Уравнение электрического состояния катушки с ферромагнитным сердечником

Катушка с ферромагнитным сердечником в цепи переменного тока.

Рассмотрим цепь переменного тока, состоящую из катушки с ферромагнитным сердечником, к зажимам которой приложено синусоидальное напряжение

;

Пусть известны число витков катушки W, средняя длина магнитной линии l_ср, сечение сердечника S и сопротивление обмотки R.

Используя аналог 2-го закона Кирхгофа для магнитных цепей, можем записать:

где F — действующее значение НС обмотки, I — действующее значение тока в обмотке, Н — действующее значение напряженности магнитного поля в материале сердечника. Это же выражение можно записать и в комплексной (векторной) форме:

Отсюда нетрудно определить напряженность:

При гармоническом напряжении амплитуда магнитного потока, замыкающегося по сердечнику, определяется известным выражением:

где Е — действующее значение ЭДС, наводимой в витках обмотки этим магнитным потоком.

Поток Ф, замыкающийся по сердечнику, называют основным, кроме него имеется еще магнитный поток рассеяния Ф_s, замыкающийся через воздух (поток рассеяния может быть сцеплен лишь с частью витков обмотки). Поскольку магнитное сопротивление воздуха значительно больше сопротивления сердечника, вектор Ф_s можно считать совпадающим по фазе с вектором тока I и пропорциональным ему. В таком случае общий поток можно представить как сумму двух составляющих:

Каждый из этих двух потоков пронизывает витки обмотки и наводит свою ЭДС. Поток Ф наводит ЭДС, действующее значение которой определяется выражением:

Поток рассеяния Ф_s наводит свою ЭДС Е_s, называемую ЭДС самоиндукции. Обычно эту ЭДС учитывают, вводя индуктивное сопротивление витков или сопротивление рассеяния X_s:

Если теперь учесть и активное сопротивление витков обмотки, то на основе полученных результатов можно построить схему замещения катушки с ферромагнитным сердечником:

В соответствии со 2-м законом Кирхгофа можем записать:

это уравнение называют уравнением электрического состояния катушки с сердечником. Здесь Z = R + j X_s — комплексное сопротивление катушки, произведение

является комплексом падения напряжения на витках катушки. По уравнению электрического состояния видно, что приложенное напряжение уравновешивается ЭДС, индуктированной основным магнитным потоком, и падением напряжения на витках катушки.

Если построить векторы магнитных величин в одной системе координат, получим диаграмму магнитного состояния. Напряженность Н и основной магнитный поток нам уже известны. Амплитуда индукции может быть

вычислена таким образом:

На практике падение напряжения IZ обычно невелико по сравнению с приложенным напряжением U, тогда полагают и амплитуду магнитного потока определяют из приближенного соотношения:

Порядок построения векторной диаграммы магнитного состояния таков:

1. Строим вектор основного магнитного потока Ф, считая его начальную фазу нулевой (т.е. располагаем его горизонтально).

2. Строим совпадающий с ним вектор магнитной индукции В .

3. Строим опережающий их на угол магнитных потерь вектор напряженности Н.

4. Строим совпадающие с вектором Н по направлению векторы НС обмотки F и магнитного потока рассеяния Ф_s.

На векторной диаграмме электрического состояния изображаются все векторы электрических величин, входящие в уравнение электрического состояния. Порядок построения векторной диаграммы таков:

1. За исходный принято считать вектор основного магнитного потока, его по-прежнему располагаем вдоль действительной оси.

2. Под углом к нему строится отстающий от него вектор ЭДС

3. Под углом к вектору основного потока Ф строится опережающий его вектор тока I (поскольку ток и напряженность магнитного поля совпадают по фазе).

4. Дальнейшие построения ведутся в полном соответствии с уравнением электрического состояния: строится вектор -Е, противоположный вектору Е. К нему последовательно пристраиваются векторы I R, со впадающий по направлению с вектором I, и вектор j I X_s, опережающий вектор I на угол .

Соединяя начало координат с концом вектора j I X_s, получим вектор напряжения на зажимах катушки U.

Катушка с ферромагнитным сердечником

Катушка с ферромагнитным сердечником

Наиболее распространенным нелинейный элементом переменного тока в электрических машинах, трансформаторах и других аппаратах является катушка со стальным сердечником (рис. 13.3).

Если магнитный поток в сердечнике изменяется по синусоидальному закону то при отсутствии рассеяния он индуктирует в катушке, расположенной на сердечнике, ЭДС самоиндукции

Если пренебречь активным сопротивлением катушки, то напряжение, приложенное к ней, равно по величине и противоположно по знаку ЭДС самоиндукции:

где а действующее значение напряжения

Если к катушке со стальным сердечником приложено синусоидальное напряжение, то в сердечнике возникает синусоидальный магнитный поток. Ток в катушке при этом отказывается несинусоидальным. Это связано с нелинейной зависимостью между магнитным потоком и током . На рисунке 13.4 а показана петля гистерезиса, изображающая эту зависимость.

