Уравнение движения в пористой среде

Раздел 4. Установившееся движение упругой жидкости и газа в пористой среде

Дифференциальное уравнение установившейся фильтрации упругой жидкости и газа по закону Дарси

Лекция № 19

До сих пор мы рассматривали фильтрацию несжимаемого флюида r=const (без учета уравнения состояния флюидов, т.к. характеристики k, m и m считали постоянными). Эти допущения приводили к простому дифференциальному уравнению фильтрации

Если флюид сжимаем, нужно получить новое дифференциальное уравнение для упругого (сжимаемого) флюида из уравнения неразрывности потока:

и уравнения движения:

, .

Введем функцию Â так, что ее дифференциал

или .

Функция Â называется функцией Л.С. Лейбензона. Т.к. Â = Â(х, у, z, t) и Р = Р(х, у, z, t) дифференциал можно переписать

, где:

.

Переходя от объемных скоростей (w) к массовым скоростям (rw)

,

и подставляя их в уравнение неразрывности, получим дифференциальное уравнение фильтрации упругого флюида в однородной пористой среде по закону Дарси

.

В случае установившейся фильтрации

и DÂ = 0.

Таким образом, для установившейся фильтрации движения упругого флюида в однородной среде по закону Дарси справедливо уравнение Лапласа, но уже не относительно давления (Р) или потенциала (Ф), а относительно функции Лейбензона Â.

Введение функции Лейбензона в уравнения позволяет установить полную аналогию между установившейся фильтрацией несжимаемого флюида, для которого законы фильтрации нами были уже рассмотрены, и фильтрацией сжимаемого флюида.

В дальнейшем изложении будем считать, что m и k постоянны. Тогда выражение функции Лейбензона упростится:

и .

Аналогия заключается в том, что все формулы, полученные для установившейся фильтрации несжимаемого флюида по закону Дарси можно использовать и для установившейся фильтрации сжимаемого флюида в пластах той же геометрии и при тех же граничных условиях, заменив переменные:

Упругий флюид Функция Лейбензона Массовый расход флюида массовая скорость фильтрации

Несжимаемый флюид

Обменный расход флюида

объемная скорость фильтрации

Установившаяся фильтрация упругой жидкости.

Найдем выражение функции Лейбензона для упругой, но слабо сжимаемой жидкости, описываемой уравнениями состояния

.

Для случая, когда b_ж (Р — Р₀) мало Â r₀Р + С и уравнение фильтрации приводится к виду: .

Т.е. при установившейся фильтрации упругой (слабосжимаемой) жидкости она в большинстве случаев ведет себя как несжимаемая и можно воспользоваться всеми ранее выведенными формулами. В этом случае метод аналогии параметров применять не надо. Однако, при фильтрации жидкости в пласте с очень высоким пластовым давлением и при большой депрессии надо учитывать ее упругие свойства и рассчитывать функцию Лейбензона и применять метод аналогии.

Рассмотрим применение метода аналогии на конкретных примерах фильтрации упругого газа.

Установившаяся фильтрация газового потока.

В отличие от жидкости газ значительно более сжимаем и на практике функцию Лейбензона и метод аналогий параметров в основном применяют к газовым потокам.

Рассмотрим методику применения на простых моделях фильтрации.

Об уравнениях движения жидкости в пористой среде Текст научной статьи по специальности « Математика»

Аннотация научной статьи по математике, автор научной работы — Маринова И. В.

In this article movement of fluids in porous media is considered. The base for fluid instruction research in natural soil is Darsi law.

Похожие темы научных работ по математике , автор научной работы — Маринова И. В.

Текст научной работы на тему «Об уравнениях движения жидкости в пористой среде»

2. Камаева С.С. Биокоррозионная активность грунта как фактор стресс-коррозии магистральных трубопроводов: Обз. Информ. — М.: ИРЦ. Газпром, 1966. С. 73.

3. Ветер В.В., Самойлов М.И., Бабанов A.A. Н Строительство трубопроводов. 1994, № 4, с. 2. 5.

