Уравнение эллипсоида с центром в начале координат

Уравнение эллипсоида с центром в начале координат

Глава 46. Поверхности второго порядка

Эллипсоидом называется поверхность, которая в некоторой системе декартовых прямоугольных координат определяется уравнением

(1).

Уравнение (1) называется каноническим уравнением эллипсоида. Величины a, b, c суть полуоси эллипсоида (рис. 1). Если все они различны, эллипсоид называется трехосным; в случае, когда какие-нибудь две из них одинаковы, эллипсоид называется вытянутым, при a=b>c — сжатым. В случае, когда a=b=c , эллипсоид представляет собой сферу.

Гиперболоидами называются поверхности, которые в некоторой системе декартовых прямоугольных координат определяются уравнениями

, (2)

. (3)

Гиперболоид, определяемый уравнением (2), называется однополостным (рис. 2); гиперболоид, определяемый уравнением (3), — двуполостным (рис. 3); уравнения (2) и (3) называются каноническими уравнениями соответствующих гиперболоидов. Величины a, b, c называются полуосями гиперболоида. В случае однополостного гиперболоида, заданного уравнением (2), только первые из них (а и b ) показаны на рис. 2. В случае двуполостного гиперболоида, заданного уравнением (3), одна из них (именно, с) показана на рис. 3. Гиперболоиды, определяемые уравнениями (2) и (3), при a=b являются поверхностями вращения.

Параболоидами называются поверхности, которые в некоторой системе декартовых прямоугольных координат определяются уравнениями

, (4)

, (5)

где p и q — положительные числа, называемые параметрами параболоида. Параболоид, определяемый уравнением (4), называется эллиптическим (рис. 4); параболоид, определяемый уравнением (5), — гиперболическим (рис. 5). Уравнения (4) и (5) называют каноническими уравнениями соответствующих параболоидов. В случае, когда p=q , параболоид, определяемый уравнением (4), является поверхностью вращения (вокруг Oz).

Рассмотрим теперь преобразование пространства, которое называется равномерным сжатием (или равномерным растяжением).

Выберем какую-нибудь плоскость; обозначим ее буквой . Зададим, кроме того, некоторое положительное число q . Пусть М — произвольная точка пространства, не лежащая на плоскости , — основание перпендикуляра, опущенного на плоскость из точки М. Переместим точку М по прямой в новое положение так, чтобы имело место равенство

и чтобы после перемещения точка осталась с той же стороны от плоскости , где она была первоначально (рис. 6). Точно так же мы поступим со всеми точками пространства, не лежащими на плоскости ; точки, которые расположены на плоскости , оставим на своих местах. Таким образом, все точки пространства, за исключением тех, что лежат на плоскости , переместятся; при этом расстояние от каждой точки до плоскости изменится в некоторое определенное число раз, общее для всех точек. Описываемое сейчас перемещение точек пространства называется его равномерным сжатием к плоскости ; число q носит название коэффициента сжатия.

Пусть дана некоторая поверхность F ; при равномерном сжатии пространства точки, которые ее составляют, переместятся и в новых положениях сотавят поверхность F ’. Будем говорить, что поверхность F ’ получено из F в результате равномерного сжатия пространства. Оказывается, что многие поверхности второго порядка (все, кроме гиперболического параболоида) можно получить в результате равномерного сжатия из поверхностей вращения).

ПРИМЕР. Доказать, что произвольный трехосный эллипсоид

может быть получен из сферы

в результате двух последовательных равномерных сжатий пространства к координатным плоскостям: к плоскости Oxy с коэффициентом сжатия и к плоскости Oxz с коэффициентом сжатия .

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Пусть производится равномерное сжатие пространства к плоскости Oxy с коэффициентом и пусть — точка, в которую переходит при этом точка . Выразим координаты x’, y’, z ’ точки М’ через координаты x, y, z точки М. Так как прямая MM ’ перпендикулярна к плоскости Oxy , то x’=x, y’=y . С другой стороны, так как расстояние от точки М’ до плоскости Oxy равно расстоянию от точки М до этой плоскости, умноженному на число , то .

Таким образом, мы получаем искомые выражения:

, , (6)

, , (7)

Предположим, что M(x; y; z ) — произвольная точка сферы

.

Заменим здесь x, y, z их выражениями (7); получим

,

.

