Уравнение эквивалентности при замене платежей

Тема 3. Реструктуризация платежей

Цель и задачи:

Цель и задачи изучения темы — ознакомить студентов с методами реструктуризации платежей, научить их грамотно организовывать и проводить расчеты, связанные с консолидацией и заменой платежей, на основе процентных и учетных ставок. Студенты должны определять результаты реструктуризации, уметь выводить и корректно применять расчетные формулы, реализовывать расчеты с помощью Excel.

Оглавление

3.1. Реструктуризация платежей при простых ставках

3.1.1. Задача консолидации платежей

Предположим, что одно лицо брало несколько раз ссуду у другого лица и теперь должно вернуть ему определенные суммы денег в различные моменты времени. По договоренности обеих сторон может быть произведена консолидация, т. е. объединение этих нескольких платежей в один платеж. Следует определить срок возврата консолидированной суммы и размер этой суммы. В этом и состоит задача консолидации платежей.

Такая задача, в принципе, допускает множество решений. Можно договариваться о любом сроке и любой сумме, лишь бы эта договоренность устраивала обе стороны.

Однако интересы сторон обычно оказываются противоположными. Одна сторона хочет вернуть деньги позже и в меньшем объеме, в то время как другая желает получить их раньше и в большей сумме. Следует найти справедливое решение, которое устроило бы обе стороны.

Справедливое решение соответствует сформулированному выше принципу финансовой эквивалентности платежей. Пусть имеются два (или более) платежа, соответствующие различным суммам и приуроченные к различным моментам времени. Такие платежи считаются финансово эквивалентными, если они, будучи приведенными по заданной ставке процента к одному моменту времени, оказываются равными.

Решение задачи консолидации нескольких платежей — это определение такого размера единого платежа и такого момента его выплаты, которые финансово эквивалентны всей заменяемой совокупности платежей.

Рассмотрим решение этой задачи для случая простых процентных ставок.

Пусть платежи имеют размеры и они должны быть выплачены в соответствующие моменты времени :

Предположим, что всю эту совокупность платежей следует консолидировать, т. е. заменить одним платежом размера S. Следует определить справедливый момент выплаты t этого платежа.

Мы рассмотрим эту задачу в предположении, что величина консолидированного платежа S равна сумме консолидируемых платежей:

Такое предположение не является обязательным, платежи можно консолидировать и с другой суммой. Однако оно наиболее естественно, и мы проведем сначала рассуждение именно для этого случая.

На рис. 3.1 указаны моменты выплаты отдельных платежей .

Рис. 3.1. Консолидация платежей

Искомый момент времени t выплаты консолидированной суммы S не может наступить ранее срока первого платежа t 1 или в сам момент t 1 . На это не согласится та сторона, которая должна выплачивать эти платежи. В этом случае оказалось бы, что ту же сумму платежей S она должна выплатить в более ранний срок. На выплату в более ранний срок можно было бы пойти, если бы при этом можно было выплатить меньшую сумму. Однако мы решаем задачу в предположении, что консолидированная величина S не меньше, а равна сумме консолидируемых величин S k . Таким образом, t > t 1 .

Искомый момент t не может наступить и позже срока последнего платежа t m или в сам момент t m . На это не пойдет та сторона, которая должна получать платежи. Она могла бы на это согласиться, если бы консолидированная величина была больше суммы консолидируемых платежей. Однако по предположению они равны друг другу. Таким образом, t m .

Итак, искомый момент t лежит в промежутке от t 1 до t m . Для части консолидируемых платежей моменты их выплаты окажутся раньше, чем t. Такие платежи назовем ранними платежами. Моменты выплаты другой части платежей окажутся позже, чем t. Эти платежи назовем поздними платежами.

С точки зрения уплачивающей стороны, при консолидации она проигрывает по поздним платежам (т. к. их при консолидации придется выплатить раньше), но выигрывает по ранним платежам (их при консолидации следует уплатить позже). С точки зрения получающей стороны, все наоборот, она проигрывает по ранним платежам, но выигрывает по поздним. То, что проигрывает одна сторона, выигрывает другая.

