Уравнение энергии жидкости и газа

Основы гидравлики

Уравнение Бернулли — фундамент гидродинамики

Бернулли — вне всякого сомнения — имя, знакомое и специалистам, и обывателям, которые хоть немного интересуются науками. Этот человек оставил ослепительный след в истории познавания человечеством окружающего мира, как физик, механик, гидравлик и просто общепризнанный гений, Даниил Бернулли навсегда останется в памяти благодарных потомков за свои идеи и выводы, которые долгое время существования человечества были покрыты мраком неизведанного.
Открытия и законы, которыми Бернулли осветил путь к познанию истины, являются фундаментальными, и придали ощутимый импульс развитию многих естественных наук. К таковым относится и уравнение Бернулли в Гидравлике, которое он вывел почти три века назад. Данное уравнение является основополагающим законом этой сложной науки, объясняющим многие явления, описанные даже древними учеными, например, великим Архимедом.

Попробуем уяснить несложную суть закона Бернулли (чаще его называют уравнением Бернулли), описывающего поведение жидкости в той или иной ситуации.

Выделим в стационарно текущей идеальной жидкости трубку тока, которая ограничена сечениями S₁ и S₂ , (рис. 1) .
(Понятие идеальной жидкости абстрактно, как и понятие всего идеального. Идеальной считается жидкость, в которой нет сил внутреннего трения, т. е. трения между отдельными слоями и частицами подвижной жидкости).
Пусть в месте сечения S₁ скорость течения ν₁ , давление p₁ и высота, на которой это сечение расположено, h₁ . Аналогично, в месте сечения S₂ скорость течения ν₂ , давление p₂ и высота сечения h₂ .

За бесконечно малый отрезок времени Δt жидкость переместится от сечения S₁ к сечению S₁‘ , от S₂ к S₂‘ .

По закону сохранения энергии, изменение полной энергии E₂ — E₁ идеальной несжимаемой жидкости равно работе А внешних сил по перемещению массы m жидкости:

где E₁ и E₂ — полные энергии жидкости массой m в местах сечений S₁ и S₂ соответственно.

С другой стороны, А — это работа, которая совершается при перемещении всей жидкости, расположенной между сечениями S₁ и S₂ , за рассматриваемый малый отрезок времени Δt .
Чтобы перенести массу m от S₁ до S₁‘ жидкость должна переместиться на расстояние L₁ = ν₁Δt и от S₂ до S₂‘ — на расстояние L₂ = ν₂Δt . Отметим, что L₁ и L₂ настолько малы, что всем точкам объемов, закрашенных на рис. 1 , приписывают постоянные значения скорости ν , давления р и высоты h .
Следовательно,

где F₁ = p₁S₁ и F₂ = — p₂S₂ (сила отрицательна, так как направлена в сторону, противоположную течению жидкости; см. рис. 1).

Полные энергии E₁ и E₂ будут складываться из кинетической и потенциальной энергий массы m жидкости:

Подставляя (3) и (4) в (1) и приравнивая (1) и (2) , получим

Согласно уравнению неразрывности для несжимаемой жидкости, объем, занимаемый жидкостью, всегда остается постоянным, т. е.

Разделив выражение (5) на ΔV , получим

где ρ — плотность жидкости.

После некоторых преобразований эту формулу можно представить в другом виде:

Поскольку сечения выбирались произвольно, то в общем случае можно записать:

ρv 2 /2 +ρgh +p = const (6) .

Выражение (6) получено швейцарским физиком Д. Бернулли (опубликовано в 1738 г.) и называется уравнением Бернулли.

Даниил Бернулли (Daniel Bernoulli, 1700 — 1782), швейцарский физик, механик и математик, один из создателей кинетической теории газов, гидродинамики и математической физики. Академик и иностранный почётный член (1733) Петербургской академии наук, член Академий: Болонской (1724), Берлинской (1747), Парижской (1748), Лондонского королевского общества (1750).

Уравнение Бернулли по своей сути является интерпретацией закона сохранения энергии применительно к установившемуся течению идеальной жидкости. Уравнение хорошо выполняется и для реальных жидкостей, для которых внутреннее трение не очень велико.

Величина р в формуле (6) называется статическим давлением (давление жидкости на поверхность обтекаемого ею тела) , величина ρν 2 /2 — динамическим давлением, величина ρgh — гидростатическим давлением.

Статическое давление обусловлено взаимодействием поверхности жидкости с внешней средой и является составляющей внутренней энергии рассматриваемого элементарного объема жидкости (т. е. характеризуется взаимодействием внутренних частиц жидкости, вызванных внешним возмущением — давлением) , а гидростатическое – положением этого объема жидкости в пространстве (зависит от высоты над поверхностью Земли) .
Динамическое давление характеризует кинематическую составляющую энергии этого объема, поскольку зависит от скорости потока, в котором движется рассматриваемый элементарный объем жидкости.

Для горизонтальной трубки тока изменение потенциальной составляющей ρgh будет равно нулю (поскольку h2 – h1 = 0) , и выражение (6) примет упрощенный вид:

ρv 2 /2 + p = const (7) .

Выражение p + ρν 2 /2 называется полным давлением.

