Уравнение энергии в атоме водорода

Уравнение энергии в атоме водорода

Атом водорода
_{Hydrogen Atom}

Атом водорода – связанная система, состоящая из положительно заряженного ядра – протона и отрицательного заряженного электрона.
Размеры атома определяются размерами его электронной оболочки ≈ 10 -8 см.
Энергии связанных состояний электрона получаются при решении уравнения Шредингера с потенциалом и определяются соотношением

где n – главное квантовое число, определяющее энергии различных состояний электрона в атоме водорода (n = 1, 2, 3…), R — постоянная Ридберга
(R = 1.0974·10 5 см -1 ).

Каждому уровню с главным квантовым числом n соответствует n состояний, различающихся квантовыми числами l = 0, 1, 2, …, (n-1). Такое вырождение уровней по энергии характерно только для кулоновского поля. Кроме того, каждое из этих вырожденных по l состояний (2l+1)-кратно вырождено по магнитному числу
m = ±l, ±(l-1). ±1, 0. Таким образом, полная кратность вырождения стационарного квантового состояния с главным квантовым числом n дается соотношением .
Такое рассмотрение справедливо при условии, что спин электрона равен нулю. Так как электрон имеет спин s = 1/2, полный момент количества движения электрона будет определяться векторной суммой его орбитального и спинового моментов
= + .
Так как спин электрона s = 1/2, его полный момент количества движения J может быть только полуцелым.
При заданном значении орбитального момента l в атоме водорода возможно два состояния, различающихся значениями полного момента = + = l + 1/2 и
j = l — s = l — 1/2. Эти два значения различаются взаимными ориентациями орбитального и спинового векторов. Энергии электрона в состояниях l + 1/2 и l — 1/2 в кулоновском поле протона несколько отличаются, и вырождение по энергии состояний снимается. Это дополнительное взаимодействие носит название спин-орбитального. С учетом снятия вырождения спектр низколежащих состояний атома водорода обогащается, происходит тонкое расщепление уровней энергий. Вместо двух низших уровней водорода без учета спин-орбитального расщепления (основного 1s и первого возбужденного 2s2p (рис. 1, а)) с учетом спин-орбитального расщепления их становится четыре (рис. 1, б). Квантовые характеристики этих уровней даны в таблице. Уровень с большим значением j = l + 1/2 расположен выше по энергии, чем уровень с j = l — 1/2. Состояния с различными значениями l, но одним и тем же значением nj оказываются по-прежнему вырожденными. Например, 2s_1/2 и 2p_1/2.

Рис. 1. Схема уровней атома водорода: а – без учёта спина электрона и спина ядра, б – тонкое расщепление уровней, учитывающее спин электрона, в — сверхтонкое расщепление уровней, учитывающее взаимодействие магнитного момента электрона с магнитным моментом ядра. Лэмбовский сдвиг уровней 2s1/2 и 2р1/2

4·10 -6 эВ. Положения уровней и величины их расщеплений даны не в масштабе

Квантовые характеристики электрона в самых нижних
состояниях атома водорода

Из точного решения релятивистского уравнения Дирака для электрона со спином s = 1/2 следует зависимость энергии уровней атома водорода от квантовых чисел n и j

,

где α = 1/137 — постоянная тонкой структуры. Поправка в E_nj не зависит от квантового числа l. Поэтому энергии состояний с одинаковыми j и разными l должны быть равны. Величина тонкого расщепления уровней δE_j+1,j при данном n определяется соотношением

