Уравнение энергии потока газа в термической форме

ТЕРМОДИНАМИКА ГАЗОВОГО ПОТОКА

4.1. Уравнения и параметры движущегося газа

В рассмотренных выше процессах не учитывалась кинетическая энергия рабочего тела. Однако в теплотехнике широко распространены энергетические установки, в которых преобразование энергии осуществляется в движущемся газе. Такие процессы происходят в турбинах, реактивных двигателях, лопаточных и струйных компрессорах и т.п.

Рассмотрим уравнения термодинамики для стационарного одномерного потока идеального газа.

Для газового потока в любом сечении справедливо уравнение состояния, записанное через плотность:

где p – давление в рассматриваемом сечении;

ρ – плотность газа в этом сечении;

R – газовая постоянная;

T – термодинамическая температура (температура, которую покажет в данном сечении безинерционный термометр, перемещающийся со скоро-стью газового потока).

В термодинамике величину скорости потока газа обозначают с и измеряют в м/с. Часто с целью количественной оценки величины скорости потока ее сравнивают со скоростью распространения слабых возмущений в среде газа. При выведении газа из равновесия в каком-либо месте в нем возникает движение частиц. Эти возмущения передаются по всему газу (подвижному и неподвижному) с так называемой с к о р о с т ь ю з в у к а. Скорость звука обозначается a, измеряется в м/с и вычисляется поизвестной из физики формуле:

. (4.2)

Если c – сверхзвуковой.

4.1.1. Уравнение энергии

В движущемся газе выделим сечениями 1-1 и 2-2, Рис. 4.1, участок потока.

На основании первого закона термодинамики для энергоизолирован- ного потока (данная система не обменивается теплотой и работой с окружающей средой) можем записать Е₁ = Е₂. Отсюда для m = 1кг газа уравнение (1.7) в сечениях потока будет иметь вид:

= .

Это означает, что для любого сечения потока газа сумма энтальпии и кинетической энергии одинакова, т.е.

. (4.3)

Выражение (4.3) называют у р а в н е н и е м э н е р г и и потока газа. Из него следует, что изменить скорость газа в потоке можно лишь только за счет изменения энтальпии.

Уравнение энергии можно записать в другом виде. Продифференцируем выражение (4.3) и получим: cdc = — di. Из первого закона термодинамики, записанного в виде dq = di -vdp, при dq = 0 следует, что di = vdp. Тогда

Выражение (4.4) приписывают Д. Бернулли, поэтому в технической литературе его называют у р а в н е н и е м Б е р н у л л и.

Это уравнение устанавливает связь скорости с давлением. Из него следует, что для увеличения скорости (dc > 0) необходимо снижение давления (dp

В окончательном виде формула температуры торможения имеет вид:

. (4.5)

Используя адиабатную связь между температурой и давлением, получим формулу для давления торможения:

. (4.6)

Плотность ρ₀ определяется по p₀ и T₀ из уравнения (4.1).

4.1.3. Уравнение скорости движения газа

Уравнение скорости движения газа в произвольном сечении потока получим из уравнения энергии. Пусть газ вытекает из емкости, где его скорость была равна нулю. Тогда уравнение энергии для произвольного сечения потока газа и для сечения, где c = 0, будет иметь вид:

c = = .

Если отношение температур заменить отношением давлений, то

c= . (4.7)

Из выражения (4.7) следует, что величина скорости газа в рассматриваемом сечении потока зависит от природы газа, от параметров в его исходном (заторможенном) состоянии и от давления газа в рассматриваемом сечении.

4.1.4. Уравнение расхода

Термодинамика газового потока в основном рассматривает стационарное движение газа. Это означает, что через все сечения канала в любой момент времени протекает одно и то же массовое количество газа. Обозначается секундный массовый расход , который измеряется в кг/с. Уравнение для вычисления секундного массового расхода выводится в дисциплине “Газовая динамика”. Оно имеет вид:

. (4.8)

Выразим секундный массовый расход через параметры заторможенного газового потока, для чего в выражение (4.8) вместо c подставим его значение (4.7), а плотность представим в виде

(4.9)

4.2. Течение газа в каналах

4.2.1. Уравнение обращения воздействия

Каналы, в которых газовый поток увеличивает свою скорость, называются с о п л а м и. Каналы, скорость в которых уменьшается, именуют д и ф -ф у з о р а м и. Геометрическая форма сопел может быть различной. Это зависит от того, каково внешнее воздействие на газовый поток.