Следовательно, точка M’(x’; y’; z ’) лежит на эллипсоиде вращения. Аналогично, мы должны осуществить сжатие пространства к плоскости Oxz по формулам

, , ;

тогда получим трехосный эллипсоид и именно тот, уравнение которого дано в условии задачи.

Отметим еще, что однополостный гиперболоид и гиперболический параболоид суть линейчатые поверхности, то есть они состоят из прямых; эти прямые называются прямолинейными образующими указанных поверхностей.

имеет две системы прямолинейных образующих, которые определяются уравнениями:

, ;

, ,

где и — некоторые числа, не равные одновременно нулю. Гиперболический параболоид

также имеет две системы прямолинейных образующих, которые определяются уравнениями

, ;

, .

Конической поверхностью, или конусом, называется поверхность, которая описывается движущейся прямой (образующей) при условии, что эта прямая проходит через постоянную точку S и пересекает некоторую определенную линию L . Точка S называется вершиной конуса; линия L — направляющей.

Цилиндрической поверхностью, или цилиндром, называется поверхность, которая описывается движущейся прямой (образующей) при услвоии, что эта прямая имеет постоянное направление и пересекает некоторую определенную линию L (направляющую).

Эллипсоиды

Определение эллипсоида

Эллипсоидом называется поверхность, определяемая в некоторой прямоугольной системе координат каноническим уравнением

где — положительные параметры, удовлетворяющие неравенствам .

Если точка принадлежит эллипсоиду (4.46), то координаты точек при любом выборе знаков также удовлетворяют уравнению (4.46). Поэтому эллипсоид (4.46) симметричен относительно координатных плоскостей, координатных осей и начала координат. Начало координат называют центром эллипсоида (4.46). Шесть точек пересечения эллипсоида с координатными осями называются его вершинами, а три отрезка координатных осей, соединяющих вершины, — осями эллипсоида. Оси эллипсоида, принадлежащие координатным осям , имеют длины соответственно. Если b>c» png;base64,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» />, то число называется большой полуосью, число — средней полуосью, число — малой полуосью эллипсоида. Если полуоси не удовлетворяют условиям , то уравнение (4.46) не является каноническим. Однако при помощи переименования неизвестных можно всегда добиться выполнения неравенств .

Плоские сечения эллипсоида

Подставляя в уравнение (4.46), получаем уравнение линии пересечения эллипсоида с координатной плоскостью . Это уравнение в плоскости определяет эллипс Линии пересечения эллипсоида с другими координатными плоскостями также являются эллипсами. Они называются главными сечениями (главными эллипсами) эллипсоида.

Рассмотрим теперь сечение эллипсоида плоскостью, параллельной какой-нибудь координатной плоскости, например . Подставляя , где — произвольная постоянная (параметр), в уравнение (4.46), получаем

При c» png;base64,iVBORw0KGgoAAAANSUhEUgAAADoAAAAVBAMAAADlb+D4AAAAKlBMVEVHcEwAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAHrpZrAAAADnRSTlMAg0KoBP0QXdEhwHEx4v6hyb4AAADaSURBVCjPY2DAD/ZAae4D2GSFGBiqlgNpRgUcsofD8ckyh+GT5W2Ay1piyk4VgMtOXoQhW1q9WAFm8uTlMAn2VWZgWdMm5gtweye3Q2i25mkXwbJXJzDGIFyVCJHOaGAMBMlyBjIwByC5OfEiiBQtYFMAybKHM7AaIMmmN4LIUKirgN49ugHJ5O4EEBUFleVtYBHNMYDJToS6KpiBgRMkmyrAsIL5AMxHUEkGCwY2c5CsqgLDXnOM0MhaaAx2FQ/QjASILJsRIpiSEiBhBQY4Y4Fs2U2wlINFFgCrpSqpbSiUhgAAAABJRU5ErkJggg==» style=»vertical-align: middle;» /> уравнение не имеет действительных решений (правая часть уравнения отрицательная, а левая неотрицательная), т.е. плоскость не пересекает эллипсоид. При уравнение (4.47) имеет нулевое решение . Следовательно, плоскости касаются эллипсоида в его вершинах . При , разделив обе части уравнения (4.47) на 0″ png;base64,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» style=»vertical-align: middle;» />, получаем уравнение эллипса полуосями . Следовательно, сечение эллипсоида плоскостью при представляет собой эллипс.

