Уравнение эллипса в каноническом виде имеет вот такой вид.
Так как тут всего две переменных, то логично предположить, что по двум заданным точкам мы всегда сможем построить формулу эллипса.
Для расчета поставленной задачи воспользуемся материалом расчет кривой второго порядка на плоскости, который и позволит легко и быстро получить результат.
Кроме этого, на этой странице мы получим следующую информацию.
Фокальный параметр — половина длины хорды, проходящей через фокус и перпендикулярной большой оси эллипса
Значение полуосей — большая полуось и малая полуось ( Естественно это в том случае, когда эллипс вытянут вдоль оси абсцисс)
Эксцентриситет — коэффициент, показывающий насколько его фигура отличается от окружности
Фокальное расстояние
Коэффициент сжатия — отношение длин малой и большой полуосей
Примеры задач
Cоставить каноническое уравнение эллипса по двум точкам
Ввводим данные в калькулятор, не забывая что квадратный корень у нас обозначается sqrt
и получаем результат
Каноническое уравнение эллипса
Большая полуось эллипса
Малая полуось эллипса
Эксцентриситет эллипса
Фокусное/фокальное расстояние
Коэффициент сжатия
Координаты первого фокуса F1(x1:y1)
Координаты второго фокуса F2(x2:y2)
Фокальный параметр
Перифокусное расстояние
Апофокусное расстояние
И еще один пример
Даны две точки с координатами (3:2) и (4:-9) построить каноническое уравнение эллипса.
Если мы введем данные в калькулятор получим
Большая полуось эллипса
Малая полуось эллипса
Как видно, одна из осей не может быть определена, так как нам придется брать корень квадратный из отрицательного числа, а следовательно одна из осей будет комплексным числом, что быть не может.
Таким образом по этим двум точкам, нельзя построить эллипс.
А что же можно построить? Перейдя по ссылке данной в начале статьи, мы можем увидеть что это каноническое уравнение гиперболы.
Более подробно, про гиперболу есть отдельный калькулятор Каноническое уравнение гиперболы по двум точкам
Координаты точки эллипса по углу
IP76 > Координаты точки эллипса по углу
Для нахождения координат точки эллипса по углу существует простое и элегантное решение. Понимаю, что для маститого математика это решение является очевидным. Однако, для меня в то далекое время, когда инет был диким, связь модемной, а я сильно молодым, это таковым не являлось.
Калькулятор точки на эллипсе
Давайте посмотрим, как это выглядит на практике. Потом теория. Оранжевый маркер отвечает за угол, на основании которого считаем координаты. Красный — параметрический угол, о котором ниже.
Get a better browser, bro…
Параметрическое уравнение эллипса
Обратимся, как обычно, к Википедии. Находим там следующее:
Каноническое уравнение эллипса может быть параметризовано:
Очевидно, что t — это угол, и это не «наш» угол. Это какой-то другой угол, который функционально связан с «нашим». «Нашим» называю угол, от которого требуется посчитать координаты.
Таким образом, задача нахождения координат точки эллипса по углу сводится к задаче нахождения угла t, зависящим от требуемого. Нахождением этой зависимости и займемся.
Подготовка
У нас есть эллипс, описанный двумя полуосями a и b. Представим две окружности, имеющих общий центр. Меньшая окружность (зеленая) имеет радиус b. Большая окружность (синяя) имеет радиус a.
Проведем прямую из общего центра [X0;Y0] в произвольную точку плоскости [X;Y]. В результате пересечения с этими окружностями получаются две точки [X1;Y1] и [X2;Y2].
α – угол между прямой и осью X.
Малая окружность
X1 = b × cos α
Y1 = b × sin α
Большая окружность
X2 = a × cos α
Y2 = a × sin α
Таблица 1. Координаты точек пересечения прямой с окружностями
Нахождение зависимости
Используя уравнение (1) посчитаем координаты точки на эллипсе [X’;Y’] для угла α. Проведем прямую из центра [X0;Y0] в точку [X’;Y’]. Угол β – угол между этой прямой и осью X.
Задача сводится к тому, чтобы найти такой α, при котором β был бы равен интересующему нас углу. Таким образом, угол α будет являться параметром в уравнении (1) для требуемого угла β.
Найдем зависимость между получившимся углом β и углом α. На рисунке видно, что прилегающий к углу катет (синий) равен ранее рассчитанному X2, а противолежащий (зеленый) равен Y1:
X’ = X2 = a × cos α
Y’ = Y1 = b × sin α
Опыт показывает, что тут зачастую возникает легкий ступор. Возможно, рисунок вводит в некое заблуждение. Видим треугольник, и если с синим катетом вопросов нет, то с зеленым — масса. Почему синус от α? Угол «вона где», тут синус вообще не от того угла и т.д.
