Уравнение электрического равновесия для двигателя независимого возбуждения

Основные уравнения двигателя постоянного тока (ДПТ)

В этой статье описаны основные формулы, величины и их обозначения которые относятся ко всем двигателям постоянного тока.

В результате взаимодействия I_я тока якоря в проводнике L обмотки якоря с внешним магнитным полем возникает электромагнитная сила создающая электромагнитный момент М который приводит якорь во вращение с частотой n.

Противо ЭДС двигателя E_я

При вращении якоря пазовый проводник пресекает линии поля возбуждения с магнитной индукцией B и в соответствии с явлением электромагнитной индукции в проводнике наводится ЭДС E_я направленная навстречу I_я. Поэтому эта ЭДС называется противо ЭДС и она прямо пропорциональна Ф магнитному потоку и частоте вращения n.

C_e — постоянный коэффициент определяемой конструкцией двигателя.

Применив второй закон Кирхгофа получаем уравнение напряжения двигателя.

где ∑R — суммарное сопротивления обмотки якоря включающая сопротивление :

• обмотки якоря
• добавочных полюсов
• обмотки возбуждения (для двигателей с последовательным возбуждением)

Ток якоря I_я

Выразим из формулы 2 ток якоря.

Частота вращения якоря

Из формул 1 и 2 выведем формулу для частоты вращения якоря.

Электромагнитная мощность двигателя

Электромагнитный момент

где: ω = 2*π*f — угловая скорость вращения якоря, C_м — постоянный коэффициент двигателя (включает в себя конструктивные особенности данного двигателя)

Момент на валу двигателя, т.е. полезный момент, где М₀ момент холостого хода;

Уравнение электрического равновесия для якорной цепи в двигательном режиме

Уравнение электрического равновесия для якорной цепи

в двигательном режиме.

Uя – напряжение, приложенное к якорю,

E – ЭДС двигателя,

Rя – омическое сопротивление якоря.

Rц – полное сопротивление цепи

Rн – электрический резистивный эквивалент полезной механической нагрузки на валу двигателя.

Е = Keω – ЭДС пропорциональна круговой циклической частоте вращения вала.

М = KmIя – момент на валу двигателя пропорционален току.

Ke, Km – коэффициенты, определяемые конструкцией двигателя.

Рполн = Рнагруз + Рпотерь

Где: Рполн = UяIя; – полная мощность.

Рнагруз = EIя; – механическая нагрузка на валу двигателя.

Рпотерь =(Iя)2Rя; – потери на нагрев якоря.

Рнагруз = EIя,

Из механики : Рнагруз = ωМ – механическая нагрузка на валу двигателя,

тогда: EIя = ωМ;

или: Keω Iя = ωМ,

М = KeIя,

М = KmIя,

Ke = (NФ)/(2пи), где N – количество активных проводников ротора,

Ф – магнитный поток

Выведем дополнительную формулу определения Rя при условии постоянного Uя = Udc и двух разных моментах на валу:

Из уравнения Uя = E + IяRя

напишем: E = Uя — IяRя

или: Keω = (Uя — IяRя)

пусть: ω1 = (Uя — Iя1Rя)/Ke

ω2 = (Uя — Iя2Rя)/Ke

тогда: dω = ω2 – ω1 = (- Iя2Rя)/Ke — (- Iя1Rя)/Ke

dω = dIяRя/Ke

dЕ = dIяRя

Обороты двигателя при рабочем моменте М можно определить как:

Рполн = Рнагруз + Рпотерь

UяIя = EIя + (Iя)2Rя

UяM/Km = ωM + Rя(M/Km)2,

ωM = UяM/ Km — Rя(M/Km)2

Uя/Km = ω0 (при М = 0) ω = Uя/Km — RяM(1/Km)2

ω = ω0 — |dE/dIя|M(1/Km)2

ω = ω0 — |dωKm /dIя|M(1/Km)2

ω = ω0 — |dω/dM|M

ω – круговая циклическая частота вращения вала двигателя (рад/сек),

ω0 – обороты двигателя на холостом ходу при полном моменте на валу равном нолю

(dω/dM)M — есть абсолютное значение изменения оборотов при моменте М.

Определим величину граничных ω0i оборотов при любом звене питания Udci и любом изменении момента M от ноля до Mi, после приложения которого, машина полностью останавливается.

Исходя из постановки вопроса, формально зададим, что ω = 0,

ω0i = (dω/dM)M,

ω0i = <(dE/Ke)/(KmdIя)>KmIя,

dE – приращение ЭДС

dE/dIя = Rя – сопротивление якоря,

ω0i = Iя(Rя/Ke)

Также из Uя = E + Iя*Rя можно определить Udc — напряжение питания якоря, при моменте М и заторможенном двигателе (Е = 0).

