Уравнение экспоненциальной функции имеет вид

Показательное уравнение регрессии

В случае b = e (примерное значение экспоненты e ≈ 2.718281828 ), показательное уравнение регрессии называется экспоненциальным и записывается как y=a·e x .

Здесь b — темп изменения в разах или константа тренда, которая показывает тенденцию ускоренного и все более ускоряющегося возрастания уровней.

Пример . Необходимо изучить зависимость потребительским расходами на моторное масло (у) и располагаемым личным доходом (х).

Составляем систему нормальных уравнений с помощью онлайн-калькулятора Нелинейная регрессия .
a•n + b∑x = ∑y
a∑x + b∑x 2 = ∑y•x

Для наших данных система уравнений имеет вид
21a + 20439.4 b = 32.32
20439.4 a + 20761197.38 b = 31007.03
Из первого уравнения выражаем а и подставим во второе уравнение:
Получаем эмпирические коэффициенты регрессии: b = -0.000515, a = 2.04
Уравнение регрессии (эмпирическое уравнение регрессии):
y = e 2.04 *e -0.000515x = 7.69529*0.99948 x
Эмпирические коэффициенты регрессии a и b являются лишь оценками теоретических коэффициентов β_i, а само уравнение отражает лишь общую тенденцию в поведении рассматриваемых переменных.
Для расчета параметров регрессии построим расчетную таблицу (табл. 1)

log(y) 2	x·log(y)
622.9	1.59	388004.41	2.53	989.93
658	1.65	432964	2.72	1084.82
700.4	1.7	490560.16	2.91	1194.01
740.6	1.72	548488.36	2.97	1275.88
774.4	1.72	599695.36	2.97	1334.11
816.2	1.67	666182.44	2.78	1361.18
853.5	1.61	728462.25	2.59	1373.66
876.8	1.55	768778.24	2.39	1356.9
900	1.53	810000	2.33	1373.45
951.4	1.61	905161.96	2.59	1531.22
1007.9	1.69	1015862.41	2.84	1699.72
1004.8	1.44	1009623.04	2.06	1441.97
1010.8	1.44	1021716.64	2.06	1450.58
1056.2	1.53	1115558.44	2.33	1611.82
1105.4	1.48	1221909.16	2.2	1637.77
1162.3	1.55	1350941.29	2.39	1798.73
1200.7	1.55	1441680.49	2.39	1858.16
1209.5	1.36	1462890.25	1.85	1646.1
1248.6	1.28	1559001.96	1.64	1599.37
1254.4	1.28	1573519.36	1.64	1606.8
1284.6	1.39	1650197.16	1.92	1780.83
20439.4	32.32	20761197.38	50.1	31007.03

1. Параметры уравнения регрессии.
Выборочные средние.



Выборочные дисперсии:


Среднеквадратическое отклонение

Экспоненциальная функция: свойства, примеры, упражнения

Экспоненциальная функция: свойства, примеры, упражнения — Наука

Содержание:

Где b — действительная константа, всегда положительная и отличная от 1, что известно как основание. Обратите внимание, что реальная переменная Икс находится в показатель степени, таким образом, f (x) всегда является действительным числом.

Примеры экспоненциальных функций:

Это функции, которые растут — или убывают, в зависимости от знака экспоненты — очень быстро, поэтому мы говорим об «экспоненциальном росте», когда некоторая величина увеличивается очень быстро. По этой причине они подходят для моделирования роста живых существ, например бактерий.

Еще одно очень интересное приложение — это приложение сложных процентов. Чем больше денег у вас на счете, тем больше начисляется процентов, и их можно рассчитывать через каждый определенный временной интервал, настолько малый, насколько вы хотите.

С помощью логарифмической функции, обратной экспоненциальной функции, можно узнать, через какое время определенный капитал увеличивается до определенного значения.

Свойства экспоненциальной функции

Ниже приведены общие свойства любой экспоненциальной функции:

— График любой экспоненциальной функции всегда пересекает вертикальную ось в точке (0,1), как видно на рисунке 2. Это связано с тем, что b 0 = 1 для любого значения b.

-Экспоненциальная функция не пересекает ось x, фактически эта ось является горизонтальной асимптотой для функции.

-С б 1 = b, точка (1, b) всегда принадлежит графику функции.

-Область показательной функции состоит из набора действительных чисел и f (x) = b Икс он непрерывен во всей своей области.

— Диапазон экспоненциальной функции — это все действительные числа больше 0, что также можно увидеть на графике.

-Экспоненциальная функция является взаимно однозначной, то есть каждое значение x, принадлежащее области определения функции, имеет уникальное изображение в наборе прибытия.

-Обращение к экспоненте — логарифмическая функция.

Частные свойства экспоненциальной функции

Как мы уже говорили ранее, экспоненциальная функция может увеличиваться или уменьшаться.

Если внимательно изучить график на рисунке 2, можно заметить, что если b> 1, функция возрастает, например y = 3. Икс , но в случае y = (1/3) Икс , при b 1

-Функция всегда увеличивается.

-При увеличении значения b функция растет быстрее, например y = 10 Икс растет быстрее, чем y = 2 Икс .

–Когда переменная больше 0, функция получает значения больше 1, то есть:

-Y, если x Икс убывает быстрее, чем y = (1/3) Икс .

-Для значений x меньше 0 функция принимает значения больше 1, то есть:

-Наконец, когда x> 0, тогда y Икс

Экспоненциальная функция часто появляется в Probability and Statistics, поскольку различные распределения вероятностей, такие как нормальное распределение, распределение Пуассона и другие, могут быть выражены через экспоненциальные функции.

Постоянно начисляются проценты

Его еще называют непрерывное компаундирование. Чтобы узнать количество денег К что у вас есть после т лет используется экспоненциальное выражение:

Где P — это первоначально внесенная сумма денег, r — годовая процентная ставка и, наконец,т это количество лет.

Рост бактерий

Бактерии растут экспоненциально, поэтому рост можно смоделировать с помощью:

Где N (t) — существующее население после времени t (почти всегда в часах), N_или — начальная популяция, а k — константа, которая зависит от типа бактерий и условий, в которых они выращиваются, например, доступных питательных веществ.

Радиоактивный распад

Некоторые ядра в природе нестабильны, поэтому они распадаются, чтобы стать более стабильными. Этот процесс может быть очень коротким или длиться тысячи лет, в зависимости от изотопа. Во время радиоактивного распада испускаются частицы, а иногда и фотоны.

Некоторые радиоактивные изотопы имеют медицинское применение, например радиоактивный йод I-131, который используется врачами для диагностики и лечения определенных заболеваний щитовидной железы.

Радиоактивный распад моделируется экспоненциальной функцией.

Решенные упражнения

Уравнения, в которых неизвестное появляется в виде экспоненты, называются экспоненциальными уравнениями. Чтобы решить значение неизвестного, используются различные алгебраические манипуляции и используется функция логарифма, которая является обратной функцией экспоненты.

Давайте рассмотрим несколько решенных упражнений, иллюстрирующих суть дела.

— Упражнение 1

Решите следующие экспоненциальные уравнения:

Решение для

Число 625 кратно 5, фактически при разложении мы обнаруживаем, что:

Поэтому мы можем написать:

Поскольку основания равны как левому, так и правому, мы можем выровнять показатели и получить:

Решение б

Для этого упражнения мы не можем прибегать к ранее применявшейся технике, так как основы не совпадают. Но мы можем применить логарифм к обеим сторонам равенства, например:

журнал (5 Икс ) = журнал (2 х-1 )

Теперь применяется следующее свойство логарифмов:

журнал м п = n⋅log м

x⋅log 5 = (x-1) ⋅log 2

x⋅ (журнал 5 — журнал 2) = -log 2

x = — журнал 2 ÷ (журнал 5 — журнал 2)

— Упражнение 2.

Укажите, какая функция соответствует каждому из приведенных ниже графиков:

Решение для

Поскольку это возрастающий график, b больше 1, и мы знаем, что точка (2,9) принадлежит графу, поэтому:

y = b Икс → 9 = b 2

Мы знаем, что 3 2 = 9, поэтому b = 3 и функция y = 3 Икс

Решение б

Снова подставляем данную точку (-1, 1/5) в y = b Икс получить:

Тогда b = 5 и искомая функция:

Ссылки

1. Фигера, Дж. 2000. Математика 1-й. Диверсифицированный. CO-BO редакции.
2. Гид Хоффманн, Дж. Выбор тем по математике для четвертого. Год. Ред. Сфинкс.
3. Хименес, Р. 2008. Алгебра. Прентис Холл.
4. Ларсон, Р. 2010. Вычисление переменной. 9-е. Издание. Макгроу Хилл.
5. Стюарт, Дж. 2006. Precalculus: математика для исчисления. 5-е. Издание. Cengage Learning.

Мавританский роман: происхождение, характеристика, представители и произведения

85 замечательных фраз и выражений на баскском языке (и их значения)

Экспонента: определение, формула, свойства, график

В данной публикации мы рассмотрим, что такое экспонента, как выглядит ее график, приведем формулу, с помощью которой задается экспоненциальная функция, а также перечислим ее основные свойства.

Определение и формула экспоненты

Экспонента – это показательная функция, формула которой выглядит следующим образом:

Экспоненциальная функция (так часто называют экспоненту) может быть определена:

Через предел (lim):

Через степенной ряд Тейлора:

График экспоненты

Ниже представлен график экспоненциальной функции

Как мы видим график (синяя линия) является выпуклым, строго возрастающим, т.е. при увеличении x увеличивается значение y .

Асимптотой является ось абсцисс, т.е. график во II четверти координатной плоскости стремится к оси Ox , но никогда не пересечет и не коснется ее.

Пересечение с осью ординат Oy – в точке , так как

Касательная (зеленая линия) к экспоненте проходит под углом 45 градусов в точке касания.