Уравнение энергии магнитного поля катушки

Электромагнитные колебания и волны

Для колебательного контура предыдущей задачи написать уравнение (с числовыми коэффициентами) изменения со временем t энергии электрического поля W_эл, энергии магнитного поля W_м и полной энергии поля W. Найти энергию электрического поля, энергию магнитного поля и полную энергию поля в моменты времени Т/8, Т/4 и Т/2. Построить графики этих зависимостей в пределах одного периода.

Дано:

q = 2,5 мкКл = 2,5·10 -6 Кл

Решение:

Энергия электрического поля на обкладках конденсатора

Энергия магнитного поля в катушке индуктивности

Полная энергия в контуре

Закон изменения напряжения на обкладках конденсатора

Период колебаний находим по формуле Томсона

Циклическая частота связана с периодом соотношением

Уравнение колебания напряжения запишется в виде

Аналогично можно записать уравнение изменения заряда на обкладках конденсатора

Ток в контуре – первая производная от заряда по времени

Энергия катушки индуктивности

Энергия катушки индуктивности (W) — это энергия магнитного поля, порождаемого электрическим током I, текущим по проводу данной катушки. Главная характеристика катушки — ее индуктивность L, то есть способность создавать магнитное поле при похождении по ее проводу электрического тока. У каждой катушки индуктивность и форма свои, поэтому и магнитное поле для каждой катушки будет отличаться величиной и направлением, хотя ток может быть абсолютно одинаковым.

В зависимости от геометрии конкретной катушки, от магнитных свойств среды внутри и около нее, — создаваемое пропускаемым током магнитное поле в каждой рассматриваемой точке будет обладать определенной индукцией B, как и величина магнитного потока Ф — тоже будет определенной на каждой из рассматриваемых площадок S.

Если попытаться объяснить совсем просто, то индукция показывает интенсивность магнитного действия (связанного с силой Ампера), которое способно оказать данное магнитное поле на проводник с током, в это поле помещенный, а магнитный поток обозначает то, как распределена магнитная индукция по рассматриваемой поверхности. Таким образом, энергия магнитного поля катушки с током локализована не непосредственно в витках катушки, а в том объеме пространства, в котором существует магнитное поле, c током катушки связанное.

То, что магнитное поле катушки с током обладает реальной энергией, можно обнаружить экспериментально. Соберем схему, в которой параллельно катушке с железным сердечником подключим лампу накаливания. Подадим на катушку с лампочкой постоянное напряжение от источника питания. В цепи нагрузки тут же установится ток, он потечет через лампочку и через катушку. Ток через лампочку будет обратно пропорционален сопротивлению ее нити накала, а ток через катушку — обратно пропорционален сопротивлению провода, которым она намотана.

Ежели сейчас резко разомкнуть тумблер между источником питания и цепью нагрузки, то лампочка кратковременно но довольно заметно вспыхнет. Это значит, что когда мы отключили источник питания, ток из катушки устремился в лампу, а значит данный ток в катушке был, он имел вокруг себя магнитное поле, и в момент исчезновения магнитного поля в катушке возникла ЭДС.

Данная индуцированная ЭДС называется ЭДС самоиндукции, поскольку навелась она собственным магнитным полем катушки с током на саму эту катушку. Тепловое действие Q тока в данном случае можно выразить через произведение величин тока, который был установлен в катушке на момент размыкания тумблера, сопротивления R цепи (провода катушки и лампы) и продолжительности времени исчезновения тока t. Напряжение, которое возникло на сопротивлении цепи, можно выразить через индуктивность L, полное сопротивление цепи R, а также с учетом времени исчезновения тока dt.

Применим теперь выражение для энергии катушки W к частному случаю — к соленоиду с сердечником, обладающим определенной магнитной проницаемостью, отличной от магнитной проницаемости вакуума.

Для начала выразим магнитный поток Ф через площадь сечения S соленоида, количество витков N и магнитную индукцию B по всей его длине l. Распишем сначала индукцию B через ток витка I, число витков на единицу длины n, и магнитную проницаемость вакуума.

Подставим затем сюда объем соленоида V. Мы нашли формулу для магнитной энергии W, и имеем право взять отсюда величину w – объемную плотность магнитной энергии внутри соленоида.

Джеймс Клерк Максвелл в свое время показал, что выражение объемной плотности магнитной энергии справедливо не только для соленоидов, но и для магнитных полей вообще.

Самоиндукция. Энергия магнитного поля

Самоиндукция – это значимый частный случай электромагнитной индукции, когда магнитный поток, изменяясь и вызывая ЭДС индукции, создается током в самом контуре.

В случае, когда ток рассматриваемого контура по каким-либо причинам изменен, то имеет место изменение и магнитного поля этого тока, а значит и собственного магнитного потока, проходящего через контур. В контуре создается ЭДС самоиндукции, создавая препятствие для изменений тока в контуре (по правилу Ленца).