Uя = Udc = IяRя

На Рис.1 показана статическая (при определённом Udc) механическая характеристика двигателя постоянного тока с независимым возбуждением.

На Рис.2 показано семейство статических механических характеристик

двигателя постоянного тока с независимым возбуждением при разных напряжениях питания.

Структурные схемы двигателя с независимым возбуждением

Построение электромеханических и механических характеристик

Так как характеристики ω=f(i) и ω=f(М) являются линейными, то для построения их (естественных либо искусственных) необходимо знать координаты каких-либо двух точек. Такими точками могут быть заданные в каталоге значения ω_Н, I_Н (или М_Н). Для расчета остальных точек следует поступить следующим образом:

1. Рассчитать номинальный магнитный поток двигателя

;

2. Определить скорость идеального холостого хода (вторая точка для построения характеристики)

(в относительных единицах ω*₀=1);

3. Определить значение тока и момента короткого замыкания (эта точка удобна для построения искусственных реостатных характеристик)

.

Для выполнения всех этих расчетов кроме величин, задаваемых в каталоге или паспорте электродвигателя (Р_Н, U_Н, I_Н, ω_Н, η_Н) надо иметь значение сопротивления цепи якоря R_Я. Номинальный коэффициент полезного действия, если он не задан, легко рассчитывается по соотношению

.

Величина R_Я может быть приближенно найдена из условия, принимае-мого при конструировании электрических машин постоянного тока, а именно

(то есть условия равенства половины номинальных потерь потерям в меди обмоток якоря).

Так как , то , откуда

. (2.16)

Структурные схемы двигателя с независимым возбуждением

Структурная схема является одним из способов математического описа-ния электропривода как объекта управления (такой объект можно также описать с помощью передаточных функций, дифференциальных уравнений или частотных характеристик). Структурная схема используется как для решения задач статики, так и задач динамики. Она получается преобразованием двух уравнений электрического равновесия электромагнитной и механической частей электропривода:

уравнение электрического равновесия цепи якоря двигателя (электро-магнитная часть объекта управления) —

; (2.17)

уравнение движения, или уравнение равновесия в механической части объекта управления —

. (2.18)

В этих уравнениях для общности рассмотрения принято U≠U_Н, Ф≠Ф_Н и R=R_Я+r_ДОБ, то есть рассматривается работа электропривода на любой из возможных искусственных электромеханических характеристик.

Из уравнения (2.17) получается передаточная функция электромагнитной части привода, а из (2.18) — передаточная функция его механической части:

, (2.19)

, (2.20)

где — электромагнитная постоянная времени цепи якоря электродвигателя.

Из (2.19) и (2.20) видно, что электромагнитная часть привода с двигателем независимого возбуждения — это апериодическое звено первого порядка (или так называемое инерционное (релаксационное) звено первого порядка), а механическая часть электропривода представляет собой интегрирующее звено.

В соответствии с полученными передаточными функциями составляется структурная схема, в которую вводится усилительное звено СФ для формирования внутренней обратной связи по ЭДС в электродвигателе (см. рис. 2.6).

Если уравнение движения (2.18) записать не через токи i и I_С, а через моменты М и М_С, то вид структурной схемы электропривода несколько изменится. Деля левую и правую части соотношения (2.20) на СФ, получим

. (2.21)

Умножая левую и правую части соотношения (2.19) на СФ, получим другое представление передаточной функции W_Э(р):

. (2.22)

Используя передаточные функции W_М(р) по (2.21) и W_Э(р) по (2.22), представим структурную схему электропривода в виде, показанном на рис. 2.7.

Далее в курсе теории электропривода будет введено понятие электромеханической постоянной времени , которая широко используется в расчетах переходных процессов. Из выражения для Т_М следует, что . Заменив в структурных схемах рис. 2.7 и рис. 2.6 величину J через Т_М, получим следующее изображение структурных схем электропривода с двигателем независимого возбуждения (рис. 2.8 и 2.9):

Рисунок 2.8 Рисунок 2.9

Для получения структурной схемы электропривода в статике (то есть для установившегося режима работы) необходимо в полученных выше структурных схемах положить р=0 (после окончания переходного процесса производные по времени всех фазовых координат двигателя будут равны нулю). Например, выполняя это преобразование в структурной схеме рис. 2.9, получим схему, показанную на рис. 2.10.

После этого необходимо выполнить ряд преобразований полученной структурной схемы, пользуясь правилами таких преобразований, изучаемых в курсе теории автоматического управления. Далее на рис. 2.11 показана последовательность этих преобразований.

Из рис. 2.11, г следует, что

, (2.23)

то есть ранее полученное уравнение (2.4) электромеханической характеристики электропривода, записанное для U=U_Н, Ф=Ф_Н, R=R_Я. Для установившегося режима работы i=I_С.

