Уравнение электрического состояния идеализированного трансформатора

Идеализированный трансформатор

Допустим, что активные сопротивления обмоток трансформатора равны нулю и потокосцепления рассеяния в них отсутствуют. Такой трансформатор называют идеализированным. Принципиальная схема идеализированного однофазного трансформатора приведена на рис. 1.

Уравнения электрического состояния идеализированного трансформатора:

где , .

Из этих уравнений получаем соотношение:

,

которое указывает на важнейшее свойство трансформатора преобразовывать (понижать или повышать) напряжение без искажения формы.

В идеализированном трансформаторе мощность, потребляемую от сети можно считать равной мощности, отдаваемой в нагрузку:

.

,

где — коэффициент трансформации.

При разомкнутой вторичной обмотке идеализированный трансформатор превращается в идеализированную катушку с магнитопроводом (см. Модуль 4).

Схема замещения нагруженного идеализированного однофазного трансформатора приведена на рис. 2.

Что такое идеальный трансформатор и для чего он нужен?

Идеальных вещей в природе не существует. Но нам ничего не стоит вообразить идеальный трансформатор. Вряд ли нам удастся построить такое устройство, но пользу из мнимого трансформатора можно извлечь.

Разберемся чем отличается идеальный прибор от реального.

Теория и модель

Реальный трансформатор работает по принципу наведение ЭДС индукции входным переменным током. Линии магнитной индукции распространяются по ферромагнитными сердечниками и пронизывают витки вторичных обмоток. Магнитный поток порождает переменный электрический ток с такой же частотой, как на входе первичной катушки.

ЭДС индукции возникает на витках всех обмоток, а также в магнитопроводе. Вихревые токи в сердечнике создают дополнительное сопротивление. Часть мощностей переменных напряжений, поступающих в цепи первичных обмоток, расходуется на преодоление сопротивлений и выделяется в виде тепла. Поэтому КПД реального трансформатора хотя и довольно высокий, но никогда не достигает 100%.

Теоретически можно представить себе мнимый аппарат со 100-процентным КПД.

Для этого предположим, что:

• обе обмотки индуктивные;
• активное сопротивление обмоток равняется нулю;
• отсутствует гистерезис, вызванный перемагничиванием магнитопровода;
• отсутствуют токи Фуко в сердечнике;
• магнитные потоки не рассеиваются, а циркулируют по идеальному магнитопроводу.

У аппарата с такими свойствами вся энергия, поступающая на вход первичной обмотки, преобразуется в напряжение во вторичной обмотке без каких-либо потерь. То есть, мы получим идеальный трансформатор (рис. 1).

Рис. 1. Модель идеального трансформатора

На рисунке показан двухобмоточный прибор.Но нам ничего не стоит идеализировать семейство силовых трансформаторов с несколькими обмотками. Модель идеального трансформатора мы можем применить для трехфазных трансформаторов (рис. 2),и для других типов устройств, например для тороидальных трансформаторов (рис. 3).

Рис. 2. Трехфазный трансформатор Рис. 3. Тороидальная модель трансформатора

Уравнение идеального трансформатора

Мнимому идеальному устройству приписывается свойство: отношение первичного и вторичного напряжений обратно пропорционально отношению комплексного электрического тока в первичной и вторичной катушках. Для идеального прибора справедливо уравнение, которое называют уравнением идеального трансформатора.

Число n является коэффициентом трансформации придуманного идеального трансформатора.

Из уравнения видно, что при увеличении напряжения в цепи вторичной обмотки, электрический ток во столько же раз уменьшается в этой цепи. То есть, существует обратно пропорциональная зависимость между выходным током и напряжением. Эта зависимость существует и в реальных приборах, но в таких аппаратах линейность немного нарушается из-за тепловых потерь.

Если к вторичной обмотке подключить внешнюю нагрузку с комплексным сопротивлением Z₂ , то входное сопротивление Z_вх будет в n 2 раз больше сопротивления этой нагрузки Z_вх = U₁ / I₁ = n* U₁ / ( I₁ / n) = n 2 *Z₂

Если такую нагрузку имеющую комплексное сопротивление Z₁ подсоединить к первичной катушке, а питание подать на вторичную, то получим: Z_2вх = Z₁ / n 2 .

Данные соотношения характеризуют для идеального аппарата превращение сопротивлений. В частности, при разомкнутой вторичной обмотке Z_1вх = ∞, а при замкнутых Z_1вх = 0.

Свойства реального аппарата приближаются к свойствам идеального, при условии что коэффициент магнитной связи аппарата стремится к единице, а мощность потерь близится к нулю.

Для чего нужна модель идеального прибора?

Идеальный трансформатор часто используется при расчетах реальных конструкций. Он применяется в качестве эквивалента реального устройства в схемах для расчетов и в задачах по построению электрических цепей. (Пример построения схемы см. на рис. 4)

Рис. 4. Пример синтеза схемы

На практике часто приходится делать расчеты однофазных трансформаторов, вычислять параметры тороидальных сердечников, чтобы обеспечить требую мощность тороидальных устройств. От величины однофазной нагрузки зависит то, какую электрическую изоляцию необходимо применить для силовых разделительных моделей.

