Уравнение эквивалентности в финансовой математике

Эквивалентнымисчитаются такие платежи, которые, будучи приведены к одному моменту времени, оказываются равными. Рассмотрим рис. 6 S₁ и S₂ — суммы, приуроченные к моменту времени t = 2 и t = 4 соответственно.

Приведем обе суммы S₁ и S₂ к начальному моменту времени по ставке приведения i, т.е. произведем дисконтирование этих сумм:
A₁ = S₁ (1 + i) -2 , A₂ = S₂ (1 + i) -4 .
Если A₁ = A₂ , то суммы S₁ и S₂ эквивалентны. Следовательно, замена суммы S₁ при t = 2 на сумму S₂ при t = 4 и наоборот, не изменит финансовых отношений сторон участников коммерческой сделки. Рассмотрим рис.7.

Здесь сравниваются два потока платежей: S₁ , S₂ и P₁, P₂ по сложной процентной ставке i. Для того чтобы заменить суммы S₁ и S₂ на две другие, эквивалентные по своим финансовым последствиям, суммы P₁ и P₂, применим принцип финансовой эквивалентности. Именно, приведем платежи S₁ и S₂ к начальному моменту времени (можно к любому другому) и сложим их:
S₁ (1 + i) -2 + S₂ (1 + i) -4 . (27)
То же самое проделаем с платежами P ₁ и P ₂:
P₁ (1 + i) -5 + P₂ (1 + i) -7 . (28)
Приравнивая (27) и (28), получим уравнение эквивалентности :
S₁ (1 + i) -2 + S₂ (1 + i) -4 = P₁ (1 + i) -5 + P₂ (1 + i) -7 . (29)
Очевидно, что данный метод распространяется на любое конечное число сумм. Если сравнение происходит по простой ставке i, то уравнение (29) примет вид:
S₁ (1 + 2i) -1 + S₂ (1 + 4i) -1 = P₁ (1 + 5i) -1 + P₂ (1 + 7i) -1 .
В случае, когда несколько платежей S₁, S₂, S₃ со сроками n₁, n_2, n₃ соответственно, заменяются одним S₀ со сроком n₀, то уравнение эквивалентности в случае простых процентов запишется в виде:
S ₀ = S₁ (1 + (n₀ — n₁ )i) + S ₂ (1 + (n₀ — n₂ )i) + S₃ (1 + (n₀ — n₃ ) i),
если n ₀ > n₁, n₂, n₃. В другом случае, если n₁ n_k), так и дисконтирование (n₀ — ( ) + S₃ (1 + i) — ( ) .
Пример. Два платежа — 1 и 0,5 млн руб. со сроками уплаты соответственно 150 и 180 дней — объединяются в один со сроком 200 дней. Определите консолидированную сумму долга, если стороны согласились на применение простой ставки, равной 20 %.

Решение. Приводя суммы 1 и 0,5 млн руб. к сроку n₀ = 200 дней, получим уравнение эквивалентности (К = 360):
S₀ = 1000 (1 + 0,2) + 500 (1 + 0,2) = 1533,32 тыс. руб.

Пример. Имеется два кредитных обязательства — 500 тыс. руб. и 600 тыс. руб. со сроками уплаты 01.10 и 01.01 (нового года).

По согласованию сторон обязательства были пересмотрены на новые условия: первый платеж в размере 700 тыс. руб. должник вносит 01.02, остальной долг он выплачивает 01.04. Ставка сравнения 10 % простая. Рассчитайте величину второго платежа S₀.

Решение. За дату приведения примем 01.01 (нового года), К = 360. Учитывая, что 01.10 — 274-й порядковый день в году, 01.02 — 32-й день, 01.04 — 91-й день, запишем уравнение эквивалентности:
500 (1 + 0,1) + 600 = 700 (1 + 0,1) -1 + S ₀ (1 + 0,1) -1 .
Решая это уравнение относительно S₀, находим: S₀ = 409,417 тыс. руб.
Задачи

7.1. Долг в размере 300 тыс. руб. должен быть выплачен через два года. Найдите эквивалентные значения для этой суммы (ставка сравнения 25 %):

а) в конце первого года,

Ответ: а) 240 тыс. руб.; б) 585,938 тыс. руб.

