Уравнение энергии для струйки газа

УРАВНЕНИЕ ЭНЕРГИИ ГАЗОВОГО ПОТОКА

Процессы движения газа, происходящие в различных теплотехнических установках, связаны с преобразованием энергии в газовом потоке. Расчеты рабочих процессов этих установок строятся на общих положениях теории га­зового потока. Эта теория базируется на основных положениях термодина­мики и на ряде допущений, к числу которых относятся следующие:

1.Течение газа установившееся, т.е. в каждом выделенном сечении пара­метры газа во всех его точках остаются постоянными.

2.От сечения к сечению происходят бесконечно малые изменения пара­метров газа по сравнению со значениями самих параметров. Течение газа стационарное.

При таких допущениях газ при движении будет проходить ряд последова­тельных равновесных состояний.

Стационарное течение газа описывается системой уравнений, включаю­щей уравнение неразрывности потока, уравнение состояния и уравнение энергии (уравнение 1-го закона термодинамики применительно к газовому потоку).

Уравнение неразрывности характеризует неизменность массового расхо­да газа в любом сечении канала при установившемся течении. Это уравнение имеет вид

,

,

где G — массовый секундный расход газа; , F₂ — площади поперечных сече­ний канала; w₁ , w₂ — скорости в соответствующих сечениях; ρ₁,ρ₂— плотности газа для тех же сечений потока (ρ=l/v).

Для одномерного газового потока в соответствии со вторым законом Ньютона (сила равна массе, умноженной на ускорение) можно записать сле­дующее соотношение [11]

— изменение давления по координате х;

— изменение скорости по координате х;

— сила, действующая на выделенный элементарный объем dV;

— ускорение элементарной массы газа pdV.

Последнее соотношение можно переписать в виде

.

Учитывая, что ρ=1/v, получим

(7.1)

Полученное соотношение показывает, что приращения давления dp и ско­рости dw имеют разные знаки. Следовательно, скорость одномерного потока возрастает с уменьшением давления.

Величина -vdp совпадает с формулой для располагаемой работы dl в уравнении первого закона термодинамики вида

.

Отсюда уравнение первого закона термодинамики для газового потока при отсутствии сил тяжести и сил трения в газе примет вид

, (7.2)

где приращение кинетической энергии газа на выделенном участке.

Так как , то

, (7.3)

где d(pv) = pdv+ vdp— элементарная работа проталкивания.

Последнее уравнение показывает, что теплота, сообщаемая газу, затрачи­вается на изменение внутренней энергии, на работу проталкивания и на из­менение внешней кинетической энергии газа.

Уравнения (7.2),(7.3) являются основными для потоков газа и пара, при­чем они справедливы как для обратимых (не сопровождающихся действием сил трения), так и для необратимых течений (при наличии сил трения). При наличии сил трения должна затрачиваться работа трения l_тр, которая полностью переходит в теплоту q_тр. Вследствие равенства l_тр =q_тр обе эти величи­ны, имеющие противоположные знаки, взаимно сокращаются.

Уравнение (7.3) с учетом гравитационных сил принимает вид

где gdz— элементарная работа против сил тяжести. Этой составляющей в га­зах ввиду ее малости обычно пренебрегают.

При адиабатном течении газа (dq=0)уравнение (7.2) принимает вид

(7.4)

После интегрирования получим

(7.5)

Таким образом, при адиабатном течении газа сумма удельных энтальпии и кинетической энергии остается неизменной.

Отметим, что уравнения (7.2), (7.3), (7.4) справедливы в случае, когда газ при своем движении совершает лишь работу расширения и не производит полезной технической работы (например, работа на лопатках турбины и проч.). При совершении технической работы уравнение первого закона тер­модинамики (7.3) для потока газа примет вид

, (7.6)

где dl_тех — элементарная техническая работа.

Сравнивая уравнение (7.5) с уравнением первого закона термодинамики (2.17) для расширяющегося, но не перемещающегося газа, получим

.

Таким образом, техническая работа равна работе расширения газа за вы­четом работы проталкивания и работы, затрачиваемой на приращение кине­тической энергии газа.

