Уравнение эпициклоиды в параметрическом виде

СПЕЦИАЛЬНЫЕ ПЛОСКИЕ КРИВЫЕ

ЛЕМНИСКАТЫ
Уравнение в полярных координатах:
r 2 = a 2 cos2θ

Уравнение в прямоугольных координатах:
(x 2 + y 2 ) 2 = a 2 (x 2 — y 2 )

Угол между AB’ или A’B и осью x = 45 o

Площадь одной петли = a 2 /2

ЦИКЛОИДА
Уравнения в параметрической форме:

Площадь одной дуги = 3πa 2

Длина дуги одной арки = 8a

Это кривая, описываемая точкой Р на окружности радиусом а, которая катится вдоль оси х.

ГИПОЦИКЛОИДЫ С ЧЕТЫРЬМЯ ОСТРИЯМИ
Уравнение в прямоугольных координатах:
x 2/3 + y 2/3 = a 2/3

Уравнения в параметрической форме:

Площадь, ограниченная кривой = 3πa 2 /8

Длина дуги целой кривой = 6a

Это кривая, описываемая точкой Р на окружности радиусом a/4, которая катится внутри окружности радиусом a.

КАРДИОИДА
Уравнение: r = a(1 + cosθ)

Площадь, ограниченная кривой = 3πa 2 /2

Длина дуги кривой = 8a

Это кривая, описываемая точкой Р на окружности радиусом a, которая катится снаружи окружности радиусом a. Эта кривая также является частным случаем улитки Паскаля.

ЦЕПНАЯ ЛИНИЯ
Уравнение:
y = a(e x/a + e -x/a )/2 = acosh(x/a)

Это кривая, по которой бы повисла цепь, подвешенная вертикально от точки А к В.

ТРЕХЛЕПЕСТКОВАЯ РОЗА
Уравнение: r = acos3θ

Уравнение r = acos3θ подобно кривой, полученной вращением против часовой стрелки по кривой 30 o или π/6 радиан.

В общем, r = acosnθ или r = asinnθ имеет n лепестков если n является нечетным.

ЧЕТЫРЕХЛЕПЕСТКОВАЯ РОЗА
Уравнение: r = acos2θ

Уравнение r = asin2θ подобно кривой, полученной вращением против часовой стрелки по кривой 45 o или π/4 радиан.

В общем r = acosnθ или r = asinnθ имеет 2n лепестков если n — четное.

ЭПИЦИКЛОИДА
Параметрические уравнения:

Это кривая, описываемая точкой Р на окружности радиуса b, когда она катится по внешней стороне окружности радиусом а. Кардиоида является частным случаем эпициклоиды.

ОБЩАЯ ГИПОЦИКЛОИДА
Параметрические уравнения:

Это кривая, описываемая точкой Р на окружности радиуса b, когда она катится по внешней стороне окружности радиусом а.

Если b = a/4, кривая является гипоциклоидой с четырьмя остриями.

ТРОХОИДА
Параметрические уравнения:

Это кривая, описываемая точкой Р на дистанции b от центра окружности с радиусом а, когда она катится по оси x.
Если b a, кривая имеет форму, показанную на рис. 11-11 и называется троходой.
Если b = a, кривая есть циклоидой.

ТРАКТРИСА
Параметрические уравнения:

Это кривая, описываемая конечной точкой Р натянутой струны длиной PQ, когда другой конец Q перемещается вдоль оси х.

ВЕРЗЬЕРА (ВЕРЗИЕРА) АНЬЕЗИ (ИНОГДА ЛОКОН АНЬЕЗИ)
Уравнение в прямоугольных координатах: y = 8a 3 /(x 2 + 4a 2 )

Параметрические уравнения:

В. На рисунке переменная линия OA пересекающая y = 2a и круг с радиусом a с центром (0,a) в A и B соотвественно. Любая точка P на «локоне» определяется построением линий, параллельных к осям x и y, и через B и A соответственно и определяющие точку пересечения P.

ДЕКАРТОВ ЛИСТ
Уравнение в прямоугольных координатах:
x 3 + y 3 = 3axy

Параметрические уравнения:

Площадь петли 3a 2 /2

Уравнение асимптоты: x + y + a = 0.

ЭВОЛЬВЕНТА ОКРУЖНОСТИ
Параметрические уравнения:

Эта кривая, описанная конечной точкой P струны, когда она разматывается с круга с радиусом a.

ЭВОЛЬВЕНТА ЭЛЛИПСА
Уравнение в прямоугольных координатах:
(ax) 2/3 + (by) 2/3 = (a 2 — b 2 ) 2/3

Параметрические уравнения:

Эта кривая является огибающей нормалью к эллипсу x 2 /a 2 + y 2 /b 2 = 1.