Для каждого момента времени ( и т.д.) по петле гистерезиса находят значение тока и откладываются его на ординате магнитного потока (смотри пунктированные линии на рисунке 13.4). При увеличении магнитного потока пользуются участком петли гистерезиса, при уменьшении — участка и т.д.

Как видно (рис. 13.4 б), кривая тока при синусоидальном магнитном потоке несинусоидальная.

Эта страница взята со страницы лекций по предмету теоретические основы электротехники (ТОЭ):

Возможно эти страницы вам будут полезны:

Образовательный сайт для студентов и школьников

Копирование материалов сайта возможно только с указанием активной ссылки «www.lfirmal.com» в качестве источника.

© Фирмаль Людмила Анатольевна — официальный сайт преподавателя математического факультета Дальневосточного государственного физико-технического института

Особенности расчета нелинейных цепей переменного тока. Катушка с ферромагнитным сердечником. Уравнения, схема замещения, векторная диаграмма

Особенности расчета нелинейных цепей переменного тока. Катушка с ферромагнитным сердечником. Уравнения, схема замещения, векторная диаграмма.

Термины и определения основных понятий

Катушка обмотки электротехнического изделия — обмотка электротехнического изде­лия или ее часть в виде отдельной конструктивной единицы

Сердечник электротехнического устройства — ферромагнитная деталь, на которой или вокруг которой расположена об­мотка электротехнического устройст­ва.

Ферримагнитный материал — материал, обладающий ферримагнетизмом.

Примечание. Атомы или ионы имеют магнитные моменты, которые в определенных областях (доменах) сохраняют частично компенсирующее друг друга расположение, т. е. даже в отсутствие внешнего магнитного поля имеется результирующий маг­нитный момент, при наложении маг­нитного поля результирующие мо­менты стремятся установиться в од­ном направлении, т. е. материал мо­жет иметь высокую магнитную про­ницаемость, зависящую от темпера­туры.

В нелинейных цепях переменного тока при периодических процессах возникает ряд явлений, с которыми не приходилось сталкиваться в линейных цепях. Нелинейные элементы (НЭ) при периодических воздействиях (процессах) делятся на инерционные и безынерционные.

Нелинейные элементы, нелинейность характеристик которых обусловлена изменением температуры, называются инерционными. Так как их t ˚ не изменяется в течении периода (в установившемся режиме), то и сопротивление их остается постоянным. Поэтому для мгновенных значений u и i их ВАХ i = f ( u ) линейна. Параметры таких нелинейных элементов ( R , L , C ) изменяются при изменении действующих значений U и I , поэтому их ВАХ I = f ( U ) нелинейна. Расчет установившихся процессов в цепях с инерционными элементами можно проводить способами, изученными в линейных цепях.

Нелинейные элементы, нелинейность которых обусловлена не температурными процессами, называются безынерционными. Если цепь содержит хотя бы один такой элемент, то периодические токи и напряжения в цепи будут содержать высшие гармоники. ВАХ нелинейных элементов имеет вид:

Пусть напряжение на НЭ:

Для такой цепи расчет является сложным, так как нельзя воспользоваться комплексным методом и векторными диаграммами (рис. 16.1). Расчет необходимо проводить для мгновенных значений, причем метод наложения неприменим.

Все методы анализа нелинейных электрических цепей подразделяются на 2 группы:

В инженерной практике наибольшее распространение получили следующие методы:

1) метод эквивалентных синусоид (МЭС) (рассмотрим на примерах катушки со сталью и трансформатора);

2) метод гармонического баланса;

3) метод кусочно-линейной аппроксимации;

4) графический метод – использующий характеристики НЭ как для мгновенных, так и для действующих значений. Его рассмотрим на примерах работы:

а) пик трансформатора и устроителя частоты (используются характеристики для мгновенных значений);

б) феррорезонансы напряжений и токов (используются характеристики для действующих значений).

Рассмотрим особенности 1-го метода (МЭС). В тех случаях, когда вопрос о форме кривых токов и напряжений нас непосредственно не интересует, можно воспользоваться приближенным методом, основанном на замене действительных несинусоидальных кривых тока и напряжения эквивалентными синусоидами. Такой метод называется методом эквивалентных синусоид. Он позволяет ввести в рассмотрение комплексные числа и строить векторные диаграммы. В то же время комплексные сопротивления остаются зависящими от тока, а, следовательно, алгебраические уравнения, записанные в комплексной форме, остаются нелинейными.

Выбор эквивалентных синусоид может быть осуществлен тем или иным способом в зависимости от поставленной задачи. Часто выбор осуществляется из условия неизменности активной мощности на НЭ.

Для рассмотренного случая

то есть эквивалентной синусоидой должна быть первая гармоника тока.