Величина расщепления уровня с n = 2 составляет ≈ 4.5·10 -5 эВ.
Ядро атома водорода – протон — также имеет собственный момент – спин s = 1/2. Это тоже слегка изменяет взаимодействие электрона с протоном, так как возникает дополнительное взаимодействие магнитного момента протона, вызванного наличием у него спина, с магнитным полем электрона. Величина этого взаимодействия зависит от взаимной ориентации спинового момента протона и полного момента электрона. Таким образом, возникает еще один тип расщепления уровней атома, называемого сверхтонким, так как его величина существенно меньше тонкого расщепления. Сверхтонкое расщепление будет наблюдаться уже для основного состояния
(n = 1, l = 0). Переход между двумя подуровнями сверхтонкого расщепления основного состояния водорода приводит к излучению с длиной волны λ = 21 см (частота излучения 1420 МГц). С помощью этого излучения обычно регистрируется межзвездный водород во Вселенной.
Состояния от n = 2 до n = ∞ называются возбужденными состояниями. Энергия возбуждения E_возб (энергия, которую необходимо сообщить системе, чтобы она перешла из начального состояния n_i в конечное состояние n_f) определяется из соотношения

Все состояния от n = 1 до n = ∞ являются связанными состояниями, так как имеют отрицательные энергии. При приближении n к бесконечности энергии состояний сближаются, и разница в энергиях соседних состояний становится настолько мала, что расщепленные уровни сливаются, и дискретный спектр уровней трансформируется в непрерывный (сплошной). Когда энергия электрона становится положительной (E > 0), система превращается в несвязанную и электрон становится свободным. Спектр энергий свободного электрона непрерывный.
Переходы из состояний n = 2, 3, … ∞ в состояние n = 1 образуют серию Лаймана. Переходы из состояния n = 3, 4, … ∞ в состояние n = 2 – серию Бальмера. Переходы между состояниями с отрицательной энергией (E 0 и состояниями с E 2 r 2 dr нахождения электрона в кулоновском поле протона (атом водорода) в s, p и d состояниях. Расстояния даны в боровских радиусах r₁ = ћ 2 /m_ee 2 ≈ 0.529·10 — 8 cм.

Согласно точному решению уравнения Дирака, уровни энергии с одинаковым значением квантового числа n = 1, 2, 3. и одинаковым значением полного момента
j = 1/2, 3/2. должны совпадать по энергии независимо от значения квантового числа l. В 1947 г. У. Лэмб и Р. Ризерфорд обнаружили сдвиг уровней 2s_1/2 и 2p_1/2 в атоме водорода. Этот сдвиг уровней называется лэмбовским сдвигом . Основная причина лэмбовского сдвига обусловлена радиационными поправками:

1. Испусканием связанным электроном виртуальных фотонов.
2. Поляризацией вакуума — рождением в вакууме электрон-позитронных пар.

Эти две поправки полностью объясняют наблюдаемую величину лэмбовского сдвига уровней 2s_1/2 и 2p_1/2 (ΔE = 4.5·10 -6 эВ).
Вероятность dw нахождения электрона в объеме dV в определенном месте пространства определяется выражением

dw = |ψ(x, y, z)|2 dV = |R_nl(r)Y_lm(θ,φ)| 2 r 2 sinθdθdφdr =
= |R_nl(r)| 2 r 2 |Y_lm(θ,φ)| 2 sinθdθdφdr,

распадается на радиальную вероятность ||R_nl(r)| 2 r 2 | 2 r 2 dr и угловую — |Y_lm(θ,φ)| 2 dΩ. Распределения этих вероятностей даны на рис. 3–5.

Энергетические уровни в атоме водорода

Сопоставляя второй постулат Бора hv_n,k=E_k—E_n с формулой для энергии Е кванта света в спектре водорода, легко видеть, что энергия атома в стационарном состоянии должна иметь вид:

Таким образом, энергия атома водорода обратно пропорциональна квадрату номера орбиты, на которой находится электрон. Состояние электрона на первой орбите (n = 1) называют основным, а состояние с n = 2, 3, 4, — возбужденными.

