Поверхности второго порядка. Поверхности вращения.
Поверхность S называется поверхностью вращения вокруг оси OZ, если для любой точки M0(x0,y0,z0)
этой поверхности окружность, проходящая через эту точку в плоскости z=z0 с центром в (0,0,z0) и радиусом
, целиком принадлежит этой поверхности.
Теорема (об уравнении поверхности вращения).
Если в некоторой декартовой прямоугольной системе координат поверхность S задана уравнением
F(x 2 +y 2 ,z)=0, то S — поверхность вращения вокруг оси OZ.
Эллипсоид:
Мнимый эллипсоид.
где a > 0, b > 0, c > 0. Эта поверхность не имеет ни одной вещественной точки.
Свойства эллипсоида.
1. Эллипсоид – ограниченная поверхность, поскольку из его уравнения следует, что
2. Эллипсоид обладает:
- центральной симметрией относительно начала координат,
- осевой симметрией относительно координатных осей,
- плоскостной симметрией относительно начала координат.
3. В сечении эллипсоида плоскостью, перпендикулярной любой из координатных осей, получается
Однополостной гиперболоид.
Свойства однополостного гиперболоида.
1. Однополостной гиперболоид – неограниченная поверхность, поскольку из его уравнения следует, что
2. Однополостной гиперболоид обладает:
- центральной симметрией относительно начала координат,
- осевой симметрией относительно всех координатных осей,
- плоскостной симметрией относительно всех координатных плоскостей.
3. В сечении однополостного гиперболоида плоскостью, перпендикулярной оси координат Oz, получается
эллипс, а плоскостями, ортогональными осям Ox и Oy – гипербола.
Двуполостной гиперболоид.
Свойства двуполостного гиперболоида.
1. Двуполостный гиперболоид – неограниченная поверхность, поскольку из его уравнения следует,
что и неограничен сверху.
2. Двуполостный гиперболоид обладает
- центральной симметрией относительно начала координат,
- осевой симметрией относительно всех координатных осей,
- плоскостной симметрией относительно всех координатных плоскостей.
3. В сечении однополостного гиперболоида плоскостью, перпендикулярной оси координат Oz, при
получается эллипс, при – точка, а в сечении плоскостями, перпендикулярными осям
Ox и Oy, – гипербола.
В случае, если a=b≠0, перечисленные выше (эллипсоид, однополостной гиперболоид, двуполостной
гиперболоид, эллиптический параболоид) поверхности являются поверхностями вращения.
Эллиптический параболоид.
Свойства эллиптического параболоида.
1. Эллиптический параболоид – неограниченная поверхность, поскольку из его уравнения следует,
что z ≥ 0 и принимает сколь угодно большие значения.
2. Эллиптический параболоид обладает:
- осевой симметрией относительно оси Oz,
- плоскостной симметрией относительно координатных осей Oxz и Oyz.
3. В сечении эллиптического параболоида плоскостью, ортогональной оси Oz, получается эллипс, а
плоскостями, ортогональными осям Ox и Oy – парабола.
Уравнение эллиптического параболоида имеет вид:
Если a=b, то эллиптический параболоид представляет собой поверхность вращения, образованную
вращением параболы, параметр которой , вокруг вертикальной оси, проходящей через
вершину и фокус данной параболы.
Пересечение эллиптического параболоида с плоскостью z=z0>0 является эллипсом.
Пересечение эллиптического параболоида с плоскостью x=x0 или y=y0 является параболой.
Уравнение эллипсоида эллиптического параболоида гиперболического параболоида
К невырожденным поверхностям второго порядка относятся эллипсоид, эллиптический параболоид, гиперболический параболоид, однополостной гиперболоид и двуполостной гиперболоид. Строгое изучение этих поверхностей проводится в курсе аналитической геометрии. Здесь же мы ограничимся определениями и иллюстрациями.
Поверхность, задаваемая в некоторой прямоугольной декартовой системе координат уравнением , , , называется эллипсоидом .