7.2. Вычислите эквивалентное значение долга, которого он достигнет через два года, если в настоящее время он составляет 42 тыс. руб. Проценты начисляются поквартально по ставке 40 % годовых. Ответ: 90,031 тыс. руб.

7.3. Исходный поток платежей составляет: 200 тыс. руб. — через один год, 175 тыс. руб. — через два года, 210 тысяч руб. — через 4 года. Замените его эквивалентным множеством, состоящим из двух выплат, равных по величине, первая из которых осуществляется через 1,5 года, а вторая — через 4 года. Проценты начисляются по ставке 8 % годовых каждые полгода.

7.4. Долг должен быть погашен двумя платежами: 100 тыс. руб. через один год и 370 тыс. руб. через три года. Определите срок, при котором замена обеих выплат одной, в размере 480 тыс. руб., будет эквивалентной при ставке – 15 % годовых.

7.5. По условиям контракта, заключенного 01.02, за полученные в кредит товары фирма должна заплатить через 120 дней — 1,5 млн руб., а затем через 240 дней еще 1,2 млн руб. Достигнуто соглашение с кредитором об изменении условий контракта. Платежи производятся равными суммами: первый платеж — через 90 дней, второй — через 180 дней. При расчете применяется простая ставка 10 % годовых. Определите величину каждого платежа. Ответ: 1,3361 млн руб.

7.6. Строительная фирма получила в банке долгосрочный кредит в размере 5 млн. руб. под 6 % годовых (проценты сложные), срок погашения — через 5 лет. Впоследствии стороны пересмотрели условия займа и выработали новые: через три года производится выплата 3 млн. руб., остальная сумма выплачивается через 4 года. Процентная ставка сохраняется прежней. Определите сумму окончательного платежа.

7.7. Заемщик должен уплатить кредитору 10 млн руб. через 5 лет. Стороны согласились изменить условия погашения долга: через 2 года выплачивается 3 млн руб., а оставшийся долг спустя 4 года после первой выплаты. Определите сумму окончательного платежа, если сложная процентная ставка равна 10 % годовых.

8. АНАЛИЗ ЭФФЕКТИВНОСТИ ИНВЕСТИЦИОННЫХ ПРОЦЕССОВ
В условиях рыночной экономики инвестирование позволяет нарастить капитал. Для этого надо уметь анализировать инвестиционные процессы.

В инвестиционном проекте средства сначала вкладываются в какую-либо сферу (производство, строительство, торговля, ценные бумаги и т.д.) а затем они постепенно возвращаются, принося инвестору к концу срока проекта определенную прибыль.

Задача инвестора: на основе имеющихся на момент начала проекта данных о доходности вложений в различные сектора рынка и их прогнозе на период реализации проекта выбрать оптимальный вариант вложения имеющихся у него финансовых средств.

Хотя такая задача сложна и содержит в себе моменты неопределенности и риска, но даже простые модели позволяют многое прояснить, выяснить связи между параметрами инвестиционных процессов, допустимые диапазоны их изменения и т.д. и, в конечном счете, принять правильное решение.

Непосредственным объектом анализа инвестиционных процессов являются потоки платежей, в которых инвестиции отрицательны, доходы положительны.

8.1. Модель дискретного потока платежей
Рассмотрим модель детерминированного дискретного потока денежных расходов (капитальных вложений) и поступлений в инвестиционном процессе.

Пусть инвестиционный проект начинается в момент t=0 с капвложения R(0) рублей. Затем в моменты t_k происходят инвестиции в размере R(t_k ) или доходы в размере P(t_S ) руб.

Определение. Современной стоимостью PV (Present Value) потока платежей называется сумма приведенных к моменту t=0 величин этих платежей. В нашем случае современные стоимости инвестиций и доходов вычисляются cоответственно по формулам:

Определение. Чистым приведенным доходом NPV (Net Present Value) называется алгебраическая сумма всех платежей, приведенных к моменту t=0 по ставке процента i:
NPV = VP_P — PV_R .
Чистый приведенный доход характеризует общий абсолютный результат инвестиционной деятельности. Ставка процентов, по которой производится дисконтирование, называется ставкой сравнения или спот-ставкой.

