Уравнение эберса молла для транзистора

2.10. Улучшенная модель транзистора: усилитель с передаточной проводимостью (крутизной)

Существенную поправку следует внести в правило 4 (разд. 2.01), которое определяет, что I_R = h_21э/I_б. Мы рассматривали транзистор как усилитель тока, вход которого работает как диод. Это приближение является грубым, но для некоторых практических случаев большей точности и не требуется. Однако для того чтобы понять, как работают дифференциальные усилители, логарифмические преобразователи, схемы температурной компенсации и некоторые другие практически полезные схемы, следует рассматривать транзистор как элемент с передаточной проводимостью — коллекторный ток в нем определяется напряжением между базой и эмиттером.

Итак, правило 4 в измененном виде: 4. Если правила 1-3 соблюдены (разд. 2.01), то ток I_к связан с напряжением U_бэ следующей зависимостью:

где U_т = kT/q = 25,3 мВ при комнатной температуре (20°С), q-заряд электрона (1,60 · 10 -19 Кл), k -постоянная Больцмана (1,38 · 10 -23 Дж/К), Т-абсолютная температура в Кельвинах (К = °С + 273,16). I_нас — ток насышения транзистора (зависит от Т). Тогда ток базы, который также зависит от U_бэ, можно приблизительно определить так:

где «постоянная» h_21э обычно принимает значения от 20 до 1000 и зависит от транзистора, I_к, U_кэ и температуры. Ток I_нас представляет собой обратный ток эмиттерного перехода. В активной области I_к » I_нас и членом -1 можно пренебречь.

Рис. 2.32. Зависимость базового и коллекторного токов транзистора от напряжения между базой и эмиттером.

Уравнение для I_к известно под названием «уравнение Эберса-Молла». Оно приблизительно описывает также зависимость тока от напряжения для диода, если U_т умножается на корректировочный коэффициент m со значением между 1 и 2. Следует запомнить, что в транзисторе коллекторный ток зависит от напряжения между базой и эмиттером, а не от тока базы (ток базы в грубом приближении определяется коэффициентом h_21э). Экспоненциальная зависимость между током I_к и напряжением U_бэ точно соблюдается в большом диапазоне токов, обычно от наноампер до миллиампер. На рис. 2.32 приведен график этой зависимости. Если измерить ток базы при различных значениях коллекторного тока, то получим график зависимости h_21э от I_к (рис. 2.33).

Рис. 2.33. Типичная зависимость коэффициента усиления по току для транзистора (h_21э) от коллекторного тока.

Согласно уравнению Эберса-Молла, напряжение между базой и эмиттером «управляет» коллекторным током, однако это свойство нельзя использовать непосредственно на практике (создавать смешение в транзисторе с помощью напряжения, подаваемого на базу), так как велик температурный коэффициент напряжения между базой и эмиттером. В дальнейшем вы увидите, как уравнение Эберса-Молла помогает решить эту проблему.

Практические правила для разработки транзисторных схем. На основании уравнения Эберса-Молла получены некоторые зависимости, которые часто используют при разработке схем:

1. Ступенчатая характеристика диода. На сколько нужно увеличить напряжение U_бэ, чтобы ток I_к увеличился в 10 раз? Из уравнения Эберса-Молла следует, что U_бэ нужно увеличить на U_тlog_e10, или на 60 мВ при комнатной температуре. Напряжение на базе увеличивается на 60 мВ при увеличении коллекторного тока в 10 раз. Эквивалентным является следующее выражение I_к = I_коe ΔU/25 , где ΔU измеряется в милливольтах.

2. Импеданс для малого сигнала со стороны эмиттера при фиксированном напряжении на базе. Возьмем производную от U_бэ по I_к: r_э = U_т/I_к = 25/I_к Ом. где ток I_к измеряется в миллиамперах. Величина 25/I_к Ом соответствует комнатной температуре Это собственное сопротивление эмиттера r_э выступает в качестве последовательного для эмиттерной цепи во всех транзисторных схемах. Оно ограничивает усиление усилителя с заземленным эмиттером, приводит к тому, что коэффициент усиления эмиттерного повторителя имеет значение чуть меньше единицы и не позволяет выходному сопротивлению эмиттерного повторителя стать равным нулю. Этот параметр относится к параметрам малого сигнала. Отметим, что крутизна для усилителя с заземленным эмиттером определяется следующим образом: g_m = 1/r_э.