Дата добавления: 2016-06-05 ; просмотров: 7011 ; ЗАКАЗАТЬ НАПИСАНИЕ РАБОТЫ

ТЕРМОДИНАМИКА ГАЗОВОГО ПОТОКА

4.1. Уравнения и параметры движущегося газа

В рассмотренных выше процессах не учитывалась кинетическая энергия рабочего тела. Однако в теплотехнике широко распространены энергетические установки, в которых преобразование энергии осуществляется в движущемся газе. Такие процессы происходят в турбинах, реактивных двигателях, лопаточных и струйных компрессорах и т.п.

Рассмотрим уравнения термодинамики для стационарного одномерного потока идеального газа.

Для газового потока в любом сечении справедливо уравнение состояния, записанное через плотность:

где p – давление в рассматриваемом сечении;

ρ – плотность газа в этом сечении;

R – газовая постоянная;

T – термодинамическая температура (температура, которую покажет в данном сечении безинерционный термометр, перемещающийся со скоро-стью газового потока).

В термодинамике величину скорости потока газа обозначают с и измеряют в м/с. Часто с целью количественной оценки величины скорости потока ее сравнивают со скоростью распространения слабых возмущений в среде газа. При выведении газа из равновесия в каком-либо месте в нем возникает движение частиц. Эти возмущения передаются по всему газу (подвижному и неподвижному) с так называемой с к о р о с т ь ю з в у к а. Скорость звука обозначается a, измеряется в м/с и вычисляется поизвестной из физики формуле:

. (4.2)

Если c – сверхзвуковой.

4.1.1. Уравнение энергии

В движущемся газе выделим сечениями 1-1 и 2-2, Рис. 4.1, участок потока.

На основании первого закона термодинамики для энергоизолирован- ного потока (данная система не обменивается теплотой и работой с окружающей средой) можем записать Е₁ = Е₂. Отсюда для m = 1кг газа уравнение (1.7) в сечениях потока будет иметь вид:

= .

Это означает, что для любого сечения потока газа сумма энтальпии и кинетической энергии одинакова, т.е.

. (4.3)

Выражение (4.3) называют у р а в н е н и е м э н е р г и и потока газа. Из него следует, что изменить скорость газа в потоке можно лишь только за счет изменения энтальпии.

Уравнение энергии можно записать в другом виде. Продифференцируем выражение (4.3) и получим: cdc = — di. Из первого закона термодинамики, записанного в виде dq = di -vdp, при dq = 0 следует, что di = vdp. Тогда

Выражение (4.4) приписывают Д. Бернулли, поэтому в технической литературе его называют у р а в н е н и е м Б е р н у л л и.

Это уравнение устанавливает связь скорости с давлением. Из него следует, что для увеличения скорости (dc > 0) необходимо снижение давления (dp

В окончательном виде формула температуры торможения имеет вид:

. (4.5)

Используя адиабатную связь между температурой и давлением, получим формулу для давления торможения:

. (4.6)

Плотность ρ₀ определяется по p₀ и T₀ из уравнения (4.1).

4.1.3. Уравнение скорости движения газа

Уравнение скорости движения газа в произвольном сечении потока получим из уравнения энергии. Пусть газ вытекает из емкости, где его скорость была равна нулю. Тогда уравнение энергии для произвольного сечения потока газа и для сечения, где c = 0, будет иметь вид:

.

c = = .

Если отношение температур заменить отношением давлений, то

c= . (4.7)

Из выражения (4.7) следует, что величина скорости газа в рассматриваемом сечении потока зависит от природы газа, от параметров в его исходном (заторможенном) состоянии и от давления газа в рассматриваемом сечении.

4.1.4. Уравнение расхода

Термодинамика газового потока в основном рассматривает стационарное движение газа. Это означает, что через все сечения канала в любой момент времени протекает одно и то же массовое количество газа. Обозначается секундный массовый расход , который измеряется в кг/с. Уравнение для вычисления секундного массового расхода выводится в дисциплине “Газовая динамика”. Оно имеет вид:

. (4.8)

Выразим секундный массовый расход через параметры заторможенного газового потока, для чего в выражение (4.8) вместо c подставим его значение (4.7), а плотность представим в виде

.

(4.9)

4.2. Течение газа в каналах

4.2.1. Уравнение обращения воздействия

Каналы, в которых газовый поток увеличивает свою скорость, называются с о п л а м и. Каналы, скорость в которых уменьшается, именуют д и ф -ф у з о р а м и. Геометрическая форма сопел может быть различной. Это зависит от того, каково внешнее воздействие на газовый поток.

В 1948 г. А.А. Вулис получил зависимость, выражающую связь геометрии сопла с характером внешнего воздействия на поток. Для неэнергоизолированного движения газа зависимость Вулиса имеет вид:

. (4.10)

Здесь первое слагаемое правой части уравнения выражает г е о м е т-

р и ч е с к о е в о з д е й с т в и е на движущийся газ, второе – м а с с о в о е, третье – т е п л о в о е и четвертое – м е х а н и ч е с к о е. Уравнение (4.10) является математическим выражением принципа обращения воздействия, суть которого состоит в том, что характер влияния каждого воздействия на газовый поток противоположен при сверхзвуковых и дозвуковых течениях газа.

Проанализируем лишь геометрическое воздействие. В этом случае из уравнения (4.10) следует:

. (4.11)

При дозвуковом течении газа (М_a 0, а в расширяющемся, где dF > 0, – тормозиться, т.е. dc 1) знаки у величин dc/c и dF/F одинаковые. Следовательно, для увеличения скорости необходим расширяющий канал, а для торможения — сужающийся.

Таким образом, канал для разгона газового потока до сверхзвуковой скорости должен быть сужающе-расширяющимся и иметь вид, представленный на рис. 4.2. Впервые канал такой формы предложил шведский инженер Лаваль, в его честь такие каналы именуют соплами Лаваля.

4.2.2 Течение газа в соплах Лаваля

При движении газа вдоль сверхзвукового геометрического сопла своеобразно изменяются его параметры. Для выявления характера изменения давления по длине сопла из уравнений (4.4) и (4.11) можно получит выражение:

Из анализа данного уравнения следует, что давление вдоль сопла уменьшается. Кривая давления в дозвуковой части сопла имеет выпуклый вид, а в сверхзвуковой – вогнутый. Температура вдоль сопла уменьшается, так как процесс расширения газа адиабатный. С такой же закономерностью уменьшается по длине сопла и скорость звука.

Характер изменения скорости вдоль сопла устанавливается уравнением Бернулли (4.4), записанным в виде:

.

В сужающейся части сопла это вогнутая кривая. а в расширяющейся – выпуклая, асимптотически приближающаяся к максимально возможной скорости при р = 0. Качественные изменения давления, температуры, скорости звука и скорости потока по длине геометрического сопла представлены на рис.4.3 .Характерным для канала такой формы является участок перехода дозвукового течения в сверхзвуковой.

Сечение канала, в котором скорость потока достигает величины, равной местной скорости звука, называют к р и т и ч е с к и м .

Параметры газа в критическом сечении обозначают: с_кр, р_кр, Т_кр, ρ_кр, , и т.д.

Получим выражение для р_кр и Т_кр через параметры торможения. В критическом сечении , следовательно:

После незначительных преобра –

. (4.12)

,

Величина β определяется только

значением показателя адиабаты к . Рис. 4.3

Так, для воздуха при к = 1,4 значение β_кр = 0,528. Отсюда следует, что для воздуха критическое давление меньше давления торможения в 1,89 раза.

Значение критической температуры получим из выражения (4.12), заменив отношение давлений отношением температур:

Т_кр= Т₀ (4.13)

Теперь выражение для критической скорости можно представить в другом виде:

с_кр = . (4.14)

Скорость газа в каждом сечении сопла и на выходе из него вычисляется по формуле (4.7).