Эллипсоид – ограниченная поверхность, поскольку из его уравнения следует, что
- центральной симметрией относительно начала координат,
- осевой симметрией относительно координатных осей,
- плоскостной симметрией относительно начала координат.
В сечении эллипсоида плоскостью, перпендикулярной любой из координатных осей, получается эллипс.
Поверхность, задаваемая в некоторой прямоугольной декартовой системе координат уравнением , , называется эллиптическим параболоидом .
Свойства эллиптического параболоида.
Эллиптический параболоид – неограниченная поверхность, поскольку из его уравнения следует, что и принимает сколь угодно большие значения.
Эллиптический параболоид обладает
- осевой симметрией относительно оси ,
- плоскостной симметрией относительно координатных осей и .
В сечении эллиптического параболоида плоскостью, ортогональной оси , получается эллипс, а плоскостями, ортогональными осям и – парабола.
Поверхность, задаваемая в некоторой прямоугольной декартовой системе координат уравнением , , называется гиперболическим параболоидом .
Свойства гиперболического параболоида.
Гиперболический параболоид – неограниченная поверхность, поскольку из его уравнения следует, что – любое число.
Гиперболический параболоид обладает
- осевой симметрией относительно оси ,
- плоскостной симметрией относительно координатных плоскостей и .
В сечении гиперболического параболоида плоскостью, ортогональной оси координат , получается гипербола, а плоскостями, ортогональными осям и , – парабола.
Гиперболический параболоид может быть получен поступательным перемещением в пространстве параболы так, что ее вершина перемещается вдоль другой параболы, ось которой параллельна оси первой параболы, а ветви направлены противоположно, причем их плоскости взаимно перпендикулярны.
Поверхность, задаваемая в некоторой прямоугольной декартовой системе координат уравнением , , , называется однополостным гиперболоидом .
Свойства однополостного гиперболоида.
Однополостной гиперболоид – неограниченная поверхность, поскольку из его уравнения следует, что – любое число.
Однополостной гиперболоид обладает
- центральной симметрией относительно начала координат,
- осевой симметрией относительно всех координатных осей,
- плоскостной симметрией относительно всех координатных плоскостей.
В сечении однополостного гиперболоида плоскостью, перпендикулярной оси координат , получается эллипс, а плоскостями, ортогональными осям и – гипербола.
Поверхность, задаваемая в некоторой прямоугольной декартовой системе координат уравнением , , , называется двуполостным гиперболоидом .
Свойства двуполостного гиперболоида.
Двуполостный гиперболоид – неограниченная поверхность, поскольку из его уравнения следует, что и неограничен сверху.
Двуполостный гиперболоид обладает
- центральной симметрией относительно начала координат,
- осевой симметрией относительно всех координатных осей,
- плоскостной симметрией относительно всех координатных плоскостей.
В сечении однополостного гиперболоида плоскостью, перпендикулярной оси координат , при получается эллипс, при – точка, а в сечении плоскостями, перпендикулярными осям и , – гипербола.
По аналогии с коническими сечениями существуют и вырожденные поверхности второго порядка. Так, уравнением второго порядка описывается пара совпадающих плоскостей, уравнением – пара параллельных плоскостей, уравнением – пара пересекающихся плоскостей. Уравнение описывает точку с координатами (0; 0; 0), уравнение – круговой цилиндр, уравнение – круговой конус. Существуют и другие вырожденные случаи. Полная теория поверхностей второго порядка рассматривается в курсе аналитической геометрии.
Поверхности второго порядка
Поверхности вращения.
Поверхность \(S\) называется поверхностью вращения с осью \(d\), если она составлена из окружностей, которые имеют центры на прямой \(d\) и лежат в плоскостях, перпендикулярных данной прямой.
Рассмотрим линию \(L\), которая лежит в плоскости \(P\), проходящей через ось вращения \(d\) (рис. 43), и будем вращать ее вокруг этой оси. Каждая точка линии опишет окружность, а вся линия — поверхность вращения.
Рис. 10.1. Поверхность вращения.