Таким образом, содержание уравнения Бернулли для элементарной струйки при установившемся движении можно сформулировать так: удельная механическая энергия при установившемся движении элементарной струйки идеальной жидкости, представляющая собой сумму удельной потенциальной энергии положения и давления и удельной кинетической энергии, есть величина постоянная.

Все члены уравнения Бернулли измеряются в линейных единицах.

В гидравлике широко применяют термин напор, под которым подразумевают механическую энергию жидкости, отнесенную к единице ее веса (удельную энергию потока или неподвижной жидкости) .
Величину v 2 /2g называют скоростным (кинетическим) напором, показывающим, на какую высоту может подняться движущаяся жидкость за счет ее кинетической энергии.
Величину h_п = p/ρg называют пьезометрическим напором, показывающим на какую высоту поднимается жидкость в пьезометре под действием оказываемого на нее давления.
Величину z называют геометрическим напором, характеризующим положение центра тяжести соответствующего сечения движущейся струйки над условно выбранной плоскостью сравнения.

Сумму геометрического и пьезометрического напоров называют потенциальным напором, а сумму потенциального и скоростного напора — полным напором.

На основании анализа уравнения Бернулли можно сделать вывод, что при прочих неизменных параметрах потока (жидкости или газа) величина давления в его сечениях обратно пропорциональна скорости, т. е. чем выше давление, тем меньше скорость, и наоборот.
Это явление используется во многих технических конструкциях и устройствах, например, в карбюраторе автомобильного двигателя (диффузор), в форме крыла самолета. Увеличение скорости воздушного потока в диффузоре карбюратора приводит к созданию разрежения, всасывающего бензин из поплавковой камеры, а специальная форма сечения самолетного крыла позволяет создавать на его нижней стороне зону повышенного давления, способствующего появлению подъемной силы.

Геометрическая интерпретация уравнения Бернулли

Поскольку напор измеряется в линейных величинах, можно дать графическую (геометрическую) интерпретацию уравнению Бернулли и его составляющим.

На графике (рис. 2) представлена горизонтальная плоскость сравнения 0-0 , относительно которой геометрический напор будет в каждом сечении равен вертикальной координате z центра тяжести сечения (линия геометрического напора проходит по оси струйки) .
Линия К-К , характеризующая потенциальный напор струйки, получена сложением геометрического и пьезометрического напора в соответствующих сечениях (т. е. разница координат точек линии К-К и соответствующих точек оси струйки характеризует пьезометрический напор в данном сечении) .
Полный напор характеризуется линией MN , которая параллельна плоскости сравнения О-О , свидетельствуя о постоянстве полного напора H’_e (удельной механической энергии) идеальной струйки в любом ее сечении.

При движении реальной жидкости, обладающей вязкостью, возникают силы трения между ограничивающими поток поверхностями и между слоями внутри самой жидкости. Для преодоления этих сил трения расходуется энергия, которая превращается в теплоту и рассеивается в дальнейшем движущейся жидкостью. По этой причине графическое изображение уравнения Бернулли для идеальной жидкости будет отличаться от аналогичного графика для реальной жидкости.
Если обозначить h_f потери напора (удельной энергии) струйки на участке длиной L , то уравнение Бернулли для реальной жидкости примет вид:

Для реальной жидкости полный напор вдоль струйки не постоянен, а убывает по направлению течения жидкости, т. е. его графическая интерпретация имеет вид не прямой линии, а некоторой кривой МЕ (рис. 3) . Заштрихованная область характеризует потери напора.

Падение напора на единице длины элементарной струйки, измеренной вдоль оси струйки, называют гидравлическим уклоном:

Гидравлический уклон положителен, если напорная линия снижается по течению жидкости, что всегда бывает при установившемся движении.

Для практического применения уравнения Бернулли необходимо распространить его на поток реальной жидкости:

где α₁ , α₂ — коэффициенты Кориолиса, учитывающие различие скоростей в разных точках сечения потока реальной жидкости.
На практике обычно принимают α₁ = α₂ = α : для ламинарного режима течения жидкости в круглых трубах α = 2, для турбулентного режима α = 1,04. 1,1.

Из уравнения Бернулли для горизонтальной трубки тока и уравнения неразрывности ( S₁v₁Δt = S₂v₂Δt ) видно, что при течении жидкости по горизонтальной трубе, которая имеет различные сечения, скорость жидкости больше в более узких местах (где площадь сечения S меньше) , а статическое давление больше в более широких местах, т. е. там, где скорость меньше. Это можно увидеть, установив вдоль трубы ряд манометров.

Данный опыт показывает, что в манометрической трубке В , которая прикреплена к узкой части трубы, уровень жидкости ниже, чем в манометрических трубках А и С , которые прикреплены к широкой части трубы, что соответствует уравнению Бернулли.

Так как динамическое давление зависит от скорости движения жидкости (газа) , то уравнение Бернулли можно использовать для измерения скорости потока жидкости. Принципиально это свойство жидкости для определения скорости потока реализовано в так называемой трубке Пито – Прандтля (обычно ее называют трубкой Пито ) .