От режима нагрузки зависит выбор типа охлаждения обмоток конструкций, чтобы обеспечить надежность трансформатора.

Дело в том, что сделать точный расчет реального устройства очень трудно, так как его параметры зависят от переменных магнитных составляющих, в том числе и тех, которые выходят за пределы сердечника. Вихревые токи Фуко создают дополнительные сопротивления нагрузки.

Очень сложно поддается расчету разделительный трансформатор, так как его обмотки налагаются друг на друга, создавая запутанные вихревые токи. Проследить за сдвигом фаз, происходящих в этих переменных токах, почти невозможно.

Задачу упрощает модель идеального прибора. Применяя уравнение для этого мнимого устройства легко вычислить все его параметры. Они не сильно отличаются от параметров соответствующего типа реального аппарата. Относительная погрешность не превышает нескольких процентов, поэтому ею можно пренебречь.

Производя расчеты в различных рабочих режимах реального аппарата, можно с высокой точностью определить величины номинальных нагрузок, пользуясь уравнением для мнимого трансформатора.

Идеализированный трансформатор

Для того, чтобы понять сущность физических процессов, происходит в трансформаторе рассмотрим идеализированный трансформатор, у которого магнитный поток Ф полностью замыкается по стальному магнитопроводу и сцеплен с обеими обмотками, а потери в стали отсутствуют.

Режим холостого хода. Пусть к первичной обмотке, при разомкнутой вторичной, подведено напряжение U₁. По первичной обмотке будет протекать ток i₁. В трансформаторе будет возникать магнитное поле, создающееся намагничивающей силой i₁w₁ первичной обмотки. Магнитным полем вне сердечника можем пренебречь, т.к. магнитная проницаемость стали намного выше магнитной проницаемости воздуха (или масла).

Полю в сердечнике соответствует магнитный поток Ф, сцепленный со всеми витками обмоток. Он будет наводить ЭДС в первичной и вторичной обмотке.

, (1)

(2)

В режиме х.х. цепь вторичной обмотки разомкнута и ток i₂ =0. При этом для контура первичной обмотки трансформатора мгновенное значение приложенного к ней напряжения U₁=i₁r₁+ . Вводя в формулу значение e₁ (1) и пренебрегая падением напряжения в активном сопротивлении первичной обмотки i₁r₁, получаем U₁=i₁r₁-e₁

Но т.к. падение напряжения в активном сопротивлении i₁r₁ практически мало, то считаем что напряжение U₁ уравновешивается в любой момент времени только e₁, индуцированной в этой области.

Если напряжение U₁ изменяется по sin закону, то следовательно ЭДС e₁ и наводящий ее поток Ф – тоже sin функции времени. Подставив в (1) и (2)

,

где Ф_m – максимальное значение амплитуды потока ω =2πf – угловая частота

Полученные значения показывают, что е₁ и е₂ отстают по фазе от потока Ф на угол .

Действующие значения ЭДС соответственно равны:

(4)

где Ф_М – в вольт-секундах

Из этих формул следует, что

Т.к. при холостом ходе U₂₀=E₂, то

(4)

Отношение напряжений при x.х. трансформатора называется коэффициентом трансформации. Обычно для трансформаторов указывают .

При синусоидальном характере изменения u₁ и е₁ уравнение 3 можно представить в комплексной форме

(5)

Это уравнение справедливо для идеализированного трансформатора. Но оно правильно определяет сущность качественных процессов происходящих в трансформаторе и является одним из фундаментальных в теории электрических машин.

Предположив, что насыщение в стали трансформатора отсутствует и весь магнитный поток замыкается по стальному магнитопроводу, ток первичной обмотки можно считать прямо пропорциональным Ф. Поэтому на векторной диаграмме идеализированного трансформатора в режиме х.х. ток х.х. I_о изображен вектором, совпадающим по направлению с вектором магнитного потока Ф_m. На этой же диаграмме векторы ЭДС Е₁ и напряжений U₁ показаны в противофазе в соответствии с уравнением (5), а вектор магнитного потока Ф_m опережает вектор ЭДС на 90 0 .

Вектор ЭДС Е₂ совпадает по фазе с Е₁, т.к. Е₂ индуцируется тем же самым магнитным потоком что и Е₁.

Режим нагрузки. При работе под нагрузкой для первичной обмотки идеализированного трансформатора мгновенное значение приложенного к ней напряжения:

где Ф₁ и Ф₂ – мгновенное значение потоков, создаваемых токами первичной и вторичной обмоток.

Обозначая (6)

Получим , т.е такое же соотношение как и при х.х. . Таким образом если первичное напряжение при нагрузке идеализированного трансформатора остается неизменным, то величина ЭДС е₁ такая же как при х.х. следовательно результирующий поток при нагрузке равен потоку при х.х.