8.2. Модель непрерывного потока платежей
В коммерческой практике встречается случай, когда фирме приходится производить частые, но небольшие денежные расходы и поступления. Если баланс финансового потока подсчитывается также часто, то такие платежи при теоретическом финансовом анализе можно описать с помощью модели непрерывного потока платежей. Пусть на временном отрезке [0,T] расходы и доходы поступают с интенсивностью R(t) руб/год. На отрезке [t, t+t] величина потока платежей составит R(t) t руб. Приведенная величина этого потока на момент t = 0 на данном отрезке  R(t) V(t) t, где V(t)=(1+i) — t . Суммируя по всему отрезку [0,T] и переходя к пределу при t  , получим:

Следовательно, чистый приведенный доход на отрезке [0,T] равен

Данная модель позволяет анализировать те этапы инвестиционного проекта, когда не было значительных вложений или поступлений.

Пример. Рассмотрим инвестиционный проект, реализация которого потребует Т=12 лет и предполагает следующий дискретно-непрерывный поток платежей (десятки. тыс. долл.):

С(0) = 5; С(1) =  10; С(12) = 6; r(t) = 3 при 3  t  12.
Найти NPV данного проекта при ставках сравнения i = 10 % и 15 %.

NPV(10 %) = 1,44; NPV(15 %) = — 2,47.

8.3. Показатели эффективности инвестиций
Методы, которыми осуществляют оценку эффективности инвестиционного процесса, основаны на приведении финансовых потоков инвестиций к одному моменту времени, следовательно, важным моментом является выбор ставки сравнения, по которой производится дисконтирование. Какую ставку принять в данной ситуации — дело макроэкономического анализа и прогноза. В общем случае для решения таких задач применим и стохастический анализ и экономико-математическое моделирование. Для выбора вариантов инвестиционного проекта (ИП) применяемые методики чаще всего основаны на использовании четырех показателей:

1. Чистая современная стоимость (NPV);
2. Период (срок) окупаемости;
3. Внутренняя норма доходности;
4. Индекс рентабельности (рентабельность).

Каким образом вычисляется первый показатель, мы уже рассмотрели в предыдущем пункте. Отрицательное значение NPV говорит о нецелесообразности для инвестора данного варианта ИП. Среди вариантов с NPV0 выбирают тот, у которого NPV больше. Однако этот лучший с точки зрения NPV проект надо еще сравнить с вариантом вложения средств на банковский депозит, учитывая, что риск в этом случае меньше.

Рассмотрим пример, для которого последовательно вычислим все показатели эффективности ИП.

Пример (основной). Даны два варианта ИП А и Б, которые характеризуются следующими потоками платежей (все показатели отнесены на конец года) (см. рис. 8):

С_А = (-100; -150; 50; 150; 200; 200),

С_Б = (-200; -50; 50; 100; 100; 200).
Р
ис. 8
Первый показатель у каждого потока отнесен к первому году, следующий ко второму и т.д. При ставке сравнения i = 10% получим:
NPV_А = 162,2; NPV_Б = 57,7.
Следующий показатель — срок окупаемости (n_ок). Это срок, за который можно возвратить инвестированные в проект деньги. Рассмотрим определение срока окупаемости без учета фактора времени. В этом случае n_ок находим последовательным суммированием доходов и подсчетом времени до тех пор, пока сумма дохода не окажется равной сумме инвестиций.

Пример. Сравним по сроку окупаемости n_ок два варианта ИП из основного примера. Для варианта А суммируем годовые доходы:

50 + 150 + 200x = 250, x= 0,25 года.

Отсюда, для варианта А имеем n_ок = 2 + 0,25 = 2,25 года.

Аналогично для варианта Б находим: 50 + 100 + 100 = 250, следовательно, n_ок = 3 года.

С финансовых позиций более обоснованными являются методы расчета срока окупаемости, учитывающие фактор времени. Рассмотрим простейший из них. Более сложные методы см. в [1]. Представим данный метод в виде алгоритма.

1. Находим величину инвестиций К, приведенную к моменту их завершения;
2. Вычисляем сумму последовательных членов чистых доходов Р_m приведенных на момент завершения инвестиций до тех пор, пока,

Тогда m — целое число лет, составляющих срок окупаемости n_t. Доля года рассчитывается по формуле (К— Р_m)/R_m+1Vm +1 .