3. Температурная зависимость. Глядя на уравнение Эберса-Молла. можно предположить, что U_бэ имеет положительный температурный коэффициент. Однако, в связи с тем что ток I_нас зависит от температуры, напряжение U_бэ уменьшается на 2,1 мВ/°С. В грубом приближении оно пропорционально 1/Т_абс, где _абс — абсолютная температура.

И еще одна зависимость пригодится нам на практике, правда, она не связана с уравнением Эберса-Молла. Речь идет об эффекте Эрли, описанном в разд. 2.06, который накладывает ограничения на выходную характеристику транзистора как источника тока.

4. Эффект Эрли. U_бэ хоть и в слабой мере, но зависит от U_кэ при постоянном токе I_к. Этот эффект обусловлен изменением эффективной ширины базы и описывается следующей приблизительной зависимостью: ΔU_бэ = -αΔU_кэ, где а « 0,0001. Мы перечислили основные соотношения, которые могут быть полезны на практике. Эти соотношения, а не сами уравнения Эберса-Молла, используются при разработке транзисторных схем.

Модель транзистора для большого сигнала (модель Эберса-Молла)

В качестве такой модели наибольшее распространение получила модель Эберса-Молла, которая основывается на уравнении диода (уравнении Шокли). Эта модель при достаточно высокой точности является наименее сложной (содержит минимальное количество элементов с легко измеряемыми параметрами).

Общая эквивалентная схема транзистора, используемая при получении математической модели Эберса-Молла, показана на писунке.

Каждый переход транзистора p-n-p типа представлен в виде диода, а их взаимодействие отражено генераторами токов, где:

α_I – инверсный коэффициент передачи тока (из коллектора в эмиттер);

α_N – нормальный коэффициент передачи тока (из эмиттера в коллектор)

α_NI₁ – генератор коллекторного тока при нормальном включении;

α_II₂ – генератор эмиттерного тока при инверсном включении.

Таким образом, токи эмиттера и коллектора в общем случае содержат две составляющие: инжектируемую (α_I или α_N) и экстрактируемую (α_NI₁или

; (1)

(2)

Если в общей эквивалентной схеме поочередно прикладывать напряжение к каждому p-n переходу, а выводы других, соответственно, поочередно замыкать между собой накоротко, то токи I₁и I₂, протекающие через p-n переходы к которым приложено напряжение (в соответствии с уревнением Шокли) примут вид:

(3)

(4)

где — тепловой ток эмиттерного p-n перехода при замкнутых базе и коллекторе;

— тепловой ток коллекторного p-n перехода при замкнутых базе и эмиттере.

−n переходов , , включенных раздельно и тепловыми токами получим из (1) и (2).

Пусть ,тогда .

При .

Подставив эти выражения в (1) и (2) для тока коллектора получим:

,

учитывая, что имеем:

,

;

Аналогично: .

Токи коллектора и эмиттера с учетом (3) и (4) будут:

;

;

На основании закона Кирхгофа ток базы будет: ;

.

В самом общем случае в транзисторах справедливо равенство:

,

тогда при ,

поэтому

.

Последние уравнения описывают выходные ВАХ транзистора.

Из уравнения для определения I_Э, решенное относительно U_ЭБ, получим выражение для идеализированных входных характеристик транзистора:

.

Учитывая, что обычно , последнее уравнение может быть упрощено:

.

Модели Эберса-Молла, несмотря на их приближенность, очень полезны для анализа статических режимов при больших изменениях сигналов, так как они нелинейные.

Модели транзистора в режиме малого сигнала

Динамический режим).

При анализе работы биполярного транзистора в качестве усилительного прибора, когда напряжение база-эмиттер изменяется во времени периодически и амплитуда этого напряжения достаточно мала по сравнению с , эквивалентные схемы для такого сигнала целесообразно линеаризовывать. Такие эквивалентные схемы часто называют малосигнальными.

