Уравнение электродинамики второго порядка в комплексной форме

1 Общие положения и математический аппарат электродинамики

1.1 Электромагнитное поле

Электромагнитное поле состоит из электрического поля, взаимозависимого с магнитным полем. Электрическое поле представляют вектор электрической индукции , функционально зависимый от вектора напряженности электрического поля . Магнитное поле представляют вектор магнитной индукции , функционально зависимый от напряженности магнитного поля .

Векторы электромагнитного поля в общем случае представляют нестационарное электромагнитное векторное поле, являющееся функцией координат и времени:

— напряженность электрического поля;

— напряженность магнитного поля;

— электрическая индукция;

— магнитная индукция.

Стационарное электромагнитное векторное поле, является функцией координат и не зависит от времени:

— напряженность электрического поля;

— напряженность магнитного поля;

— электрическая индукция;

— магнитная индукция.

Скорость распространения электромагнитных волн в вакууме равна скорости света

где λ — длина волны, м;

Круговая частота, с -1

Чем больше длина электромагнитной волны, тем меньше частота. Электромагнитные волны начинаются с меньшей частоты, затем начинаются радиоволны диапазонов сверхдлинных, длинных волн, далее средние волны с большей частотой, короткие, ультракороткие волны с еще большей частотой. За радиоволнами следует инфракрасное излучение с меньшей длиной волны, но большей частотой, чем у радиоволн. Видимый свет, начинается с волн красного цвета. Названия цветов начинаются с букв в порядке поговорки: «Каждый охотник желает знать, где сидит фазан». Заканчивается видимый свет волнами фиолетового цвета. Далее следуют: ультрафиолетовое, рентгеновское, гамма излучения и космическая радиация.

Теория электромагнитного поля базируется на векторном исчислении и векторных полях, наиболее важные положения которых рассмотрим ниже.

1.2 Скалярные и векторные поля

1.2.1 Потенциальное (безвихревое) и вихревое векторные поля

Линии потенциального (безвихревого) поля начинаются в истоке и заканчиваются в стоке. Линии вихревого (соленоидального) поля не имеют источников, всегда замкнуты, непрерывны ( см. рисунок [ 4 ] ) .

Р исунок — Потенциальное (безвихревое) и вихревое поля

Циркуляция вектора потенциального поля по замкнутому контуру L равна нулю

Поток вектора вихревого поля через замкнут ую поверхность S равен нулю

Электростатическое поле может быть только потенциальным (безвихревым), магнитное поле является только вихревым.

1.2.2 Градиент скалярного поля, оператор Гамильтона

Градиент (перепад) скалярного поля φ — это вектор, показывающий в каком направлении наиболее быстро увеличивается φ, равный по величине производной по этому направлению

Условный вектор или оператор Гамильтона

Градиент скалярного поля φ, записанный с помощью оператора Гамильтона (оператора «набла»)

Поверхность уровня φ содержит одинаковые значения φ = const скалярного поля, поэтому градиент скалярного поля φ перпендикулярен поверхности уровня φ и направлен в сторону увеличения φ ( см. рисунок [ 4 ] ) .

Рисунок — Градиент скалярного поля

1.2.3 Дивергенция (расходимость)

Дано векторное поле в точке ( x ; y ; z )

где — единичные векторы (орты) в направлениях осей координат x , y , z соответственно.

Для векторного поля в точке ( x ; y ; z ) дивергенция (расходимость) в точке P равна пределу потока вектора через поверхность S, ограничивающую объем V, деленного на V при стремлении V к нулю

Значения дивергенции в точках P векторных полей ( см. рисунок [ 4 ] ) .

Рисунок — Значения дивергенции

При расходимости большей нуля

внутри области V находятся источники векторного поля .

При отрицательной расходимости

внутри об ласти V находятся стоки векторного поля .

При расходимости равной нулю

с иловые линии поля пронизывают область V или замкнуты (вихревое поле).

1.2.4 Ротор (вихрь)

Ротор (вихрь) позволяет оценить степень вращения в какой-то точке ( x ; y ; z ) векторного поля

где — единичные векторы (орты) в направлениях осей координат x , y , z соответственно.

Для векторного поля в точке ( x ; y ; z ) проекция ротора на направление нормали к поверхности , рав на пределу циркуляции вектора вокруг контура C, деленной на площадь Δ S поверхности , огранич енно й контуром C, при стремлении Δ S к нулю

Направление нормали связано с направлением обхода контура C правилом правого винта.

Ротор (вихрь) векторного поля , используя оператор Гамильтона

Проекции вектора на оси координат

Если в точке P ротор равен нулю

,

то вращения в этой точке нет и векторное поле потенциальное.

1.3 Виды распределения зарядов

Объемная плотность зарядов, Кл/м 3

Заряд, сосредоточенный в объеме V, Кл

Поверхност ная плотность зарядов, Кл/м 2

Заряд, сосредоточенный на поверхности S , Кл

Линей ная плотность зарядов, Кл/м

Заряд точечных зарядов равен сумме N зарядов конечной величины

1.4 Электрическое поле

Вектор электрического смещения (электрической индукции) равен электрической постоянной ε₀, умноженной на скобку, в которой единица складывается с электрической восприимчивостью χ_э, умноженной на вектор напряженности электрического поля

Вектор электрического смещения (электрической индукции) в веществе

где ε — абсолютная электрическая проницаемость.