Консолидация будет справедливой, если для каждой из сторон суммарный выигрыш будет равен суммарному проигрышу. При этом достаточно уравновесить выигрыш и проигрыш для одной стороны. Отсюда будет следовать, что они уравновешены и для другой.

3.1.2. Определение времени уплаты консолидированной суммы

Для количественной оценки выгодности и невыгодности будем использовать простую процентную ставку i.

До консолидации уплачивающая сторона должна была выплатить платеж в размере S 1 в момент t 1 . В результате консолидации она выплатит платеж того же размера (как составную часть общего платежа S), но в другой, более поздний момент t.

За промежуток времени от момента t 1 до момента t величина по ставке процента i могла бы вырасти на величину L 1 :

Эта величина и определяет выигрыш уплачивающей стороны, связанный с переносом платежа S 1 на более поздний срок.

Это рассуждение можно провести для всех ранних платежей. Каждый такой ранний платеж даст при консолидации свой выигрыш. Для платежа , соответствующего моменту , такой выигрыш равен :

Общий выигрыш L равен сумме таких выигрышей при консолидации по всем ранним платежам:

Поздние платежи связаны с проигрышем при консолидации для уплачивающей стороны, поскольку выплачивать их придется в том же объеме, но раньше по сроку. Величина проигрыша для позднего платежа , соответствующего моменту t q , равна

На эту величину могла бы вырасти сумма по ставке процента i, если бы ее выплату можно было отложить от момента времени t до момента t_q. Общая величина проигрыша R равна сумме таких проигрышей при консолидации по всем поздним платежам:

Условие финансовой эквивалентности, справедливости замены сроков платежей при их консолидации означает, что общий выигрыш и общий проигрыш равны:

L = R,

В левой сумме участвуют все ранние платежи, а в правой — все поздние.

Если один из платежей оказался на границе между ранним и поздним платежом, т. е. если его срок уплаты t_k совпал с t, то его можно отнести в любую из двух групп. При консолидации момент выплаты такого платежа не изменяется, соответствующие ему выигрыш или проигрыш равны 0.

Обе части последнего равенства можно сократить на величину процентной ставки i. После сокращения перенесем правую часть налево. Получим:

По-другому это можно записать так:

Объединим обе суммы в одну:

Теперь раскроем скобки и запишем выражение как разность двух сумм:

В первой сумме множитель t во всех слагаемых один и тот же. Его можно вынести за знак суммы (по правилам вынесения общего множителя за скобки). Вторую сумму перенесем в первую часть равенства. Получим:

Сумма платежей, стоящая в левой части равенства, по условию задачи равна S:

Разделим обе части предыдущего равенства на эту сумму. Получим:

Мы получили формулу для расчета момента времени t уплаты консолидированной суммы S.

Преобразуем эту формулу к более удобному виду. Внесем знаменатель под знак суммы:

В этой формуле каждая из дробей представляет собой отношение величины одного из платежей к консолидированной сумме S k , т. е. представляет собой ту долю, которую платеж S k составляет в общей сумме S. Сумма всех таких долей равна 1:

Таким образом, момент t уплаты консолидированной суммы S равен сумме моментов внесения t k отдельных платежей, причем в этой сумме каждый момент t k берется с коэффициентом, равным той доле, которую составляет данный платеж S k в общей консолидированной сумме S.

Эти долевые коэффициенты часто называют весами, а сумму с такими коэффициентами называют взвешенной суммой. В таком случае говорят, что момент времени t уплаты консолидированного платежа равен взвешенной сумме моментов уплаты консолидируемых платежей.

Заметим, что ставка процента i, в соответствии с которой происходила консолидация выплат, в процессе вывода формулы сократилась. В формуле, определяющей момент времени t, когда должна быть произведена выплата консолидированной суммы, ставка процента i не участвует.