ОВАЛЫ КАССИНИ
Полярное уравнение: r 4 + a 4 — 2a 2 r 2 cos2θ = b 4 .

Это кривая, описываемая такой точкой P, что произведение ее расстояния от двух фиксированных точек [ расстояние 2a в сторону] есть постоянной b 2 .

Кривая, как на фигурах внизу, когда b a соответственно.

Если b = a, кривая есть лемниската

УЛИТКА ПАСКАЛЯ
Полярное уравнение: r = b + acosθ

Пусть OQ будет линией, соединяющей центр O с любой точкой Q на окружности диаметром a проходящей через O. Тогда кривая есть фокусом всех точек P, таких, что PQ = b.

Кривая, показанная на рисунках внизу когда b > a или b 2 = x 3 /(2a — x)

Параметрические уравнения:

Это кривая, описываемая такой точкой P, что расстояние OP = расстоянию RS. Используется в задаче удвоения куба, т.e. нахождения стороны куба, который имеет удвоенный объем заданного куба

СПИРАЛЬ АРХИМЕДА
Полярное уравнение: r = aθ

Уравнение эпициклоиды в параметрическом виде

Существуют и другие кривые, которые называют “замечательными”. Они носят, как правило, “звучные” имена, например, “астроида”, “локон Аньези”, “окружность Аполлония”, “трактриса” и др.
На рис. 1 и рис.2 показаны красивые кривые — эпициклоида и гипоциклоида.

Изображения на Рис. 1 и Рис.2 имеют “геометрический” смысл, — это линия, которую «чертит» точка, закрепленная в плоскости некоторого круга радиуса r (производящий круг), когда круг катится без скольжения по неподвижной окружности радиуса R (направляющая).
На Рис. 3 показана часть АМ эпициклоиды, по которой перемещается точка М производящего круга.
Когда окружности касаются внешним образом, линия называется “эпициклоидой” (от греческих слов на, над, при и — круг , окружность), когда касание внутреннее — “гипоциклоидой” (от gipo — на, над, при и ).

Параметрические уравнения эпициклоиды:

Параметрические уравнения гипоциклоиды:

Параметрическими такие уравнения называются потому, что определяют значения координат х и у каждой точки кривой в зависимости от некоторого параметра, в нашем случае от параметра t — угла наклона отрезка, соединяющего эту точку с началом координат (Рис.3).

Гиппарх составил первый в Европе звездный каталог , включивший точные значения координат около тысячи звёзд.

Начало систематического изучения эпициклоид и гипоциклоид было положено в 1525 г. знаменитым немецким художником Альбрехтом Дюрером
(1471–1528). Он широко применял геометрические методы в изобразительном искусстве. Однако математикам исследования Дюрера остались неизвестными.

Замечательные кривые в математике

Автор работы: Пользователь скрыл имя, 13 Мая 2012 в 16:58, курсовая работа

Краткое описание

Данную работу я также посвятила кривым, так как считаю эту тему очень занимательной и интересной. Столкнувшись с данной темой, я была поражена многообразием кривых. В школе изучаются лишь плоские кривые второго порядка, такие как окружность, гипербола, парабола и одна из кривых третьего порядка – кубическая парабола, даже эллипсу не уделено должного внимания, хотя у него имеются очень интересные свойства, и окружность мы получаем как раз как предельный случай эллипса, если сближать его фокусы. Изучая данную тему я впервые столкнулась с изображением таких замечательных кривых как астроида (что в переводе с греческого означает «звездообразная»), дельтоида (свое название она получила из-за сходства с прописной греческой буквой ) или еще её называют кривой Штейнера, кардиоида (сердцевидная кривая), улитка Паскаля, нефроида (что означает – напоминающая очертаниями почку), лемниската Бернулли, овалы Кассини, локон Аньези, конхоида Никомеда, Декартов лист, трех– и четырехлепестковая розы, спирали: Архимеда и Галилея, гиперболическая и логарифмическая

Содержание

Вложенные файлы: 1 файл

курсовая 2 курс.docx

• Циклоида описывается параметрическими уравнениями

• Уравнение в декартовых координатах:

• Циклоида может быть получена как решение дифференциального уравнения:

Свойства

• Циклоида — периодическая функция по оси абсцисс, с периодом 2πr. За границы периода удобно принять особые точки (точки возврата) вида t = 2πk, где k — произвольное целое число.
• Для проведения касательной к циклоиде в произвольной её точке A достаточно соединить эту точку с верхней точкой производящей окружности. Соединив A с нижней точкой производящей окружности, мы получим нормаль.
• Длина арки циклоиды равна 8r. Это свойство открыл Кристофер Рен (1658).
• Площадь под каждой аркой циклоиды втрое больше, чем площадь порождающего круга. Торричелли уверяет, что этот факт был открыт Галилеем.
• Радиус кривизны у первой арки циклоиды равен .
• «Перевёрнутая» циклоида является кривой скорейшего спуска (брахистохроной). Более того, она имеет также свойство таутохронности: тяжёлое тело, помещённое в любую точку арки циклоиды, достигает горизонтали за одно и то же время.
• Период колебаний материальной точки, скользящей по перевёрнутой циклоиде, не зависит от амплитуды, этот факт был использован Гюйгенсом для создания точных механических часов.
• Эволюта циклоиды является циклоидой, конгруэнтной исходной, а именно — параллельно сдвинутой так, что вершины переходят в «острия».
• Детали машин, которые совершают одновременно равномерное вращательное и поступательное движение, описывают циклоидальные кривые (циклоида, эпициклоида, гипоциклоида, трохоида, астроида) (ср. построение лемнискаты Бернулли).

Эпицикло́ида (от греч. ὲπί — на, над, при и κυκλος — круг, окружность) — плоская кривая, образуемая фиксированной точкой окружности, катящейся по другой окружности.

Если центр неподвижной окружности находится в начале координат, её радиус равен R, радиус катящейся по ней окружности равен r, то эпициклоида описывается параметрическими уравнениями относительно :

где α — угол поворота эпициклоиды относительно центра неподвижной окружности, — параметр, но фактически это угол наклона отрезка между центрами к оси OX.

Можно ввести величину , тогда уравнения предстанут в виде

Величина k определяет форму эпициклоиды. При k = 1 эпициклоида образует кардиоиду, а при k = 2 — нефроиду.

Эпициклоиды при разных значениях параметра k:

4.3. Гипоциклоида

Красная кривая — гипоциклоида: r = 1,0, R = 3,0. Для этой гипоциклоиды k = R / r = 3.

Гипоцикло́ида (от греческих слов ὑπό — под, внизу и κύκλος — круг, окружность) — плоская кривая, образуемая точкой окружности, катящейся по внутренней стороне другой окружности без скольжения.

Описывается параметрическими уравнениями

где , где R — радиус неподвижной окружности, r — радиус катящейся окружности.

Модуль величины k определяет форму гипоциклоиды. При k = 2 гипоциклоида представляет собой диаметр неподвижной окружности, при k = 4 является астроидой.

Пример гипоциклоид

4.4. Дельтоида

Дельтоида (кривая Штейнера) — плоская кривая, описываемая фиксированной точкой окружности, катящейся по внутренней стороне другой окружности, радиус которой втрое больше радиуса первой.

Название кривая получила за сходство с греческой буквой Δ. Её свойства впервые изучались Л. Эйлером в XVIII веке, а затем Я. Штейнером в XIX.

Дельтоида является частным случаем гипоциклоиды при k = 3.

Уравнения

• Неявное уравнение в прямоугольной системе:

, где — треть полярного угла.

Свойства

• Длина кривой , где R — радиус неподвижной окружности.
• Площадь, ограничиваемая дельтоидой, .

Астроида — плоская кривая, описываемая точкой M окружности радиуса r, катящейся по внутренней стороне окружности радиуса R = 4r. Иначе говоря, астроида — это гипоциклоида с модулем m = 4.

Уравнение в декартовых прямоугольных координатах:

| x | 2 / 3 + | y | 2 / 3 = R 2 / 3

x = Rcos 3 t y = Rsin 3 t

• Длина дуги от точки с 0 до

• Длина всей кривой 6R.
• Радиус кривизны:

• Площадь, ограниченная кривой:

• Астроида является огибающей семейства отрезков постоянной длины, концы которых расположены на двух взаимно перпендикулярных прямых.
• Астроида является алгебраической кривой 6-го порядка.

4.6. Овал Кассини

Овал Кассини — геометрическое место точек, произведение расстояний от которых до двух заданных точек (фокусов) постоянно и равно квадрату некоторого числа a.

Частным случаем овала Кассини при фокусном расстоянии равном 2a является Лемниската Бернулли. Сам овал является лемнискатой с двумя фокусами.

Кривая была придумана астрономом и инженером Кассини. Он ошибочно считал, что она точнее определяет орбиту Земли, чем эллипс [1] .

Расстояние между фокусами 2c.

• В прямоугольных координатах:

• Явное уравнение в прямоугольных коор динатах:

• В полярной системе координат:

Чёрная окружность — множество максимумов и минимумов; синяя лемниската — множество точек перегиба

• Овал Кассини — алгебраическая кривая четвёртого порядка.
• Она симметрична относительно середины отрезка между фокусами.
• При имеет два абсолютных максимума и два минимума:

Геометрическое место точек абсолютных максимумов и минимумов — окружность радиуса c с центром в середине отрезка между фокусами.