Вектор электрической индукции в вакууме

.

1.5 Магнитное поле

Вектор магнитной индукции равен магнитной постоянной μ₀, умноженной на скобку, в которой единица складывается с магнитной восприимчивостью χ_м, умноженной на вектор напряженности магнитного поля

Вектор магнитной индукции в веществе

где μ — абсолютная магнитная проницаемость.

Вектор магнитной индукции в вакууме

1.6 Закон Ома в дифференциальной форме

Закон Ома для участка цепи

Проинтегрируем по и получим зависимость тока от плотности тока

Закон Ома в дифференциальной форме позволяет определить плотность тока, А/м 2

где σ — удельная проводимость среды, См/м.

2 Уравнения Максвелла

Система уравнений Максвелла в дифференциальной форме описывает переменные электромагнитные поля

Векторы в уравнениях Максвелла представляют нестационарное электромагнитное векторное поле, являющееся функцией координат x, y, z и времени t.

2.1 Частные случаи электромагнитных явлений

В частных случаях уравнения Максвелла могут упрощаться.

2.1.1 Стационарное электромагнитное поле

Стационарное электромагнитное поле создается постоянными токами и описывается векторными функциями координат, не зависящими от времени:

— напряженность электрического поля;

— электрическая индукция;

— напряженность магнитного поля;

— магнитная индукция.

Векторные функции не зависят от времени, поэтому частные производные по времени в уравнениях Максвелла равны нулю:

Система у равнений Максвелла в дифференциальной форме принимает вид, описывающий стационарное электромагнитное поле:

2.1.2 Статические электрические или магнитные поля

Статические поля не изменяются со временем и не имеют движущихся зарядов, следовательно, токов

.

Система уравнений Максвелла разделяется на две независимые друг от друга системы уравнений. Первая система характеризует электростатическое поле и называется системой дифференциальных уравнений электростатики

Вторая система уравнений описывает магнитостатическое поле, создаваемого постоянными неподвижными магнитами

Эта система уравнений может использоваться для описания магнитных полей, созданных постоянными токами, но в областях, в которых плотность тока равна нулю , и которые не сцеплены с током (не охватывают линии тока).

2.1.3 Уравнения Максвелла в комплексной форме

Если векторы электромагнитного поля изменяются во времени по гармоническим законам, то система уравнений Максвелла может быть представлена в комплексной форме, не содержащей времени, для комплексных векторов

или комплексных амплитуд

2.1.4 Волновые уравнения

Из уравнений Максвелла в комплексной форме, выражая отдельно уравнения для комплексных векторов и получаются волновые уравнения Гельмгольца для векторов

и комплексных амплитуд

где — волновое число , д ля вакуума

.

3 Плоские электромагнитные волны

На больших расстояниях от источника элемент сферической волны приближенно можно принять плоским. Плоские волны не могут быть созданы источниками, они придуманы для значительного упрощения теории электромагнитных волн в отдельных случаях.

Векторы напряженности электрического и магнитного полей плоской волны синфазные и осциллируют вдоль взаимно перпендикулярных направлений в плоскости, перпендикулярной направлению распространения волны. Такие волны являются поперечными [3] (см. рисунок).

Рисунок — Мгновенная картина распределения напряженности электрического и магнитного полей вдоль направления распространения плоской волны. Во времени картина поля перемещается в пространстве с фазовой скоростью v _ф вдоль оси z

Фронт волны представляет собой геометрическое место точек поля с одинаковой фазой: у плоской волны ( см. рисунок) одной из этих поверхностей является плоскость z = z ₀ , перпендикулярная направлению распространения волны [3] . Параметры поля при перемещении в пределах фронта волны не изменяются.

Фронт плоской волны является плоскостью, перпендикулярной направлению распространения волны. Параметры поля при перемещении в пределах этой плоскости не изменяются, поэтому частные производные по направлениям x и y равны нулю:

В олновые уравнения Гельмгольца для плоской волны становятся одномерными для векторов

и комплексных амплитуд

Решение дифференциальных уравнений для векторов

где , — орты в направлении векторов электрической и магнитной напряженностей соответственно;

A, B, C, D – коэффициенты.

Действительные части векторов

Проанализируем в первом уравнении первое слагаемое. На рисунке [1; стр. 113 ] покажем положение максимума электрического поля в моменты времени t ( точка A) и t + Δ t.

Рисунок — Положение максимумов электрического поля

За время Δ t положение максимума переместилось на Δ z, можем записать равенство

A cos (ω t − kz ) = A cos (ω t + ωΔ t − kz − k Δ z ),

в котором аргументы равны

ω t − kz = ω t + ωΔ t − kz − k Δ z

Отсюда получаем ф азов ую скорость v _ф — скорость распространения фронта волны

,

поэтому фазовая скорость в вакууме

Подставим значения констант

следовательно, в вакууме скорость распространения фронта волны равна скорости света.

