Уравнение эвольвенты в полярных координатах

Структурные схемы простейших механизмов с высшими КП..

Фрикционными механизмами или передачами сцепления называются механизмы с высшей парой в которых передача движения в высшей паре осуществляется за счет сил сцепления или трения в зоне контакта. Кулачковым механизмом называется механизм с высшей парой, ведущее звено которого выполнено в форме замкнутой криволинейной поверхности и называется кулачком (или кулаком). Зубчатыми механизмами называются механизмы звенья которых снабжены зубьями (зубчатый механизм можно определить как многократный кулачковый, рассматривая зацепление каждой пары зубьев, как зацепление двух кулачков) . Рабочие поверхности зубьев должны быть выполнены так, чтобы обеспечивать передачу и преобразование движения по заданному закону за счет их зацепления . Условия, которым должны удовлетворять рабочие поверхности высших пар, формулируются в разделе теории механизмов — теории зацепления или теории высшей пары.

Основы теории высшей кинематической пары.

Основная теорема зацепления.

Понятие о полюсе и центроидах. Рассмотрим два твердых тела i и j , которые совершают друг по отношению к другу плоское движение. Свяжем с телом i систему координат 0 i x i y i , а с телом j систему координат 0 j x j y j . Плоское движение тела i относительно тела j в рассматриваемый момент эквивалентно вращению вокруг мгновенного центра скоростей или полюса P . Тогда геометрическое место полюсов относительного вращения в системе координат 0 i x i y i называется подвижной Ц i , а в системе координат 0 j x j y j неподвижной Ц j центроидой. В процессе рассматриваемого движения цетроиды контактируют друг с другом в полюсах относительного вращения и поэтому перекатываются друг по другу без скольжения, т.е.

V Pi = V Pj ; V PiPj = 0 ;

тогда дуга S wi равна дуге S wj .

Полюс зацепления — мгновенный центр относительного вращения звеньев, образующих кинематическую пару.

Центроида (полоида) — геометрическое место центров (полюсов) относительного вращения в системах координат, связанных со звеньями.

Передаточное отношение для тел совершающих вращательное движение.

Рассмотрим два тела 1 и 2 , совершающих вращательное движение соответственно вокруг центров 0 1 и 0 2 с угловыми скоростями w 1 и w 2 (рис. 11.6). Причем нам неизвестно связаны эти тела между собой или нет. Как отмечено выше, полюс относительного вращения этих тел будет лежать в такой общей точке этих тел , где вектора скоростей как первого, так и второго тела будут равны. Для скоростей любой точки первого тела V A = w 1 Ч l A01 , для любой точки второго — V В = w 2 Ч l В 02 . Равенство векторов скоростей по направлению для тел, совершающих вращательное движение, возможно только на линии соединяющей центры вращения тел. Поэтому полюс относительного вращения должен лежать на этой линии . Для определения положения полюса на линии центров составим следующее уравнение

Таким образом, полюс относительного вращения звеньев лежит на линии центров и делит ее на отрезки обратно пропорциональные угловым скоростям.

Теорема Виллиса. Передаточное отношение между звеньями совершающими вращательное движение прямопропорционально отношению угловых скоростей и обратно пропорционально отношению расстояний от центров вращения до полюса.

Знак перед отношением показывает внешним (знак +, зацепление внутреннее) или внутренним (знак — , зацепление внешнее) образом делит полюс линию центров на отрезки r w1 = l 01P и r w2 = l 02P . Данная формула получена из рассмотрения вращательного движения двух тел, при этом тела могут быть и не связаны между собой.

Воспользуемся методом обращенного движения и рассмотрим движение нашей системы относительно звена 1. Для этого к скоростям всех звеньев механизма добавим — w 1 . Тогда скорости звеньев изменятся следующим образом:

Скорость любой точки звена 2 в относительном движении будет равно его угловой скорости в этом движении умноженной на расстояние от этой точки до полюса относительного вращения, т. е.