В 1948 г. А.А. Вулис получил зависимость, выражающую связь геометрии сопла с характером внешнего воздействия на поток. Для неэнергоизолированного движения газа зависимость Вулиса имеет вид:

. (4.10)

Здесь первое слагаемое правой части уравнения выражает г е о м е т-

р и ч е с к о е в о з д е й с т в и е на движущийся газ, второе – м а с с о в о е, третье – т е п л о в о е и четвертое – м е х а н и ч е с к о е. Уравнение (4.10) является математическим выражением принципа обращения воздействия, суть которого состоит в том, что характер влияния каждого воздействия на газовый поток противоположен при сверхзвуковых и дозвуковых течениях газа.

Проанализируем лишь геометрическое воздействие. В этом случае из уравнения (4.10) следует:

. (4.11)

При дозвуковом течении газа (М_a 0, а в расширяющемся, где dF > 0, – тормозиться, т.е. dc 1) знаки у величин dc/c и dF/F одинаковые. Следовательно, для увеличения скорости необходим расширяющий канал, а для торможения — сужающийся.

Таким образом, канал для разгона газового потока до сверхзвуковой скорости должен быть сужающе-расширяющимся и иметь вид, представленный на рис. 4.2. Впервые канал такой формы предложил шведский инженер Лаваль, в его честь такие каналы именуют соплами Лаваля.

4.2.2 Течение газа в соплах Лаваля

При движении газа вдоль сверхзвукового геометрического сопла своеобразно изменяются его параметры. Для выявления характера изменения давления по длине сопла из уравнений (4.4) и (4.11) можно получит выражение:

Из анализа данного уравнения следует, что давление вдоль сопла уменьшается. Кривая давления в дозвуковой части сопла имеет выпуклый вид, а в сверхзвуковой – вогнутый. Температура вдоль сопла уменьшается, так как процесс расширения газа адиабатный. С такой же закономерностью уменьшается по длине сопла и скорость звука.

Характер изменения скорости вдоль сопла устанавливается уравнением Бернулли (4.4), записанным в виде:

В сужающейся части сопла это вогнутая кривая. а в расширяющейся – выпуклая, асимптотически приближающаяся к максимально возможной скорости при р = 0. Качественные изменения давления, температуры, скорости звука и скорости потока по длине геометрического сопла представлены на рис.4.3 .Характерным для канала такой формы является участок перехода дозвукового течения в сверхзвуковой.

Сечение канала, в котором скорость потока достигает величины, равной местной скорости звука, называют к р и т и ч е с к и м .

Параметры газа в критическом сечении обозначают: с_кр, р_кр, Т_кр, ρ_кр, , и т.д.

Получим выражение для р_кр и Т_кр через параметры торможения. В критическом сечении , следовательно:

После незначительных преобра –

. (4.12)

Величина β определяется только

значением показателя адиабаты к . Рис. 4.3

Так, для воздуха при к = 1,4 значение β_кр = 0,528. Отсюда следует, что для воздуха критическое давление меньше давления торможения в 1,89 раза.

Значение критической температуры получим из выражения (4.12), заменив отношение давлений отношением температур:

Т_кр= Т₀(4.13)

Теперь выражение для критической скорости можно представить в другом виде:

с_кр = . (4.14)

Скорость газа в каждом сечении сопла и на выходе из него вычисляется по формуле (4.7).

Если секундный массовый расход выразить через параметры торможения и площадь критического сечения, то зависимость (4.9) существенно упрощается:

. (4.15)

Если давление газа в выходном сечении сопла равно давлению окружающей среды ( ), то сопло работает на расчетном режиме; при p_a >p_h газ на выходе из сопла недорасширяется. Возможны режимы работы сопел, когда давление на выходе в потоке незначительно меньше давления окружающей среды (p_a

4.2.3. Дросселирование газа и пара

Д р о с с е л и р о в а н и е м называют процесс понижения давления в газовом потоке при преодолении местного сопротивления в канале.