Плоские сечения дают возможность составить полное представление о виде эллипсоида (рис.4.40,а).

Эллипсоиды вращения

Эллипсоид, у которого две полуоси равны, называется эллипсоидом вращения (или сфероидом ). Такой эллипсоид является поверхностью вращения. Например, если , то линии (4.47) при являются окружностями. Следовательно, сечения эллипсоида плоскостями представляют собой окружности с центрами на оси аппликат. Такую поверхность можно получить, вращая вокруг оси эллипс заданный в плоскости (рис.4.41,а).

Если , то все сечения эллипсоида (4.46) плоскостями при эллипс (рис.4.41,б).

Если все полуоси эллипсоида равны , то он представляет собой сферу радиуса , которую можно получить, например, вращая окружность такого же радиуса вокруг любого диаметра.

Эллипсоид, у которого полуоси попарно различны b>c)» png;base64,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» style=»vertical-align: middle;» />, называется трехосным (или общим).

1. Плоскости определяют в пространстве основной прямоугольный параллелепипед , внутри которого находится эллипсоид (см. рис.4.40,б). Грани параллелепипеда касаются эллипсоида в его вершинах.

2. Эллипсоид можно определить, как геометрическое место точек, получаемое в результате трех сжатий (растяжений) сферы единичного радиуса к трем взаимно перпендикулярным плоскостям.

3. Начало канонической системы координат является центром симметрии эллипсоида, координатные оси — осями симметрии эллипсоида, координатные плоскости — плоскостями симметрии эллипсоида.

В самом деле, если точка принадлежит эллипсоиду, то точки с координатами при любом выборе знаков также принадлежат эллипсоиду, поскольку их координаты удовлетворяют уравнению (4.46).

Эллипсоид: характеристики и примеры

Эллипсоид: характеристики и примеры — Наука

Содержание:

В эллипсоид — поверхность в пространстве, принадлежащая к группе квадратичных поверхностей, общее уравнение которой имеет вид:

Топор 2 + Автор 2 + Cz 2 + Dxy + Exz + Fyz + Gx + Hy + Iz + J = 0

Это трехмерный эквивалент эллипса, для которого в некоторых особых случаях характерны эллиптические и круговые следы. Следы — это кривые, полученные пересечением эллипсоида плоскостью.

Помимо эллипсоида, есть еще пять квадрик: одностворчатый и двухлистный гиперболоид, два типа параболоида (гиперболический и эллиптический) и эллиптический конус. Его следы также имеют коническую форму.

Эллипсоид также можно выразить стандартным уравнением в декартовых координатах. Эллипсоид с центром в начале координат (0,0,0), выраженный таким образом, напоминает эллипс, но с дополнительным членом:

Ценности к, б Y c являются действительными числами больше 0 и представляют три полуоси эллипсоида.

Характеристики эллипсоида

— Стандартное уравнение

Стандартное уравнение в декартовых координатах для эллипса с центром в точке (ч, к, м) это:

— Параметрические уравнения эллипсоида

В сферических координатах эллипсоид можно описать следующим образом:

х = грех θ. cos φ

у = б грех θ. сен φ

Полуоси эллипсоида остаются a, b и c, а параметрами являются углы θ и φ на следующем рисунке:

— Следы эллипсоида

Общее уравнение поверхности в пространстве: F (x, y, z) = 0, а следы поверхности — это кривые:

— х = с; F (c, y, z) = 0

— у = с; F (х, с, z) = 0

— z = c; F (х, у, с) = 0

В случае эллипсоида такие кривые представляют собой эллипсы, а иногда и окружности.

— Объем

Объем V эллипсоида равен (4/3) π умноженным на произведение трех его полуосей:

Частные случаи эллипсоида

-Эллипсоид становится сферой, когда все полуоси имеют одинаковый размер: a = b = c ≠ 0. Это имеет смысл, поскольку эллипсоид подобен сфере, которая была растянута по-разному вдоль каждой оси. ось.

-Сфероид представляет собой эллипсоид, в котором две полуоси идентичны, а третья другая, например, это может быть a = b ≠ c.

Сфероид также называют эллипсоидом вращения, потому что он может быть образован вращением эллипсов вокруг оси.