Отсюда следует вывод: срок t не зависит от i, т. е. при любой процентной ставке время выплаты консолидированной суммы оказывается одним и тем же.

3.1.3. Применение Excel к решению задачи консолидации платежей

Для проведения расчетов с большими объемами данных, а также для проведения вариантных расчетов удобно использовать Excel. В Практикуме на конкретных примерах показано, как организовать соответствующую электронную расчетную таблицу и снабдить ее графиками, придающими необходимую наглядность проведенным построениям.

3.1.4. Разъединение платежей

Мы рассмотрели формулы, связанные с объединением нескольких выплат, с их консолидацией. Рассмотрим теперь противоположную задачу — задачу разъединения платежа.

Пусть в соответствии с договором выплата в размере S должна быть произведена в момент времени t. Предположим, что часть этой выплаты в размере S 1 может быть произведена раньше, в момент t 1 . Тогда оставшаяся часть S 2 :

может быть выплачена позже, в некоторый момент t 2 . Как определить этот момент?

Для решения этой задачи можно воспользоваться формулой консолидации. Согласно этой формуле, если два платежа S 1 и S 2 , приуроченные к моментам времени t 1 и t 2 , консолидируются в один суммарный платеж S, то его момент времени t определяется равенством

Раньше мы по этой формуле рассчитывали момент t по известным t 1 и t 2 . Теперь мы используем эту формулу для расчета t 2 при известных t 1 и t.

После простых преобразований получаем расчетную формулу

Следует еще раз подчеркнуть важное обстоятельство. Расчленение долга, выплата его по частям, изменение сроков выплат связаны с изменением условий договора. С такими изменениями должны быть согласны обе договаривающиеся стороны. Может, например, оказаться, что лицо, давшее денежную ссуду, не согласится с переносом сроков ни на каких условиях. Перенос сроков в этом случае окажется невозможен.

Приведенные выше в примере расчеты показывают, как можно было бы изменить условия договора на объективной основе, сохранив финансовую эквивалентность его результатов. Тем самым расчет устанавливает объективную основу для изменения условий договора. Окажется ли это достаточным для действительного изменения условий, зависит еще и от субъективной основы, от желаний участников.

3.1.5. Консолидация платежей с изменением срока выплаты или уплачиваемой суммы

Мы рассмотрели задачи объединения и разъединения платежей без изменения их общей суммы. На практике встречаются и другие задачи, когда изменяется общая сумма платежей или срок выплаты.

Пусть несколько платежей консолидируются в один платеж S, по величине равный сумме этих отдельных платежей:

В этом случае, как мы уже знаем, момент выплаты t этой консолидированной суммы определяется формулой

Пусть по условию договора изменяется срок уплаты общей суммы платежей. Вместо момента времени t теперь платеж будет произведен позже, в момент t’. Тогда должна измениться и уплачиваемая сумма, вместо суммы S теперь следует выплатить большую сумму S’.

Величина S’ должна быть определена в соответствии с принципом финансовой эквивалентности.

Обозначим посредством разность между новым и старым моментами выплаты:

Пусть в условии договора оговорена процентная ставка i. Тогда за время сумма S должна вырасти по формуле простых процентов и достичь новой величины S’:

Это и есть искомая величина выплаты в момент t’. При переносе платежа на более ранний срок формула расчета S’ сохраняется прежней. Следует, однако, иметь в виду, что величина в ней будет отрицательной, так что новая сумма S’ окажется меньше исходной суммы S.

Мы рассмотрели задачу изменения уплачиваемой суммы при изменении срока уплаты. Важную роль играет и обратная задача — задача изменения срока при изменении суммы.

Пусть по условиям договора изменяется общая сумма платежей, вместо прежней суммы S теперь следует уплатить сумму S’. Следует определить срок уплаты t’ этой суммы.