• При кривая имеет четыре точки перегиба. Их полярные координаты:

Геометрическое место точек перегиба — лемниската с вершинами .

• Радиус кривизны для представления в полярных координатах:

Лемнискаты с тремя фиксированными фокусами.

Лемниската (от лат. lemniscatus — украшенный лентами) — плоская алгебраическая кривая порядка 2n, у которой произведение расстояний от каждой точки до n заданных точек (фокусов) постоянно.

• Лемнискатой с одним фокусом (n = 1) является окружность радиуса r, а с двумя фокусами — овал Кассини.
• Частным случаем овала Кассини является лемниската Бернулли, по имени швейцарского математика Якоба Бернулли, положившего начало изучению лемнискат.

• Уравнение лемнискаты на комплексной плоскости

• Беря разное число фокусов, располагая их по-разному и назначая ту или иную величину для произведения расстояний, можно получать лемнискаты самых причудливых очертаний, например, очертания человеческой головы или птицы. Имея такую произвольную кривую, можно так подобрать число фоку сов F₁, F₂, …, F_n, их расположение и назначить такую величину p для неизменного произведения расстояний , что соответствующая лемниската на глаз не будет отличаться от этой кривой. Иными словами, произвольную кривую можно приблизить последовательностью леминискат.

Лемниската Бута — плоская алгебраическая кривая четвёртого порядка, частный случай кривой Персея. Названа в честь Джеймса Бута.

Уравнение в прямоугольных декартовых координатах:

(x 2 + y 2 ) 2 − (2m 2 + c)x 2 + (2m 2 − c)y 2 = 0.

Форма кривой зависит от соотношения между параметрами m и c. Если c > 2m 2 , то уравнение лемнискаты принимает вид

(x 2 + y 2 ) 2 = a 2 x 2 + b 2 y 2 , где a 2 = 2m 2 + c и b 2 = c − 2m 2 .

В этом случае лемниската Бута является подерой эллипса относительно его центра и называется эллиптической. Её уравнение в полярных координатах имеет вид

ρ 2 = a 2 cos 2 φ + b 2 sin 2 φ.

Если c 2 , то уравнение лемнискаты принимает вид

(x 2 + y 2 ) 2 = a 2 x 2 − b 2 y 2 , где a 2 = 2m 2 + c и b 2 = 2m 2 − c.

В этом случае лемниската Бута является подерой гиперболы относительно её центра и называется гиперболической. Её уравнение в полярных координатах имеет вид

ρ 2 = a 2 cos 2 φ − b 2 sin 2 φ.

• При c = 2m 2 лемниската Бута вырождается в две окружности
• При c = 0 лемниската Бута вырождется в лемнискату Бернулли.

• Лемниската Бута — ортогональная проекция на плоскость xOy линии пересечения поверхности параболоида x 2 + y 2 = cz с поверхностью конуса a 2 x 2 + b 2 y 2 = c 2 z 2 .
• Лемнискату Бута можно получить инверсией кривой второго порядка с центром в начале координат.

4.7.2. Лемниската Бернулли

Лемниска́та Берну́лли — геометрическое место точек, произведение расстояний от которых до двух заданных точек (фокусов) постоянно и равно квадрату половины расстояния между фокусами.

Лемниската по форме напоминает восьмёрку. Её название восходит к античному Риму, где «лемнискатой» называли бантик, с помощью которого прикрепляли венок к голове победителя на спортивных играх. Эту лемнискату называют в честь швейцарского математика Якоба Бернулли, положившего начало её изучению.

Уравнения

Рассмотрим простейший случай: если расстояние между фокусами 2c, расположены они на оси OX, и начало координат делит отрезок между ними пополам, то следующие уравнения задают лемнискату:

• в прямоугольных координатах:

Проведя несложные преобразования, можно получить явное уравнение:

• Параметрическое уравнение в прямоугольной системе:

Чтобы задать лемнискату по двум произвольным точкам, можно не выводить уравнение заново, а определить преобразование координат, при котором старый (данный) фокусный отрезок переходит в новый, и воздействовать на представленные уравнения этим преобразованием.

Свойства

• Лемниската — кривая четвёртого порядка.
• Она имеет две оси симметрии: прямая, на которой лежит F₁F₂, и серединный перпендикуляр этого отрезка, в простейшем (данном) случае — ось OY.
• Точка, где лемниската пересекает саму себя, называется узловой или двойной точкой.
• Кривая имеет 2 максимума и 2 минимума. Их координаты: