Уравнение энергии для ламинарного пограничного слоя сжимаемого газа

Дифференциальные уравнения сжимаемого ламинарного пограничного слоя

Дифференциальные уравнения сжимаемого ламинарного пограничного слоя

• Для исследования процессов теплообмена не только на средних скоростях, но и в высокоскоростных потоках газа используется метод теории пограничного слоя(Глава 7). Таким же образом выводится система уравнений плоского (2-D) сжимаемого пограничного слоя (где плотность p-переменная). На основе анализа порядка величин из несжатых (p = const) (VI1-10) и (VII-316) уравнений (P-25 и P-26) и энергии (XI-16) получены следующие уравнения для сжимаемого пограничного слоя: уравнение движения для проекции на ось x (Си-17） проекция на ось Y Для сжимаемых 2D пограничных слоев уравнение неразрывности имеет следующий вид: д(Ри> х).?(П * М ДХ делать.

Уравнение энергии (Х1-18） сделайте dh. Необходимо добавить уравнение состояния в систему уравнений пограничного слоя. Для идеального газа форма (P-37) p = pRT. Теплоемкость c, коэффициент вязкости p и теплопроводность 1 зависят от температуры, поэтому вы должны знать следующее: Зависимости： с = с(7>、 Ч = Ч («1 = 1 (Д). (Си-20） Добавление граничных условий Γ к системе уравнений (XI-17, X1-18, XI-19, XI-20) и (П-37) дает замкнутую систему. Из 8 уравнений с 8 неизвестными.

Значимость этого уравнения (и его более общих вариантов) состоит в том, что оно представляет собой тот фундамент, на котором базируется весь математический аппарат. Людмила Фирмаль

Отметим еще одну важную особенность быстрого течения: абсолютная температура T должна содержаться в уравнении энергии пограничного слоя (XI-I9), а не в разнице температур F. Для умеренных скоростей течения(см. VI1-316) плотность p и физические константы p,1, c зависят от абсолютной температуры. Для дальнейшей работы требуется уравнение энергии для пограничного слоя иной формы, чем (XI-19). чтобы получить его, умножьте уравнение (X1-17) на скорость wₓ и добавьте результат к уравнению (XI-19 (Си-21） .

Полученное уравнение описывается для параметров пограничного слоя, а значения в скобках слева от него представляют температуру торможения пограничного слоя (см. уравнение XI-13). Учитывая X =и соотношение (XI-13), и игнорируя температурную зависимость числа растений, формула (XI-21) выражается в виде: Если Pr = 1, получим следующее ⁼⁽ХЬ23⁾ В результате исследования установлено, что если предположить, что ПР-1 в любой точке изолированной поверхности тела очищается высокоскоростным газовым потоком, то возникает застойная температура т0 (XI-13), причем не при понижающей температуре Тᵣ(X1-14), а при действительном состоянии ПР-1.

Поэтому предположение Pr = 1 значительно упрощает физическую ситуацию пограничного слоя. Поэтому именно формула (XI-23) выражает эту ситуацию. Необходимо обратить внимание на следующую ситуацию: уравнение энергии высокоскоростного потока (XI-23) может быть получено из уравнения энергии среднескоростного потока(VI1-36). в последнем избыточная температура O заменяется абсолютной температурой торможения TQ.

Очевидно, что этот факт очень важен в том смысле, что результат решения уравнения энергии потока средней скорости может быть расширен в случае быстрого течения, когда температура Φ заменяется на To на всех этапах решения. Конкретное решение уравнения энергии пограничного слоя при Pr = 1 Для уравнения энергии (XI-23) конкретное решение было найдено в виде[102） Т₀ = пост+ ^-= Конст. (Си-24） 2 воды Если сопротивление через пограничный слой не изменяет температуру, то выполняется уравнение энергии (XI-23).

Найти постоянную (XI-24), исходя из температуры потенциального потока, при условии, что температура внешней кромки пограничного слоя равна = Т’ОТ, РЕЗЮМЕ (Си-25） По всей толщине пограничного слоя скорость o> x уменьшается от скорости потенциального потока Hx на внешней кромке пограничного слоя до нуля стенки (^ I | y = o = 0), а термодинамическая температура T возрастает(XI-24), равная теплоизоляции стенки). Итак, если Pr = 1, то температура стенки равна (Си-26） .

• Согласно закону Фурье, тепловой поток от теплопроводности пропорционален градиенту .Термодинамической temperature. In скоростной пограничный слой ламинарного течения можно найти, используя формулы (1-3) и (XI-25). Сре Ди Делать (Си-27） Из (X1-27) тепловой поток вблизи стенки (y = 0) равен нулю, так как здесь он равен 0. При 0 y 6 тепловой поток не равен нулю и направлен к внешнему краю пограничного слоя. СВ. Если > 0. Конкретное решение уравнения энергии (XI-25) позволяет проанализировать физическую ситуацию, возникающую в высокоскоростном ламинарном пограничном слое.

Однако удельное распределение скорости wx по температурам T и y неизвестно, поэтому информации, содержащейся в растворе (X1-25), недостаточно для определения теплового потока q (XI-27).Решение (XI-25) представляет собой градиент давления dr! Обратите внимание, что он действителен для любого значения DH. Конкретные решения уравнений пограничного слоя ПР = 1, др! дуплексный — ） Если температура торможения T0 и скорость wx линейно связаны, то установлено, что уравнение движения (XI-17) dr / dx = 0 и энергии (XI-23) удовлетворяют.

Из начал термодинамики следует, что полный дифференциал энтальпии имеет вид . Людмила Фирмаль

Два T₀= T + ^ =Awₓ+ B、 (ХІ-28） С. С. Где A и B-константы, определяемые с помощью границ Условие[102]. Температура и скорость линейно связаны и Pr-1, поэтому толщина динамического слоя 6 и теплового слоя D будет одинаковой. Определите константу в выражении (XI-28).Пограничный слой внешней кромке, температура потенциальный поток температуры, равной (см. диаграмму XI-2), в Т₀=Т₀>ooatwₓ=№х>₀О и То= ТВт atwₓ-0. Используя граничные условия (XI-28)、 И затем B = TW. Подставляя значения A и Bb(XI-28), получаем следующее: (Си-29） Учитывая (XI-9), мы представляем (XI-10) в виде: К ЛС… 1, г 1 _ г — — — 2 Вода КР переменного тока.

Помните » 2 Ш. сс. OI= Перепишите последнее отношение в виде (Си-30） Если сравнить (X1-28), (XI-29) и (XI-30), то можно увидеть связь между T и wₓ. Учитывая (XI-I1), можно представить (X1-31) в другом виде Т-м ^ — (т0, — JfzL МЛТ.(XI-32） Х> 2 \ МЕТЕОСВОДОК. О0 я. Теплопередача при Rg = 1, dr / dx = 0 сделайте производную Y (XI-3I)и подставьте результат в уравнение Фурье(1-3), получим уравнение теплового потока в виде: (Си-33） Здесь индекс относится к состоянию поверхности пластины. Анализируя формулу (XI-27), мы обнаружили, что в случае изолированной пластины тепловой поток направлен к внешнему краю пограничного слоя.

Однако на практике случаи неизолированных (для передачи тепла) плит встречаются очень часто. Анализируя формулу (XI-33), можно найти условия, определяющие направление теплового потока q. природа пограничного слоя такова, что условие dwjdy> 0 выполняется всегда, поэтому алгебраический код q зависит от знака квадратных скобок (XI-33). Если… (Си-34） Q имеет знак минус, и тепловой поток направлен от жидкости к стейку. Сервировочная (XI-34) тарелка называется холодной (рис. XI-3). Если… (^А) МК（-£-_ 1）、（XI-35) q имеет знак Далее тепловой поток направляется от стенки к жидкости.