Трубка Пито – Прандтля ( см. рис. 2 ) состоит из двух тонких стеклянных трубок, одна из которых изогнута под прямым углом (Г-образно) , а вторая — прямая.
Одним из свободных концов каждая трубка присоединена к манометру.
Изогнутая трубка имеет открытый свободный конец, направленный против тока и принимающий напор потока жидкости, а вторая погружена в поток перпендикулярно току, и скорость потока на давление внутри трубки не влияет, т. е. внутри этой трубки действует лишь статическая составляющая давления жидкости.
Разница между давлением в первой трубке (полное давление) и второй трубке (статическое давление) , которую показывает манометр, является динамическим давлением, определяемым по формуле:

Определив с помощью трубки Пито — Прандтля динамическое давление в потоке жидкости, можно легко вычислить скорость этого потока:

Уравнение Бернулли также используют для нахождения скорости истечения жидкости через отверстие в стенке или дне сосуда. Рассмотрим цилиндрический сосуд с жидкостью, с маленьким отверстием в боковой стенке на некоторой глубине ниже уровня жидкости.

Рассмотрим два сечения (на уровне h₁ свободной поверхности жидкости в сосуде и на уровне h₁ выхода ее из отверстия) и применим уравнение Бернулли:

Так как давления р₁ и р₂ в жидкости на уровнях первого и второго сечений равны атмосферному, т. е. р₁ = р₂ , то уравнение будет иметь вид

Из уравнения неразрывности мы знаем, что ν₁/ν₂ = S₂/S₁ , где S₁ и S₂ — площади поперечных сечений сосуда и отверстия.
Если S₁ значительно превышает S₂ , то слагаемым ν₁ 2 /2 можно пренебречь и тогда:

Это выражение получило название формулы Торричелли.
Формулу Торричелли можно использовать для подсчета объемного (или массового) расхода жидкости, истекающего из отверстия в сосуде с поддерживаемым постоянно уровнем под действием атмосферного давления.
При этом используется формула Q = vS (для определения массового расхода – m = ρvS ) , по которой определяется расход жидкости за единицу времени.

Если требуется узнать расход жидкости за определенный промежуток времени t , то его определяют, умножив расход за единицу времени на время t .

Следует отметить, что такая методика расчета расхода реальной жидкости через отверстие в стенке сосуда дает некоторые погрешности, обусловленные физическими свойствами реальных жидкостей, поэтому требует применения поправочных коэффициентов (коэффициентов расхода) .

Пример решения задачи на определение расхода жидкости

Определить примерный объемный расход воды, истекающей из отверстия диаметром 10 мм, проделанном в вертикальной стенке широкого сосуда на высоте h = 1 м от верхнего, постоянно поддерживаемого, уровня воды за 10 секунд.
Ускорение свободного падения принять равным g = 10 м/с 2 .
Коэффициент расхода воды через отверстие — µ_s = 0,62.

По формуле Торричелли определим скорость истечения воды из отверстия:

v = √2gh = √2×10×1 ≈ 4,5 м/с.

Определим расход воды Q за время t = 10 секунд:

Q = µ_svSt = 0,62×4,5×3,14×0,012/4 × 10 ≈ 0,0022 м 3 ≈ 2,2 литра.

На практике расход жидкости в трубопроводах измеряют расходомерами, например, расходомером Вентури. Расходомер Вентури (см рис. 2) представляет собой конструкцию из двух конических патрубков, соединенных цилиндрическим патрубком. В сечениях основной трубы и цилиндрического патрубка устанавливают трубки-пьезометры, которые фиксируют уровень жидкости, обусловленный полным давлением в потоке.

При прохождении жидкости через сужающийся конический патрубок часть потенциальной энергии потока преобразуется в кинетическую, и, наоборот, – при прохождении потока по расширяющемуся коническому патрубку, кинетическая энергия уменьшается, а потенциальная растет. Это сказывается на скорости движения жидкости по рассматриваемым участкам. Перепад высоты уровня жидкости в пьезометрах позволяет рассчитать среднюю скорость потока жидкости на рассматриваемых участках и вычислить объемный расход по внутреннему сечению трубы.
В расходомерах учитываются потери напора в самом приборе при помощи коэффициента расхода прибора φ .

Закон Бернулли как следствие закона сохранения энергии

Разделы: Физика

Цели урока:

• Изучить частный случай закона сохранения энергии в применении к объяснению зависимости давления от скорости движения жидкости и газа;
• Сформулировать закон Бернулли;
• Рассмотреть примеры его применения и проявления на практике.

Тип урока: комбинированный.

Оборудование: компьютер, мультимедийный проектор, экран, презентация к уроку.

Оборудование для демонстраций: весы, макет крыла самолета, небольшая воронка, теннисный шарик, воздуходувка (фен), демонстрационный манометр, таблички на магнитах с физическими формулами.

Оборудование для практических работ: стакан с водой, одноразовый шприц, два листа бумаги, бруски.

I. Организационный момент.

Тема, скорее название, нашего урока звучит не совсем обычно. Может быть кто-то из вас подумал: причем здесь физика? А действительно, причем здесь физика? А это и предстоит нам выяснить сегодня. В конце урока вы должны будете сами сформулировать правильно “физическую” тему. Я же скажу только, что эти объекты объединены одним и тем же законом, а именно, законом сохранения полной механической энергии. Работать вы будете на рабочих картах (приложение 1). Напишите свою фамилию на карте в правом верхнем углу.