Если новая сумма S’ больше прежней суммы S, то и новый срок t’ должен быть позже t. Разность :

должна быть такова, чтобы по оговоренной процентной ставке i сумма S за время выросла бы до величины S’. В этом случае выплата суммы S в момент t будет финансово эквивалентна выплате суммы S’ в момент t’.

Новый срок уплаты t’, связанный с уплатой новой суммы S’, можно рассчитать по этой формуле через старый срок t, сумму платежей S и ставку процента i, с помощью которой определяется финансовая эквивалентность платежей.

Отметим, что расчеты для консолидации без изменения суммы и срока не связаны с конкретной величиной процентной ставки. При изменении ставки результаты расчетов не изменяются. По-другому дело обстоит для расчетов по консолидации платежей с изменением суммы или срока. Здесь результат зависит от выбранной ставки. С увеличением процентной ставки сумма S’ будет все больше отличаться от суммы S, а дата t’ будет все больше приближаться к дате t.

3.1.6. Консолидация платежей на основе учетной ставки

Учетная ставка обычно используется при банковском учете, замене или консолидации векселей.

Рассмотрим ситуацию, когда одно лицо должно уплатить другому лицу денежную сумму S. Предположим, что они договорились о переносе платежа на более поздний срок, отстоящий от срока уплаты на время t. В связи с продлением срока сумма долга возрастет до некоторой, пока неизвестной, величины S’. Ранее мы рассчитывали эту величину на основе простой процентной ставки. Теперь определим ее через простую учетную ставку. Пусть учетная ставка равна d.

В соответствии с формулой учетной ставки

Отсюда следует, что

Рассмотрим задачу консолидации нескольких платежей. Предположим, что несколько долгов в размерах , срок уплаты которых приходится на разные моменты времени, объединяются в один долг, который относится на момент уплаты последнего из долгов или на еще более поздний срок. Пусть сроки пролонгации долгов равны соответственно .

Тогда общая сумма долга S’, рассчитанная по формулам простой учетной ставки d, составит величину

В том случае, если срок уплаты консолидированного долга устанавливается ранее срока последнего из долгов, расчетная формула несколько изменяется. Все множество долгов, участвующих в консолидации, следует разбить на два подмножества: ранних долгов (срок уплаты которых наступает раньше срока уплаты консолидированной суммы) и поздних долгов (для которых срок уплаты наступает позже срока консолидированной суммы). Формула величины консолидированного долга имеет в этом случае вид:

В этой формуле в первой сумме участвуют ранние долги, а во второй сумме — поздние долги. Для ранних долгов — это сроки продления уплаты долгов, а для поздних долгов — это сроки опережения уплаты.

3.2. Реструктуризация платежей при сложных ставках

Общим принципом изменения условий платежей является принцип финансовой эквивалентности результатов до и после изменения условий. В этом случае обе договаривающиеся стороны будут готовы к изменению договора.

Простейший случай изменения условий — это перенос срока платежа. Пусть платеж размера S переносится на более поздний срок, отстоящий от первоначально оговоренного срока на время t. Тогда новая величина платежа S’ представляет собой наращенную за это время сумму по оговоренной ставке процента i:

Если сумма выплачивается раньше срока на время t, то она может быть уменьшена до величины S’’, дисконтирована по ставке процента i:

В более сложных случаях для определения финансовой эквивалентности формируют специальные уравнения. Их решение позволяет определить численные параметры условий изменения платежей.

3.2.1. Консолидация платежей

При консолидации (объединении) платежей определяется срок общего платежа по его сумме, а также по суммам и срокам объединяемых платежей.

Пусть объединяются m платежей, имеющих суммы и сроки . Предположим, что сумма общего платежа равна S. Требуется определить срок этого общего платежа t.

Если все платежи привести к моменту времени t по процентной ставке i, то получим равенство, выражающее условие финансовой эквивалентности:

Это и есть уравнение эквивалентности, на основе которого можно определить искомый срок t.