Выберем начало декартовой прямоугольной системы координат \(O, \boldsymbol
Рассмотрим точку \(M(x, y, z)\). Через нее проходит окружность, которая имеет центр на оси \(d\) и лежит в плоскости, перпендикулярной этой оси. Радиус окружности равен расстоянию от \(M\) до оси, то есть \(\sqrt
Точка \(M_<1>(x_<1>, y_<1>, z_<1>)\) лежит в плоскости \(P\), и потому \(y_<1>=0\). Кроме того, \(z_<1>=z\) и \(|x|=\sqrt
$$
f\left(\pm \sqrt
$$
должно быть выполнено хотя бы при одном из двух знаков перед корнем. Это условие, которое можно записать также в виде
$$
f\left(\sqrt
$$
и является уравнением поверхности вращения линии \(L\) вокруг оси \(d\).
Эллипсоид.
Рассмотрим поверхности, которые получаются при вращении эллипса вокруг его осей симметрии. Направив вектор \(\boldsymbol
$$
\frac
$$
(Здесь через \(c\) обозначена малая полуось эллипса.) В силу формулы \eqref
$$
\frac
$$
Поверхности с такими уравнениями называются соответственно сжатым и вытянутым эллипсоидами вращения (рис. 10.2).
Рис. 10.2. Сжатый (а) и вытянутый (б) эллипсоиды вращения.
Каждую точку \(M(x, y, z)\) на сжатом эллипсоиде вращения сдвинем к плоскости \(y=0\) так, чтобы расстояние от точки до этой плоскости уменьшилось в постоянном для всех точек отношении \(\lambda Рис. 10.3. Эллипсоид.
Эллипсоид так же, как и эллипсоид вращения, из которого он получен, представляет собой замкнутую ограниченную поверхность. Из уравнения \eqref
Эллипсоид можно получить из сферы \(x^<2>+y^<2>+z^<2>=a^<2>\) сжатиями к плоскостям \(y=0\) и \(z=0\) в отношениях \(\lambda=b/a\) и \(\mu=c/a\).
В этой статье нам часто придется прибегать к сжатию, и мы не будем его каждый раз описывать столь подробно.
Конус второго порядка.
Рассмотрим на плоскости \(P\) пару пересекающихся прямых, задаваемую в системе координат \(O, \boldsymbol
$$
a^<2>(x^<2>+y^<2>)-c^<2>z^<2>=0\label
$$
и носит название прямого кругового конуса (рис. 10.4). Сжатие к плоскости \(y=0\) переводит прямой круговой конус в поверхность с уравнением
$$
a^<2>x^<2>+b^<2>y^<2>-c^<2>z^<2>=0\label
$$
называемую конусом второго порядка.
Обратите внимание на то, что левая часть уравнения \eqref
Рис. 10.4. Прямой круговой конус.
Однополостный гиперболоид.
Однополостный гиперболоид вращения — это поверхность вращения гиперболы
$$
\frac
$$
вокруг той оси, которая ее не пересекает. По формуле \eqref
$$
\frac
$$
Рис. 10.5. Однополостный гиперболоид вращения.
В результате сжатия однополостного гиперболоида вращения к плоскости \(y=0\) мы получаем однополостный гиперболоид с уравнением
$$
\frac
$$
Интересное свойство однополостного гиперболоида — наличие у него прямолинейных образующих. Так называются прямые линии, всеми своими точками лежащие на поверхности. Через каждую точку однополостного гиперболоида проходят две прямолинейные образующие, уравнения которых можно получить следующим образом.
Покажем на примере, как найти образующие, проходящие через данную точку поверхности. Рассмотрим поверхность \(x^<2>+y^<2>-z^<2>=0\) и точку \(M_<0>(1, 1, 1)\) на ней. Подставляя координаты \(M_<0>\) в уравнения \eqref
$$
x+z=1+y,\ x-z=1-y.\nonumber
$$
Она проходит через \(M_<0>\), так как \(\lambda\) и \(\mu\) так и выбирались, чтобы координаты \(M_<0>\) удовлетворяли этой системе. Аналогично, подставляя координаты \(M_<0>\) в (10), находим условия на \(\lambda’\) и \(\mu’\): \(2\mu’=0\) и \(2\mu’=0\). Коэффициент \(\lambda’\) можно взять любым ненулевым, и мы приходим к уравнению второй образующей: \(x=z\), \(y=1\).