4. Ветер В.В., Самойлов М.И., Припадчева H.A., Носов В.А. // Сталь, 1999, №6, с. 52-56.

5. Справочник по машиностроительным материалам (Под ред. Г.И. Погодина-Алексеева). Том 3. Чугун. М., ГосНТИ машиностроительной литературы, 1959,- 359 с.

6. Чугун: Справочник (под ред. А.Д. Шермана. A.A. Жукова). М., Металлургия, 1991, — 576 с.

7. Петриченко А.М., Суходольская Е.А. Чугун: настоящее и будущее. Киев, «Наукова думка», 1987, — 40 с.

8. Лившиц Б. Г. Металлография. М., Металлургия, 1971,-260 с.

9. Ветер В.В., Трайно А.И.. Кугушин A.A., Юсупов B.C. // Сталь, 1999, № 4, с. 42-46.

10. Ветер В.В.. Самойлов М. И., Карзов Г.И, Кчимов А.Д. Н Освоение шельфов арктических морей России (RAO-97): Материалы междун. конф. — С.-Пб.: 1997. С. 364-366.

ОБ УРАВНЕНИЯХ ДВИЖЕНИЯ ЖИДКОСТИ В ПОРИСТОЙ СРЕДЕ

И.В. Марннова (ТРТУ, г. Таганрог)

Работа выполнена при поддержке Американского фонда гражданских исследований и развития (CRDF, проект REC-004) и Министерства образования Российской Федерации. Грантодатели не несут ответственности за содержание материалов.

In this article movement of fluids in porous media is considered. The base for fluid instruction research in natural soil is Darsi law.

Основой для изучения движения жидкости в пористой среде является закон Дарси полученный экспериментально. В последние 50-60 лег XX века предпринималось немало попыток вывести закон Дарси с теоретической точки зрения, используя лежащие в основе любого движения жидкости уравнение Навье-Стокса. Хотя в этих исследованиях использованы различные подходы, большинство сходится на том, что для описания движения жидкости внутри порового пространства должно быть использовано уравнение баланса количества движения в этой среде при условии непрерывности движения в элементарном объеме в пористой среде. При этом выдвинуты следующие допущения: 1 пренебрегают инерционными эффектами; 2)пренебрегают вяз-

костью флюида в сравнении с силами сопротивления, которые испытывает движущаяся жидкость в поровом пространстве. Уравнение баланса в этом случае для насыщенного течения имеет вид

угус= _ — (■чр + р% Уг), П ч

где Уг и ус усредненные скорости флюида и среды соответственно; р, ц, р-плотность, вязкость и давление жидкости соответственно; к-обозначает проницаемость, возможно анизотропной среды (в этом случае к представляет собой тензор второго порядка). В выражении (I) член -(Vp+pgVz) представляет собой силу, вызывающую движение флюида, действующую на единицу объема флюида. Эта сила уравновешена силой сопротивления на границе твердое чело — флюид, выражается членом гп( у>-ус)|лк’1. Таким образом,

записанный в форме (1), закон Дарси выражает тот факт, что сопротивление пропорционально скорости флюида относительно порового скелета, пропорционально ее вязкости и обратно пропорционально величине к/т пористой среды. Таким образом уравнение (1) описывает движение жидкости в насыщенной области представляющей собой анизотропную, неоднородную среду, т.е. где к=к(х,у,г). В этом уравнении плотность флюида может зависеть от давления, концентрации и температуры. Для р=р(р) правая часть уравнения

(1) сводится к -(1/ш) КУи, где К=к— . Для р=сог^ правая часть сводится к

При наличии скорости среды учитывая формулу

где уг -относительная скорость фильтрации, уравнение (1) можно переписать в следующем виде

Если ¥*“0 (в случае не деформируемой пористой среды) у,=у; при этом уравнение (3) можно записать в следующей форме

Как известно, пределы применимости закона Дарси определяются интервалом изменения числа Рейнольдса Ке-

1 -н 10; при этом преобладающими являются силы вязкости. При дальнейшем увеличении Яе(например, если увеличивается скорость фильтрации) образуется переходная зона, когда течение является ламинарным, но преобладают и управляют движением инерционные силы. Например, Яе=100 является верхним пределом такой переходной зоны, в которой закон Дарси не является устойчивым. Некоторые авторы объясняют отклонение от линейного закона отделением течения от стенок порового пространства, вызванным при больших Ле инерционными си-

лами. При еще больших значениях числа Rc течение становится турбулентным.