II. Актуализация знаний.

Итак, начинаем. Раз уж я упомянула закон сохранения механической энергии, то давайте его вспомним.

1. Что утверждает закон сохранения полной механической энергии?
2. Что называется полной механической энергией?
3. Какая энергия называется кинетической? По какой формуле рассчитывается?
4. Какая энергия называется потенциальной? Формулы потенциальной энергии.

III. Основная часть. Изучение нового материала.

Сегодня на уроке мы будем говорить о применении закона сохранения для движущихся потоков жидкостей и газов. Движение жидкостей и газов разделяется на ламинарное и турбулентное. На дидактических картах (приложение 2) у вас есть их определения. Давайте прочитаем. Мы будем рассматривать ламинарное течение.

А начнем мы с вопроса: можно ли удержать шарик в вертикальной воронке, выдувая из нее воздух? Хорошо, давайте проверим это на опыте. Критерием любой истины является опыт. Мне нужен помощник, который выполнит этот несложный эксперимент. Оказывается, чтобы удержать шарик в воронке надо выдувать воздух. Кто же может объяснить этот “парадокс”? Тогда запишем первый вопрос в таблицу на рабочей карте. Почему при выдувании воздуха из воронки шарик удерживается в ней?

Продолжаем отвечать на вопросы. Что произойдет с листом бумаги, если подуть над ним? Расположите лист бумаги на уровне рта и с силой продуйте воздух. Что произошло с листом бумаги? А почему? Запишите в таблицу на рабочих картах и этот вопрос: почему поднялся листок?

Проведем еще один опыт. Наберите в шприц воды из стакана и, надавливая на поршень, выпустите ее (добейтесь, чтобы она вытекала непрерывной струёй). Сначала выполняет товарищ по парте, а сосед наблюдает. Потом поменяйтесь ролями. Обратите внимание на толщину вытекающей струи. Струя становится уже. А теперь надо объяснить увиденное. Есть какие-то предположения? Записываем в таблицу второй вопрос: почему струя вытекающей воды становится уже? К этим вопросам мы вернемся попозже.

Что ж, вопросов, наверно, пока достаточно. Пора искать ответы. Поможет в этом известный вам закон сохранения механической энергии и неизвестный пока закон Бернулли.

Рассмотрим ламинарное течение жидкости по трубе разного сечения. Посмотрите на слайд. Там, где сечение не меняется скорость тоже остается постоянной. Но одинакова ли скорость течения жидкости на различных участках? И где больше? А может кто-нибудь объяснить почему? (Так как жидкость несжимаема, то за одинаковый промежуток времени t через каждое из этих сечений должна пройти жидкость одного и того же объема. Но как жидкость, протекающая через первое сечение может “успеть” за то же время протечь через значительно меньшее сечение ? Очевидно, что для этого при прохождении узких частей трубы скорость движения жидкости должна быть больше, чем при прохождении широких).

Покажите на рисунке 1 в рабочих картах векторы скоростей в различных участках. А теперь проверим как это получилось у меня (слайд). Значит, скорость зависит от сечения. Более того, зависимость эта обратно пропорциональна. Математически это выражается следующим соотношением, которое носит название уравнения неразрывности струи: VS= const, здесь – V скорость жидкости, S – площадь сечения трубы, по которой течет жидкость. Сформулировать этот закон можно так: сколько вливается жидкости в трубу, столько должно и выливаться, если условия течения не изменяются. Скорость в узких участках трубы должна быть выше, чем в широких.

Отсюда следует, что

Вывод: чем меньше площадь сечения, тем больше скорость.

Задача №1. Как и во сколько раз изменится кинетическая энергии жидкости, если сечение трубы уменьшить в 2 раза? (Ответ увеличится в 4 раза). А потенциальная энергия? Осторожно, ошибка!

Потенциальная энергия уменьшится, но необязательно в 4 раза!

(Например: 100 = 100, 100 = 10 + 90, 100 = 40 + 60)

С вопросом о скорости вы справились хорошо. А что скажете о давлении воды в разных частях? Если изменяется, то как? На рисунке 2 отметьте уровень воды в вертикальных трубках в зависимости от давления жидкости в горизонтальной трубе. А теперь посмотрим, на этот слайд . В узких местах трубы высота столбика жидкости меньше, чем в широких. О чем говорит разная высота воды? Оказывается, в узких местах трубы давление жидкости меньше, чем в широких. А почему?