При дросселировании газа или пара протекает необратимый процесс снижения давления без совершения внешней работы. Если в канале имеется местное сопротивление в виде резкого сужения вида перегородки с отверстием, задвижки, клапана и т.п., то газовый поток перестраивает свою геометрическую форму, как до сужения, так и после него. Перестройка формы потока и перетекание через само сужение связано с образованием вихревых движений газа. Часть кинетической энергии потока идет на образование вихрей, часть – на преодоление сопротивления трения. Затраченная на это энергия необратимо превращается в теплоту, которая воспринимается газом. Поэтому давление после местного сопротивления не восстанавливается до первоначального. Изменение давления, скорости и температуры по длине канала приведено на рис.4.4. Скорость газа при протекании его через сужение возрастает, что вызывает снижение давления и температуры. После сужения скорость понижается, но давление, вследствие указанных причин, не восстанавливается до первоначального.

Степень снижения давления газа при дросселировании зависит от природы газа и его состояния, относительной величины сужения, скорости газа. Обозначим степень снижения давления через ; тогда ее величина будет равна:

где ∆р – величина снижения давления;

р – давление на входе в сужение.

В энергетических установках дросселирование нежелательно, т.к. при падении давления снижаются энергетические возможности газа. Но иногда дросселирование является необходимым и создается искусственно, например, в редукторах, регуляторах и т.п.

При термодинамическом анализе особенностей процесса дросселирования целесообразно использовать общее уравнение энергии:

В канале можно обеспечить с₁ = с₂ , тогда i₁ =i₂. Из чего следует, что энта-

льпия газа в процессе дросселирования

остается постоянной. Рис. 4.4

Этот вывод справедлив как для идеальных, так и для реальных газов. При дросселирования идеального газа Т₁ = Т₂ , поскольку i₁ = i₂ . Это значит, что для идеального газа температура после дросселирования равна температуре на входе в дроссель.

Для реального газа изменение температуры при его дросселировании в отличие от идеального газа имеет своеобразный характер. Как показывают опыты, температура реального газа в результате дросселирования повышается, понижается или не изменяется. Это свойство впервые обнаружили ученые Д. Джоуль и У. Томсон, поэтому оно носит название э ф ф е к т а Д ж о у л я-Т о м с о н а.

Используя дифференциальные уравнения, связывающие i, s, ρ и T, можно получить для газа, подчиняющегося уравнению Ван-дер-Ваальса, следующую зависимость:

(4.16)

Отношение бесконечно малого изменения температуры к бесконечно малому изменению давления при дросселировании называется д р о с с е л ь—э ф ф е к т о м и обозначается

α =

Так как при дросселировании dp 0, т.е. dT 0 ( при T > ), тогда α 0;

в) = 0 ( при T = ), тогда α = 0, т.е. dT = 0.

Изменение знака дроссель — эффекта α называется и н в е р с и е й,

а температура, при которой dT = 0, называется т е м п е р а т у о й и н в е р с и и и обозначается T_инв .

(4.17)

Рис. 4.4

Понятие температуры инверсии особенно широко используется в холодильной и криогенной технике.

Каждый конкретный газ имеет индивидуальную температуру инверсии. Так, например, для воздуха Т_инв = 650 К; для водорода Т_инв = 204 К; для водяного пара Т_инв= 682 К.

Для установления температуры реального газа после дросселя необходимо сравнить T_вх с T_инв .Если температура газа на входе в дроссель равна его температуре инверсии, то после дросселя она восстановится до прежнего значения. При T_вх T_инв — она возрастет. Характер изменения температуры при дросселировании

Глава 5

Уравнение энергии потока газа в термической форме

Уравнение закона сохранения энергии установившегося потока газа, проходящего через определенный участок канала, было получено ранее эталонное уравнение 3. 10 и рисунок 3. И затем Л. В этом уравнении 1e обозначает количество теплоты, подводимой к газу извне при переходе из секции 1-1 в секцию 2-2, где w-объем технической работы, подводимой к газу в этой секции, а 2-изменение кинетической энергии агрегата в массе газа между этими же ветвями.