Простые преобразования приводят уравнение к следующему виду:

Логарифмируя обе части и преобразуя, получаем выражение для t:

В этой и дальнейших формулах логарифмы могут иметь любое основание (но одно и то же везде в одной формуле).

Это равенство можно представить в другой форме:

Здесь для расчета не требуется знать отдельно величины платежей S k и сумму нового платежа S, достаточно знать отношения S k / S.

Иногда эту точную формулу заменяют более простой приближенной формулой:

В этой формуле не требуется логарифмировать. Кроме того, результат расчета по этой упрощенной формуле не зависит от ставки процента i. При достаточно малых ставках процента i эта приближенная формула дает результат с небольшой погрешностью. С ростом ставки процента погрешность увеличивается. Расчеты по упрощенной формуле всегда дают срок более поздний, чем расчеты по точной формуле.

Наконец, следует отметить, что приближенная формула является точной в том случае, если консолидация проводится не по сложной ставке процента, а по простой ставке (консолидация по простой ставке рассмотрена выше).

Рассмотрим теперь случай, когда величина общего платежа не равна сумме объединяемых платежей. В этом случае приближенная формула для расчетов не годится. Вычисления следует проводить по точной формуле. Точная формула годится и для таких случаев (при ее выводе мы не предполагали, что величина объединенного платежа равна сумме объединяемых платежей и нигде в выводе этим не пользовались). Она и в этом случае даст точный результат.

Однако можно поступить и по-другому. Сначала рассчитать срок для варианта, когда величина нового платежа равна сумме объединяемых платежей. Здесь можно воспользоваться и приближенной формулой, если возникающая при этом погрешность считается допустимой. Затем полученный срок платежа следует сдвинуть на такой промежуток времени, который соответствует переходу от одной суммы общего платежа к другой.

3.2.2. Замена платежей

Наряду с консолидацией, объединением платежей в финансовой практике возникает задача разъединения платежей и вообще замены одной комбинации платежей другой комбинацией. Определение величины новых платежей и сроков их уплаты проводится на основе уравнений эквивалентности.

Предположим, что уплата долга в соответствии с договором осуществляется в виде серии платежей, которые должны проходить в моменты времени. Эта серия заменяется другой серией платежей, возможно, с другим числом выплат и другими их размерами, и приуроченными к другим моментам времени. Для того чтобы одна серия была эквивалентна другой серии по сложной процентной ставке i, необходимо, чтобы выполнялось равенство

Левая часть равенства представляет собой сумму всех платежей первоначальной серии, приведенных (дисконтированных) по процентной ставке i к начальному моменту времени. Правая часть равенства представляет собой аналогичную сумму для заменяющей серии платежей. Равенство утверждает, что обе серии, пересчитанные к одному и тому же моменту времени, равны друг другу. Другими словами, оно утверждает финансовую эквивалентность результатов, является уравнением эквивалентности. Отметим, что если равенство выполнено при приведении к одному моменту времени, то оно будет выполнено и при приведении к любому другому моменту. Переход от одного момента к другому при расчете со сложными процентными ставками осуществляется путем умножения обеих частей уравнения на один и тот же множитель. Таким образом, выбор конкретного момента приведения не важен.

По-иному дело обстоит с выбором конкретной величины процентной ставки. Изменение величины ставки может сделать равенство неверным.

При изменении условий платежей внимание следует обращать на величину ставки, по которой осуществляется пересчет, а не на дату, относительно которой этот пересчет производится.

Выводы

Задача реструктуризации платежей состоит в преобразовании одной совокупности платежей, приуроченных к тем или иным моментам времени, в другую совокупность платежей, приуроченных к другим моментам времени. При таком преобразовании следует учитывать промежутки времени между платежами.

В основе реструктуризации лежит принцип финансовой эквивалентности.

Двумя важнейшими частными случаями реструктуризации являются консолидация и разъединение платежей.