Совокупность энергий Е₁, E₂, E₃. представляющих энергетические уровни атома водорода, представлена на рис. 32. Энергия электрона на бесконечно удаленной орбите (n=∞) принята за ноль. Энергия стационарного состояния (n=1) равна E₁ = —Rh ≈ -13,6 эВ. Величина E_ион= Rh — очевидно, является энергией ионизации водорода, то есть энергией, необходимой для отрыва электрона от атома (перевода электрона из стационарного состояния с п = 1 в состояние с п = ∞).

На рис. 32 показаны переходы с верхних уровней на нижние, сопровождающиеся излучением. Переходу на первый, самый нижний, уровень отвечает серия Лаймана (n= 1), переходу на второй уровень — серия Бальмера (n = 2) и т. д.

Аналогичные переходы с нижних уровней на верхние требуют затрат энергии, то есть поглощения квантов. Поэтому спектры поглощения тождественны спектрам испускания.

Рис. 32. Энергетические уровни в атоме водорода

Вопросы:

1. Укажите переходы, отвечающие границе спектра; границам серий.

2. Чему равна энергия ионизации атома водорода?

3. Как энергия ионизации связана с постоянной Ридберга?

4. Какой линии спектра соответствует уровень n=3?

Энергия, связывающая всё воедино

В моей статье про энергию и массу и связанные с ними понятия основное внимание я уделил частицам – возмущениям полей – и уравнениям, при помощи которых Эйнштейн связывал их энергию, импульс и массу. Но энергия возникает и в других местах, не только благодаря частицам. Чтобы по-настоящему понять Вселенную и то, как она работает, необходимо понять, что энергия может появиться из-за взаимодействия различных полей, или даже из-за взаимодействия с самим полем. Вся структура нашего мира – протоны, атомы, молекулы, тела, горы, планеты, звёзды, галактики – является результатом наличия такого типа энергии. На самом деле, многие типы энергии, о которых мы рассуждаем так, будто они отличаются друг от друга – химическая энергия, ядерная энергия, электромагнитная энергия – либо являются одной из форм энергии взаимодействия либо каким-то образом к ней относятся.

Когда ученикам начинают преподавать физику, в этот тип энергии включается то, что учителя называют «потенциальной энергией». Но поскольку слово «потенциальная» в английском [и русском] языках означает не то же самое, что в физике, и поскольку то, каким образом преподносят эту концепцию, сильно отличается от современной физической точки зрения, я предпочитаю использовать для этой энергии другое название – чтобы она не связывалась с имеющимися у читателя представлениями, правильными или неправильными.

Кроме того, в статье про массу и энергию я называл энергию взаимодействия «энергией взаимоотношений». Ниже станет ясно, почему – но я решил, что это была плохая идея, и перешёл на другое именование.

Преамбула: пересмотр концепций

С текущей точки зрения, предпочтительной для физиков и проверенной в экспериментах, весь мир состоит из полей. Самым интуитивно понятным примером поля может служить ветер:

• Его везде можно измерить,
• Он может быть нулевым или ненулевым,
• В нём могут проходить волны (которые мы зовём звуком).

В большинстве полей могут образовываться волны, и благодаря квантовой механике эти волны не могут быть сколь угодно малой высоты.

Волна наименьшей возможной высоты – или наименьшей амплитуды и наименьшей мощности – называется «квантом», или, часто «частицей» – однако, последний вариант иногда приводит к путанице.

Фотон – это квант, или частица света (под «светом» тут подразумевается как видимая часть спектра, так и другие вариации). Это самая тусклая из возможных вспышек света, наименее мощная волна в электрическом и магнитном поле, которую можно создать. Можно создать два фотона, три или шестьдесят два. Нельзя создать треть фотона или два с половиной. Ваши глаза построены именно так, чтобы поглощать по одному фотону за раз.

То же относится к электронам, мюонам, кваркам, W-частицам, частице Хиггса и всем остальным. Всё это кванты своих полей.

При этом квант, хоть он и будет возмущением поля, ведёт себя как частица:

• Сохраняет целостность при движении в пустом пространстве.
• Обладает определёнными, хотя и зависящими от наблюдателя, энергией и импульсом.
• Обладает определённой, не зависящей от наблюдателя, массой.
• Может быть излучён или поглощён как единое целое.

Напомню, что в физике частиц под массой принято понимать то, что раньше называли «массой покоя», для которой уравнение E = mc 2 выполняется только, если частица покоится. У движущейся частицы E > mc 2 , поскольку энергия её массы равна mc 2 , а энергия движения всегда положительна. Именно это определение следует иметь в виду при прочтении данной статьи.

Энергия взаимодействующих полей

Теперь обратимся к самой неуловимой форме энергии. Энергия частицы состоит из энергии массы и энергии движения. Помните, что частица – это возмущение поля, то есть, хорошо определённая волна.

Рис. 1: набросок того, как присутствие кванта одного поля (голубая волна) создаёт возмущение во втором поле (зелёном), достигающее наибольшей интенсивности вокруг возмущения и уменьшающегося до нуля при отдалении.

Но поля способны делать много всего, не только порождать возмущения. К примеру, возмущение одного поля может вызвать неволновое изменение в другом поле. На рис. 1 я нарисовал такой случай – голубая волна-квант одного поля и ответная реакция другого поля.

Допустим, у нас есть две частицы – пусть это будут возмущения двух различных полей. На рис. 2 я обозначил их голубой и оранжевой волнами. Оба этих поля взаимодействуют с зелёным полем. Тогда изменение зелёного поля станет сложнее. Это набросок, а не точное отражение того, что слишком сложно изобразить на рисунке, но идею он даёт.

Какой же получается энергия этой системы двух частиц – двух возмущений двух разных полей и третьего поля, взаимодействующего с ними обоими?

Возмущения – это кванты, или частицы. У них есть масса и энергия движения, и обе эти величины положительны.

Рис. 2

У изменения зелёного поля тоже есть какая-то энергия. Она также положительная, хотя часто очень маленькая по сравнению с энергией частиц. Её часто называют энергией поля.

Но во взаимоотношениях различных полей есть дополнительная энергия. Энергия есть там, где сильны голубое и зелёное поля, а также там, где сильны оранжевое и зелёное поля. И вот, в чём странность. Если сравнить рис. 1 с рис. 2, на обеих будет энергия там, где сильны голубое и зелёное поля. Но присутствие поблизости возмущения оранжевого поля изменяет зелёное поле, и тем самым изменяет энергию в том районе, где находится голубое поле, как показано на рис. 3.

Рис. 3

В зависимости от того, как оранжевое и зелёное поля взаимодействуют друг с другом, и как взаимодействуют голубое и зелёное поля, изменение в энергии может быть положительным или отрицательным. Это изменение я и буду называть энергией взаимодействия.

Возможности отрицательного изменения энергии взаимодействия голубого и зелёного полей ввиду наличия оранжевого возмущения (и наоборот) – возможность того, что энергия взаимодействия будет отрицательной – самый важный факт, из-за которого и становится возможным существование всех структур во Вселенной, от атомных ядер до человеческих тел и галактик. Именно об этом и рассказывается далее.

Земля и Луна

Земля, очевидно, частицей не является. Это огромный набор частиц, возмущений самых разных полей. Но всё сказанное выше применимо и ко множеству возмущений, а не только к одному, и все они взаимодействуют с гравитационными полями.

Представьте Землю саму по себе. Её присутствие создаёт возмущение в гравитационном поле (которое, с точки зрения Эйнштейна, является искажением локального пространства и времени, но это для нас не критично). Теперь разместим поблизости Луну. Она тоже искажает гравитационное поле. И гравитационное поле вокруг Земли изменяется из-за присутствия Луны. Подробности того, как гравитация взаимодействует с частицами и полями, составляющими Землю, гарантируют, что в результате влияния Луны появляется отрицательная энергия взаимодействия между гравитационным полем и Землёй. Обратное также верно.