Аналогии Рейнольдса Предыдущая Ч. VII,§ 6, обсуждалась гипотеза О. Рейнольдса о сходстве процессов передачи импульса и тепла в потоках несжимаемой жидкости (p = const).На этой основе были выведены формулы, определяющие коэффициент теплопередачи. Выясним, проводится ли аналогия Рейнольдса в высокоскоростном пограничном слое сжимаемого газа (переменная плотность p). Найти уравнение теплового потока с помощью (1-3) и (XI-32) Исключить из (XI-37) на основе равенства m = p В результате、 -На основании (XI-38) при 0 тепловой поток вблизи стенки равен X, OS 2-я часть уравнения (XI-39)、 ’AI press и Pr = 1 .

Согласно определению коэффициента трения, cf (VI1-25) условия свободного течения можно представить следующим образом: (Си-40） С (Си-39), коэффициент теплоотдачи а Подставьте значение (XI-40) в результирующую ratio. As итог、 При −2° ’ (Си-41） Учитывая (VI1-47), последняя формула может быть представлена следующим образом (ХІ-42） Полученное соотношение (XI-42) является математическим описанием аналогии Рейнольдса. Аналогичная зависимость была ранее получена для несжимаемых жидкостей (VI1-58). На основании (XI-42) можно утверждать, что аналогия Рейнольдса сохраняется в ламинарном пограничном слое сжимаемых жидкостей по крайней мере при Pr = 1.

Образовательный сайт для студентов и школьников

Копирование материалов сайта возможно только с указанием активной ссылки «www.lfirmal.com» в качестве источника.

© Фирмаль Людмила Анатольевна — официальный сайт преподавателя математического факультета Дальневосточного государственного физико-технического института

Анализ уравнений ламинарного пограничного слоя Текст научной статьи по специальности « Физика»

Аннотация научной статьи по физике, автор научной работы — Есьман Р. И.

Предложены методики анализа и расчета процессов ламинарного течения жидкости в пограничном слое.Представленные зависимости можно использовать для практических расчетов при движении энергоносителей различного назначения в каналах теплоэнергетических устройств.

Похожие темы научных работ по физике , автор научной работы — Есьман Р. И.

Analysis of Laminar Boundary Layer Equations

The paper proposes methodology for analysis and calculation of laminar fluid flow processes in a boundary layer.The presented dependences can be used for practical calculations while power carriers of various application are moving in the channels of heat and power devices.

Текст научной работы на тему «Анализ уравнений ламинарного пограничного слоя»

АНАЛИЗ УРАВНЕНИЙ ЛАМИНАРНОГО ПОГРАНИЧНОГО СЛОЯ

Докт. техн. наук, проф. ЕСЬМАН Р. И.

Белорусский национальный технический университет

При транспортировании жидких энергоносителей в каналах и трубопроводах значительная роль отводится структуре пограничного слоя, влияющего на интенсивность процессов тепломассообмена. Как известно, при обтекании тел с достаточно большими числами Рейнольдса влияние вязкости на характер течения проявляется только в очень тонком слое, находящемся в непосредственной близости от твердых стенок. В этом тонком слое скорость течения вырастает от нуля на стенке до своего значения во внешнем потоке, в котором течение можно рассматривать в рамках идеальной жидкости. Указанный тонкий слой называют пограничным.

обтекаемой в продольном направлении

Распределение скоростей в пограничном слое при обтекании пластины безграничным потоком показано на рис. 1. Пограничный слой зарождается у передней кромки обтекаемого тела. При удалении от передней кромки толщина пограничного слоя, которую принято обозначать через 5, постепенно растет, так как количество заторможенной жидкости увеличивается по мере удаления от передней кромки. Толщину пограничного слоя 5 можно оценить из сопоставления сил инерции и сил вязкости, которые в пограничном слое имеют одинаковый порядок. Пусть х — длина, отсчитываемая вдоль пластины, тогда градиент скорости ды/дх пропорционален П/х, где и — скорость внешнего течения. Сила инерции, отнесенная к единице объема, определяется значением ры ды/дх, следовательно, величина ее имеет порядок р¥2 /х. Удельная сила трения определяется значением дг/ду, а для ламинарного течения — величиной цд2ы/ду2, где у -нормальная к обтекаемой поверхности координата. Поскольку на толщине пограничного слоя 5 происходит изменение скорости от 0 до и, производная ды/ду имеет величину порядка П/5, а цд’ы/ду2 «цП/52. Приравнивая полученные оценки для сил, получим соотношение

из которого следует оценка толщины пограничного слоя

Толщина пограничного слоя уменьшается с ростом скорости вешнего потока и снижением его вязкости. Из (1) также следует, что для маловязких жидкостей, таких как воздух, вода, 5 0

Введем систему координат с осью х, направленной по течению вдоль поверхности тела, и осью у, перпендикулярной к оси х. Пусть имеет место ламинарный стационарный несжимаемый пограничный слой.