Для процессов испарения особую важность имеет температура, которую приобретает влажное тело в потоке воздуха, когда теплообмен происходит только в результате конвекции. Людмила Фирмаль

Если секции 1-1 и 2-2 находятся не в бесконечно близком потоке газа, а в секции входа и выхода какого-либо технического устройства например, во входной и выходной секции компрессора, турбины или других элементов двигателя, то есть при незначительном изменении энтальпии и кинетической энергии, секция может быть закрыта. Надо записать их общее количество, а не малейшее количество тепла и работы. Энергетическое уравнение газового потока в конечном виде описывается в виде Или — т. 8.

Если, согласно формулам 5. 2 и 5. 3, оно представляет собой изменение энтальпии идеального газа вследствие изменения температуры, то это уравнение дано в другом виде. Предполагая, что cp не зависит от температуры газа, как обычно, уравнение энергии описывается в виде изменения температуры газа срать ад-сихъ-а — 8. 5 8-6 В формулах 8. 4 и 8. 6 расход газа в основном связан со значениями тепловых свойств в эти формулы не входят плотность газа, его давление и другие механические величины. Поэтому эти уравнения называются энергией потока Тер. — Ментальная форма. Все полученные здесь уравнения справедливы и в том случае, когда сила трения действует на gas.

Поэтому полезно было бы преобразовать уравнение (16-36) таким образом, чтобы в его правой части вместо парциальных давлений стояли значения удельного влагосодержания. Людмила Фирмаль

Фактически, уравнение 3. 10 является уравнением сохранения энергии для газа. Работа сил трения в устойчивом потоке прекрасно преобразуется в тепло и воспринимается тем же sas flow. As в результате общая энергия потока не может измениться под действием силы трения.

Образовательный сайт для студентов и школьников

Копирование материалов сайта возможно только с указанием активной ссылки «www.lfirmal.com» в качестве источника.

Термодинамика газовых течений.

1. Определения движения газа и жидкости.

Движение газа может быть:

_— неустановившемся (нестационарным) – все параметры меняются во времени:

w — линейная скорость, ω – угловая скорость.

_— Установившемся (стационарным) – в каждой точке пространства параметры газа и проекции вектора скорости постоянны.

Линия тока – кривая, в каждой точке которой вектор скорости касателен к ней.

Трубка тока – совокупность большого количества линий тока проведенных через замкнутый контур.

Элементарная струйка – часть потока жидкости или газа движущаяся внутри трубки тока. При установившемся движении газа трубка является непроницаемой, т.е. расход газа внутри трубки не меняется вдоль неё. Любой поток газа можно представить в виде совокупности элементарных струек.

Живое сечение – поверхность в струе движущегося газа в каждой точке, которой линия тока перпендикулярна (в общем случае не является плоскостью).

2. Уравнение неразрывности в прямоугольных координатах.

_x = rw_xF_x = rw_xDyDz,

_y = rw_xF_x = rw_yDxDz,

_z = rw_zF_z = rw_yDxDy.

Через противоположные грани проходят указанные выше расходы плюс их изменения на расстоянии Dx, Dy, Dz.

m – массовый расход, F – площадь.

Изменение плотности газового потока в рассматриваемом объёме определяется сумой изменений плотности тока в направлении каждой из координатных осей.

В случае одномерного движения: .

Плотность тока – массовый расход, отнесенный к площади поперечного сечения струи:

3. Анализ первого закона термодинамики для движущегося газа (закон сохранения энергии).

Тепло подведенное к газу расходуется на изменение его потенциальной энергии и внутренней энергии.

Pdv – работа сжатия одного килограмма газа. Перепишем уравнение (1) для энергоизолированного газа, где изменением потенциальной энергии можно пренебречь gdz ® 0:

сумма изменения энтальпии (i) и кинетической энергии равно нулю.

Сумма изменения энтальпии и кинетической энергии равно нулю, следовательно Сумма энтальпии и кинетической энергии неизменна вдоль потока газа.