Именно поэтому Луна и Земля не могут разлететься и остаются в ловушке, связанные вместе так же прочно, как если бы они были связаны гигантским тросом. Если бы Луна была очень далеко от Земли, то энергия взаимодействия системы – Земли, Луны и гравитационного поля – была бы нулевой, а не отрицательной. Но энергия должна сохраняться. Поэтому, чтобы отодвинуть Луну дальше от Земли по сравнению с её текущим местоположением, необходимо где-то взять огромное количество положительной энергии – чтобы увеличить отрицательную энергию взаимодействия до нуля. У Луны и Земли есть положительная энергия движения из-за движения по орбитам, но её недостаточно для того, чтобы они разбежались.

Рис. 4: Абсолютная аналогия с рис. 3

И кроме как столкнуть другую планету с Луной, не существует способа получить такую огромную энергию, случайно или намеренно, из расположенных поблизости источников. Мощности всего накопленного человечеством оружия и близко не хватит. Поэтому Луна не может внезапно отдалиться от Земли – она тут надолго, до тех пор, пока какая-нибудь впечатляющая катастрофа не собьёт её с орбиты.

Вам, возможно, известно, что самой популярной теорией формирования Земли и Луны считается теория столкновения двух объектов размером с планету – большой протоземли и объекта размером с Марс. Эта теория объясняет множество сложных загадок, связанных с Луной. На заре Солнечной системы однозначно происходили высокоэнергетические столкновения на планетарных масштабах, поскольку Солнце и планеты сформировались более 4 млрд лет назад! Но таких столкновений не было уже очень давно.

Та же логика объясняет, почему искусственные спутники Земли остаются на орбите, почему Земля привязана к Солнцу, а Солнце – к Млечному пути, городу, где живёт триллион звёзд.

Атом водорода

На более мелких масштабах и с менее очевидными последствиями электрон и протон, составляющие атом водорода, остаются связанными друг с другом, если только извне не приходит энергия для изменения их состояния. В данном случае основную работу берёт на себя электрическое поле. В присутствии электрона энергия взаимодействия между электрическим полем и протоном (и наоборот) отрицательная. В результате, после того, как вы сформировали атома водорода из электрона и протона (и подождали ещё крохотную долю секунды, пока они не устаканятся до предпочтительной конфигурации, основного состояния), то количество энергии, необходимое для их разделения, составит порядка 14 эВ. Мы называем её энергией связи водорода.

Рис. 5 (не в масштабе! Электрон и протон гораздо меньше). Внутри атома водорода электронное возмущение распространяется в виде облака вокруг протона. Энергия взаимодействия, включающая протон, электрон и электронное поле, составляет -28 эВ, она частично компенсируется (в основном благодаря энергии движения электрона) и даёт энергию связи в -14 эВ.

Мы можем измерить энергию связи, посветив на атомы водорода ультрафиолетом (фотонами с энергией слишком большой для того, чтобы увидеть их глазом), и посмотрев, насколько большой должна быть энергия фотонов, чтобы разбить атом водорода. Мы также можем подсчитать её при помощи уравнений квантовой механики – и успешное предсказание этой величины служит одним из простейших проверок современной теории квантовой физики.

Но сейчас я хочу вернуться к тому, что я упоминал в статье про массу и энергию, к одной из ключевых идей Эйнштейна, приобретённой им благодаря работе с последствиями его уравнений. Если у вас есть система объектов, то масса системы не будет равна сумме масс объектов, содержащихся в ней. Она даже не пропорциональна сумме энергий содержащихся в ней частиц. Она будет равной общей энергии системы, делённой на c 2 с точки зрения наблюдателя, покоящегося относительно этой системы. (Для движущегося наблюдателя у системы будет ещё энергия движения, не добавляющая системе массы). В эту общую энергию входят:

• Энергии массы частиц (колебаний полей),
• Энергии движения частиц,
• Иные источники энергии полей, происходящие от неволновых возмущений,
• Энергии взаимодействия полей.