Перейдем к рассмотрению двух тел 1 и 2 , совершающих вращательное движение, соответственно вокруг центров 0 1 и 0 2 с угловыми скоростями w 1 и w 2 , и образующих между собой высшую кинематическую пару К (рис. 11.7).

Условием существования высшей кинематической пары является условие неразрывности контакта звеньев, которое заключается в том, что проекции скоростей звеньев в точке контакта на контактную нормаль к профилям должны быть равны

т.е. скалярное произведение вектора относительной скорости в точке контакта на орт нормали равно нулю. Это условие обеспечивается, если скорость относительного движения контактных точек лежит на касательной ( в пространстве в касательной плоскости ). При выполнении этого условия профили не отстают друг от друга ( нарушение контакта приведет к исчезновению пары ), и не внедряются друг в друга

( что при принятом допущении о абсолютно жестких звеньях, невозможно ).

Как было показано выше скорость относительного скольжения в точке контакта равна

где l KP — расстояние от контактной точки до полюса относительного вращения. Так как V K2K1 перпендикулярна l KP >, а V K2K1 должна лежать на касательной, то l KP является нормалью к профилям в точке контакта. То есть контактная нормаль к профилям в высшей паре пересекает линию центров в полюсе относительного вращения.

Основная теорема зацепления.

Формулировка анализа. Контактная нормаль к профилям высшей пары пересекает линию центров в полюсе относительного вращения звеньев ( то что полюс делит линию центров на отрезки обратно пропроциональные угловым скоростям было доказано выше ).

Формулировка синтеза. Профили в высшей кинематической паре должны быть выполнены так, чтобы контактная нормаль к ним проходила через полюс относительного вращения звеньев.

Так как положение полюса на линии центров определяет передаточное отношение механизма, то профили удовлетворяющие основной теореме зацепления обеспечивают заданный закон изменения передаточного отношения или являются сопряженными.

Скорость скольжения в высшей КП или перовое следствие основной теоремы зацепления.

Скорость скольжения профилей в высшей КП равна произведению скорости относительного вращения на расстояние от контактной точки до полюса зацепления.

где верхний знак относится к внешнему зацеплению, нижний — к внутреннему. Зацепление считается внешним, если полюс делит линию центров внутренним образом и направления угловых скоростей звеньев противоположны, и внутренним, если полюс делит линию центров внешним образом (Рис. 17.8) и направления угловых скоростей одинаковы.

Из формулы видно, что скорость скольжения во внутреннем зацеплении много меньше, чем во внешнем.

Определение центра вращения ведущего звена или второе следствие основной теоремы зацепления.

Из схемы, изображенной на рис. 11.7, видно, что

т.е. отрезок l KD , отсекаемый от луча, проведенного из точки О 2 через точку K, прямой параллельной контактной нормали, равен передаточной функции точки K 2 .

Второе следствие основной теоремы зацепления.

Формулировка синтеза. Если на продолжении луча, проведенного из точки О 2 через точку K, отложить от точки K отрезок длиной l KD = V K2 / w 1 = V qK2 и через конец этого отрезка провести прямую параллельную контактной нормали, то эта прямая пройдет через центр вращения ведущего звена точку О 1 .

С использованием этого свойства механизма с высшей парой при проектировании кулачковых механизмов определяют радиус начальной шайбы по допустимому углу давления.

Формулировка анализа. Луч проведенный через центр вращения ведущего звена точку О 2 параллельно контактной нормали, отсекает на луче проведенном из точки О 2 через точку K отрезок l KD = V K2 / w 1 = V qK2 , равный передаточной функции точки K 2 .

Угол давления в высшей паре ( на примере плоского кулачкового механизма ).

Рассмотрим плоский кулачковый механизм с поступательно движущимся роликовым толкателем ( Рис. 11.9). Из D BPF

Подставляя эти выражения в формулу для тангенса угла давления, получим

где знак — соответствует смещению оси толкателя (эксцентриситету) вправо от центра вращения кулачка.

Формула Эйлера — Савари.