Собственный магнитный поток Φ , который проходит через контур или катушку с током, является пропорциональным силе тока I : Φ = L I .

Коэффициент пропорциональности L в формуле Φ = L I есть коэффициент самоиндукции или индуктивность катушки. Единица индуктивности в С И носит название генри ( Г н ) . Индуктивность контура или катушки равна 1 Г н , когда при силе постоянного тока 1 А собственный поток составляет 1 В б : 1 Г н = 1 В б 1 А .

Расчет индуктивности

Для наглядности произведем расчет индуктивности длинного соленоида, который имеет N витков, площадь сечения S и длину l . Соленоид – это цилиндрическая катушка индуктивности, у которой длина много больше диаметра. Магнитное поле соленоида задается формулой:

где I является обозначением тока в соленоиде, n = N e указывает число витков на единицу длины соленоида.

Магнитный поток внутри катушки соленоида, проходящий через все N витков, составляет:

Φ = B · S · N = μ 0 n 2 S l

Таким образом, индуктивность соленоида будет выражена формулой:

L = μ 0 n 2 S · l = μ 0 n 2 V ,

где V = S l – объем соленоида, содержащий магнитное поле.

Результат, который мы получили, не берет в расчет краевых эффектов, а значит он является приближенно верным лишь для катушек достаточной длины. Когда соленоид заполнен веществом, имеющим магнитную проницаемость μ , при заданном токе I индукция магнитного поля будет возрастать по модулю в μ раз, а значит и индуктивность катушки с сердечником тоже получит увеличение в μ раз:

L μ = μ · L = μ 0 · μ · n 2 · V .

ЭДС самоиндукции, которая возникает в катушке при постоянном значении индуктивности, в соответствии с законом Фарадея записывается в виде формулы:

δ и н д = δ L = — ∆ Φ ∆ t = — L ∆ I ∆ t .

ЭДС самоиндукции является прямо пропорциональной индуктивности катушки и скорости изменения силы тока в ней.

Магнитное поле выступает носителем энергии. Так же, как заряженный конденсатор обладает запасом электрической энергии, катушка, по виткам которой проходит ток, обладает запасом магнитной энергии. Включив электрическую лампу параллельно катушке с большой индуктивностью в электрическую цепь постоянного тока, при размыкании ключа будем наблюдать короткую вспышку лампы (рис. 1 . 21 . 1 ). Ток в цепи появится под влиянием ЭДС самоиндукции. Источником энергии, которая будет выделяться в этом процессе электрической цепью, будет служить магнитное поле катушки.

Рисунок 1 . 21 . 1 . Магнитная энергия катушки. В момент размыкания ключа K лампа ярко вспыхнет.

Закон сохранения энергии позволяет говорить, что вся энергия, составляющая запас катушки, будет выделена в виде джоулева тепла. Обозначим как R полное сопротивление цепи, тогда за время Δ t будет выделено количество теплоты Δ Q = I 2 · R · Δ t .

Ток в цепи составляет:

I = δ L R = — L R ∆ I ∆ t

Выражение для Δ Q можем записать так:

∆ Q = — L · I · ∆ I = — Φ ( I ) ∆ I

В данной записи Δ I 0 ; значение тока в цепи постепенно снижается от изначального I 0 до нуля. Полное количество теплоты, которое выделится в цепи, возможно получить, осуществив действие интегрирования в пределах от I 0 до 0 . Тогда получим:

Графический вывод формулы

Существует возможность получить записанную формулу, используя графический метод. Для этого отобразим на графике зависимость магнитного потока Φ ( I ) от тока I (рис. 1 . 21 . 2 ). Полное количество выделившейся теплоты, которое равно изначальному запасу энергии магнитного поля, определится как площадь получившегося на рис. 1 . 21 . 2 треугольника:

Рисунок 1 . 21 . 2 . Вычисление энергии магнитного поля.

В итоге формула энергии W м магнитного поля катушки с индуктивностью L , создаваемого током I , будет записана в виде формулы:

W м = Φ I 2 = L I 2 2 = Φ 2 2 L

Используем выражение, которое мы получили, для энергии катушки к длинному соленоиду с магнитным сердечником. Применяя указанные выше формулы для коэффициента самоиндукции L μ соленоида и для магнитного поля B, создаваемого током I , получим запись:

W м = μ 0 · μ · n 2 · I 2 2 V = B 2 2 μ 0 · μ V

В этой формуле V является объемом соленоида. Полученное выражение демонстрирует нам, что магнитная энергия имеет локализацию не в витках катушки, по которым проходит ток, а распределена по всему объему, в котором возникло магнитное поле.

Объёмная плотность магнитной энергии – это физическая величина, которая равна энергии магнитного поля в единице объема: W м = B 2 2 μ · μ .

В свое время Максвелл продемонстрировал, что указанная формула (в нашем случае выведенная для длинного соленоида) верна для любых магнитных полей.