Фазовая скорость в какой-то среде

Фазовая скорость не зависит от частоты.

Амплитуды двух точек на расстоянии длины волны λ с фазами, отличающимися на 2 π равны, поэтому выполняется равенство

cos(ωt − kz) = cos(ωt − k(z + λ) + 2π),

в котором аргументы равны

ωt − kz = ωt − k(z + λ) + 2π,

ωt − kz = ωt − kz − kλ + 2π.

Сократим ω t − kz

Отсюда длина волны

Для произвольной среды

,

поэтому длина волны

В вакууме длина волны

Длина волны в остальных средах

Волновое сопротивление вакуума

Для сухого воздуха принимается такое же волновое сопротивление.

4 Распространение радиоволн

Все электромагнитные волны, в том числе и радиоволны распространяются в вакууме со скоростью 3·10 8 м/с.

4.1 Распространение радиоволн в свободном пространстве

Распространение радиоволн в атмосфере, вдоль земной поверхности, в земной коре, в космическом пространстве нашей галактики и за ее пределами примем за свободное распространение радиоволн, которое и рассмотрим.

4.1.1 Классификация радиоволн по диапазонам

Радиоволны имеют диапазон частот от тысяч герц до тысяч гигагерц: 3 · 10 3 — 3 · 10 12 Гц. У длинных волн частота меньше, чем у коротких волн, имеющих большую частоту.

Применение радиоволн возможно благодаря передающему устройству, природной среде распространения радиоволн и приемному устройству, все вместе образующими радиолинию.

Земные атмосфера и поверхность являются средами поглощающими, электрически неоднородными, имеющими не постоянную во времени и пространстве проводимость, диэлектрическую проницаемость, зависящие от частоты распространяющихся радиоволн.

Поэтому радиоволны были разделены на диапазоны частот с примерно одинаковыми условиями распространения радиоволн в пределах этих диапазонов частот. Диапазоны частот приняты Международным консультативным комитетом по радио (МККР) в соответствии с Регламентом радиосвязи.

Для радиосвязи используются и волны оптического диапазона: инфракрасные, видимые и ультрафиолетовые.

Мощность электромагнитных волн зависит от частоты в 4-й степени

Волны с большей частотой, но с меньшей длиной волны способны обладать большей мощностью.

Антенны с узкой диаграммой направленности имеют размеры значительно превышающие длину волны, для высоких частот проще сделать такие высокоэффективные антенны.

Чем выше несущая частота, тем большее число независимых модулируемых каналов может передаваться такими радиоволнами.

4.2 Положения из теории антенн

Пространство вокруг антенны разделяется на три области, имеющих различную структуру полей и расчетных формул: ближняя, промежуточная и дальняя. В реальных линиях связи обычно имеет место дальняя область (зона Фраунгофера) на расстояниях от антенны

где L – максимальный размер излучающей области антенны, м;

λ – длина волны, м.

Характеристическое (волновое) сопротивление свободной среды

Вектор Пойнтинга (вектор Умова — Пойнтинга), Вт/м 2

где P – мощность, Вт;

r – расстояние от антенны до точки наблюдения, м.

где D – коэффициент направленного действия (КНД) антенны.

Среднее значение вектора Пойнтинга в дальней зоне

выразим амплитуду напряженности магнитного поля

Приравняем векторы Пойнтинга

Амплитуда напряженности электрического поля в дальней зоне антенны в свободном пространстве

Напряженность поля в других направлениях определяется с помощью диаграммы направленности антенны F(θ,α), в которой углы θ и α в сферической системе координат (r,θ,α) задают направление на точку наблюдения:

5 Распространение радиоволн различных диапазонов

5.1 Распространение сверхдлинных и длинных волн

Сверхдлинные волны (СДВ) имеют длину волны более 10 000 м и частоту менее 30 кГц. Длинные волны (ДВ) имеют длину волны от 1000 до 10 000 м и частоту 300-30 кГц.

СДВ и ДВ имеют большую длину волны, поэтому хорошо огибают земную поверхность. Токи проводимости этих радиоволн значительно превышают токи смещения для всех видов земной поверхности, поэтому происходит незначительное поглощение энергии при распространении поверхностной волны. Поэтому СДВ и ДВ могут распространяться на расстояния до 3 тыс. км.

СДВ и ДВ слабо поглощаются в ионосфере. Чем ниже частота радиоволны, тем требуется более низкая электронная концентрация ионосферы для поворота радиоволны к Земле. Поэтому, поворот СДВ и ДВ происходит в нижней границе ионосферы (днем в слое D и ночью в слое E) на высоте 80-100 км. Тропосфера на распространение СДВ и ДВ практически не влияет. Вокруг Земли СДВ и ДВ распространяются, отражаясь от ионосферы и от земной поверхности в сферическом слое 80-100 км между нижней границей ионосферы и земной поверхностью.