При переходе жидкости из широкого участка в узкий скорость течения увеличивается, то это значит, что где-то на границе между узким и широким участком трубы жидкость получает ускорение. А по второму закону Ньютона для этого на этой границе должна действовать сила. Этой силой может быть только разность между силами давления в широком и узком участках трубы. В широком участке трубы давление должно быть больше, чем в узком. Этот вывод следует из закона сохранения энергии. Если в узких местах трубы увеличивается скорость жидкости, то увеличивается и ее кинетическая энергия. А так как мы условились, что жидкость течет без трения, то этот прирост кинетической энергии должен компенсироваться уменьшением потенциальной энергии, потому что полная энергия должна оставаться постоянной. Но это не потенциальная энергия “mgh”, потому что труба горизонтальная и высота h везде одинакова. Значит, остается только потенциальная энергия, связанная с силой упругости. Сила давления жидкости – это и есть сила упругости сжатой жидкости. В широкой части трубы жидкость несколько сильнее сжата, чем в узкой. Правда, мы только что говорили, что жидкость считается несжимаемой. Но это значит, что жидкость не настолько сжата, чтобы сколько-нибудь заметно изменился ее объем. Очень малое сжатие, вызывающее появление силы упругости, неизбежно. Оно и уменьшается в узких частях трубы.

Чтобы разобраться в причинах уменьшения давления в узких частях и увеличения в широких, используем закон сохранения энергии и математические навыки. Я начну, а вы будете помогать.

Работа сил давления, совершенная над элементом жидкости при его перемещении, равна:

здесь =V₁ и =V ₂ – объемы жидкости, прошедшей за одно и тоже время через сечения 1 и 2. Подставим (2) в (1) и получаем:

Так как высота центра масс трубы не меняется, то h₁ = h _{2 .} Выберем нулевой уровень, проходящий через центр масс, тогда mgh ₁ = mgh₂ = 0.

Так как жидкость практически несжимаема, то объемы ее, прошедшие за одно и тоже время равны, V_{1 =} V ₂ (или ), поэтому обе части равенства можно разделить обе части на V.

(*)

Таким образом, если скорость, например, увеличивается, то увеличивается первое слагаемое, значит, чтобы равенство выполнялось, на такую же величину второе слагаемое уменьшается, т.е. уменьшается давление.

Вывод: Чем больше скорость потока жидкости, тем меньше ее давление.

Зависимость давления от скорости течения называют эффектом, а уравнение (*) – законом Бернулли в честь автора, швейцарского ученого Даниила Бернулли, который, кстати, работал в С.Петербурге. Закон Бернулли для ламинарных потоков жидкости и газов является следствием закона сохранения энергии.

Убедимся на опыте, что полученный вывод справедлив и для газов. Для этого выполним еще практические задания (описание на дидактической карте).

1 Вариант. Возьмите в руки два листка бумаги и расположите их на расстоянии3– 4см друг от друга и продуйте несильно между ними воздух. Что наблюдаем? Почему? Между листочками давление уменьшилось, а снаружи осталось таким же. Повторите опыт, но подуйте теперь сильнее. Объясните этот результат.

2 Вариант. Положите листок на две книги, как показано на слайде. Продуйте воздух под листком сначала несильно, а потом сильнее. Объясните, что вы наблюдали.

Настало время для ответов на оставленные вами, но не забытые мною вопросы:

• Почему при выдувании воздуха из воронки шарик удерживается в ней?
• Почему поднялся листок?
• Почему струя вытекающей воды становится уже?

Запишите ответы в таблицы.

Вот и настала очередь самолетов. Посмотрим видеофрагмент (Приложение 4).

Так почему же поднимается самолет? В чем причина возникновения подъемной силы?

Все дело в форме крыла и в угле атаки.

Убедимся на опыте (рисунок 1). Почему нарушилось равновесие весов?

Кстати сказать, у птиц крыло тоже имеет похожую форму.

Эффект Бернулли — это то, благодаря чему птицы и самолеты могут летать. Разрез крыла у них практически одинаковый: за счет сложной формы крыла создается разница обтекающих его сверху и снизу воздушных потоков, что позволяет телу подниматься вверх.

Формулу для расчета подъемной силы впервые получил наш соотечественник Николай Егорович Жуковский – “отец русской авиации”.

Что касается белок – летяг, то они, конечно же не могут развить большую скорость и форма “крыльев” немножко другая, поэтому и подъемная сила у них невелика и возникает она в большой степени из-за угла наклона. Как и обычная белка, летяга большую часть жизни проводит на деревьях, но на землю спускается гораздо реже. Между передними и задними лапами у неё имеется кожная перепонка, которая позволяет планировать с дерева на дерево. Так белка-летяга преодолевает расстояние до 50–60 м по нисходящей параболической кривой. Для прыжка летяга забирается на верхушку дерева. Во время полёта её передние конечности широко расставлены, а задние прижаты к хвосту, образуя характерный треугольный силуэт. Меняя натяжение перепонки, летяга маневрирует, иногда изменяя направление полёта на 90°. Хвост в основном выполняет роль тормоза. Посадку на ствол дерева летяга обычно совершает по касательной, как бы сбоку. Перед посадкой принимает вертикальное положение и цепляется всеми четырьмя лапами, после чего сразу перебегает на другую сторону ствола. Этот маневр помогает ей уворачиваться от пернатых хищников.

Задача№2: В полете давление воздуха под крылом самолета 97,8 кН/м 2 , а над крылом 96,8 кН/м 2 . Площадь крыла 20 м 2 . Определить подъемную силу.

Решение: F = PS, где P = P₂ – P _1, тогда F = ( P₂ – P ₁)S, F =20 . 10 3 H

Задача №3. О “крученых мячах” вы прочитаете самостоятельно текст и ответьте на вопросы.