Результаты реструктуризации зависят от выбора вида ставки, процентной или учетной, простой или сложной. Наиболее простые расчетные формулы получаются для простой процентной ставки. Для простой процентной ставки результат консолидации с сохранением суммы не зависит от величины ставки.

Уравнение эквивалентности при замене платежей

На практике при изменении условий выплат денежных сумм принцип финансовой эквивалентности реализуется путем составления уравнения эквивалентности, согласно которому сумма заменяемых платежей, приведенных к одному моменту времени, приравнивается сумме платежей по новому соглашению, приведенных к тому же моменту времени. Для краткосрочных контрактов процесс приведения, как правило, осуществляется на основе простых ставок. [c.128]

Для каждой конкретной ситуации получается свое уравнение эквивалентности, а в некоторых простых случаях можно обойтись и без него. [c.128]

Этот же результат можно получить, и не пользуясь формулой (49), а составив для данной конкретной ситуации уравнение эквивалентности, руководствуясь принципом финансовой эквивалентности. В соответствии с этим принципом величина платежа Р0 должна быть такой, что, получив через 3 месяца ( о = 0,25 года) Р0 и инвестировав эту сумму под простую процентную ставку г = 0,4, кредитор через время i — о мог бы получить сумму Р = 80 тыс. руб. Таким образом, получим уравнение [c.130]

Решение. При решении задач такого типа пользуются уравнением эквивалентности, согласно которому сумма заменяемых платежей, приведенных к одному моменту времени, приравнивается к сумме платежей по новому соглашению, приведенных к той же дате. Причем приведение осуществляется путем дисконтирования к болте ранней дате или путем наращения величины соответствующего платежа, если эта дата относится к будущему. [c.132]

Решение. За дату приведения примем 12 апреля — время выплаты 16 тыс. руб. Для лучшего понимания вида уравнения эквивалентности в данном случае укажем явным образом порядковые номера в году представленных в контракте дат 12 апреля — 102 1 сентября — 244 20 мая — 140 10 июля — 191 1 августа — 213. Обозначая остаток долга через Р, запишем уравнение эквивалентности [c.136]

Решение. Для пояснения существа дела покажем вначале, как в данном случае можно составить уравнение эквивалентности для определения срока консолидированного платежа. Как и при использовании простой процентной ставки, в этой ситуации для определения срока по консолидированного платежа осуществляют дисконтирование всех сумм по простой учетной ставке на начальный момент (в примере — 15 марта) и затем приравнивают приведенную стоимость консолидированного платежа к. сумме приведенных стоимостей исходных платежей. Решая полученное уравнение относительно и0, находят искомый срок. [c.138]

Воспользуемся таким уравнением эквивалентности для решения рассматриваемого примера. Выберем в качестве момента приведения начальный момент времени. В этом случае уравнение эквивалентности примет вид [c.163]

В качестве момента приведения можно было выбрать любой момент времени. Так, если взять 4 года 6 месяцев, то уравнение эквивалентности примет вид [c.163]

Как и в случае простых процентов, при любой замене платежей в условиях использования сложных процентов должен выполняться принцип финансовой эквивалентности, соблюдение которого обосновывается составлением соответствующего уравнения эквивалентности. Согласно этому уравнению сумма заменяемых платежей, приведенных к одному моменту времени, приравнивается к сумме платежей по новому соглашению, приведенных к тому же моменту времени. [c.249]

Что можно сказать о моменте приведения при составлении уравнения эквивалентности, решающего задачу замены платежей в случае использования сложных процентов Верны ли аналогичные выводы для случая простых процентов [c.250]

Обратим внимание, что такой же результат получим, выбрав в качестве момента приведения любой другой момент времени. Пусть, например, в качестве момента приведения выбрано начало шестого года (т.е. конец пятого года). В этом случае уравнение эквивалентности примет вид [c.257]

Выбирая за дату приведения момент заключения финансового соглашения, запишем уравнение эквивалентности [c.258]