Линии связи на СДВ и ДВ обладают большой устойчивостью напряженности электрического поля. В течении суток и года величина сигнала мало меняется, а также не подвергается случайным изменениям. Поэтому СДВ и ДВ широко используются в навигационных системах.

Ограниченный частотный диапазон (3-300 кГц) СДВ и ДВ не позволяет разместить даже один телевизионный канал, для которого требуется полоса 8МГц.

Большая длина волны СДВ и ДВ диктует использование громоздких антенн.

Несмотря на недостатки, СДВ и ДВ используются в радионавигации, радиовещании, радиотелефонной и телеграфной связи в том числе и с подводными объектами, так как эти и оптические волны слабо поглощаются в морской воде.

5.2 Распространение средних волн

Средние волны (СВ) имеют длину волны от 100 до 1 000 м, частоту от 300 кГц до 3 МГц (0,3 — 3 МГц). Могут распространяться земные и ионосферные СВ, которые используются преимущественно в радиовещании.

Земные СВ-радиолинии ограничены протяженностью не более 1000 км из-за существенного поглощения СВ земной поверхностью.

Ионосферная СВ способна отразиться от слоя E ионосферы. Через самый низкий слой D ионосферы, появляющийся только днем, СВ проходят и сильно поглощаются в нем, практически исключая связь днем . Поэтому ночью в ионосфере поглощение СВ значительно уменьшается и на расстояниях больших 1000 км от передатчика связь восстанавливается.

Из-за интерференции ионосферных волн между собой или (и ночью) с земными волнами возникают случайные замирания сигнала (фединг). Антифединговые антенны имеют прижатый к земной поверхности максимум диаграммы направленности для борьбы с замираниями и перекрестной модуляцией на СВ.

5.3 Распространение коротких волн

Короткие волны (КВ) имеют длину волны от 10 до 100 м (в 10 раз короче средних волн), частоту от 3 до 30 МГц (в 10 раз больше частоты СВ). КВ используются преимущественно для радиовещания.

КВ сильно поглощаются земной поверхностью и плохо огибают поверхность Земли, поэтому земные КВ распространяются лишь на несколько десятков километров.

КВ испытывают поглощение и проходят в самых нижних слоях ионосферы D и E, но отражаются от слоя F.

Расчет КВ линий связи заключается в составлении графика рабочих частот в зависимости от времени суток (волнового расписания).

5.4 Особенности распространения ультракоротких волн

Ультракороткие волны (УКВ) имеют длину волны менее 10 м и частоту более 30 МГц. По частоте снизу УКВ граничат с КВ, а сверху с инфракрасными волнами. Ионосфера для УКВ прозрачна, поэтому УКВ-линии применяются в основном в пределах прямой видимости.

УКВ имеют большой частотный диапазон, способный передавать значительные объемы информации. На метровых и дециметровых волнах можно разместить 297 телевизионных каналов. Во всем коротковолновом диапазоне разместятся всего 3 телевизионных канала, а во всем СВ диапазоне ни одного.

Развитие мобильной и спутниковой связи, Интернета и другие вышеуказанные причины заставляют радиотехнику переходить на более высокие частоты, поэтому УКВ приобретают все большую значимость.

5.4.1 Распространение ультракоротких волн в пределах прямой видимости

УКВ линии связи, работающие в пределах прямой видимости:

— УКВ и телевизионное вещание;

— радиолокационные станции (РЛС);

— радиорелейные линии связи (РРЛ);

— связь с космическими объектами;

5.4.2 Распространение УКВ за горизонт

Дальнее распространение УКВ за линию горизонта происходит следующими способами:

— благодаря рассеянию на неоднородностях тропосферы;

— сверхрефракция в тропосфере;

— рассеивание на неоднородностях ионосферы;

— благодаря отражению от слоев ионосферы F ₂ и E _S ;

— благодаря отражению от метеорных следов;

— благодаря усилению препятствием (см. рисунок [1; стр. 387 ])

Рисунок — Распространение радиоволн при усилении препятствием

Перечень условных обозначений, символов, единиц и терминов

D,B – векторы электрической и магнитной индукции

Е,Н – векторы напряженностей электрического и магнитного поля

I(r, t) – электрический ток

j (r,t) − вектор плотности электрического тока

P −мощность электромагнитного поля

M – вектор намагниченности

P – вектор электрической поляризации

q – электрический заряд

ε,μ − абсолютные диэлектрическая и магнитная проницаемости

ε₀ ,μ₀ − диэлектрическая и магнитная постоянные

ε_r ,μ_r −относительные диэлектрическая и магнитная проницаемости

П – вектор Пойнтинга (вектор Умова — Пойнтинга)

ρ,ξ,τ – плотности объемного, поверхностного и линейного заряда

σ − удельная проводимость среды

ϕ – скалярный электростатический потенциал

χ_э ,χ_м – электрическая и магнитная восприимчивости

W − энергия электромагнитного поля

W_э ,W_м – энергии электрического и магнитного поля

w −плотность энергии электромагнитного поля

w_э ,w_м – плотности энергий электрического и магнитного поля

k – волновое число

СДВ – сверхдлинные волны

ДВ – длинные волны

СВ – средние волны

КВ – короткие волны

УКВ – ультракороткие волны

РЛС – радиолокационная станция

РРЛ – радиорелейная линия

D – коэффициент направленного действия (КНД) антенны

G – коэффициент усиления антенны

F(θ,α) – диаграмма направленности антенны

R₀ – радиус Земли (6371 км)

Z ₀ − волновое сопротивление свободного пространства

Список использованных источников

1.Электродинамика и распространение радиоволн : учеб. пособие / Л.А. Боков, В.А. Замотринский, А.Е. Мандель. – Томск : Томск. гос. ун-т систем упр. и радиоэлектроники, 2013. – 410 с.