1. Окончательно имеем

Вариант А: сумма инвестиций, приведенная на момент их завершения

Следовательно, m = 2 годам, тогда

Аналогично для варианта В: К_В = 200(1+0,1) +50 = 270,

Основной недостаток срока окупаемости в том, что он не учитывает доходы после момента полного возмещения вложенных средств. Особенно нагляден этот недостаток в случае, когда отдачи от вложений капитала неравные. Поэтому срок окупаемости не должен служить критерием выбора инвестиционного проекта, а использоваться в виде ограничения при принятии решения о данном инвестиционном проекте.

Тема № 3.1. Эквивалентность процентных ставок. Финансовая эквивалентность обязательств

Тема № 3.1. Эквивалентность процентных ставок. Финансовая эквивалентность обязательств

Понятие эквивалентности процентных ставок.

Вывод формул эквивалентности ставок на основе равенства множителей наращения.

Принцип финансовой эквивалентности обязательств.

Достаточно часто в практике возникает ситуация, когда необходимо произвести между собой сравнение по выгодности условий различных финансовых операций и коммерческих сделок. Условия финансово-коммерческих операций могут быть весьма разнообразными и напрямую несопоставимыми. Для сопоставления альтернативных вариантов ставки, используемые в условиях контрактов, приводят к единообразному показателю.

Различные финансовые схемы можно считать эквивалентными в том случае, если они приводят к одному и тому же финансовому результату.

1. Понятие эквивалентности процентных ставок. Вывод формул эквивалентности ставок на основе равенства множителей наращения.

Эквивалентные процентные ставки – такие ставки, значения, которых в конкретных условиях приводят к одинаковым финансовым результатам, т.е. замена одного вида ставки на другой при соблюдении принципа эквивалентности не изменяет финансовых отношений сторон в рамках одной операции.

Классическим примером эквивалентности являются номинальная и эффективная ставка процентов:

i = (1 + j / m) — 1. номинальная

j = m[(1 + i) — 1]. эффективная

Эффективная ставка измеряет тот относительный доход, который может быть получен в целом за год, т.е. совершенно безразлично – применять ли ставку j при начислении процентов m раз в год или годовую ставку i, – и та, и другая ставки эквивалентны в финансовом отношении.

Поэтому совершенно не имеет значения, какую из приведенных ставок указывать в финансовых условиях, поскольку использование их дает одну и ту же наращенную сумму. В США в практических расчетах применяют номинальную ставку, а в европейских странах предпочитают эффективную ставку процентов.

Если две номинальные ставки определяют одну и ту же эффективную ставку процентов, то они называются эквивалентными.

Предполагается поместить капитал на 4 года либо под сложную процентную ставку 20% годовых с полугодовым начислением процентов, либо под простую процентную ставку 26% годовых. Найти оптимальный вариант.

Находим для сложной процентной ставки эквивалентную простую ставку:

i = [(1 + j / m) — 1] / n = [(1 + 0,2 / 2) — 1] / 4 = 0,2859.

Таким образом, эквивалентная сложной ставке по первому варианту простая процентная ставка составляет 28,59% годовых, что выше предлагаемой простой ставки в 26% годовых по второму варианту, следовательно, выгоднее разместить капитал по первому варианту, т.е. под 20% годовых с полугодовым начислением процентов.

1. Принцип финансовой эквивалентности обязательств.

В практике нередко возникают случаи, когда необходимо заменить одно обязательство другим, например с более отдаленным сроком платежа, досрочно погасить задолженность, объединить несколько платежей в один (консолидировать платежи) и т.п. В таких ситуациях неизбежно возникает вопрос о принципе, на котором должно базироваться изменение контракта. Таким общепринятым принципом является финансовая эквивалентность обязательств, которая предполагает неизменность финансовых отношений сторон до и после изменения контракта.

Эквивалентными считаются такие платежи, которые, будучи «приведены» к одному моменту времени (focal date), оказываются равными.

Приведение осуществляется путем дисконтирования к более ранней дате или, наоборот, наращения суммы платежа (если эта дата относится к будущему).

Если при изменении условий принцип финансовой эквивалентности не соблюдается, то одна из участвующих сторон терпит ущерб, размер которого можно заранее определить. По существу, принцип эквивалентности следует из формул наращения и дисконтирования, связывающих величины Р и S.

Сумма Р эквивалентна S при принятой процентной ставке и методе ее начисления.