В работе [1] путем усреднения уравнения баланса для ньютоновской несжимаемой жидкости (т.е. уравнений Навье-Стокса) получено усредненное уравнение баланса жидкости в пористой среде. Оно имеет вид

+m(yp + pgVz)+mfik’,vr =0 • at <з)

Каждый член в равенстве (5) представляет силу. Первый член в равенстве (5) представляет силу инерции, вызывающую ускорение, одновременно и локальное и конвективное. Второй член представляет силы вязкого сопротивления, вызванное трением внутри жидкости. Третий член представляет собой давление и силу гравитации. Последний член представляет собой силу сопротивления, вызванную взаимодействием системы ж ид кость -твердое тело. Если пренебречь двумя первыми членами (оставляя без изменения два последних), получим закон Дарси. Если пренебречь только вторым членом, мы получим уравнение, включающее в себя эффект инерционных сил, которое может быть использовано при больших числах Re.

Не существует универсальных способов упрощения нелинейного уравнения (5). В работе [2] силы трения предлагается моделировать силами сопротивления, которые являются функциями скорости фильтрации и которые

направлены в сторону, противоположную вектору скорости, T.e.F,;=—————v,

В этом случае зависимость между градиентом и скоростью является не линейной:

где Ф(у) — неотрицательная функция, заданная на определенном отрезке [0,vo ]; вид и свойства функции Ф(у) определяется пористой структурой области фильтрации и областью изменения скоростей, с которыми происходит движение жидкости в пористой среде. В этом случае уравнение движения жидкости, как обобщение закона Дарси можно записать в следующей форме

v= — grad u, g(v)=v/ (v). (8)

Здесь g(v) зависит от закона фильтрации. Очевидно, что на основании закона (S) имеем

1= 111 = | grad u | =Ф(у).

Выражая из последнего уравнения v как функцию I Vu 1, v= (v)=bv2(a=0) из (10) имеем

Аналогично для фильтрации с предельным градиентом имеем

При 1о=0 также получаем закон Дарси.

Имеются указания на то, что существует нижний предел применимости закона Дарси для задач с так называемым начальным градиентом. В средах со слишком малыми порами, например в глинистых почвах, существует начальный градиент, ниже которого практически не существует течение, т.е.

Среди причин, объясняющих отклонение в этом случае от закона Дарси, упомянем следующие: в слишком малых порах сказывается молекулярное притяжение частиц жидкости и частиц глины, что вызывает большую, чем обычно вязкость, диффузионные эффекты; неньютоновское поведение жидкости в перовом пространстве.

1. Bear J. Dynamics of Fluids in Porous Media. И American Elsevier, New York, 1972.//

2. Христианович С.А. Движение грунтовых вод, не следующих закону Дар-

си. ПММ.1940. т IV. Вып l.c.33-52.

ПРОСТРАНСТВЕННО-ТРЕХМЕРНАЯ МОДЕЛЬ ГИДРОДИНАМИКИ ТАГАНРОГСКОГО ЗАЛИВА НА ОПТИМАЛЬНОЙ КРИВОЛИНЕЙНОЙ СЕТКЕ

Лященко Т.В., Гончарова М.В., Камышникова Т.В. (ТРТУ, г. Таганрог)

Работа выполнена при поддержке Американского фонда гражданских исследований и развития (CRDF, проект REC-004) и Министерства образования Российской Федерации. Грантодатели не несут ответственности за содержание материалов.

This report devotes to 3D hydrodynamic model of shallow water basin. For numerical realization of this model we build finite-element scheme for Taganrog Bay. In order to do that we have optimal curvilinear for two coordinate grid.

Большинство используемых непрерывных моделей гидродинамики водоемов включают в себя два уравнения движения (уравнения Навье-Стокса