2.Морозов А.В. Электродинамика и распространение радиоволн : учебник для высш. военных учеб. заведений / Морозов А. В., Нырцов А. Н., Шмаков Н. П. — М. : Радиотехника, 2007. — 408 с.

3.Яманов Д.Н. Основы электродинамики и распространение радиоволн. Часть I. Основы электродинамики: Тексты лекций. — М.: МГТУ ГА, 2002. – 80 с.

4.Панько В.С. Лекции по курсу «Электродинамика и распространение радиоволн».

Консультации Ольшевского Андрея Георгиевича по Skype da . irk . ru

Теоретические основы электротехники (ТОЭ), электроника, схемотехника, основы цифровой, аналоговой электроники, электродинамика и распространение радиоволн.

Понятное объяснение теории, ликвидация пробелов в понимании, обучение приемам решения задач, консультирование при написании курсовых, дипломов.

Генерация, внедрение идей. Основы научных исследований, методы генерации, внедрения научных, изобретательских, бизнес идей. Обучение приемам решения научных проблем, изобретательских задач. Научное, изобретательское, писательское, инженерное творчество. Постановка, выбор, решение наиболее ценных научных, изобретательских задач, идей.

Публикации результатов творчества. Как написать и опубликовать научную статью, подать заявку на изобретение, написать, издать книгу. Теория написания, защиты диссертаций. Зарабатывание денег на идеях, изобретениях. Консультирование при создании изобретений, написании заявок на изобретения, научных статей, заявок на изобретения, книг, монографий, диссертаций. Соавторство в изобретениях, научных статьях, монографиях.

Подготовка студентов и школьников по математике, физике, информатике, школьников желающих получить много баллов (часть C) и слабых учеников к ОГЭ (ГИА) и ЕГЭ. Одновременное улучшение текущей успеваемости путем развития памяти, мышления, понятного объяснения сложного, наглядного преподнесения предметов. Особый подход к каждому ученику. Подготовка к олимпиадам, обеспечивающим льготы при поступлении. 15-летний опыт улучшения успеваемости учеников.

Высшая математика, алгебра, геометрия, теория вероятностей, математическая статистика, линейное программирование.

Авиационные, ракетные и автомобильные двигатели. Гиперзвуковые, прямоточные, ракетные, импульсные детонационные, пульсирующие, газотурбинные, поршневые двигатели внутреннего сгорания — теория, конструкция, расчет, прочность, проектирование, технология изготовления. Термодинамика, теплотехника, газовая динамика, гидравлика.

Авиация, аэромеханика, аэродинамика, динамика полета, теория, конструкция, аэрогидромеханика. Сверхлегкие летательные аппараты, экранопланы, самолеты, вертолеты, ракеты, крылатые ракеты, аппараты на воздушной подушке, дирижабли, винты — теория, конструкция, расчет, прочность, проектирование, технология изготовления.

Теоретическая механика (теормех), сопротивление материалов (сопромат), детали машин, теория механизмов и машин (ТММ), технология машиностроения, технические дисциплины.

Аналитическая геометрия, начертательная геометрия, инженерная графика, черчение. Компьютерная графика, программирование графики, чертежи в Автокад, Нанокад, фотомонтаж.

Логика, графы, деревья, дискретная математика.

OpenOffice и LibreOffice Basic, Visual Basic, VBA, NET, ASP.NET, макросы, VBScript, Бэйсик, С, С++, Делфи, Паскаль, Delphi, Pascal, C#, JavaScript, Fortran, html, Маткад. Создание программ, игр для ПК, ноутбуков, мобильных устройств. Использование бесплатных готовых программ, движков с открытыми исходными кодами.

Создание, размещение, раскрутка, программирование сайтов, интернет-магазинов, заработки на сайтах, Web-дизайн.

Информатика, пользователь ПК: тексты, таблицы, презентации, обучение методу скоропечатания за 2 часа, базы данных, 1С, Windows, Word, Excel, Access, Gimp, OpenOffice, Автокад, nanoCad, Интернет, сети, электронная почта.

Устройство, ремонт компьютеров стационарных и ноутбуков.

Видеоблогер, создание, редактирование, размещение видео, видеомонтаж, зарабатывание денег на видеоблогах.

Выбор, достижение целей, планирование.

Обучение зарабатыванию денег в Интернет: блогер, видеоблогер, программы, сайты, интернет-магазин, статьи, книги и др.