При синтезе плоских зацеплений широко применяется формула Эйлера-Савари, которая устанавливает связь между радиусами кривизны центроид и радиусами кривизны профилей высшей пары. Эта формула записывается так

где r w1 и r w2 — радиусы кривизны центроид первого и второго звена в полюсе зацепления, r 1 и r 2 — радиусы кривизны профилей в контактной точке, l KP — расстояние от полюса зацепления до контактной точки, j — угол между контактными нормалями к профилям и центроидам.

Теорема Оливье является основополагающей теоремой как для плоских, так и для пространственных зацеплений. Она устанавливает основные признаки определяющие свойства зацепляющихся поверхностей, вид их контакта друг с другом.

Теорема Оливье. Пусть F 1 , F 2 и B некоторые поверхности с определенным абсолютным движением. И пусть F 1 и F 2 огибающие к B в их относительном движении, где — мгновенные контактные линии. Если K 1 -K 1 и K 2 -K 2 имеют общие точки, то поверхности F 1 и F 2 :

Теорема Оливье имеет три важных следствия:

Следствие 1. Если оба зубчатых колеса обработаны друг другом, т.е. первое колесо обработано инструментом режущие кромки которого копируют второе колесо, а второое — инструментом режущие кромки которого копируют первое, то эти колеса имеют взаимоогибаемые поверхности зубьев с линейным контактом поверхностей.

Следствие 2. Если оба колеса обработаны инструментами, образующими между собой конгруентную пару, то эти колеса имеют взаимоогибаемые поверхности зубьев с линейным контактом поверхностей.

Следствие 3. Если поверхность зацепления И 1 инструмента 1 с колесом 1 и поверхность зацепления И 2 инструмента 2 с колесом 2 совпадает с поверхностью зацепления колес 1 и 2, то зубья колес обработанных при таком условии будут иметь линейный контакт.

Зубчатые передачи и их классификация.

Зубчатыми передачами называются механизмы с высшими кинематическими парами в состав которых входят зубчатые колеса, рейки или секторы — звенья, снабженные профилироваными выступами или зубьями. Зубчатые передачи бывают простые и сложные. Простая зубчатая передача — трехзвенные механизм, состоящий из двух зубчатых колес и стойки, в котором зубчатые колеса образуют между собой высшую пару, со стойкой — низшие ( поступательные или вращательные ).

Простые зубчатые передачи классифицируются:

• с постоянным передаточным отношением;
• с переменным передаточным отношением;

• с параллельными осями;
• с пересекающимися осями;
• с перекрещивающимися осями;

• эвольвентным профилем;
• с циклоидальным профилем;
• с круговым профилем (передачи Новикова);

• с прямым зубом;
• косозубые;
• шевронные;
• с круговым зубом;

• цилиндрические;
• коническое;
• гиперболоидные;

• червячные;
• с некруглыми колесами;
• винтовые.

Эвольвентная зубчатая передача.

Эвольвентная зубчатая передача — цилиндрическая зубчатая передача, профили зубьев которой выполнены по эвольвенте окружности.

Эвольвента окружности и ее свойства.

Эволютой называется геометрическое место центров кривизны данной кривой. Данная кривая по отношению к эволюте называется эвольвентой. Согласно определению нормаль к эвольвенте ( на которой лежит центр кривизны ) является касательной к эволюте. Эвольвенты окружности описываются точками производящей прямой при ее перекатывании по окружности, которую называют основной.

Свойства эвольвенты окружности:

Форма эвольвенты окружности определяется только радиусом основной окружности r b . При эвольвента переходит в прямую линию.

Производящая прямая является нормалью к эвольвенте в рассматриваемой произвольной точке M y . Отрезок нормали в произвольной точке эвольвенты l MyN = r равен радиусу ее кривизны и является касательной к основной окружности.

Эвольвента имеет две ветви и точку возврата М 0 , лежащую на основной окружности. Эвольвента не имеет точек внутри основной окружности.