Упростим уравнения Навье-Стокса с учетом структуры пограничного слоя [1, 2]. Прежде всего выпишем уравнение неразрывности и оценим порядок отдельных его членов

Обозначим через Ь характерный линейный размер тела. Тогда Эм/Эх « « и^, и, поскольку порядок величин Эм/Эх и Эу/Эу одинаковой, а у «5, отсюда следует, что нормальная к поверхности скорость имеет порядок

у « — и. В силу малой толщины пограничного слоя можно считать, что

давление по толщине слоя не меняется

и распределение давления

вдоль поверхности тела определяется характером обтекания тела внешним потоком (при отсутствии отрыва пограничного слоя от поверхности). Рассмотрим уравнение количества движения в проекции на ось х

Эм Эм 1 Эр Г Э2 и Э2 иЛ

Эх Эу рЭх (Эх2 Эу

С учетом оценок величин скоростей и и V в пограничном слое можно оценить порядок отдельных членов в данном уравнении:

ди и2 ди 5Т и и2

Отсюда следует, что д2и/дХ Не можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

где То — начальная температура твердого тела.

Безразмерные комплексы Ыи = ^^ и Вi = ^^ называются соответ-

ственно числами Нуссельта и Био. Пользуясь числом Нуссельта, тепловой поток на границе жидкость — твердое тело можно представить в виде

Число Нуссельта фактически представляет собой безразмерный коэффициент теплоотдачи. Число Био характеризует относительную интенсивность нестационарного теплообмена (критерий краевого подобия).

Поскольку данные критерии Яе, Рг, Ог определяют динамические и тепловые свойства потока, очевидно, существуют функциональные зависимости, определяющие поля скорости, температуры, а также числа Нус-сельта. Последнюю зависимость можно записать в виде

КиСр = / (Ие, Рг, Ог),

где Ыиср — средний по граничной поверхности коэффициент теплоотдачи.

Зависимость теплоотдачи от числа Грасгофа уже при умеренных скоростях движения потока становится пренебрежимо малой, так как подъемные силы, обусловленные разностью температур, становятся малыми в сравнении с силами инерции и трения. Следовательно, для такого рода течений, называемых внутренними конвективными течениями:

Киср = / (Ие, Рг). (10)

Если движение жидкости обусловлено перепадом температуры, например между двумя стенками, нагретыми до разной температуры, то такое течение называется свободным и для него уравнение подобия имеет вид

Выполнен анализ структурного течения жидкостей в ламинарном пограничном слое. Предложена методика решения уравнений пограничного слоя, включающих уравнение количества движения, уравнение энергии, уравнения стационарного, несжимаемого, ламинарного пограничного слоя.

Сущность метода состоит в разделении потока жидкости на две области: пограничный слой и внешний поток. Принимая ряд допущений, можно упростить уравнение движения Навье — Стокса и уравнение энергии. Полученные после упрощения уравнения представляют собой уравнение динамического пограничного слоя и уравнение энергии теплового пограничного слоя [3]. Для решения этих уравнений используются численные методы.

Л И Т Е Р А Т У Р А

1. Е м ц е в, Б. Т. Техническая гидромеханика / Б. Т. Емцев. — М.: Машиностроение, 1987. — 440 с.

2. К у т а т е л а д з е, С. С. Основы теории теплообмена / С. С. Кутателадзе. — Новороссийск: Наука, Сибирское отд-е, 1986. — 432 с.