© 11.01.18 Ольшевский Андрей Георгиевич e-mail: da.irk.ru@mail.ru

Вы можете поддержать развитие сайта с помощью платежной формы ниже.

Также Вы можете оплатить консультационные и прочие услуги Ольшевского Андрея Георгиевича

Андрусевич Л.К., Беленький В.Г. Основы электродинамики — файл n2.doc

приобрести
Андрусевич Л.К., Беленький В.Г. Основы электродинамики
скачать (1941 kb.)
Доступные файлы (12):

n2.doc

1. Основные уравнения электромагнитного поля

1.1 Векторные характеристики электромагнитного поля

Электромагнитные параметры среды

Классификация материальных сред

Закон полного тока. Первое уравнение Максвелла

Закон электромагнитной индукции. Второе уравнение Максвелла

Теорема Гаусса. Третье и четвертое уравнения Максвелла

Закон сохранения заряда. Уравнение непрерывности

Полная система уравнений электродинамики. Уравнения Максвелла в комплексной форме

Классификация электромагнитных полей. Разграничение сред по признаку электропроводности

1. Основные уравнения

Вся теория электромагнитного поля базируется на четырех экспериментально установленных законах. Это закон Ш.О.Кулона, теоремы К.Га-усса для электрической и магнитной индукции, закон М. Фарадея и закон полного тока А. Ампера. Эти законы были обобщены Дж. К. Максвеллом, который привлек к созданию своей теории великую гипотезу о токе смещения.

Уравнения Максвелла являются фундаментальными в том смысле, что пока не известны более общие законы природы, из которых бы они вытекали. Поэтому уравнения Максвелла нужно знать наизусть! Остальное не нужно заучивать, а нужно понять.

1.1 Векторные характеристики электромагнитного поля

Обсуждаются основные понятия и величины, характеризующие электромагнитное поле в некоторой области пространства

Величины, значения которых могут быть выражены действительными числами, называются скалярами (например, масса, заряд, температура).

Величины, значения которых определяются как числовым значением так и направлением в пространстве, называются векторами (например, скорость, сила, ускорение).

Вектор является силовой характеристикой электрического поля.

Вектор является функцией только заряда и положения наблюдателя в пространстве. Иначе говоря, вектор имеет одинаковые значения в разных средах при прочих равных условиях и поэтому является более общим по сравнению с вектором .

Действие электромагнитного поля обладает определенной направленностью, поэтому для его описания вводят векторные величины.

Рассмотрим векторные характеристики, при помощи которых определяется электромагнитное поле. Их четыре:

– вектор напряженности электрического поля;

– вектор электрической индукции;

– вектор напряженности магнитного поля;

– вектор магнитной индукции.
Определить поле в некоторой области пространства – значит указать эти векторы поля в любой её точке. Дадим теперь определения и рассмотрим физическую сущность векторов электромагнитного поля.

Вектор напряженности электрического поля определяют как силу, с которой электрическое поле действует на внесенный точечный положительный единичный заряд. Связь между вектором и силой , действующей на точечный заряд q, определяется как:

. (1.1)

Следовательно, вектор характеризует именно силовое воздействие электрического поля на заряженные частицы. По закону Кулона:

, где: — единичный вектор.

, [В/м] (1.2)

здесь: , [Ф/м] — диэлектрическая проницаемость вакуума.

Если ограничится только исследованием процессов в вакууме, то задание напряженности электрического п
Поскольку сила, действующая со стороны магнитного поля на движущийся заряд описывается вектором , то естественно назвать этот вектор напряженностью магнитного поля. Однако историческое название напряженности магнитного поля закрепилось за другим вектором, который обозначается . Этот вектор не является полевой характеристикой маг-нитного поля, он учитывает свойства материальной среды, в которой поле существует. За вектором установилось название вектора индукции магнитного поля.

б)
Рисунок 1.1 — Силовые линии электрического (а) и магнитного (б) полей.

оля в каждой точке пространства является достаточным. Однако, как будет показано далее, для правильного описания электрического поля в материальных средах, требуется ввести в рассмотрение второе векторное поле, характеризуемое вектором электрической индукции (электрического сме-щения) . Вектор в вакууме связан с векто-ром соотношением:

. (1.3)

Если в формуле (1.2) вместо подставить вели-чину /_о, то закон Кулона примет вид:

; [Кл/м 2 ] (1.4)

В отличие от электрического поля, которое оказывает силовое воздействие на заряд, находящийся в покое или в движении, магнитное поле действует только на движущиеся заряды.

Вектор магнитной индукции определяют как силу, с которой магнитное поле действует на движущийся положительный единичный заряд. Связь между вектором и силой , действую-щей на точечный заряд q, определяется выражением:

, (1.5)

где: — векторное произведение векторов скорости движения заряда и вектора магнит-ной индукции .