Точки связанные с производящей прямой но не лежащие на ней при перекатывании описывают: точки расположенные выше производящей прямой W — укороченные эвольвенты, точки, расположенные ниже производящей прямой L — удлиненные эвольвенты.

Параметрические уравнения эвольвенты получим из схемы, изображенной на рис. 11.11 . Так как производящая прямая перекатывается по основной окружности без скольжения то дуга М 0 N равна отрезку NM y . Для дуги окружности

из треугольника D OM y N

получим параметрические уравнения эвольвенты.

Эвольвентное зацепление и его свойства.

В зубчатой передаче контактирующие элементы двух профилей выполняются по эвольвентам окружности и образуют, так называемое эвольвентное зацепление. Это зацепление обладает рядом полезных свойств, которые и определяют широкое распространение эвольвентных зубчатых передач в современном машиностроении. Рассмотрим эти свойства.

Свойство 1. Передаточное отношение эвольвентного зацепления определяется только отношением радиусов основных окружностей и является величиной постоянной.

Свойство 2. При изменении межосевого расстояния в эвольвентном зацеплении его передаточное отношение не изменяется.

Свойство 3. При изменении межосевого расстояния в эаольвентном зацеплении величина произведения межосевого расстояния на косинус угла зацепления не изменяется.

Свойство 4. За пределами отрезка линии зацепления N 1 N 2 рассматриваемые ветви эвольвент не имеют общей нормали, т. е. профили выполненные по этим кривым будут не касаться, а пересекаться. Это явление называется интерференцией эвольвент или заклиниванием.

1. Что называется высшей кинематической парой ? (стр.1)

2. Какие механизмы с высшими парами вы можете назвать ? (стр.2)

3. Как записывается условие существования высшей кинематической пары ? (стр.5)

4. Дайте определение основной теоремы плоского зацепления (стр.6)

5. Что называют линией зацепления (стр.6)

6. По какой формуле можно определить скорость скольжения во внешнем зацеплении? (стр.6)

7. Что называется эвольвентной зубчатой передачей? (стр.10)

8. Сформулируйте основные свойства и запишите параметрические уравнения описывающие ее (стр.11)

9. Изменяется ли передаточное отношение в эвольвентном зацеплении при изменении aw ? ( стр.13)

Эвольвенты некоторых кривых

1. Эвольвенты окружности.

Пусть окружность задана уравнением

Запишем уравнение окружности в параметрическом виде:

Воспользуемся уравнениями эвольвент кривой заданной параметрически:

где — определяет положение эвольвенты.

Проведем вспомогательные расчеты:

Подставим полученные значения в формулы:

Таким образом, получили уравнения эвольвент окружности в параметрическом виде:

Построим эвольвенту окружности. Построения эвольвенты выполняется в следующей последовательности:

• 1. Заданную окружность делят на несколько равных частей (к примеру на 12), которые пронумеруем 1, 2. 12;
• 2. Из конечной точки 12 проводят касательную к окружности и откладывают на ней длину окружности, равную pD;
• 3. Полученный отрезок (длину окружности) делят также на 12 равных частей;
• 4. Из точек деления окружности проводят касательные и на них откладывают отрезки 111=pD/12, 221=2pD/12, 331=3pD/12. 12121=pD;
• 5. Соединив полученные точки 11, 21, 31. 121 плавной кривой получим эвольвенту окружности.

2. Эвольвенты цепной линии.

Пусть цепная линия задана уравнением:

Для определения эвольвенты выразим уравнение в параметрическом виде:

Воспользуемся уравнениями эвольвент кривой заданной параметрически:

где — определяет положение эвольвенты.

Проведем вспомогательные расчеты:

Подставим полученные значения в формулы:

Таким образом, получили уравнения эвольвент цепной линии в параметрическом виде:

При эвольвента проходит через вершину цепной линии (0; а); при уравнение эвольвенты принимает вид

Пусть парабола задана уравнением в параметрическом виде:

Воспользуемся уравнениями эвольвент кривой заданной параметрически:

где — определяет положение эвольвенты.