Эффект Магнуса.

1. Почему движущиеся вращающиеся тела отклоняются от прямолинейной траектории?
2. Почему давление на мяч с разных сторон различно?
3. Почему относительная скорость воздушного потока различна по разные стороны мяча?

Можно привести еще множество примеров: бумеранг, летающие тарелки, водоструйный насос, распылители, карбюраторы, катера на подводных крыльях.

А вот посмотрите, какую опасность представляет уменьшение давления для морских судов. Поток воды между судами имеет меньшее давление, чем снаружи. Все моряки знают, что два судна, идущих рядом на больших скоростях сильно притягиваются друг к другу. Еще опаснее, когда один корабль идет за другим. Силы притяжения, возникшие из-за разности давлений, стремятся корабли развернуть . Задний корабль разворачивается сильнее переднего. Столкновение в таких случаях неизбежно.

Задача №4. Очень часто лоцманы жалуются на коварные мели, которые так и притягивают к себе суда. Почему мели на реках притягивают суда?

IV. Закрепление изученного материала

1. Жидкость течет через трубу с переменным поперечным сечением. В каком сечении трубы скорость “v” течения жидкости и ее давление “P” на стенках максимальна?

v и P максимальны в сечении 1;
• v и P максимальны в сечении 2;
• v максимальны в сечении 1, P – в сечении 2;
• v максимальны в сечении 2, P – в сечении 1;
• v и P одинаковы во всех сечениях.

2. В какой трубке уровень воды будет выше?

3. Что произойдет, если продувать струю воздуха между двумя шариками от пинг-понга, подвешенными на нитях (смотри рисунок)?

• Останутся неподвижными;
• Будут двигаться вместе вправо или влево;
• Отклонятся друг от друга;
• Приблизятся друг к другу.

Подводя итог нашего урока, вспомним еще раз основные законы и уравнения, с которыми познакомились на уроке:

1. Уравнение неразрывности струи – какую зависимость и каких величин оно выражает?
2. Закон Бернулли – что он утверждает?

V. Рефлексия . Подведение итогов урока.

А теперь настало время дать нашему уроку “физическое” название. Какие будут ваши предложения?

Закон Бернулли как следствие закона сохранения энергии. (Проявление и применение закона сохранения энергии для движущихся потоков жидкости и газов).

VI. Домашнее задание.

Домашнее задание:

1. Задачи № 404, 406, 409, 410 (Рымкевич А.П. Физика. Задачник. 10-11 классы.- М.: Дрофа, 2003)
2. Домашняя практическая работа: Сделайте из тонкой бумаги цилиндр диаметром 3 см, длиной 20 см. Положите его на стол на наклонную плоскость. Пронаблюдайте за траекторией, по которой скатывается цилиндр. Объясните наблюдаемое явление.

Тема 3. Кинематика и динамика жидкостей и газов, Лекция 11. Уравнение Бернулли и следствия из него

Тема 3. Кинематика и динамика жидкостей и газов

Лекция 11. Уравнение Бернулли и следствия из него

1. Основные положения гидродинамики. Уравнение неразрывности струи.

2. Уравнение Бернулли.

3. Истечение жидкости из отверстия. Принцип реактивного движения.

ОТВОДИМОЕ ВРЕМЯ: 2 часа.

1. Суханов курс физики. — М.: 1996.

2. Савельев общей физики. Том 1. — M: — Наука, 1996. § 72,73,74.

3. Трофимова физики. – М.: Высшая школа, 1999. § 28,29,30.

4. , Детлаф по физике. — М.: Наука, 1996. Отдел III.

Современные летательные аппараты способны выполнять саше разнообразные задачи и осуществлять полет в различных физических условиях. Физическими условиями полета называется совокупность фи­зических свойств атмосферы и физических явлений, возникающих во время полета летательных аппаратов. Физические условия полета оп­ределяются, в первую очередь, назначением летательного аппарата и могут значительно, а порой и быстро, изменяться в процессе полета. Ярким примером являются пилотируемые космические корабли многора­зового использования, способные осуществлять полет как в околозем­ном космическом пространстве, т. е. в практически безвоздушном пространстве, так и в нижних плотных слоях атмосферы.

В безвоздушном пространстве полет летательных аппаратов осно­ван на реактивном принципе движения, т. е. на законах движения тел с переменной массой, вытекающих из основных законов динамики поступательного движения твердых тел.

Полет летательных аппаратов в воздушной среде подчиняется за­конам аэродинамики, начало которой положено трудами русского уче­ного () и его ученика . В основе аэродинамики, как науки, лежит гидродинамика — физическая теория движения несжимаемых жидкостей с твердыми телами.

Основные положения и выводы гидродинамики применимы не только к жидкостям, но и к газам в том случае, когда сжимаемостью их мож­но пренебречь. Соответствующие расчеты показывают, что при движе­нии жидкостей и газов со скоростями меньшими скорости звука, их с достаточной степенью точности можно считать несжимаемыми. Следова­тельно, движение твердых тел, в том числе летательных аппаратов, в воздушной среде при указанных Скоростях подчиняется законам гидро­динамики.

Для выяснения физической сущности процессов, определяющих по­лет летательных аппаратов, необходимо уяснить основные положения гидродинамики.