Для нахождения эквивалентных ставок составляют уравнения эквивалентности по следующим правилам. Рассматривается результат инвестирования капитала Р на срок и лет [c.108]

На основе равенства двух выражений можно составить уравнения эквивалентности для различных вариантов. Так, приравнивая наращенные суммы при различных схемах начисления простых и сложных процентов [c.109]

Р (1 + ш), S = Р (1 + /с)и, получим уравнение эквивалентности [c.109]

Для различных вариантов начисления сложных процентов используем следующее уравнение эквивалентности [c.109]

Это уравнение эквивалентно следующему [c.74]

Для нахождения эквивалентных процентных ставок используют уравнения эквивалентности, принцип составления которых заключается в следующем. Выбирается величина, которую можно рассчитать при использовании различных процентных ставок (обычно это наращенная сумма S). На основе равенства двух выражений для данной величины и составляется уравнение эквивалентности, из которого путем соответствующих преобразований получается соотношение, выражающее зависимость между процентными ставками различного вида. [c.103]

Для различных случаев сложных процентов получаем уравнение эквивалентности, приравнивая формулы (3.1) и (3.6) [c.105]

Поскольку финансовые результаты обеих операций должны быть равны, составляем следующее уравнение эквивалентности [c.106]

Замена и консолидация платежей

В качестве метода, позволяющего осуществить принцип финансовой эквивалентности обязательств, принято использовать метод приведения (с помощью операций дисконтирования и наращения) платежей к одному моменту времени.

При применении метода приведения следует, прежде всего, выбрать базовый момент времени, т.е. момент к которому предполагается приведение всех сумм в расчете.

Дисконтирование применяется, если необходимо привести платежи к более ранней дате, наращение – когда базовый момент времени относится к будущему.

Пример. Выясните, являются ли равноценными два обязательства, если по одному из них должно быть выплачено 2 млн. рублей через 2 года, а по второму – 2,5 млн. рублей через 3 года. Для сравнения применить сложную процентную ставку 15% годовых.

Решение:

Найдем современную стоимость этих платежей:

Как видим, данные обязательства не являются равноценными.

На практике при изменении условий платежей принцип финансовой эквивалентности реализуется путем составления уравнения эквивалентности, согласно которому сумма заменяемых платежей, приведенных к одному моменту времени, приравнивается к сумме платежей по новому соглашению, приведенных к тому же моменту времени. Для краткосрочных контрактов процесс приведения, как правило, реализуется на основе простых процентных ставок, для среднесрочных и долгосрочных – на основе сложных.

Пример.

Имеются два кредитных обязательства 400 тыс. руб. и 700 тыс. руб. со сроками уплаты 1 августа и 1 января (следующего года). По согласованию сторон условия обязательств пересмотрены: первый платеж в размере 600 тыс. рублей должник вносит 1 ноября, остальной долг он выплачивает 1 марта. Определите величину второго платежа, если в расчетах используется простая процентная ставка 20% годовых. Проценты точные.

За базовую дату примем дату искомого платежа. Все остальные платежи приведем к этой дате — 1 марта.

Срок от 1 августа (Р1=400 тыс. рублей) до 1 марта составляет 212 дней (365-213 +60).

Срок от 1 января (Р2=700 тыс. рублей) до 1 марта составляет 59 дней (60-1).

Срок от 1 ноября (Р3=600 тыс. рублей) до 1 марта составляет 120 дней (365-305+60).

Уравнение эквивалентности имеет вид:

Отсюда Р4=529,65 тыс. рублей.

Пример.

Согласно контракту предприятие должно выплатить 200, 300 и 500 тыс. рублей соответственно через 1,5 года, 2 и 4 года. Предприятие предлагает пересмотреть контракт и вернуть долг одним платежом через 3,5 года. Найдите величину консолидированного платежа, если применяется сложная процентная ставка 18% годовых.