3. Е с ь м а н, Р. И. Научные основы организации процессов горения комбинированного многофазного органического топлива в турбулентных потоках камер сгорания сложной геометрии / Р. И. Есьман, Ю. П. Ярмольчик // Сборник научных докладов VI Международного совещания по проблемам энергоаккумулирования и экологии в машиностроении, энергетике и на транспорте. — М.: Российская академия наук, ИМАШ РАН, 2009. — С. 226-236.

Представлена кафедрой ПТЭ и Т Поступила 26.10.2011

СОВЕРШЕНСТВОВАНИЕ МЕТОДОВ АНАЛИЗА РЕСУРСОСПОСОБНОСТИ ИЗДЕЛИЙ*

Канд. техн. наук, проф. МАЛОВИК К. Н.

Севастопольский национальный университет ядерной энергии и промышленности

В современной ядерной и тепловой энергетике, нефтегазовой отрасли, промышленных комплексах металлургических и машиностроительных предприятий важное значение уделяется анализу долговечности изделий. Под изделием можно понимать, например, элементы систем и оборудования энергоблоков и конструкций АЭС, а также других объектов критического применения (ОКП).

Устойчивость течений сжимаемого газа

Целью данного курса является ознакомление студентов с основами устойчивости течений сжимаемого газа. Основное внимание уделяется хорошо известным классическим задачам устойчивости ударных волн и ламинарных пограничных слоев. Методы исследования задач курса – аналитические.

Разделы

1. Уравнения Навье-Стокса для течений сжимаемого газа. Уравнение состояния. Зависимость вязкости от температуры. Вторая вязкость.
2. Безразмерные переменные. Параметры подобия вязких сжимаемых течений.
3. Малые возмущения в однородном потоке сжимаемого газа. Звуковые, вихревые и энтропийные волны.
4. Прямой и косой скачок уплотнения. Ударная адиабата. Соотношения Рэнкина-Гюгонио.
5. Гофрировочная неустойчивость ударных волн. Спонтанное излучение звука ударной волной. Прохождение малых возмущений через скачок уплотнения. Случай политропного газа.
6. Ламинарный пограничный слой. Уравнения пограничного слоя. Автомодельные решения уравнений пограничного слоя.
7. Уравнения линейной теории устойчивости течения в сжимаемом пограничном слое. Приближение параллельного течения. Линейная теория устойчивости без учета вязкости.
8. Временная и пространственная неустойчивость. Кривая нейтральной устойчивости. Звуковая точка. Критический слой. Различные моды в гиперзвуковом пограничном слое. Понятие абсолютной и конвективной неустойчивости.
9. Влияние градиента давления, температуры поверхности. Влияние пористой стенки на устойчивость течения в гиперзвуковом пограничном слое. Вихри Гертлера. Поперечная неустойчивость.
10. Восприимчивость пограничного слоя к различным типам возмущений.

В результате освоения дисциплины «Устойчивость течений сжимаемого газа» студент должен:

Знать: уравнения Навье-Стокса для течений сжимаемого газа, параметры подобия вязких сжимаемых течений, типы и свойства малых возмущений однородного потока, соотношения Рэнкина-Гюгонио, уравнения ламинарного пограничного слоя сжимаемого газа, понятия временной и пространственной неустойчивости, понятия абсолютной и конвективной неустойчивости

Уметь: выводить уравнения пограничного слоя, ставить и решать задачи устойчивости ламинарного плоскопараллельного потока.

Владеть: навыками обезразмеривания уравнений, линеаризации уравнений

Рекомендуемая литература.

1. Гапонов С.А., Маслов А.А. Развитие возмущений в сжимаемых потоках. Новосибирск: Наука. 1980, 146 с.
2. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Гидродинамика. М.: Наука. 1986, 736 с.
3. Бетчов Р., Криминале В. Вопросы гидродинамической устойчивости. М.: Мир. 1971, 351 с.
4. Шлихтинг Г. Теория пограничного слоя. М.: Наука. 1969, 742 с.
5. Criminale W.O., Jackson T.L., Joslin R. D. Theory and Computation of Hydrodynamic Stability.CambridgeUniversityPress. 2003, 441 p.

1. Жигулев В.Н., Тумин А.М. Возникновение турбулентности. Новосибирск: Наука. 1987, 282 с.