Проведем вспомогательные расчеты:

Подставим полученное значение в формулы:

Таким образом, получили уравнения эвольвент параболы в параметрическом виде:

Уравнение эвольвенты в полярных координатах

ОА₀ — линия начального отсчета углов в полярных координатах;

УД. — радиус кривизны эвольвенты;

Найти полярные координаты точки А:.

0 — полярный угол;

р,. = OA_j — полярный радиус-вектор.

Рис. 10.5. Схема для определения полярных координат эвольвенты

Так как прямая AN катится по основной окружности без скольжения, то отрезок N_jA_j равен дуге A₀Nf.

Подставив (10.2) в (10.11), получим откуда

Из треугольника А^О:

Параметрическое уравнение эвольвенты:

Угол 0 есть функция, зависящая от профильного угла а. Эта функция называется инволютой а:

Свойства эвольвентного зацепления

Пусть в некоторый момент времени эвольвентные профили 3j и Э₂, движущиеся с угловыми скоростями С0[ и со₂ соответственно, вошли в контакт (рис. 10.6). Свойство эвольвенты гласит: нормаль к профилю есть касательная к основной окружности, отсюда делаем вывод, что в точке контакта К, нормаль к профилю 3, должна быть касательной к окружности r_bV и одновременно нормаль к профилю Э₂ должна быть касательной к окружности г_Ь2 Таким образом, общая нормаль N^—N₂ к профилям должна быть касательна к обеим окружностям, т.е. прямая А^-Л^ является линией зацепления.

Эвольвента окружности, её свойства и уравнение

Эвольвента – это траектория точки прямой линии (производящей прямой), перекатывающейся без скольжения по окружности.

Образование эвольвенты можно представить как траекторию, описываемую остриём карандаша, привязанного к концу нити, сматываемой с катушки, установленной своей осью перпендикулярно плоскости листа бумаги.

Свойства эвольвенты

1) Нормаль к эвольвенте является касательной к основной окружности.

2) Центры кривизны эвольвенты лежат на основной окружности, так что основная окружность представляет собой эволюту, т. е. геометрическое место центров кривизны эвольвенты.

3) Радиус кривизны эвольвенты в данной точке равен отрезку производящей прямой, заключённому между данной точкой эвольвенты и точкой касания производящей прямой с основной окружностью, ρ_А = AC. В точке начала эвольвенты её радиус кривизны равен нулю, ρ_A0 = 0.

4) Радиус кривизны эвольвенты в данной точке равен дуге основной окружности, заключённой между точкой начала эвольвенты и точкой касания этой прямой с основной окружностью, ρ_A = C₀C.

5) Правая и левая ветви эвольвенты симметричны.

6) Все точки эвольвенты лежат снаружи от основной окружности.

Уравнение эвольвенты

Для получения уравнения эвольвенты обратимся к рис. 3.3. Положение произвольной точки A_y эвольвенты в полярной системе координат определяется двумя координатами относительно её начального радиус-вектора OA₀ (или OC₀): длиной радиус-вектора R_y и углом θ_y. Радиус-вектор R_y определим из прямоугольного треугольника OA_yC_y:

Для определения полярного угла θ_y сначала выразим длину дуги основной окружности через её радиус и центральный угол:

Выразим теперь противолежащий углу α_y катет A_yC_y в ∆OA_yC_y:

На основании четвёртого свойства эвольвенты имеем

Подставляя в это равенство соответствующие выражения и решая его относительно θ_y, получаем

.

В этих математических выражениях и на рис. 3.3 угол α_y называется профильным углом эвольвенты. Разность между тангенсом какого-либо угла и самим углом называется эвольвентной функцией и обозначается тремя первыми буквами латинского названия эвольвенты involute, т. е. inv, так что окончательно уравнение имеет вид:

В математических справочниках приводятся таблицы эвольвентной функции, в которых аргумент α_y изменяется от нуля до нескольких десятков градусов.

Элементы зубчатого колеса

Здесь рассматриваются те элементы колеса, которые относятся к его ободу, где располагаются зубья (рис. 3.4).