О процессах пуска двигателя

Сопротивление цепи якоря в двигателе независимого возбуждения достаточно мало, R*_я=0,04-0,06. Поэтому при включении якоря на полное напряжение U*_н=1 пусковой ток будет весьма велик, . Столь большой ток недопустим по условиям коммутации, так как вызовет искрение в щеточном контакте на коллекторе. Кроме того, будут недопустимые электродинамические усилия в стержнях якоря и толчки момента на валу двигателя.

Поэтому пуск двигателя производится с ограничением пускового тока до значений I*_пус=1,5-2,5 путем включения в цепь якоря добавочных (так называемых пусковых) сопротивлений (r_ПУС).

При увеличении в процессе пуска скорости двигателя и, следовательно, противоЭДС при данном R=const пусковой ток в якоре двигателя будет уменьшаться, уменьшится и пусковой момент (М_ПУС), то есть ускорение электропривода. Для поддержания уровня ускорения в процессе пуска постепенно (а практически всегда ступенчато) уменьшают пусковое сопротивление, увеличивая i и М. Таким образом, возникает необходимость в расчете величины r_ПУС и разбивки этого сопротивления на несколько ступеней.

Толчки тока при переключении ступеней пусковых сопротивлений выбирают равными для каждой ступени пуска и допустимыми по условиям коммутации. Эти максимальные толчки тока (момента) при каждом переключении далее будут обозначаться как I₁ (М₁). Переключения ступеней пускового сопро-тивления ведется при некотором токе (моменте), называемом током (моментом) переключения I₂ (М₂), величина которого для всех ступеней выбирается одной и той же.

На рис. 3.1 и 3.2 показаны схема цепи якоря двигателя с двумя ступенями пускового сопротивления (r₁ и r₂), а также нормальная пусковая диаграмма с механическими характеристиками, переключения по которым производятся при I*₁ (М*₁)=const и I*₂ (М*₂)=const .
Величины М₁ (i₁) и М₂ (i₂) для двигателей независимого возбуждения выбираются в следующих пределах:

, (3.1)

где М*_c (i*_c) — момент (ток) статической нагрузки двигателя.

Рисунок 3.1 Рисунок 3.2

Графики переходных процессов М*(t) или i*(t) и ω*(t), соответствующие пусковой диаграмме рис. 3.2, показаны на рис. 3.3. Характерные точки переходных процессов М(t) и ω(t) на рис. 3.2 и 3.3 имеют одно и то же обозначение.

Переходные процессы М(t), i(t) и ω(t) протекают по экспоненциальному закону, соответствующему решению дифференциального уравнения первого порядка, каким является уравнение движения электропривода

При рассмотрении пуска по нормальной пусковой диаграмме не учитывается действие ЭДС самоиндукции , которая направлена против напряжения, приложенного к якорю двигателя, и поэтому уменьшает толчки тока в якоре при пуске, замедляет процесс i(t). Это хорошо видно по уравнению электрического равновесия цепи якоря —

.

Сглаживающее действие ЭДС самоиндукции позволяет осуществлять прямой пуск двигателя (то есть пуск при r_ПУС=0) при малой мощности (до 0,5 кВт).

На процесс пуска оказывает также влияние реакция якоря. Несмотря на наличие компенсационной обмотки в цепи якоря двигателя во время переход-ного процесса реакция якоря полностью не компенсируется, ее действие ослабляет магнитный поток, создаваемый обмоткой возбуждения, и, следовательно, увеличивает толчки пускового тока в якоре.

Так как ЭДС самоиндукции и реакция якоря действуют как бы во встречных направлениях, то реальный ток якоря при пуске мало отличается от расчетного, получаемого без учета ЭДС самоиндукции и реакции якоря.

Поэтому в теории электропривода принято проводить расчеты пусковых сопротивлений для пуска по нормальной пусковой диаграмме с линейными электромеханическими (механическими) характеристиками.

Реостатный пуск двигателя с независимым возбуждением по нормальной пусковой диаграмме может быть форсированным или нормальным.

При форсированном пуске выбирают (задаются) максимальным (по условиям коммутации) пусковым током I*₁=2,5-3, или же максимально допустимым по перегрузочной способности пусковым моментом . При этом рассчитывается или подбирается (в зависимости от используемой методики расчета r_ПУС) ток (момент) переключения I*₂ (М*₂), которые должны удовлетворять условию:

.

При нормальном пуске выбирается по этому же условию постоянное значение тока (момента) переключения, а подбирается (или рассчитывается) значение максимального пускового тока I*₁ или пускового момента М*₁ , величина которых не должна превышать допустимых коммутационных значений тока якоря или перегрузочной способности по моменту.

Пусковые сопротивления в цепи якоря двигателя можно определить графическим или аналитическим методами.