Из формулы (1.5) следует, что магнитная индукция численно равна силе, с которой магнитное поле действует на единичный точечный заряд, движущийся со скоростью перпендикулярно линиям вектора . Магнитная индукция измеряется в Веберах на квадратный метр (Вб/м 2 ). Сила воздействия магнитного поля на движущийся заряд зависит от магнитных свойств среды. Поэтому, подобно тому как это было сделано для электрического поля, удобно ввести еще одну векторную величину для полного описания явлений, происходящих в материальных средах, помещенных в магнитное поле. Это второе векторное поле характеризуется н
 Следует четко понимать, что силовые линии это лишь условный прием изображения электрического или магнитного полей. Этот прием впервые предложенный М. Фарадеем, помогает яснее представить себе поле. В действительности никаких линий в пространстве, заполненном полем, не существует.
 Различают два вида поля: потенциальное и вихревое. В случае потенциального поля имеют начало (исток) и конец (сток). В качестве примера см. рис.1.1а. Силовые линии вихревого поля всегда непрерывны и не имеют истоков и стоков, см. рис.1.1б.

апряженностью магнитного поля и в вакууме связано с соотношением

= /_о ,

откуда: = _о. (1.6)

Напряженность магнитного поля имеет размер-ность “Ампер на метр” (А/м). Величина _о = 410 -7 называется магнитной проницаемостью вакуума и имеет размерность “Генри на метр” (Гн/м).

Для электрического заряда, двигающегося одновременно в электрическом и магнитном полях, мы можем написать уравнения движения уже с учетом всех действующих сил:
.

Сила носит название силы Лоренца.

Величину и направление напряженности элек-трического магнитного полей в пространстве удобно изображать при помощи силовых линий, как показано на рис.1.1. Силовой линией назы-вается такая линия, касательная к которой в каждой точке совпадает с вектором напря-женности в этой же точке. Густота силовых линий условно характеризует модуль амплитуды напряженности поля. Направление напряженности указывается стрелкой.

1.2 Электромагнитные параметры среды

Рассматривается характер влияния электрического и магнитного полей на материальные среды и параметры, количественно характеризующие это влияние.

Уравнения (1.3) и (1.6) характеризуют связь между векторами электромагнитного поля в вакууме. Для установления связи между этими векторами в некоторой материальной среде, необходимо рассмотреть явления, возникающие в материальных средах при воздействии на них электрического и магнитного поля.

Рассмотрим сначала воздействие электрического поля. При отсутствии внешнего электрического поля молекула материальной сред (

Рисунок 1.2 — Воздействие внешнего электрического поля на молекулу вещества
например, молекула водорода) представляется в виде положи-тельного ядра в центре и вращающегося вокруг него электрона (см. рис.1.2). Посколь-ку орбита вращения практически круговая, то можно считать, что молекула электри-чески нейтральна. При приложении внеш-него электрического поля орбита электрона деформируется, центры положительного и отрицательного, зарядов не совпадают в пространстве. В результате молекула начинает вести себя подобно электрическому диполю, т.е. системе двух связанных противоположно заряженных частиц:

О
или

писанное явление носит название электронной поляризации вещества. Таким образом, при приложении внешнего электрического поля, все молекулы, образовав электрические диполи, займут определенную ориентацию относительно приложенного поля. Внутри материальной среды возникает специфический вид объемного электрического заряда, носящего название поляризационный заряд.

Количественной характеристикой поляризации отдельной молекулы служит ее дипольный момент:

,

где: q – электрический заряд молекулы;

l – смещение электрического заряда молекулы.

Если в единице объема V находится N молекулярных диполей, то в качестве меры поляризации диэлектрика вводят вектор поляризации.

= .

Для подавляющего большинства веществ существует прямая зависимость между векторами и :

,

где: ₀ – диэлектрическая постоянная вакуума, _э— называется электрической восприимчивостью вещества. Для вакуума, где вещество отсутствует, _э = 0.

На основании изложенного определим вектор электрической индукции в материальной среде как сумму вектора поляризации и вектора , т.е.:

, (1.7)

где: _а = ₀ (1 + _э) = ₀  – абсолютная диэлектрическая проницаемость среды;

 = (1 + _э) – относительная диэлектрическая проницаемость среды.

Из (1.7) видно, что вектор не является чисто полевым вектором, поскольку учитывает поляризованность среды, т.е. «реакцию» материальной среды на воздействие электрического поля.

Рассмотрим теперь воздействие магнитного поля на материальную среду.

П

Рисунок 1.3- Молекулярный ток

ри отсутствии внешнего магнитного поля, согласно классическим представлениям, молекулы матери-альной среды несут в себе замкнутые токи (так называемая гипотеза Ампера). Обозначим через I_мол величину молекулярного тока, через  – площадь элементарной площадки, вдоль границы которой течет I_мол (рис.1.3). Тогда для количественной харак-теристики каждого отдельного молекулярного тока вводится понятие вектора магнитного момента молекулы:

= I_мол .

При приложении внешнего магнитного поля магнитные моменты молекул вещества частично ориентируются относительно внешнего поля. Таким образом, под воздействием внешнего магнитного поля материальная среда (вещество) приобретает определенную намагниченность.