Две суммы денег S1 и S2, выплачиваемые в разные моменты времени, считаются эквивалентными, если их современные (или наращенные) величины, рассчитанные по одной и той же процентной ставке и на один момент времени, одинаковы.

Замена S1 на S2в этих условиях формально не изменяет отношения сторон.

Имеются два обязательства. Условия первого: выплатить 400 тыс. руб. через четыре месяца; условия второго: выплатить 450 тыс. руб. через восемь месяцев. Можно ли считать их равноценными? Так как платежи краткосрочные, то при дисконтировании на начало срока применим простую ставку, равную, допустим, 20%, и получим:

= 375,00

= = 397,06 тыс. руб.

Как видим, сравниваемые обязательства не являются эквивалентными при заданной ставке и в силу этого не могут адекватно заменять друг друга.

В практической деятельности довольно часто возникают ситуации, когда один поток платежей заменяется другим потоком или одним платежом. При этом соблюдается неизменность финансовых отношений сторон до и после заключения контракта или, другими словами, сохраняется финансовая эквивалентность обязательств. Расчет платежей в этом случае базируется на уравнении финансовой эквивалентности.

Уравнением финансовой эквивалентности является равенство сумм заменяемых и заменяющих платежей, приведенных к одному моменту времени.

Принцип финансовой эквивалентности обязательств позволяет, в частности, сравнивать два отдельных платежа, выплачиваемые в различные моменты времени.

Пусть имеются два платежа Sx и S2 со сроками соответственно пх и п2. При оценке этих платежей сравниваются их современные стоимости, и тот платеж считается большим, у которого больше современная стоимость. Иногда возникает необходимость в определении критической ставки /кр, при которой два рассматриваемых платежа оказываются равными. Рассмотрим два варианта.

1. Для простых процентов критическая ставка находится из уравнения эквивалентности, получаемого путем приравнивания современных стоимостей первого и второго платежей:

Первый платеж, равный 900 руб., должен быть выплачен через 30 дней, а второй, равный 920 руб., — через 270 дней. Определить критическую ставку при базе сравнения К = 360. Решение. Критическая ставка, при которой платежи эквивалентны, определяется по формуле

1. Для сложных процентов уравнение эквивалентности имеет вид:

Первый платеж, равный 9000 руб., должен быть выплачен через 2 года, а второй, равный 12 000 руб., — через 5 лет. Определить критическую ставку.

Критическая ставка, при которой платежи эквивалентны, определяется по формуле (3.18):

Презентация по финансовой математике на тему «Финансовая эквивалентность обязательств» (2 курс)

Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах.

«Актуальность создания школьных служб примирения/медиации в образовательных организациях»

Свидетельство и скидка на обучение каждому участнику

Описание презентации по отдельным слайдам:

Финансовая эквивалентность обязательств Выполнила обучающаяся группы Б-234 Гракова Ксения

Что такое финансовая эквивалентность обязательств В практической деятельности довольно часто возникают ситуации, когда один поток платежей заменяется другим потоком или одним платежом. При этом соблюдается неизменность финансовых отношений сторон до и после заключения контракта или, как говорят, финансовая эквивалентность обязательств. Расчет платежей в этом случае базируется на уравнении эквивалентности. Уравнением эквивалентности является равенство сумм заменяемых и заменяющих платежей, приведенных к одному моменту времени.

Принцип Принцип финансовой эквивалентности обязательств позволяет, в частности, сравнивать два отдельных платежа, выплачиваемые в различные моменты времени. При этом используются простые проценты, если сроки платежей меньше года, и сложные проценты – если сроки больше года.

Пусть имеются два платежа и со сроками соответственно и . При оценке этих платежей сравниваются их современные стоимости, и тот платеж считается большим, у которого больше его современная стоимость.

Иногда возникает необходимость в определении критической ставки , при которой два рассматриваемых платежа оказываются равными. Рассмотрим два варианта.

1 вариант Для простых процентов критическая ставка находится из уравнения эквивалентности, получаемого путем приравнивания современных стоимостей первого и второго платежей

Решая это уравнение относительно , найдем

Пример Первый платеж, равный 900 руб., должен быть выплачен через 30 дней, а второй, равный 920 руб., выплачивается через 270 дней. Сравнить эти платежи при простой процентной ставке 15% годовых и при базе К=360. Решение. Современная стоимость первого платежа Современная стоимость второго платежа При заданной ставке первый платеж превышает второй.