Если вместе с гиперболой мы будем вращать ее асимптоты, то они опишут прямой круговой конус, называемый асимптотическим конусом гиперболоида вращения. При сжатии гиперболоида вращения его асимптотический конус сжимается в асимптотический конус общего однополостного гиперболоида.
Двуполостный гиперболоид.
Двуполостный гиперболоид вращения — это поверхность, получаемая вращением гиперболы
$$
\frac
$$
вокруг той оси, которая ее пересекает. По формуле \eqref
$$
\frac
$$
В результате сжатия этой поверхности к плоскости у=0 получается поверхность с уравнением
$$
\frac
$$
Поверхность, которая в некоторой декартовой прямоугольной системе координат имеет уравнение вида \eqref
Асимптотический конус двуполостного гиперболоида определяется так же, как и для однополостного.
Рис. 10.6. Двуполостный гиперболоид вращения.
Эллиптический параболоид.
Вращая параболу \(x^<2>=2pz\) вокруг ее оси симметрии, мы получаем поверхность с уравнением
$$
x^<2>+y^<2>=2pz.\label
$$
Она называется параболоидом вращения. Сжатие к плоскости \(y=0\) переводит параболоид вращения в поверхность, уравнение которой приводится к виду
$$
\frac
$$
Поверхность, которая имеет такое уравнение в некоторой декартовой прямоугольной системе координат, называется эллиптическим параболоидом (рис. 10.7).
Рис. 10.7. Эллиптический параболоид.
Гиперболический параболоид.
По аналогии с уравнением \eqref
$$
\frac
$$
Поверхность, которая имеет уравнение вида \eqref
Исследуем форму этой поверхности. Для этого рассмотрим ее сечение плоскостью \(x=\alpha\) при произвольном \(\alpha\). В этой плоскости выберем декартову прямоугольную систему координат \(O’, \boldsymbol
$$
-\frac
$$
Эта линия — парабола, в чем легко убедиться, перенеся начало координат в точку \(O″\) с координатами \((0, \alpha^<2>/(2a^<2>))\). (Координаты этой точки относительно исходной системы координат \(O, \boldsymbol
Точка \(O″\), очевидно, является вершиной параболы, ось параболы параллельна вектору \(\boldsymbol
Будем теперь менять величину \(\alpha\) и проследим за перемещением вершины параболы \(O″\) в зависимости от \(\alpha\). Из приведенных выше координат точки \(O″\) следует, что эта точка перемещается по линии с уравнениями
$$
z=\frac
$$
в системе координат \(O, \boldsymbol
Теперь мы можем построить гиперболический параболоид следующим образом: зададим две параболы и будем перемещать одну из них так, чтобы ее вершина скользила по другой, оси парабол были параллельны, параболы лежали во взаимно перпендикулярных плоскостях и ветви их были направлены в противоположные стороны.
При таком перемещении подвижная парабола описывает гиперболический параболоид (рис. 10.8).
Рис. 10.8. Гиперболический параболоид. \(OB\) — неподвижная парабола, \(KLM,\ NOP,\ QRS\) — положения подвижной параболы.
Сечения гиперболического параболоида плоскостями с уравнениями \(z=\alpha\) при всевозможных \(\alpha\) — гиперболы. Эти сечения нарисованы на рис. 10.9.
Рис. 10.9. Сечения гиперболического параболоида
Выводятся эти уравнения так же, как и уравнения прямолинейных образующих однополостного гиперболоида.
Рис. 10.10. Прямолинейные образующие гиперболического параболоида
http://mathematics.ru/courses/stereometry/content/chapter5/section/paragraph7/theory.html
http://univerlib.com/analytic_geometry/second_order_lines_and_surfaces/second_order_surfaces/