Если в единице объема V находится N молекулярных токов, то в качестве меры намагниченности вещества вводят понятие вектора намагниченности:

= .

Для подавляющего большинства веществ существует прямая зависимость между векторами и :

= ₀_м ,

где: ₀ – магнитная постоянная вакуума; _м – магнитная восприимчивость среды. Для вакуума, где вещество отсутствует, _м = 0.

На основании изложенного определим вектор магнитной индукции в материальной среде как сумму вектора намагниченности и вектора :

+ = _о (1 + _м) = _а, (1.8)

вклад движущихся свободных зарядов в материальной среде

вклад молекул вещества материальной среде

 = (1 + _м) – относительная магнитная проницаемость среды.

Несмотря на схожесть формы записи (1.8) с (1.7), в качестве характеристики, учитывающей «реакцию» материальной среды на воздействие магнитного поля, служит вектор напряженности магнитного поля . Отсюда становится ясен физический смысл вектора : он характеризует изменение магнитного поля в веществе, вызванное собственной намагниченностью среды при воздействии внешнего магнитного поля.

Кроме того, материальные среды обладают электропроводностью, т.е. в них под воздействием электрического поля возникает электрический ток, называемый током проводимости (т.е. упорядоченное движение носителей заряда). Закон, связывающий силу тока, протекающего по проводнику, с разностью потенциалов, приложенной к его концам, определяется законом Г.С. Ома: I = U/R. Если данное выражение записать для плотности тока проводимости, то получим закон Ома в дифференциальной форме. Следует четко разделять понятия плотность тока проводимости и ток проводимости. Если в некотором объеме V происходит движение заряда с некоторой скоростью , то в результате осуществляется перенос заряда в направлении скорости. Интенсивность этого переноса и характеризуется плотностью тока проводимости J_пр, определяемой формулой:

,

где _i — скорость носителей заряда е_i. Из этого выражения видно, что величина имеет размерность «А/м 2 » и в этом смысле действительно является мерой тока, протекающего через единичную площадку, перпендикулярную вектору скорости носителей заряда. Током проводимости называют отношение заряда, пересекающего конечную поверхность S, ко времени:

(1.9)

Перейдем теперь от обычной формы закона Ома к дифференциальной форме, для этого выделим внутри проводника с током весьма малых размеров цилиндр, торцы которого перпендикулярны линиям тока (рис.1.4).

И

Рисунок1.4- К выводу закона Ома в дифференциальной форме

з-за малости размеров цилиндра будем считать, что плотность тока проводимости постоянна в пределах его торцов, а линии тока параллельны его оси. Согласно закону Ома:

где: R — сопротивление цилиндра;

U — напряжение между его торцами, которое равняется: U = El.

Выразим сопротивление через удельную проводимость :

далее подставим (1.10) в (1.9):

I_пр = ES.
Разделив обе части последнего равенства на S, получим соотношение: J_пр =  E, которое можно переписать в векторной форме как:

, (1.12)

где: ? – удельная проводимость среды, которая учитывает силы “внутреннего трения” (столкновения с кристаллической решеткой) носителей тока при движении внутри вещества.

Уравнение (1.12) принято называть законом Ома в дифференциальной форме.

1.3 Классификация материальных сред

Формулируются правила разграничения сред по электрофизическим параметрам, характеру их зависимости от интенсивности электромагнитного поля и координат точки наблюдения.

По характеру поведения ?_а, ?_а, ?, а также векторов электромагнитного поля ,, и различают следующие виды материальных сред:
называется линейной, если векторы поля и (см. ур-е 1.4), а также и (см. ур-е 1.6) связаны линейной зависимостью, т.е. ?_а, ?_а, и ? не зависят от величины векторов поля;

называется нелинейной, если не связаны линейной зависимостью, т.е. ?_а, ?_а, и ? зависят от величины векторов поля.

называется изотропной, если векторы поля электромагнитного поля ,, и не зависят от направления распространения электромагнитной волны.

называется анизотропной, если векторы поля зависят от направления распространения электромагнитной волны.
Анизотропия связана с тем, что в определенных веществах существует некоторое специфическое, преимущественное направление. Таким направлением может служить либо какая-то специфическая ось кристаллической решетки, либо направление, в котором приложено внешнее постоянное поле (как, например, у сегнетоэлектриков и ферритов).
называется однородной, если значения параметров ?_а, ?_а, и ? не зависят от пространственных координат x, y, z.

Среда —

В зависимости от значения удельной проводимости ? материальные среды подразделяют на три класса:

• диэлектрики, если ?  10 –5 См/м;
• проводники, если ?  10 3 См/м;
• полупроводники, если 10 –5  ?  10 3 См/м.

Во многих задачах электродинамики реальный проводник или диэлектрик с успехом можно заменить на идеализированный. В этом случае используются понятия:

• идеальный проводник, ? = ?;
• идеальный диэлектрик, ? = 0.

В качестве примера, ниже приведена таблица значений удельной проводимости (табл.1.1.) для некоторых материальных сред.

Таблица 1.1 –Удельные проводимости некоторых веществ