Поэтому транзистор в режиме малого сигнала можно рассматривать как линейный активный четырёхполюсник (см.рисунок), для которого существуют два уравнения, связывающие между собой физические величины:

Биполярный транзистор, как четырёхполюсник.

В данных уравнениях две переменные могут быть независимыми, а две другие выражаться через них. При этом потребуются четыре коэффициента, играющих роль независимых параметров.

Коэффициенты в уравнениях четырёхполюсника называются характеристическими параметрами.

Возможны шесть способов представления функциональных зависимостей между токами и напряжениями транзистора:

1)

2)

3)

4)

5)

6)

На практике наиболее часто используются три вида соотношений:1),2),3).

1) — соответствует параметрам холостого хода (z-параметры);

2) — соответствует параметрам короткого замыкания (y-параметры);

3) — соответствует гибридным (смешанным) параметрам (h-параметры).

Определяя полные дифференциалы функций из уравнений 1),2),3) будем иметь:

Вводя новые обозначения для частных производных, имеющих размерность сопротивлений, и заменяя дифференциалы токов и напряжений, получим:

Z-параметры имеют размерность сопротивлений.

Из уравнения 2) получим:

y-параметры имеют размерность сопротивлений.

Из уравнения 3) получим:

h-параметры – гибридные параметры.

– входное сопротивление в режиме короткого замыкания выхода; (по переменному току);

– коэффициент обратной связи по напряжению при холостом ходе на входе;

–коэффициент передачи тока (коэффициент усиления) при коротком замыкании на выходе;

– выходная проводимость на холостом ходе на входе.

Эквивалентная схема, соответствующая системе h-параметров:

Между h-параметрами и параметрами транзистора, соответствующими Т-образным эквивалентным схемам, существует определенная зависимость.

Для схемы с ОБ эта зависимость выражается соотношениями:

Система h-параметров называется гибридной (смешанной), так как одни h-параметры определяются в режиме х.х. на входе (I₁=0), а другие в режиме к.з. на выходе (U₂=0).

Эберса-Молла

Эквивалентные схемы применяются для анализа цепей, содержащих транзисторы.

Исходя из того, что биполярный транзистор есть совокупность двух встречно включенных взаимодействующих p-n-переходов, его можно представить в виде эквивалентной схемы на постоянном токе. Эквивалентная схема биполярного транзистора на постоянном токе, являющаяся нелинейной физической моделью биполярного транзистора, представленная на рис. 1.2.9, называется моделью Эберса-Молла.

Рис. 1.2.9. Эквивалентная схема транзистора в виде модели Эберса-Молла.

Представленная модель характеризует только активную область транзистора, не учитывая его пассивную (паразитную) область. Данная эквивалентная схема хорошо отражает обратимость транзистора – принципиальную равноправность обоих его переходов. Собираемые токи в данной модели обозначаются с помощью источников тока. Как видно из рис.1.2.9:

, (1.2.25)

где и — токи инжектируемых носителей (входной и выходной соответственно), и — токи собираемых носителей, и — статические коэффициенты передачи тока соответственно при нормальном и инверсном режиме.

Исходя из (1.1.8) можно записать выражения для токов инжектируемых носителей:

(1.2.26)

Подставив (1.2.26) в (1.2.25), найдем разность токов эмиттера и коллектора, которая составляет ток базы, и в результате получим:

. (1.2.27)

Выражение (1.2.27) является математической моделью транзистора и составляет основу для анализа его работы. Токи и — это тепловые токи, а не обратные токи переходов. На рис 1.2.10. представлена эквивалентная схема по постоянному току для транзистора, включенного по схеме с ОБ.

Рис. 1.2.10. Эквивалентная схема транзистора по постоянному току, включенного по схеме с ОБ

Рассмотренная выше физическая модель биполярного транзистора по своей сути нелинейна и обычно применяется для анализа работы транзистора только при больших изменениях напряжения и тока.

Для транзистора, включенного по схеме с ОЭ, эквивалентная схема по постоянному току представлена на рис.1.2.11.

Рис. 1.2.11. Эквивалентная схема транзистора по постоянному току, включенного по схеме с ОЭ

В этой схеме параметры транзистора составляют: r_б=200. 300Ом, r * _к.диф=5. 10кОм, b = 10. 300.