2 вариант Для сложных процентов уравнение эквивалентности имеет вид: Решая это уравнение относительно , найдем

Пример Первый платеж, равный 9 тыс. руб., должен быть выплачен через 2 года, а второй, равный 12 тыс. руб., выплачивается через 5 лет. Сравнить эти платежи при сложной процентной ставке 15% годовых. Решение. Современная стоимость первого платежа Современная стоимость второго платежа При заданной ставке первый платеж превышает второй.

ВСЕМ СПАСИБО ЗА ВНИМАНИЕ!

Курс повышения квалификации

Дистанционное обучение как современный формат преподавания

• Сейчас обучается 949 человек из 80 регионов

Курс профессиональной переподготовки

Математика: теория и методика преподавания в образовательной организации

• Сейчас обучается 681 человек из 75 регионов

Курс повышения квалификации

Методика обучения математике в основной и средней школе в условиях реализации ФГОС ОО

• Сейчас обучается 314 человек из 70 регионов

Ищем педагогов в команду «Инфоурок»

Дистанционные курсы для педагогов

Самые массовые международные дистанционные

Школьные Инфоконкурсы 2022

33 конкурса для учеников 1–11 классов и дошкольников от проекта «Инфоурок»

Найдите материал к любому уроку, указав свой предмет (категорию), класс, учебник и тему:

5 568 647 материалов в базе

Другие материалы

• 29.01.2020
• 99
• 0

• 29.01.2020
• 220
• 5

• 29.01.2020
• 531
• 1

• 29.01.2020
• 226
• 2

• 29.01.2020
• 291
• 6

• 29.01.2020
• 290
• 0

• 29.01.2020
• 124
• 0

• 29.01.2020
• 129
• 1

Вам будут интересны эти курсы:

Оставьте свой комментарий

Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.

Добавить в избранное

• 29.01.2020 306
• PPTX 452.2 кбайт
• 3 скачивания
• Оцените материал:

Настоящий материал опубликован пользователем Гракова Ксения Максимовна. Инфоурок является информационным посредником и предоставляет пользователям возможность размещать на сайте методические материалы. Всю ответственность за опубликованные материалы, содержащиеся в них сведения, а также за соблюдение авторских прав несут пользователи, загрузившие материал на сайт

Если Вы считаете, что материал нарушает авторские права либо по каким-то другим причинам должен быть удален с сайта, Вы можете оставить жалобу на материал.

Автор материала

• На сайте: 2 года
• Подписчики: 0
• Всего просмотров: 7086
• Всего материалов: 7

Московский институт профессиональной
переподготовки и повышения
квалификации педагогов

Дистанционные курсы
для педагогов

663 курса от 690 рублей

Выбрать курс со скидкой

Выдаём документы
установленного образца!

Учителя о ЕГЭ: секреты успешной подготовки

Время чтения: 11 минут

Онлайн-конференция о создании школьных служб примирения

Время чтения: 3 минуты

В Воронеже продлили удаленное обучение для учеников 5-11-х классов

Время чтения: 1 минута

Тринадцатилетняя школьница из Индии разработала приложение против буллинга

Время чтения: 1 минута

Рособрнадзор не планирует переносить досрочный период ЕГЭ

Время чтения: 0 минут

В России могут объявить Десятилетие науки и технологий

Время чтения: 1 минута

ЕГЭ в 2022 году будут сдавать почти 737 тыс. человек

Время чтения: 2 минуты

Подарочные сертификаты

Ответственность за разрешение любых спорных моментов, касающихся самих материалов и их содержания, берут на себя пользователи, разместившие материал на сайте. Однако администрация сайта готова оказать всяческую поддержку в решении любых вопросов, связанных с работой и содержанием сайта. Если Вы заметили, что на данном сайте незаконно используются материалы, сообщите об этом администрации сайта через форму обратной связи.

Все материалы, размещенные на сайте, созданы авторами сайта либо размещены пользователями сайта и представлены на сайте исключительно для ознакомления. Авторские права на материалы принадлежат их законным авторам. Частичное или полное копирование материалов сайта без письменного разрешения администрации сайта запрещено! Мнение администрации может не совпадать с точкой зрения авторов.