Если секундный массовый расход выразить через параметры торможения и площадь критического сечения, то зависимость (4.9) существенно упрощается:

. (4.15)

Если давление газа в выходном сечении сопла равно давлению окружающей среды ( ), то сопло работает на расчетном режиме; при p_a >p_h газ на выходе из сопла недорасширяется. Возможны режимы работы сопел, когда давление на выходе в потоке незначительно меньше давления окружающей среды (p_a

4.2.3. Дросселирование газа и пара

Д р о с с е л и р о в а н и е м называют процесс понижения давления в газовом потоке при преодолении местного сопротивления в канале.

При дросселировании газа или пара протекает необратимый процесс снижения давления без совершения внешней работы. Если в канале имеется местное сопротивление в виде резкого сужения вида перегородки с отверстием, задвижки, клапана и т.п., то газовый поток перестраивает свою геометрическую форму, как до сужения, так и после него. Перестройка формы потока и перетекание через само сужение связано с образованием вихревых движений газа. Часть кинетической энергии потока идет на образование вихрей, часть – на преодоление сопротивления трения. Затраченная на это энергия необратимо превращается в теплоту, которая воспринимается газом. Поэтому давление после местного сопротивления не восстанавливается до первоначального. Изменение давления, скорости и температуры по длине канала приведено на рис.4.4. Скорость газа при протекании его через сужение возрастает, что вызывает снижение давления и температуры. После сужения скорость понижается, но давление, вследствие указанных причин, не восстанавливается до первоначального.

Степень снижения давления газа при дросселировании зависит от природы газа и его состояния, относительной величины сужения, скорости газа. Обозначим степень снижения давления через ; тогда ее величина будет равна:

,

где ∆р – величина снижения давления;

р – давление на входе в сужение.

В энергетических установках дросселирование нежелательно, т.к. при падении давления снижаются энергетические возможности газа. Но иногда дросселирование является необходимым и создается искусственно, например, в редукторах, регуляторах и т.п.

При термодинамическом анализе особенностей процесса дросселирования целесообразно использовать общее уравнение энергии:

В канале можно обеспечить с₁ = с₂ , тогда i₁ =i₂. Из чего следует, что энта-

льпия газа в процессе дросселирования

остается постоянной. Рис. 4.4

Этот вывод справедлив как для идеальных, так и для реальных газов. При дросселирования идеального газа Т₁ = Т₂ , поскольку i₁ = i₂ . Это значит, что для идеального газа температура после дросселирования равна температуре на входе в дроссель.

Для реального газа изменение температуры при его дросселировании в отличие от идеального газа имеет своеобразный характер. Как показывают опыты, температура реального газа в результате дросселирования повышается, понижается или не изменяется. Это свойство впервые обнаружили ученые Д. Джоуль и У. Томсон, поэтому оно носит название э ф ф е к т а Д ж о у л я-Т о м с о н а.

Используя дифференциальные уравнения, связывающие i, s, ρ и T, можно получить для газа, подчиняющегося уравнению Ван-дер-Ваальса, следующую зависимость:

(4.16)

Отношение бесконечно малого изменения температуры к бесконечно малому изменению давления при дросселировании называется д р о с с е л ь—э ф ф е к т о м и обозначается

α =

Так как при дросселировании dp 0, т.е. dT 0 ( при T > ), тогда α 0;

в) = 0 ( при T = ), тогда α = 0, т.е. dT = 0.

Изменение знака дроссель — эффекта α называется и н в е р с и е й,

а температура, при которой dT = 0, называется т е м п е р а т у о й и н в е р с и и и обозначается T_инв .

(4.17)

Понятие температуры инверсии особенно широко используется в холодильной и криогенной технике.

Каждый конкретный газ имеет индивидуальную температуру инверсии. Так, например, для воздуха Т_инв = 650 К; для водорода Т_инв = 204 К; для водяного пара Т_инв= 682 К.

Для установления температуры реального газа после дросселя необходимо сравнить T_вх с T_инв .Если температура газа на входе в дроссель равна его температуре инверсии, то после дросселя она восстановится до прежнего значения. При T_вх T_инв — она возрастет. Характер изменения температуры при дросселировании

Глава 5