Например увеличение энтальпии ведёт к уменьшению кинетической энергии ,

где i * — энтальпия заторможенного потока, которая может быть реализована в случае сведения скорости потока к нулю w = 0 или в случае полного торможения струйки газа, например в передней точке при обтекания спая термопары.

Т * — температура торможения, которая может быть вычислена как статическая температура плюс динамическая добавка.

C_p = 1005 Дж/(кг*К) – для воздуха.

4. Параметры заторможенного потока и их связь со статическими параметрами.

Статической и заторможенной температуре соответствует статическое и заторможенное давление, статическая и заторможенная плотность плюс динамические добавки в степени, зависящей от показателя адиабаты. Изменение плотности и давления при полном торможении газа в процентах происходит существенно больше, чем при изменениях температуры.

5. Уравнение энергии газового потока в механическом виде.

Переведем уравнение (1) в механическую форму, для чего используем уравнение (1) и первый закон термодинамики для неподвижного газа, с целью исключения тепловых слагаемых.

Последний интеграл зависит от термодинамического процесса в движущемся газе.

6. Характерные скорости газового потока.

1) Скорость звука — а – распространение слабых возмущений в упругой среде:

2) Критическая скорость а_кр – скорость газового потока, численно равная местной скорости звука, вводится на примере изменения параметров при адиабатном истечении газа через сверхзвуковое сопло.

3) Максимальная скорость w_max – реализуется при полном преобразовании энтальпии потока в кинетическую энергию, что физически невозможно ввиду невозможности получения температуры газа 0 К. Является предельной величиной.

Из закона сохранения энергии можно получить формулу скорости в произвольном сечении канала:

Условие получения сверхзвуковой скорости.

— коэффициент скорости. Применяется при расчётах газовых течений во всех установках, где движение газа происходит с квазипостоянной энтальпией.

i* = const, T* = const, если w = 0…w_max, то l = 0…l_пр. l_пр для воздуха = 2,45.

Рассчитаем — движение газа в канале.

. Если площадь струи (F) уменьшается, то скорость в ней (w) растет и следовательно падает давление (P) – это следует из уравнения Бернулли. При уменьшении давления Р £ Р_насыш начинается процесс кавитации, т.е. жидкость закипит. Свяжем F и w, исключив плотность.

Изменение плотности пропорционально изменению скорости со знаком минус и определяется число макро в квадрате. Если число макро М 1 – то для сверхзвуковых течений относительное изменение плотности больше относительного изменения скорости. Подставим уравнение (5) в (3):

Сопло (конффузор) w

Диффузор w¯

Сопло Лаваля

М 0

dF 0

dF > 0

М > 1 сверхзвуковые течения

dF > 0

dF p_кр — w_а Р_н —

Теперь подставим: на докритическом режиме Р_а = Р_н, на критическом режиме Р_а = Р_н = Р_кр, на сверхкритическом режиме Р_а = Р_кр = p_кр Р * :

Направление, указанное стрелкой – при постепенном повышении давления в баллоне, скорость сначала увеличивается, а как только давление в баллоне превысит атмосферное примерно в два раза, скорость будет постоянна (трение не учитывается).

Выведем формулу массового расхода газа через заторможенные параметры.

— для всех трех указанных режимов, таким образом расходная функция будет иметь вид такой же как функция скорости. Расход через сверхзвуковое сопло может быть рассчитан по формуле (3), то есть более просто.

Это соотношения, связывающие статические и заторможенные параметры газового потока и размеры поперечного сечения струи через безразмерные скорости.

В расчетах будем использовать три группы газодинамических функции:

I. t(λ), p(λ), e(λ), выводятся из уравнения энергии.

II. q(λ), y(λ), выводятся из уравнения неразрывности;

III. f(λ), r(λ), z(λ), – выводятся из закона сохранения количества движения и используются для расчета осевой составляющей силы, например тяги реактивных двигателей.

I. Свяжем статические и заторможенные параметры газового потока:

Газодинамическая функция . Формула расхода при сверхкритическом перепаде давления.

безразмерная плотность потока газа в произвольном сечении канала, отнесенная к плотности потока в критическом сечении.