Шаг колеса p – это расстояние по делительной окружности между одноимёнными профилями двух соседних зубьев, p = π·m. Шаг включает два параметра – толщину зуба s и ширину впадины e. Если s = e, то имеем колесо с равноделённым шагом, в противном случае имеем колесо с неравноделённым шагом.

Делительная окружность (её радиус , в зацеплении двух колёс имеет индекс номера колеса):

– делит зуб на головку и ножку;

– модуль m на этой окружности имеет стандартное значение;

– радиус окружности имеет величину r = 0,5m ;

– в точке на делительной окружности профильный угол эвольвенты α_y = 20º и обозначается буквой α без индекса.

Основная окружность является базовой для образования эвольвенты (от неё начинается эвольвентная часть зуба). Радиус этой окружности получается из рассмотрения прямоугольного треугольника с углом при вершине O, равным α, и одним из катетов, равным _b, и гипотенузой, равной : _b = ·cos α.

Окружность вершин является габаритной окружностью колеса, её радиус определяется формулой

,

где – высота головки зуба, причём . Множитель перед модулем называется коэффициентом высоты головки зуба и равен по величине 1, т. е. .

Диаметр окружности вершин является диаметром заготовки для изготовления зубчатого колеса.

Окружность впадин ограничивает зуб у основания, её радиус равен

,

где – высота ножки зуба, определяемая равенством , второе слагаемое в скобках называется коэффициентом радиального зазора и имеет величину .

Контур зуба от основной окружности до окружности вершин очерчен эвольвентой, которая сопрягается с окружностью впадин переходной кривой (эквидистантой удлинённой эвольвенты).

Эвольвента и ее свойства

Основная теорема зацепления

Постоянство передаточного отношения в зубчатом механизме обеспечивается за счет правильного подбора профилей соприкасающихся зубьев. Какими должны быть профили зубьев зубчатых колес, чтобы передаточное отношение было строго постоянным, т.е. чтобы начальные окружности перекатывались друг по другу без скольжения? Ответ на этот вопрос дает основная теорема зацепления:

Общая нормаль к профилям, образующим высшую кинематическую пару, проходит через полюс зацепления и делит межцентровое расстояние на части, обратно пропорциональные угловым скоростям.

Докажем эту теорему.

Рис.15 К основной теореме зацепления

На рис. 15 изображены два звена, которые, касаясь в точке М, образуют высшую кинематическую пару (это могут быть зубья двух зубчатых колес). Звено 1, вращаясь вокруг оси О₁ с угловой скоростью ω₁, воздействует на звено 2, заставляя его вращаться вокруг оси О₂ с угловой скоростью ω₂. Проведем через точку касания М общие касательную tt и нормаль nn.

Оба звена должны быть в постоянном соприкосновении. Для этого необходимо, чтобы проекции скоростей точки касания М обоих звеньев на общую нормаль были равны. В противном случае либо одно звено опередит другое (нарушится контакт), либо произойдет смятие в точке контакта.

Проведем векторы скоростей точки М обоих звеньев. Вектор v₁ скорости точки М звена 1 перпендикулярен радиус-вектору О₁М, вектор v₂ скорости точки М звена 2 перпендикулярен радиус-вектору О₂М. Разложим каждый из этих векторов на две составляющие — нормальные и касательные. Нормальные составляющие, как уже указывал ось, должны быть равны

гдe a₁ и a₂ — углы отклонения векторов v₁ и v₂ от нормали nn.

Восстановим из точек О₁ и О₂ перпендикуляры на нормаль О₁К₁ и О₂K₂.

Треугольники О₁К₁P и О₂К₂P подобны, следовательно,

Сопоставляя последние два равенства, окончательно получим

u₁₂= ω₁/ ω₂= О₂P/ О₁P, где P – полюс зацепления, делит межцентровое расстояние на части, обратно пропорциональные угловым скоростям

Из равенства следует: чтобы передаточное отношение было постоянным, необходимо, чтобы отрезки О₁P и О₂P, на которые нормаль nn делит межосевое расстояние, были постоянной величины. Другими словами, необходимо, чтобы нормаль всегда, в любом положении звеньев, проходила через одну и ту же точку Р.

Боковые профили зубьев должны очерчиваться такими кривыми, общая нормаль к которым в точке их касания делит межцентровое расстояние на части, обратно пропорциональные угловым скоростям. Этому требованию отвечает большое количество кривых, на практике получили применение эвольвента, циклоида, дуга окружности и прямая.

Из рис.15 видно, что касательные составляющие скоростей точек касания не равны между собой, следовательно, профили зубьев скользят друг по другу. Это вызывает износ зубьев.

Скольжение между зубьями будет тем больше, чем дальше находится точка касания от полюса зацепления.

v_ск­при l_М­, v_ск=0приl_М=0, т.е. только в одном положении, когда точка касания зубьев совпадает с полюсом зацепления Р, нет скольжения между профилями зубьев, т.к. скорости точек касания в этом положении векторно равны.

Эвольвента и ее свойства

Эвольвента (предложена Эйлером) – кривая, описываемая любой точкой прямой линии при перекатывании этой прямой по окружности без скольжения.

Рассмотрим построение эвольвенты.

К окружности с центром в т.О (рис.16) проведена касательная в т.А. Будем перекатывать прямую по окружности без скольжения. Для этого от т.А отложим по прямой ряд одинаковых по длине отрезков А-1, 1-2,2-3,3-4… По окружности от т.А отложим дуги ÈА-1’, È1’-2’ и т.д., равные этим отрезкам. При перекатывании прямой по окружности без скольжения т.1 совпадет с т.1’ и т.д. Проведем в точках 1’, 2’,… касательные к окружности (проводим радиус, а затем перпендикуляр) и отложим на них от точек касания отрезки 1’А₁, 2’А₂,…, равные, соответственно, отрезкам прямой А1, А2, А3… Соединяя точки А, А₁, А₂, А₃, А₄ плавной кривой получим эвольвенту.

Рис. 16 Построение эвольвенты

Прямая, перекатывающаяся по окружности, называется производящей прямой, а окружность, по которой перекатывается производящая прямая, называется основной и ей присваивается индекс b. Точка А, лежащая на основной окружности, является начальной точкой эвольвенты. Следовательно, внутри основной окружности эвольвента находиться не может. Для точки А радиус-вектор равен радиусу основной окружности, радиус кривизны r равен 0, эвольвентный и профильный угол тоже равны 0.

Эвольвента обладает следующими свойствами:

1) Производящая прямая является нормалью к эвольвенте в любой ее точке и является касательной для основной окружности;

2) Эвольвента начинается на основной окружности и всегда находится вне ее;

3) Форма эвольвенты зависит только от радиуса основной окружности; при увеличении радиуса r_b радиус кривизны эвольвентного профиля постепенно увеличивается, при r_b=¥ эвольвента преобразуется в прямую (этот случай имеет место при реечном зацеплении);

4) Эвольвента является кривой без перегибов;

5) Центр кривизны эвольвенты лежит в точке касания нормали с основной окружностью.

Выведем уравнение эвольвенты.

Пусть координатами какой-либо точки А₄ эвольвенты будут: R – радиус-вектор и q — эвольвентный угол – угол между радиусом-вектором начальной точки эвольвенты и радиусом-вектором т.А₄ (текущей точки), a — профильный угол, т.е. угол профиля текущей точки эвольвенты.

Из треугольника ОМА₄ имеем R=r_b/cosa(1) – радиус-вектор профиля.

Т.к. перекатывание происходит без скольжения, то А₄М=ÈАМ;

tga=q+a Þ q=tga-a=inva (2) — эвольвентная функция угла a, или инволюта. Составлены таблицы инволютных значений углов. Уравнения (1) и (2) – уравнения эвольвенты окружности в полярных координатах в параметрической форме.