Необходимо найти закон движения точки по линии и реакцию линии.

Разложим реакцию линии N на две составляющие, каждая из которых нормальна к своей поверхности:

Составим для точки уравнения движения в форме второго закона Ньютона:

Для каждой из составляющих N₁ и N₂ (как это было сделано в задаче о движении точки по поверхности) найдем направляющие косинусы:

;

Окончательно имеем уравнения движения точки по линии в виде:

(3.16.1)

Добавив к ним уравнения поверхностей f₁(x,y,z)=0 и f₂(x,y,z)=0 получим систему трех обыкновенных дифференциальных уравнений и двух алгебраических уравнений для определения пяти неизвестных величин x(t), y(t), z(t), l₁(t), l₂(t). После определения величин l₁ и l₂ можно найти значения реакций N₁=l₁Df₁ и N₂=l₂Df₂.