Смотрим на пересечение прямой и малой (зеленой) окружности. Зеленый катет прилетает именно оттуда. Именно так координату Y’ и рассчитывали, согласно уравнению(1). Рисунок — это иллюстрация, не метод решения.
Тангенс угла β в этом случае равен:
(3) Тангенс угла β
Используя формулу тангенса произведем дальнейшие преобразования:
(4) Зависимость тангенса α от тангенса β
Таким образом, видим прямую зависимость угла α, который нужен нам в качестве параметра в уравнении(1), от угла β, координаты точки от которого хотим получить.
Нахождение координат
Угол α находим через арктангенс. В Delphi (и не только) для этих целей используется функция ArcTan2 из модуля math. Она корректно возвращает знак ± угла в зависимости от квадранта, а также предусмотрительно нечувствительна к возможным коллизиям, типа деления на 0.
Находим синус и косинус от требуемого угла β и подставляем в параметры функции ArcTan2, согласно последней формуле (4):
Ellipse Calculator
This calculator will find either the equation of the ellipse from the given parameters or the center, foci, vertices, co-vertices, (semi)major axis length, (semi)minor axis length, area, circumference, latera recta, length of the latera recta, focal parameter, focal length (distance), eccentricity, linear eccentricity, directrices, x-intercepts, y-intercepts, domain, and range of the entered ellipse. Also, it will graph the ellipse. Steps are available.
Your Input
Find the center, foci, vertices, co-vertices, major axis length, semi-major axis length, minor axis length, semi-minor axis length, area, circumference, latera recta, length of the latera recta, focal parameter, focal length, eccentricity, linear eccentricity, directrices, x-intercepts, y-intercepts, domain, and range of the ellipse $$$ 4 x^ <2>+ 9 y^ <2>= 36 $$$ .
Solution
The equation of an ellipse is $$$ \frac<\left(x - h\right)^<2>>> + \frac<\left(y - k\right)^<2>>> = 1 $$$ , where $$$ \left(h, k\right) $$$ is the center, $$$ a $$$ and $$$ b $$$ are the lengths of the semi-major and the semi-minor axes.
Thus, $$$ h = 0 $$$ , $$$ k = 0 $$$ , $$$ a = 3 $$$ , $$$ b = 2 $$$ .
The vertex form is $$$ \frac> <9>+ \frac> <4>= 1 $$$ .
The general form is $$$ 4 x^ <2>+ 9 y^ <2>— 36 = 0 $$$ .
The linear eccentricity is $$$ c = \sqrt — b^<2>> = \sqrt <5>$$$ .
The first focus is $$$ \left(h — c, k\right) = \left(- \sqrt<5>, 0\right) $$$ .
The second focus is $$$ \left(h + c, k\right) = \left(\sqrt<5>, 0\right) $$$ .
The first vertex is $$$ \left(h — a, k\right) = \left(-3, 0\right) $$$ .
The second vertex is $$$ \left(h + a, k\right) = \left(3, 0\right) $$$ .
The first co-vertex is $$$ \left(h, k — b\right) = \left(0, -2\right) $$$ .
The second co-vertex is $$$ \left(h, k + b\right) = \left(0, 2\right) $$$ .
The length of the major axis is $$$ 2 a = 6 $$$ .
The length of the minor axis is $$$ 2 b = 4 $$$ .
The area is $$$ \pi a b = 6 \pi $$$ .
The circumference is $$$ 4 a E\left(\frac<\pi><2>\middle| e^<2>\right) = 12 E\left(\frac<5><9>\right) $$$ .
The focal parameter is the distance between the focus and the directrix: $$$ \frac> = \frac<4 \sqrt<5>> <5>$$$ .
The latera recta are the lines parallel to the minor axis that pass through the foci.
The first latus rectum is $$$ x = — \sqrt <5>$$$ .
The second latus rectum is $$$ x = \sqrt <5>$$$ .
The length of the latera recta is $$$ \frac<2 b^<2>>> = \frac<8> <3>$$$ .
The first directrix is $$$ x = h — \frac> = — \frac<9 \sqrt<5>> <5>$$$ .
The second directrix is $$$ x = h + \frac> = \frac<9 \sqrt<5>> <5>$$$ .
The x-intercepts can be found by setting $$$ y = 0 $$$ in the equation and solving for $$$ x $$$ (for steps, see intercepts calculator).