Иногда целесообразно выбрать амплитуду эквивалентной синусоиды тока или напряжения так, чтобы сохранялись их действующие значения.

В нашем примере:

и амплитуда эквивалентной синусоиды

Для правильного выбора эквивалентных синусоид, заменяющих действительные несинусоидальные кривые тока и напряжения в катушках с ферромагнитными сердечниками, необходимо рассмотреть потери энергии в сердечниках при периодическом изменении магнитного потока.

Эти потери складываются из потерь на вихревые токи и на гистерезис:

которые определяются эмпирическими формулами:

где — коэффициент, зависящий от типа материала,

G – вес сердечника,

Bmax – максимальное значение магнитной индукции

где — коэффициент, зависящий от толщины листов материала сердечника.

Катушка с ферромагнитным сердечником

Уравнение, описывающее процесс в катушке

(рис. 16.2), имеет вид:

где .

Тогда (*)

Зависимость повторяет кривую гистерезиса B ( H ) (рис. 16.3), то есть величина нелинейно связана с током i .

Для воздуха связь между B и H линейна, соответственно связь между и i также линейна:

Уравнение (*) можно переписать в виде

Это уравнение нелинейное, и при приложенном синусоидальном напряжении ток в цепи несинусоидален.

Рассмотрим сначала упрощенную цепь, без учета потока рассеяния ( L рас =0) и падения напряжения в активном сопротивлении ( R =0).

то есть ЭДС, индуктированная в катушке основным потоком уравновешивает приложенное напряжение u . Это значит, что при синусоидальной форме напряжения

магнитный поток изменяется по закону:

где ,

откуда .

Отсюда видно, что основной поток изменяется также синусоидально, причем он отстает на 90˚ от приложенного напряжения u и опережает на 90˚ ЭДС e . Рассмотрим форму тока в цепи.

В идеальной катушке индуктивности без сердечника угол сдвига фаз между u и i . В рассмотренной цепи вследствие наличия потерь активной мощности в сердечнике на вихревые токи и гистерезис (рис. 16.4).

Ток опережает магнитный поток на угол — угол магнитного запаздывания.

Перейдем к эквивалентным синусоидам из условия неизменности потерь мощности в сердечнике.

где I П характеризует потери в стали.

Переход к эквивалентным синусоидам дает возможность записать исходное уравнение в комплексной форме и построить векторную диаграмму (рис. 16.5).

— напряжение, уравновешивающее ЭДС от основного потока

Построение начинаем с . Затем под 90˚ — векторы и . Затем под углом к откладываем ток , который раскладываем на две составляющие:

активная составляющая — ток потерь;

реактивная составляющая — ток намагничивания. Он идет на создание основного магнитного потока.

Для катушки с и переход к эквивалентным синусоидам дает комплексные уравнения:

Векторная диаграмма дополняется построением двух векторов (рис. 16.6).

Левая ветвь – активное сопротивление, потери в котором равны потерям на .

— нелинейная индуктивность, по которой течет намагниченный ток.

Схема замещения катушки с сердечником.

Активной составляющей тока соответствует ветвь с сопротивлением , реактивной составляющей тока — ветвь с сопротивлением . Данная схема приведена на рис. 16.7

Определение параметров схемы замещения.

1. Пренебрегаем .

Для заданной МДС решаем обратную задачу и находим . Затем . Зная Bm , G , f по таблицам находим и . еще называют намагничивающей мощностью.

Затем .

Тогда: ; ; ; .

Величина R измеряется омметром (сопротивление медных проводов обмотки).

2. Наибольшую трудность представляет определение индуктивности рассеяния .

Упрощение этой задачи достигается путем постановки эксперимента по измерению I , U , P (ваттметром), R .

|

Тогда .

Расчетом магнитной цепи находится U 0 ,

Затем ; ; ; .

На векторной диаграмме принимаем .

; ; ; .

Из системы .

1. На какие два вида делятся нелинейные элементы?

2. Какие нелинейные элементы называют инерционными?

3. Какие нелинейные элементы называют безинерционными?

4. На какие две группы делятся все методы анализа электрических цепей?

Какие методы получили наибольшее распрастранение?

Упражнения и задачи

1. Через индуктивную катушку, зависимость которой изображена на рисунке, протекает синусоидальный ток . Построить кривую изменения напряжения на индуктивной катушке
в функции для этих двух случаев, если А, с-1.

2. К источнику с напряжением В присоединен элемент ВАХ которого А. Определить аналитически и графически зависимость . Найти максимальное значение тока.

3. Цепь из параллельно соединенных нелинейного сопротивления, ВАХ которого А (где ток – в амперах, напряжение – в вольтах), и линейного сопротивления Ом присоединена к напряжению В.

Определить мгновенное и действующее значения общего тока цепи. Вычислить полную и активную мощности и мощность искажения цепи.