1. ОСНОВНЫЕ ПОЛОЖЕНИЯ ГИДРОДИНАМИКИ. УРАВНЕНИЕ НЕРАЗРЫВНОСТИ СТРУИ

Движение жидкостей называется течением, а совокупность частиц движущейся жидкости потоком. Графически движение жидкостей изображается с помощью линий, которые проводятся так, что касательные к ним совпадают по направлению с вектором скорости жидкости в соответствующих точках пространства (рис. 1).

Линии тока проводятся так, чтобы густота их, характеризуемая отношением числа линий к площади перпендикулярной им площадки, через которую они проходят, была больше там, где больше скорость течения жидкости, и меньше там, где жидкость течет медленнее. Таким образом, по картине линий тока можно судить о направлении и модуле скорости в разных точках пространства, т. е. можно определить состояние движения жидкости. Линии тока в жидкости можно «проявить», например, подмешав в нее какие-либо заметные взвешенные частицы.

Часть жидкости, ограниченную линиями тока, называют трубкой тока.

Течение жидкости называется установившимся (или стационарным), если форма и расположение линий тока, а также значения скоростей в каждой ее точке со временем не изменяются.

Рассмотрим какую-либо трубку тока. Выберем два ее сечения S1 и S2, перпендикулярные направлению скорости (рис. 2).

За время Δt через сечение S проходит объем жидкости SvΔt; следовательно, за 1с через S1 пройдет объем жидкости S1v1, где v1 — скорость течения жидкости в месте сечения S1. Через сечение S2 за 1с пройдет объем жидкости S2v2, где v2 — скорость жидкости в месте сечения S2. Здесь предполагается, что скорость жидкости в сечении постоянна. Если жидкость несжимаема (ρ=const), то через сечение S2 пройдет такой же объем жидкости, как и через сечение S1, т. е.

Следовательно, произведение скорости течения несжимаемой жидкости на поперечное сечение трубки тока есть величина постоянная для данной трубки тока. Соотношение 1 называется уравнением неразрывности для несжимаемой жидкости.

2. УРАВНЕНИЕ БЕРНУЛЛИ

Выделим в стационарно текущей идеальной жидкости (физическая абстракция, т. е. воображаемая жидкость, в которой отсутствуют силы внутреннего трения) трубку тока, ограниченную сечениями S1 и S2, по которой слева направо течет жидкость (рис. 3).

Пусть в месте сечения S1 скорость течения v1 давление Р1 и высота, на которой это сечение расположено, h1. Аналогично, в месте сечения S2 скорость течения v2, давление Р2 и высота сечения h2. За малый промежуток времени Δt жидкость перемещается от сечения S1 к сечению S’1, от S2 к S’2.

Согласно закону сохранения энергии, изменение полной энергии E2-E1 идеальной несжимаемой жидкости должно быть равно работе А внешних сил по перемещению массы жидкости:

где E1 и Е2 — полные энергии жидкости массой m в местах сечений S1 и S2 соответственно.

С другой стороны, А — это работа, совершаемая при перемещении всей жидкости, заключенной между сечениями S1 и S2, за рассматриваемый малый промежуток времени Δt. Для перенесения массы m от S1 до S’1 жидкость должна переместиться на расстояние l1 =v1 Δt и от S2 до S’2 — на расстояние l2 =v2 Δt. Отметим, что 11 и 12 настолько малы, что всем точкам объемов, закрашенных на рис. 3, приписывают постоянные значения скорости v, давления Р и высоты h. Следовательно,

где F1=P1S1 и F2=-P2S2 (отрицательна, так как направлена в сторону, противоположную течению жидкости; рис. 3).

Полные энергии Е1 и Е2 будут складываться из кинетической и потенциальной энергий массы m жидкости:

(4)

(5)

Подставляя (4) и (5) в (2) и приравнивая (2) и (3), получим

(6)

Согласно уравнению неразрывности струи для несжимаемой жидкости (1), объем, занимаемый жидкостью, остается постоянным, т. е.

Разделив выражение (6) на , получим

,

где ρ — плотность жидкости. Но так как сечения выбирались произвольно, то можем записать

=const. (7)

Выражение (7) выведено швейцарским физиком Д. Бернулли (1700—1782; опубликовано в 1738 г.) и называется уравнением Бернулли. Как видно из его вывода, уравнение Бернулли — выражение закона сохранения энергии применительно к установившемуся течению идеальной жидкости. Оно хорошо выполняется и для реальныхжидкостей, внутреннее трение которых не очень велико.

Величина Р в формуле (7) называется статическим давлением (давление жидкости поверхность обтекаемого ею тела), величина — динамическим давлением. Величина представляет собой гидростатическое давление.

Для горизонтальной трубки тока (h1=h2) выражение (7) принимает вид

=const, (8)

— называется полным давлением.

Из уравнения Бернулли (8) для горизонтальной трубки тока и уравнения неразрывности (1) следует, что при течении жидкости по горизонтальной трубе, имеющей различные сечения, скорость жидкости больше в местах сужения, а статическое давление больше в более широких местах, т. е. там, где скорость меньше. Это можно продемонстрировать, установив вдоль трубы ряд манометров (рис. 4).