Ф₁ + Ф₂ = Ф₀ или в комплексной форме

(7)

Неизменность магнитного потока при переходе от режима х.х. к режиму нагрузки является важнейшим свойством трансформатора. Отсюда следует закон равновесия магнитодвижущих сил (МДС) в трансформаторе: магнитодвижущая сила (МДС) – намагничивающая сила – характеристика способности источников магнитного поля (эл. токов) создавать магнитные потоки.

,

где и — МДС, создаваемые первичной и вторичной обмотками трансформатора при нагрузке

— МДС, создаваемая первичной обмоткой при х.х.

I работают с амплитудами МДС, при этом из (8)

(9)

Для того, чтобы лучше увидеть это соотношение представляют — нагрузочная составляющая тока первичной обмотки (компенсационный ток)

(10)

Таким образом, МДС, создаваемая током , равна по значению и противоположна по фазе МДС вторичной обмотки, т.е. компенсирует МДС вторичной обмотки.

Это обуславливает неизменность магнитного потока трансформатора.

Мощность нагрузочной составляющей первичного тока равна мощности, отдаваемой трансформатором нагрузке, т.к.

Ток нагрузки отстает по фазе от ЭДС Е₂ на угол , МДС оказывает на магнитопровод трансформатора размагничивающее действие.

Нагрузочная составляющая тока I₁ не только уравновешивает МДС вторичной обмотки, но и обеспечивает поступление в трансформатор из сети мощности, отдаваемой приемнику электроэнергии, подключенному ко вторичной обмотке.

Эти закономерности справедливы и для реальных трансформаторов.

Итак, магнитный поток изменяется во времени синусоидально , а его амплитуда определяется ЭДС

(11)

Т.к. при ХХ ЭДС практически равна напряжению, то значение магнитного потока определяется напряжением первичной обмотки, ее числом витков и частотой.

НАМАГНИЧИВАЮЩИЙ ТОК

Свойства магнитной системы трансформатора описываются магнитной характеристикой, представляющей собой графическое изображение зависимости магнитного потока Ф от МДС трансформатора F или намагничивающего тока I_μ, пропорционально МДС F. Вообще свойства электрических машин часто изображают графически, т.к. многие зависимости имеют сложное аналитическое выражение.

Магнитная характеристика трансформатора, как и других машин переменного тока, дает связь между амплитудными или мгновенными значениями потока и МДС. Зависимость потока от тока можно получить экспериментальным или расчетным путем.

Магнитная цепь трансформатора рассчитывают на основе Закона полного тока. Для замкнутого контура магнитной цепи однофазного трансформатора:

Н_СТ, Н_Я, Н₃ – напряженности магнитного поля на этих участках магнитной системы,

l_СТ, l_Я, l₃ — средние длины магнитных линий.

Напряженности магнитного поля Н_СТ и Н_Я определяют в зависимости от магнитной индукции в стержнях и ярмах по экспериментальным данным для электротехнических сталей, из которых выполнены участки магнитной цепи.

Строят магнитную характеристику трансформатора Ф=f(F)

Отличительная особенность от других электрических машин – отсутствие начального линейного участка.

Величину и форму кривой намагничивающего тока трансформатора определяют графически.

В левом верхнем квадранте – синусоидальная кривая изменения магнитного потока во времени, а в правом верхнем кривая намагничивания трансформатора, в котором МДС заменена пропорциональна ей током . В правом нижнем квадранте показана искомая зависимость изменения во времени намагничивающегося тока. Эта кривая несинусоидальна, т.к. зависимость между и Ф — нелинейна. Чем сильнее насыщение магнитной системы, тем больше выражена несинусоидальность намагнивающего тока.

Действующее значение намагничивающеого тока

(13)

где α, β, γ — коэффициент, показывающий относительное содержание высших гармоник в кривой тока. Для практических расчетов ограничиваемся учетом 3 и 5 гармоник.

При индукциях Вм=1,6..1,65Тл, применяющихся в магнитопроводах из холоднокатаных сталей принимают I_μ≈I_μ1 (действующее значение его первой гармоники), что позволяет изображать вектором намагничивающий ток на диаграмме трансформатора.

Ток ХХ. Намагничивающий ток является главной составляющей тока холостого хода трансформатора I₀. Этот ток является реактивным, т.е. . Но реальный трансформатор в режиме х.х. потребляет от источника переменного тока некоторую активную мощность, т.к. при переменном потоке в стальном магнитопроводе возникают потери энергии от гистерезиса и вихревых токов ΔP_M. Поэтому ток ХХ имеет активную составляющую , обеспечивающую поступление в первичную обмотку мощности, компенсирующей магнитные потери (электрическими потерями в первичной обмотке в этом режиме можно пренебречь из-за малости тока х.х.) следовательно, ток холостого тока

(14)

На практике активная составляющая тока I_оа не превышает 10% от тока I_о, следовательно она оказывает малое влияние на значение тока х.х.. Форма кривой тока х.х определяется в основном кривой намагничивающего тока.