Что мы узнали из того факта, что для разрушения атома водорода необходимо 14 эВ? Ну, разбив эту систему, вы окажетесь с протоном и электроном на руках, отстоящих далеко друг от друга, и не особенно быстро двигающихся. В тот момент энергия системы составит:

• Энергии массы частиц = энергия массы электрона + энергия массы протона = 510 999 эВ + 938 272 013 эВ
• Энергии движения частиц = 0
• Иные источники энергии полей, происходящие от неволновых возмущений = 0
• Энергии взаимодействия полей = 0

Но мы знаем, что до этого система атома водорода обладала энергией на 14 эВ меньше.

Энергия массы электрона всегда равна 510 999 эВ, а протона – 938 272 013 эВ, вне зависимости от того, чем они занимаются. Поэтому вклад энергии массы водорода в общую энергию такой же, как у разведённых в стороны электрона и протона. Должно получаться следующее:

• Энергии движения частиц внутри водорода,
• ПЛЮС другие источники энергий полей от неволновых возмущений (крайне малые),
• ПЛЮС энергии взаимодействия полей,
• Должны быть РАВНЫ энергии связи -14 эВ.

И если провести все расчёты, то цифры получаются примерно такие:

• Энергия движения частиц = +14 эВ,
• другие источники энергий полей от неволновых возмущений = крайне малые,
• энергии взаимодействия полей = -28 эВ,

и сумма всего этого получится равной -14 эВ.

В том, что энергия взаимодействия равна -2 * энергию движения, нет случайности. Грубо говоря, это следует из закона обратных квадратов для электрических полей. Конкретно, это следует из теоремы о вириале.

Какова в таком случае масса атома водорода?

масса электрона + масса протона + энергия связи / c 2

А поскольку энергия связи отрицательна из-за большой по модулю и отрицательной энергии взаимодействия, получается

Это один из самых важных фактов Вселенной!

Почему атом водорода не распадается

Теперь я скажу вам то же самое, но на немного другом языке, языке физики частиц.

Водород – это стабильный составной объект, состоящий из протона и электрона, связанных благодаря взаимодействию с электрическим полем.

Почему он стабилен?

Любой нестабильный объект распадётся. Распад возможен, только если сумма масс частиц, на которые распадётся первичный объект, меньше, чем масса начального объекта. Это следует из законов сохранения энергии и импульса.

Минимальные штуки, на которые может распасться атом водорода, это протон и электрон. Но масса атома водорода меньше (из-за отрицательных 14 эВ энергии связи) суммы масс электрона и протона. Ещё раз, это важно:

Но ни на что другое водород распадаться не может, поэтому водород вообще не может распасться.

Всё это работает до тех пор, пока не распадётся протон, что, если и может случиться, то неимоверно редко – мы ещё ни разу не наблюдали такого события. Нам уже точно известно, что это настолько редкое событие, что в течение вашей жизни в вашем теле не распадётся ни один протон. Так что эту возможность отбросим.

То же верно и для остальных атомов. Атомы стабильны, поскольку энергия взаимодействия электронов и атомных ядер отрицательна. Масса атома получается меньше, чем сумма масс его компонентов, поэтому атом не может развалиться на электроны и ядро.

Один подвох: атом может развалиться по-другому, в результате распада ядра. И если протон не может распадаться (или делает это чрезвычайно редко), для большинства ядер ситуация уже совсем другая.

И это подводит нас к важным вопросам.

• Почему нейтрон, нестабильный сам по себе, стабилен в атомном ядре?
• Почему некоторые ядра атомов стабильны, а некоторые – нет?
• Почему протон стабилен, несмотря на то, что он тяжелее содержащихся в нём кварков?