В соответствии с уравнением Бернулли опыт показывает, что в манометрической трубке В, прикрепленной к узкой части трубы, уровень жидкости ниже, чем в манометрических трубках А и С, прикрепленных к широкой части трубы.

Так как динамическое давление связано со скоростью движения жидкости (газа), то уравнение Бернулли позволяет измерять скорость потока жидкости. Для этого применяется трубка Пито — Прандтля (рис. 5).

Прибор состоит из двух изогнутых под прямым углом трубок, противоположные концы которых присоединены к манометру. I помощью одной из трубок измеряется полное давление (Р0), с помощью другой — статическое (Р). Манометром измеряют разность давлений:

, (9)

где — плотность жидкости в манометре. С другой стороны, согласно уравнению Бернулли, разность полного и статического давлений равна динамическому давлению:

(10)

Из формул (9) и (10) получаем искомую скорость потока жидкости:

Уменьшение статического давления в точках, где скорость потока больше, положено в основу работы водоструйного насоса (рис. 6).

Струя воды подается в трубку, открытую в атмосферу, так что давление на выходе из трубки равно атмосферному. В трубке имеется сужение, по которому вода течет с большей скоростью. В этом месте давление меньше атмосферного. Это давление устанавливается и в откачанном сосуде, который связан с трубкой через разрыв, имеющийся в ее узкой части. Воздух увлекается вытекающей с большой скоростью водой из узкого конца. Таким образом, можно откачивать воздух из сосуда до давления 100 мм рт. ст. (1 мм рт. ст.= 133,32 Па).

Уравнение Бернулли позволяет описать физические явления лежащие в основе работы целого ряда устройств и приборов: карбюратор, пульверизатор (рис. 7) и др.

3. ИСТЕЧЕНИЕ ЖИДКОСТИ ИЗ ОТВЕРСТИЯ. ПРИНЦИП РЕАКТИВНОГО ДВИЖЕНИЯ

Уравнение Бернулли используется для нахождения скорости истечения жидкости через отверстие в стенке или дне сосуда. Рассмотрим цилиндрический сосуд с жидкостью, в боковой стенке которого на некоторой глубине ниже уровня жидкости имеется маленькое отверстие (рис. 8).

Рассмотрим два сечения (на уровне h1 свободной поверхности жидкости в сосуде и на уровне h2 выхода ее из отверстия) и напишем уравнение Бернулли:

Так как давления Р1 и Р2 в жидкости на уровнях первого и второго сечений равны атмосферному, т. е. Р1=Р2 , то уравнение будет иметь вид

.

Из уравнения неразрывности (1) следует, что v1/v2 = S1/S2, где S1 и S2 — площади поперечных сечений сосуда и отверстия. Если S1>>S2, то членом можно пренебречь и

(11)

Это выражение получило название формулы Торричелли (Э. Торричелли (1608 – 1647) – итальянский физик и математик.

Итак, скорость истечения жидкости из отверстия, расположенного на глубине h под открытой поверхностью, совпадает со скоростью, которую приобретает любое тело, падая с высоты h. Следует помнить, что этот результат получен в предположении, что жидкость идеальна. Для реальных жидкостей скорость истечения будет меньше, причем тем сильнее отличается от значения (11), чем больше вязкость жидкости.

Струя жидкости, вытекающая из отверстия в сосуде (рис. 9), уносит с собой за время Δt импульс (— плотность жидкости, S — площадь отверстия, v — скорость истечения струи).

Этот импульс сообщается вытекающей жидкости сосудом. По третьему закону Ньютона сосуд получает, от вытекающей жидкости за время Δt импульс, равный — , т. е. испытывает действие силы

(12)

Эта сила называется реакцией вытекающей струи. Если сосуд поставить на тележку, то под действием силы Fr он придет в движение в направлении, противоположном направлению струи.

Найдем значение силы Fr, воспользовавшись выражением (11) для скорости истечения жидкости из отверстия:

(13)

Если бы, как это может показаться на первый взгляд, сила Fr совпадала по величине с силой гидростатического давления, которое жидкость оказывала бы на пробку, закрывающую отверстие, то Fr была бы равна . На самом деле сила Fr оказывается в 2 раза большей. Это объясняется тем, что возникающее при вытекании струи движение жидкости в сосуде приводит к перераспределению давления, причем давление вблизи стенки, лежащей против отверстия, оказывается несколько большим, чем вблизи стенки, в которой сделано отверстие.

На реакции вытекающей струи газа основано действие реактивных двигателей и ракет. Реактивное движение, не нуждаясь для своего осуществления в наличии атмосферы, используется для полетов в космическом пространстве.

Основоположником теории межпланетных сообщений является выдающийся русский ученый и изобретатель (1857—1935). Он дал теорию полета ракеты и обосновал возможность применения реактивных аппаратов для межпланетных сообщений. В частности, Циолковским была разработана теория движения составных ракет, в которых каждая последующая ступень вступает в действие после того, как предыдущая ступень, израсходовав полностью топливо, отделится от ракеты. Идеи Циолковского получили дальнейшее развитие и были осуществлены учеными и инженерами для освоения космического пространства.