Практическое применение —

l — коэффициент скорости.

расходная функция .

Каждому значению аргумента соответствует одно значение функции, а каждому значению функции соответствует два значения аргумента при до- и сверх- звуковой скорости.

Рассмотрим пример.

В рассмотренном примере по известному коэффициенту скорости l, можно рассчитать связь между статическими заторможенными параметрами и степень преобразования энтальпии в кинетическую энергию или наоборот найти термический КПД сопла (газ ускоряется) или диффузора (газ тормозится).

Закон обращения воздействия.

Существует пять видов воздействий на газовый поток, которые могут привести к его ускорению или торможению.

Закон обращения выводится при использовании:

_— Уравнения энергии для движущегося газа;

_— Формулы скорости звука;

_— Первого закона термодинамики для неподвижного газа.

В результате преобразований исключим все параметры состоянии (Р, Т, r, u, i) и остается лишь скорость, число маха и пять внешних воздействий.

Следовательно, у нас получиться:

, dB_i – приращение -ого воздействия.

В правой части, кроме геометрического, все воздействия входят со знаком « — », т.е. если для ускорения дозвукового потока газа, геометрическое воздействие должно быть « — », то все остальные должны быть « + ».

Например: M 1 (тепловое сопло).

Ключ для определения знака воздействия

Для получения сверхзвуковой скорости знак любого воздействия должен быть обращен на обратный.

Рассмотрим воздействие трением:

— работа сил трения всегда «+» и необратима;

— трение приводит к ускорению газового потока. Работа сил трения превращается в тепло, тепло идет на нагрев, а он приводит к ускорению.

Если скорость увеличивается, то давление в трубе постоянного сечения, падает и в принципе уравнение можно использовать для расчета определенного расхода.

С помощью воздействия трением нельзя получить сверхзвуковую скорость газа.

Термодинамика получения водяного пара.

Газовая постоянная водяного пара, которая вычисляется по известной формуле и имеет значение =462, что определяет высокую работоспособность водяного пара и его широкое распространение в качестве рабочего тела технических устройств. Для сравнения продукты сгорания большинства углеводородных топлив имеют R»300.

Испарение может быть:

— поверхностное – имеет диффузионный характер, т.е. молекулы пара должны преодолеть сопротивление воздуха;

— объемное – или кипение, осуществляется при температуре Т_нагр > Т_{насыш паров} при данном давлении.

Подводя тепло к насыщенному пару мы получаем пар перегретый, он находится в устойчивом состоянии в отличии от насыщенного пара.

Рассмотрим уравнение состояния для реальных газов.

Выделим область, в которой вещество находится в различных агрегатных состояниях.

1. Изотермическое сжатие газа. Уравнение идеального газа справедливо лишь при низких и больших удельных объемах.

Для сжатых реальных газов нужно учитывать:

— объем занимаемый собственно молекулами;

— силы взаимного притяжения между молекулами

_— — возможность объединения молекул или их ассоциации.

— уравнение Ван-Дер-Ваальса. С увеличением давления две ветви кривой в p – V координатах сближаются, т.к. удельный объем пара уменьшается, а удельный объем жидкости растет. Выше точки К жидкость не существует. В зависимости от температуры это уравнение может иметь одно решение или три, а в точке К все три решения сходятся. Построим уравнение повторно

1 – изотермы близкие к равнобокой гиперболе, т.е. идеальному газу;

2 – изотерма – имеет два решения, а ниже точки К имеет три решения.

При сжатии газа по изотерме, заканчивающейся в точке В, конденсация пара осуществляется не по расчетной изотерме (уравнение Ван-Дер-Ваальса), а при постоянном давлении и температуре по линии ВА.

Получение пара при постоянном давлении.

Существует три стадии получения пара:

1) нагрев жидкости до начала парообразования:

2) парообразование m – n:

l₂ – внешняя теплота парообразования;

u₂ — внутренняя теплота парообразования, х – степень сухости пара – 0

источники:

http://lfirmal.com/uravnenie-ehnergii-potoka-gaza-v-termicheskoj-forme/

http://lektsii.org/13-42188.html