Если ось вращения совпадает с большой осью, сфероид имеет вид вытянутый, но если он совпадает с малой осью, он сплюснутый:

Мера уплощения сфероида (эллиптичность) определяется разницей в длине между двумя полуосями, выраженной в дробной форме, то есть это единица сплющивания, определяемая как:

В этом уравнении a представляет большую полуось, а b — малую ось, помните, что третья ось равна одной из них для сфероида. Значение f находится в диапазоне от 0 до 1, а для сфероида оно должно быть больше 0 (если бы оно было равно 0, у нас была бы просто сфера).

Справочный эллипсоид

Планеты и звезды в целом обычно не являются идеальными сферами, потому что вращательное движение вокруг их осей сглаживает тело на полюсах и выпячивает его на экваторе.

Вот почему Земля похожа на сплюснутый сфероид, хотя и не такой преувеличенный, как на предыдущем рисунке, а газовый гигант Сатурн со своей стороны является самой плоской из планет Солнечной системы.

Таким образом, более реалистичный способ представить планеты — это предположить, что они похожи на сфероид или эллипсоид вращения, большая полуось которого соответствует экваториальному радиусу, а малая полуось — полярному радиусу.

Тщательные измерения, сделанные на земном шаре, позволили построитьопорный эллипсоид Земли как наиболее точный способ математической работы.

Звезды также имеют вращательные движения, которые придают им более или менее уплощенные формы. Быстрая звезда Ахернар, восьмая по яркости звезда на ночном небе, в южном созвездии Эридана, имеет удивительно эллиптическую форму по сравнению с большинством из них. Это 144 световых года от нас.

С другой стороны, несколько лет назад ученые обнаружили самый сферический объект из когда-либо обнаруженных: звезду Кеплер 11145123, находящуюся на расстоянии 5000 световых лет, в два раза больше нашего Солнца и с разницей между полуосями всего в 3 км. Как и ожидалось, он тоже медленнее вращается.

Что касается Земли, то она не является идеальным сфероидом из-за неровной поверхности и местных изменений силы тяжести. По этой причине доступно более одного эталонного сфероида, и на каждом сайте выбирается наиболее подходящий для местной географии.

Помощь спутников неоценима в создании все более точных моделей формы Земли, благодаря которым известно, например, что южный полюс ближе к экватору, чем северный полюс.

Числовой пример

Из-за вращения Земли создается центробежная сила, которая придает ей форму продолговатого эллипсоида, а не сферы. Известно, что экваториальный радиус Земли составляет 3963 мили, а полярный радиус — 3942 мили.

Найдите уравнение экваториального следа этого эллипсоида и меру его уплощения. Также сравните с эллиптичностью Сатурна, с данными, приведенными ниже:

Экваториальный радиус Сатурна: 60 ​​268 км

-Полярный радиус Сатурна: 54,364 км

Решение

Требуется система координат, центр которой мы будем считать центрированной в начале координат (центре Земли). Предположим, что вертикальная ось z и след, соответствующий экватору, лежит в плоскости xy, эквивалентной плоскости z = 0.

В экваториальной плоскости полуоси a и b равны, поэтому a = b = 3963 мили, а c = 3942 мили. Это особый случай: сфероид с центром в точке (0,0,0), как упоминалось выше.

Экваториальный след представляет собой круг радиусом R = 3963 мили с центром в начале координат. Он рассчитывается путем принятия z = 0 в стандартном уравнении:

А стандартное уравнение земного эллипсоида:

F_Земля = (a — b) / a = (3963-3942) миль / 3963 мили = 0,0053

F _Сатурн = (60268-54363) км / 60268 км = 0,0980

Отметим, что эллиптичность f — безразмерная величина.

Ссылки

1. ArcGIS for Desktop. Сфероиды и сферы. Получено с: desktop.arcgis.com.
2. BBC World. Тайна самого сферического объекта, когда-либо обнаруженного во Вселенной. Получено с: bbc.com.
3. Ларсон Р. Исчисление и аналитическая геометрия. Издание шестое. Том 2. Макгроу Хилл.
4. Википедия. Эллипсоид. Получено с: en.wikipedia.org.
5. Википедия. Сфероид. Получено с: en.wikipedia.org.

Как мотивировать команду на работе: 8 советов

Призма семиугольная: характеристики, объем, площадь